2025年中考数学考前复习：二次根式（含解析）

2025年中考数学考前复习专题04：二次根式

一、单选题

若。二,则下列各式正确的是()

1.

A.3<a<4B.2<a<3C.l<a<2D.Q<a<l

2.若a-b=2+6,b-c=2-5则代数式片+/+/一就一儿一〃。的值为()

A.15B.16C.17D.18

3.计算而xg正确的结果是()

A.2B.3C.4D.6

4.下列二次根式中，是最简二次根式的是()

A.瓜B.C.J孙3D.表2+9

5.把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45。得到正方形AB'C'D,边2C与De'交于点0,

则四边形A2OD的周长是()

C.5A/2D.5+50

6.当a<-3时，化简“34-1)2+4”+3)2的结果是()

A.。一4B.—4a—2C.—3。一2D.3。+2

7.若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则曲了+忸-4的结果是(

A.—ci+bB.—a—Z?+2cC.a+b—2cD.a—b

8.将二次根式4=。〃+1)(〃-3)+4(〃23且为整数)输入到一个二次根式程序里进行运行，得到

以下结果：运行1次得到A=J(〃+3)4+4,运行2次得至iJ4=J(〃+5)A+4,运行3次得到

4=耳+7)4+4,运行k次得到&=&+2k+l)A-+4,....以此运行下去，下列说法:

①当〃=3时，A4=10；

②若A0G=2025,贝！J才=1826；

③若&=2025,则运行次数上的值有1012种情况.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

9.请写出一个能与强合并的二次根式—.

10.已知.=有-2,则〃+2a=.

11.若二次根式二在实数范围内有意义，则x的取值范围为.

12.魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：=二.当

。取正整数且H最小时，用“不加借算”的方法计算缶约为,用“不加借算”的方法计算面

积为308君n?的等边三角形区域的边长约为m.（精确到0.01）

13.已知机=代—2,n=A/3+2,则飞后+“?+2=.

14.计算：（而一26）x（Vn+V12）=.

15.如图，要在长7dm、宽4.5dm的长方形木板上截两个面积分别为8dm2和18dm2的正方形，是否可

行？.（填“可行”或“不可行”）

三、解答题

16.计算:

(1)^x72+7154-75;

(2)&2用义6一(布+⑹(小一6).

17.已知：x=1+A/2,y=1—'

⑴求孙的值；

(2)求V+y2的值.

18.阅读下面的文字，解答问题：

大家知道也是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此逝的小数部分我们不可能全部地写出来，

于是小明用来表示虚的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有

道理，因为&的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.

又例如：口〈出〈郎,即2＜甘＜3,

二百的整数部分为2,小数部分为近-2.

请解答：

(1)所■的整数部分是，小数部分是;

(2)若石的整数部分是。，小数部分为6,\c\=＞j5,求c(j)—4(c-2)的值.

19.定义：若（6+扬）（&-扬/c,c是有理数，则称后+扬与扬是关于c的“美好数”例

如：（石+0）（白-0）=（白则称百+血■与石-0是关于1的“美好数”.

⑴2+6关于1的“美好数”是;

⑵化简：而LT+而:旧*+阿;后；

⑶若》是J记-1关于9的“美好数”，请直接写出4y2_8y+2025的值.

20.如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD,长方形空地的BC为月m,宽A3为用m,现要在

空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为

(713+l)m,宽为(而一1)m.

AD

BC

（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

（2）若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如

果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？

21.如图，在正方形ABCO中，E是边上一动点(不与点A3重合)，点尸在8C的延长线上，且

CF=AE,连接E尸，交AC于点P,交CD于点。，连接八E、D尸.

(1)求证

①ADAE丝△£)</；

®ZCPF=ZADE；

(2)若A3=3,b=l,求AP的长;

RP

⑶连接3P,在点E的运动过程中，黑的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由.

DF

《2025年中考数学考前复习专题04：二次根式》参考答案

题号12345678

答案AAADABBD

1.A

【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算.先利用分母有理化化简二次根式，再进

行无理数估算即可.

【详解】解：飞一⑻"=2+6

：1〈退〈2,

；.3<2+g<4,

即3vav4；

故选：A.

2.A

【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关

键.根据a-b=2+6，c=2—括，得a-c=4,结合/+/+/一〃力一〃。一.。

=1(2a2+2b2+2c2-lab-2bc-2ac)=1[(a-Z?)2+(Z?-c)2+(a-c)2],代入计算即可.

【详解】解：:a-b=2+,b—c=2--\/3,

・・a-c=4,

,a2+Z?2+c2—ctb—he—uc

=1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=1[(«-Z?)2+(^-c)2+(a-c)2],

：[(0-人)2+(b-c)2+(a-c)2J

T(2+可+(2一可+4?

