2025年中考数学复习之四边形的模型讲义

四边形的模型

模型1”中点四边形”模型

图不:

条件：在四边形ABCD中，点E,F,6,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点

结论：1.EF=GH=^AC,EH=GF=（性质定理）；

2.EH||BD||FG,EF||4C||HG（性质定理）;

3.四边形EFGH是平行四边形；

4，C四边形EFGH=AC+BZ）;

1

s>S四边形EFGH=5s四边形槌CD

思考延伸

1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；

2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂

直的四边形的中点四边形是正方形.

【例1】如图,在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接AC,BD,EF,FG,GH,HE.

（1）四边形EFGH的形状为,若对角线AC=20,50=30„则四边形EFGH的周长为；

（2）当AC==时，四边形EFGH的形状为,若四边形EFGH的周长为40,则四边形ABCD的对角线AC

的长为；

【变式11］如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,连接AC,BD,则下列说法正确的是（）

A.四边形EFGH是平行四边形

B.四边形EFGH是矩形

C.四边形EFGH是菱形

D.四边形EFGH是正方形

【变式12】【新考法真实问题情境】如图，某小区有一块正方形空地ABCD,现计划在空地上用篱笆围出一个四边

形花园EFGH,点E,件伍口分别为八8,8(2工》尸八的中点，若AB=6,则所需篱笆的总长度为()

A.6V2B.9V2C.12V2D.15V2

【变式13］如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴上，点B,C为第一象限内两点,且0A=4,

AB=2,D,E,F,G分别为边OA,AB,BC,CO的中点,连接AC,OB,DE,EF,FG,GD.若四边形DEFG为菱形，则四边形OABC的

对角线AC的取值范围为（）

A.2<AC<6

B.2<AC<8

C.1<AC<6

D.4<AC<8

【变式14］如图，依次连接第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依此连接矩形各边的中点得到第二个菱形，…,

依此类推.已知第一个菱形的面积为1,则第2025个菱形的面积为.

提升

1.【新考法新定义】我们定义：点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是矩形，则四边

形EFGH是四边形ABCD的中矩四边形.

(1)如图①，四边形ABCD是菱形,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，求证：四边形EFGH是四边形ABCD的中

矩四边形;

⑵如图②，四边形ABCD的面积为40,四边形EFGH是四边形ABCD的中矩四边形，且EFEH=1,求中矩四边形EFGH

的周长.A

图①图②

模型2"垂美四边形”模型

定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

图本:

条件：在四边形ABCD中,AC_LBD

【结论分析】

结论1：AB2+CD2=AD2+BC2

2.S四边形BACD=|AC«BD

结论1：AB2+CD2=AD2+BC2

证明：VAC±BD,根据勾股定理得：

AB2=AO2+BO2,AD2=AO2+DO2,

CD2=CO2+DO2,BC2=BO2+CO2,

：.AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2=AO2+DO2+CO2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2.

［例2］如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,/AEB=90。,若BD=6,AC=4,则四边形ABCD的面

积为.

【变式21】【新考法新设问】如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,/AEB=90°,若四边形ABCD的

面积为12,则AOBD的值为（）

A.18B.20C.22D.24

【变式22］（模型构造）如图,在矩形ABCD中,E为矩形ABCD内部一点，若EB=2,ED=5,则EA2+E0的值为（）

A.23B.25C.27D.29

BC

【变式23］如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点E,且E为AC的中点,若BA=BC,AC+BD=6,设AC=x,则四边形A

BCD面积的最大值为.

提升

1.（模型构造）如图，分别以RtAABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,G

E,CE与BG交于点0,点H为GE的中点，连接0H,若AC=3,AB=5,则0H的长为.

2.我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）在特殊的平行四边形中一定是垂美四边形的是（填写一个）；

⑵如图①，若四边形ABCD为垂美四边形，试探究两组对边AB,CD与AD,BC之间的数量关系，并说明理由;

⑶如图②,在口ABCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,EFXDF,连接CG,若AB=6,AD=8,求CG的长.

模型3“十字架”模型

类型过顶点型不过顶点型

AFDAHD

区

图示

BCBGC

在正方形ABCD中，点E,F分别在边在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别

条件

3D,AD上，AEXBF在边AB,CD,BC,AD上,EF±GH

结论△ABF^ADAE,BF=AEEF=GH

拓展模型1——矩形过顶点型“十字架”模型

条件:在矩形ABCD中，点E在边AD上,CEXBD

结论：△BC。△。。£,'c吧c=吧rrt

拓展模型2一—矩形不过顶点型“十字架”模型

条件:在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AD,BC,AB,DC上,EF，GH

结论：竺=更

EFCD

思考延伸

正方形与矩形中“十字架”模型解题的相同点：寻找（构造）两条“十字架线”所在的特殊三角形，再利用等角代换

证明另一组角相等；

不同点：正方形暗含边相等，得到全等三角形，矩形得到相似三角形.

【例3】如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC上的点，连接EC,DF,若EC^\DF,AB=8,AE=6,则CF的长为—

【变式31］如图,在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD上一点,连接EG,HF,若EG回“F,AB=6,AD=8,贝

贝黑的值为.

EG

【变式32】如图,在正方形ABCD中,AB=4,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD上的点,连接EG,HF相交于点0.若F是B

C的中点，且AD=4AH,ZG0F=90°,则EG的长为.

【变式33］如图，在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD边上的点,连接BE,AF交于点0,BE±AF.若AF=6,0E=2,则正方

形ABCD的面积为

【变式34］【新考法新设问】如图，在边长a的正方形ABCD的边AD上任取一点E(AE>DE),连接BE,作CFXBE,

交AB于点F,连接EF并延长交CB的延长线于点P.若点E,F恰好分别是AD,AB的分割点，贝|PB•BC二.

(用含a的代数式表示)

提升

1.如图，在RtAACB中，NACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC的中点，连接BD,过点C作CE_LBD交AB于点E,交BD

于点F,则CE的长为.

CDA

2.已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD边上的点,连接DE,CF交于点G.

⑴如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE±CF,求证：AADE^ADCF;

⑵如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当NB与/EGC满足什么关系时，笔=若成立?并证明你的结

CrCU

论；

⑶如图③，若BA=BC=6,DA=DC=8,NBAD=90°,DEJ_CF,请求出器的值.

A

C

图③

模型4“对角互补”模型

类型：90°的对角互补

图不:

条件：在四边形ABCD中，/ABC=NADC=90°,BD平分NABC

2

结论：1.AD=CD;2.AB+BC=V2BD;3.S四边形ABCD二|BD

证明：如图,过点D分别作DE±BC于点E,DF1BA交BA的延长线于点F.

VBD平分NABC,

・・・DE=DF.

VZABC=ZADC=90°,

AZBAD+ZC=180°,

VZBAD+ZDAF=180°,

：.ZDAF=ZC,

VZF=ZDEC=90°,

・•・ADFA^ADEC(AAS),

，AD=CD(结论1),AF=CE,

・・・AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.

易证四边形DFBE为正方形，

・•.BF=BE=yBD,

・•.AB+BC=BF+BE=应BD(结论2);

由二角形全等可知

SADFA=SADEC,

2

S四边形ABCD二S正方形DEBE=BF?=(jBD)2二1BD

思考延伸

120°的对角互补模型条件：在四边形ABCD中，ZABC=120°,ZADC=60°,BD平分NABC

图不:

结论:①AD=CD,

②AB+BC=BD,

③S四边形ABCD=彳8°2

拓展模型

条件:在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°

作法:如图，过点D分别作DEXAB于点E,DF，BC交BC的延长线于点F

结论：△DAEs/^DCF

［例4］如图,在等边4ABC中，点D为BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且4。尸=120。若NBDE=45。,。尸

=6,则BE的长为.