4L_

=1[7+4A/3+7-4A/3+16]=15.

故选：A.

3.A

【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则.

直接利用二次根式的乘法运算求解即可.

【详解】解：712X^|=^12X|=V4=2,

故选：A.

4.D

【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

根据最简二次根式的定义逐项判断即可.

【详解】解：A.般=2代,唬不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

B.5=/，A不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

C.府=闻而，而不是最简二次根式，故该选项不符合题意；

D.正司是最简二次根式，故该选项符合题意;

故选：D.

5.A

【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键，

由题意利用勾股定理的知识求出3C'的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求30,8',

从而可求四边形ABOD的周长.

【详解】解：连接3C',

,/旋转角ZBAB'=45°,ABAD'=45°,

.♦.8在对角线AO上，

,/B'C'=AB'=5,

在RtAAB'C'中，AC=yjAB^+B'C'2=5夜，

BC'=50-5，

在等腰RtAOBC,中，OB=BC'=572-5,

在直角三角形03c中，。（7=0（5痣-5）=1。-5应,

：.OD=5-OC=50-5,

四边形A3OD’的周长是：2AD'+OB+OD'=10+5后-5+5直-5=10后.

故选：A.

6.B

【分析】本题考查了不等式的性质，二次根式的性质，先根据不等式的性质判断3°-1,a+3的正负，

再根据二次根式的性质化简即可.

【详解】解：

••3av—9,a+3v-3+3,

***3a—1<—10v0,a+3<0,

••-1)++3)

=-(3d-1)-(a+3)

=—3a+1-a—3

=-4a—2.

故选B.

7.B

【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及根式的性质，根据数轴判断出。-〃>0力-。<0,再根据

二次根式的性质化简即可得到答案；

【详解】解：由数轴可得，a<b<0<c,\^>\b\>\c\,

:.c—a>b—c<0,

—+|/?-c|=|c—47|+|/?—c|=c—a-\-c—b=—a—b-\-2fc,

故选：B.

8.D

【分析】本题考查找规律，涉及整数乘法运算、因式分解及二次根式性质等知识，先对题中的进

行化简得到规律&=〃+2左-1,再根据不同说法，代值验证即可得到答案.读懂题意，根据相关运算

找准规律是解决问题的关键.

【详角星】解：AQ=+3)+4=y/n2—2n+1=J("-1丫,

3且为整数，

.\A0=n-lf则A=((几+3)&+4={(九+3)(〃-1)+4=J/+2〃+1=《(n+l?=〃+1,

4=J(〃+5)A+4=J(〃+5)(〃+l)+4=J匕2+6〃+9=J(几+3)=〃+3,

A={(几+7)4+4=J(〃+7)(M+3)+4=JL2+10几+25=+5)=〃+5,

+2k+1）Ajt-i+4=〃+2k—1,

当〃=3时，A4="+7=3+7=10,故①正确；

若AOO=2O25,则几+199=2025,解得〃=1826,故②正确；

若&=2025,贝！J/+2左一1=2025,则。=1013-：,

〃23且为整数，上为非负整数，

n

1013—>0,解得34”42026,且〃为偶数，

2

2026-4

则运行次数上的值有一--+1=1012种情况，故③正确；

2

综上所述，说法正确的是①②③，共3个，

故选：D.

9.V2（答案不唯一）

【分析】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的

定义是解题的关键.可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答.

【详解】解：枇=2母

可以与2应合并的二次根式是企，

故答案为：V2（答案不唯一）.

10.3-2V3/-2V3+3

【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，把.=b-2代入原式中，求解即可，掌握相

关知识是解题的关键.

【详解】解：♦•0=b-2,

,•a~+2a

二（百—2『+2x（G—2）

=3-473+4+273-4

=3-25

故答案为：3-2^3.

1

11.x>-

2

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式,

解不等式即可.

【详解】解：：二次根式＞/^7二1在实数范围内有意义，

**•4九一2之0,

解得：

2

故答案为：x~^'

12.5.135.10

【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理及二次根式的性质，解题的关键是理解“不加借

算”的意义；因此此题可根据“不加借算”的意义进行求解即可.

【详解】解：由题意得：

区=152+1=5+,=5.1；

2x5

如图，VA2C是等边三角形，过点A作ADSBC于点。，

BD=-BC=~a,

22

AD=4AB2-BD?=—a,

2

/.S.=-BC-AD=—a2,

ABRCr24

,/S的=308晶2,

4=1232,

Aa=V1232=V352+7=35+^—=35.10m；

2x35

故答案为5.1；35.10.