【变式41］两个等腰直角三角板按如图所示放置，点E在AC上，G,H分别为边AB,BC上的点.若G

E=2EH,则会的值为

EC

C

【变式42］如图，在四边形ABCD中，NABC=NADC=在。，AD=CD,连接BD.若BC=2,AB=5,则BD

的长为.

【变式43］如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A,B分别在y轴,

上，对角线AC,BD交于点E,若E(4,4),则四边形OBEA的面积为.

【变式44］如图，在边长为4的菱形ABCD中，NB=60°,E,F分别为BC,CD上的点,若

NEAF=60°,则四边形AECF的面积为.

BEC

提升

1.如图，在AABC中,BA=BC,NABC=90°,D为AC边的中点，连接BD,以D为圆心，BD长为半径画圆心角为90

的扇形EDF,DE与AB交于点G,DF与BC交于点H,若四边形BHDG的面积为18,则丽的长为

2.综合与实践

老师留了一道课后作业:

如图①，在矩形ABCD中，P为对角线AC的中点,M,N为边BC,CD上两动点，且/MPN=900•求证:而=通.

小明和小聪经过思考和交流后，得出两种解题思路：

小明：过点P分别作PHLBC于点H,PQJ_CD于点。构造出一对相似三角形，再通过矩形对边分别平行即可得证;

小聪:过点P作PGJ_AC,交BC于点G,通过证明两对三角形相似即可得证.

(1)请你思考小明和小聪的思路哪种可行，并完成此题的证明；

(2)如图②，老师在原题的基础上添加条件：“连接MN,若NM

NP=30°,AB=4,且PC平分NMPN”.老师提出两个新问题:①

CM与CN是否相等；②DN的长度是多少.请你解答这两个问

题，并说明理由.

图①图②

模型5含60°角的菱形

图木:AD

条件：四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD交于点0,ZABC=60

结论：1.ZABD=ZCBD=30°;

2.ZXABC和4ACD均为等边三角形；

3.AB:AC:BD=1:1:V3

112

4.S菱形ABCD一和•BD=1BC

高频图形

这个模型经常会结合矩形、等边三角形进行考查.

【例5】如图,在菱形ABCD中,0为中心点,AB=4,/ABC=60°,点E,F分别是边AB,AD上的点,连接0E,0F.若AE+AF=

4,则图中阴影部分的面积为（）

A.2V3B.3V3C.4V3D.5V3

【变式51】图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，

将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则

图④中BD：AB的值为（）

A.V2B.V3C.2D.2V2

ED

A

B

图①图②图③图④

提升

1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，点E是0B的中点，点F是CD的中点，连接EF,交AC于点G,

若AB=4,/ABC=60°,则线段GF的长为.

2.在菱形纸片ABCD中,AB=6,NB=60°,点E,F分别在边AD,CD上，将菱形纸片沿着EF翻折，点D的对应点为

点G.

⑴如图①，若点G落在AB的中点处，求FG的长；

(2)如图②,若点G落在菱形ABCD的对角线AC上,且AG=2CG,求券的值.

课后提升

1.如图，在RtABAC中，NBAC=90°,D,E,F分别为AB,BC,AC边上一点，且NDEF=90°,AE平分NBAC,若AD=2,AF=4,

则tan/AFE的值为（）

A.2B.-C.3D.

2

2.如图，在矩形ABCD中,AB=：BC,E是BC边上一点，点F在CD的延长线上，且BE=：,DF=2,连接EF交AD

42

于点G,H是AB边上一点,过点H作HN±EF,分别交EF,CD于点M,N,若CN=AH=则DN的长为()

A.2B|C.|D,5

3.如图，在AABC中,AB=AC=8,NBAC=120°,点D,E,F分别是边BC,AB和AC上一点，且/EDF=60°，若点D为BC

边的中点,AE=3,则AF的长为.

4.在正方形ABCD中，如图①，点E是AB边上的一个动点(点E与点A,B不重合)，连接CE,过点B作BFLCE于点

G交AD于点F.

(1)求证：ZXABF丝Z\BCE;

(2)如图②，当点E运动到AB中点时，连接DG,若AB=2,求DG的长.