13.4

【分析】本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式的变形进行二次根式的

运算.

将加和〃的值代入二次根式，利用完全平方公式进行化简即可.

【详解】解：将,"=,-2,ri=6+2代入+”2+2得

Vm2+n2+2

=716

=4

故答案为：4.

14.-711-2^/-273-711

【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、平方差公式、积的乘方、同底数幕的乘法，熟练掌握二次

根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与平方差公式是解决问题的关键.

【详解】解：(加一26广葭(而+屈广

=[(而-巫卜(瓦+巫)-*(旧+配)

「00-12023

=(Vn)-(Vi2)X(VIT+VT2)

=(ii-i2)2023x(7n+Vi2)

=(-I)2023X(^T+^2)

=Tx(如+疫)

=-VH-2s/3

故答案为：_旧-2拒.

15.不可行

【分析】本题考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式可以分别求得两个正方形的边长是20

和3&，显然只需比较两个正方形的边长的和与7的大小即可.此题要能够正确求得每个正方形的边

长，并能够正确比较实数的大小.

【详解】解：A/8+^18=5^/2,

QA/49<V50<A/64,

.-.7<572<8.

则截两个面积为8dm2和18dm2的正方形，不可行.

故答案为：不可行.

16.(1)35/3

⑵-1

【分析】本题主要考查二次根式的运算，灵活运用二次根式的运算法则是解答本题的关键.

(1)原式先计算二次根式的乘法和除法，然后再合并即可得到答案；

(2)原式先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行运算，去括号后再合并即可.

【详解】(1)解：南义四十岳千也

=〃x2+J15+3

=273+73

=3A/3;

(2)解：A/8—2^—Jx^/2—+^/2j^^/5—\/2j

=A/8^2-2^1x2-(75)2+(72)2

=4-2-5+2

=—l.

17.⑴-I

(2)6

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

(1)利用平方差公式计算即可；

(2)利用完全平方公式计算即可.

【详解】(1)x=1+\[2,y=1-,

.•.孙=(1+点)(1-闾=1-2=-1；

(2)x+y=++=2,

贝!Jx2+y1=(x+‘J—2xy=22—2x(-1)=6

18.(1)4,炳-4

(2)3或13

【分析】本题考查二次根式估值，绝对值计算，二次根式混合计算等.

（1）根据题意可得J话〈后，继而得到本题答案；

（2）由题意得a=2,b=s[5-2,c=土垂，再将字母的值代入式子的值计算即可.

【详解】（1）解：：9＜后＜庄，

••.J万的整数部分是4,

A/17小数部分是而'-4,

故答案为：4,V17-4；

（2）解：2＜仃＜3,=6

.♦.乔的整数部分。=2,小数部分6=6-2,c=±5

当C=A/^时,c（a-匕）-4（c-2）,

=c（a-b—4）+8,

=国2-遥+2-4）+8,

=-5+8,

=3；

当c=时，/?）—4（c—2）,

=c（〃—b—4）+8,

=-V5（2-V5+2-4）+8,

=5+8,

二13；

「・c（a—Z?）—4（c—2）=3或13.

19.⑴2-g；

（2）4；

（3）2061.

【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识

点的应用是解题的关键.

（1）利用"美好数''的新定义，分母有理化解答即可求解；

（2）利用“美好数''的新定义，分母有理化解答即可求解；

（3）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出九再把4y2一8丫+2025变形为4（y-1）2+2021,最后

代入求值即可.

【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得，

则2+相关于1的“美好数”是金石=2-73,

故答案为：2-6；

“111

(2)解,~产---1=H------1=---------7^^+'•~\------/---------.

,后+而A/TT+V13A/T19+7T2T

=1(-A/9+A/1T-VT1+V13+-^/TT9+^/i2T)

=*3+11)

=4；

9

（3）解：痴-1关于9的“美好数”>=而==710+1

.\4y2-8y+2025

=4（y-l）2+2021

=4（屈+1-1『+2021

=4x（亚丁+2021

=4x10+2021

=2061.

20.⑴20&m

（2）7200元

【分析】本题考查二次根式实际应用，二次根式混合计算，平方差公式计算等.

（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可；

（2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可.

【详解】（1）解：根据题意可知：

2x（"+夜）=2x（60+40）=2O0（m）.

••.周长是：20夜m;

(2)解：732-(713+1)x(713-1),

=48-(13-1),

=36(nf),

36x10x20=7200(元)，

...张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元.

21.(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)272

⑶日，理由见解析

【分析】(1)①根据SAS证明即可.②由全等三角形的性质可得=ZADE=ZCDF,证明

ZDEF=ZDFE=45°,结合/£)C4=45°=/DEE,NCQP=NDQF,