2025中考数学二轮复习：转化的数学思想在压轴题中的应用（解析版）

专题18转化的数学思想在压轴题中的应用

概述

转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、

旋转、翻折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为己知问题，将复杂的问题转化为简单的问

题。

真题精析

例孽1

(2022•山东烟台•统考中考真题)

(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△AOE都是等边三角形，连接班)，CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△ABC和AAOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE^9Q°.连接出)，CE.请

直接写出舞的值.

CE

ARAF)3

(3)【拓展提升】如图3,△ABC和AAOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且====二.连

BCDE4

接BD,CE.

①求空的值；

CE

②延长CE交BO于点凡交4B于点G.求sin/BPC的值.

(1)证明AR40g△C4E,从而得出结论;

(2)证明△A40s△C4E,进而得出结果;

(3)①先证明AABCs△AOE,再证得△CAEs△R4O,进而得出结果；

②在①的基础上得出NACE=NAbZ>,进而NBFC=NR4C,进一步得出结果.

[答案与解析】

【答案】(1)见解析

⑵正

2

34

(3)@-;②]

【详解】(1)证明：•••△45。和AADE都是等边三角形,

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°9

:.ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE9

:.ZBAD=ZCAE9

：.ABAD^ACAE(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：,•,△A5c和AADE都是等腰直角三角形,

ABAB1

"花=&,皿EWC=45。，

:.ZDAE-ZBAE=ABAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

：./\BAD^/\CAE,

BDAB1_72

"CE-AC-Z/2-V；

ARAO3

(3)解：①——=——=—,ZABC=ZADE=90°,

ACDE4

/.AABC^AADE,

ABAD_3

：.ZBAC=ZDAE,

AC-AE-5

：.ZCAE=ZBADf

：.ACAE^ABAD9

BDAD_3

,CE-AE-5；

②由①得：△CAE^ABAD,

:.NACE=NABD,

VZAGC=ZBGF9

:.ZBFC=ZBAC9

：.sinZBFC=—=~.

AC5

与翻

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的

关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形.

例学2

（2022•山东潍坊•中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，将甲绕点。

顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接如图③

所示，AB交HO于E,AC交0G于F,通过证明△（?班/△Q4F,可得OE=OF.

请你证明:

【迁移应用】

延长G4分别交80,加所在直线于点P,D,如图④，猜想并证明。G与法/的住罩关系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接如图⑥所

示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与9的藜掌关系.

证明VBO“=VAOG,即可得出结论；通过/3"O=NAGO,可以求出/£>G"+N3"O+/O//G=90。，得

出结论AG_L3H；证明VBOHSVAOG,得出4£=空=@,得出结论;

BHOB3

［答案与解析】

【答案】证明见解析；垂直；BH=«AG

【详解】证明：••,AB=AC,AO,5C,

/.OA=OB,ZAOB=90°,

/BOH+ZAOH=90°,ZAOG+ZAOH=90°,

/.ZBOH=ZAOG,

OH=OG,

・•.NBOH^AOG,

・•.AG=BH；

迁移应用：DG±BHf

证明：vNBOH^VAOG,

ZBHO=ZAGO,

・••NDGH+ZAGO=45。,

NDGH+/BHO=45。,

•••ZOHG=45°,

・•.Z.DGH+ZBHO-^-ZOHG=90°,

NHDG=90。,

..DG±BH；

拓展延伸：BH=^AG9

证明：在HMAOB中，tan3()o=2^=且，

OB3

在此△HOG中，tan3(r=^=迫，

OH3

.OAOG

由上一问题可知，ZBOH=ZAOG9

NBOH^NAOG,

.AGOA6

•>==—,

BHOB3

BH=y［3AG.

总结与点拨

本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、

等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质.

(2022•广西贵港•中考真题)已知：点C,。均在直线I的上方，AC与即都是直线I的垂线段，且在AC

的右侧，BD=2AC,AD与相交于点。.

图1图2图3

An

(1)如图1,若连接8,则△3CD的形状为_____,装的值为______;

AD

(2)若将沿直线/平移，并以AD为一边在直线I的上方作等边VADE.

3

①如图2,当AE与AC重合时，连接OE,若AC=—,求OE的长；

2

②如图3,当NACB=60。时，连接EC并延长交直线/于点孔连接。尸.求证：OF±AB.

邮瓯

(1)过点C作于可得四边形A8HC是矩形，即可求得AC=5H,进而可判断△的形状,

AC、5。都垂直于/,可得△AOCSABOZ),根据三角形相似的性质即可求解.

(2)①过点E作所上也于点H,AC,50均是直线/的垂线段，可得AC//3D,根据等边三角形的性

质可得/氏4。=30。，再利用勾股定理即可求解.

②连接。，根据AC〃即，得/CBD=NACB=60。，即△BCD是等边三角形，把△ABD旋转得

ZECD=ZABD=90%根据30。角所对的直角边等于斜边的一般得到普=黑=：,则可得

ABAD3

△AOF-AADS,根据三角形相似的性质即可求证结论.

［答案与解析］

【答案】⑴等腰三角形，I

⑵①OE=2g;②见解析

【详解】(1)解：过点C作于如图所示:

VAC±Z,DB±l,CH±BD,

工ZCAB=ZABD=ZCHB=90°,

.,•四边形A8HC是矩形，

：.AC=BH,

y."：BD=2AC,

：.AC=BH=DH,KCHLBD,

△BCD的形状为等腰三角形,

VAC,3。都垂直于/,

二AC//BD,

：.4AOCs丛BOD,

AOAC_AC=1,即00=240,

DO^DB~2AC

AOAOAOI

AD~AO+DO~3AO~3

故答案为：等腰三角形，

(2)①过点E作所工AD于点”，如图所示:

图2

,：AC,50均是直线/的垂线段,

，ACHBD,

•・•VAT组是等边三角形，且A石与AC重合，

:.ZEAD=60°9

：.ZADB=ZEAD=60°9

：.ZBAD=30°,

J在凡△ATW?中，AD=2BD,AB=^BD,

3

又・.・BD=2AC,AC=-

2f

***AD=6,AB=3^/3,

:.AH=DH=—AD=3,AE=6

2

在及AAEH中,EH=YIAE2-AH2=762-32=373,

又由⑴知而二葭

AO=1AD=2,贝!]O”=1,

...在RtAEOH中,由勾股定理得：OE=\lEH2+OH2=277.

②连接C。，如图3所示：

图3

■:AC//BD,

J.ZCBD=ZACB=60°,

•.•由（1）知△BCD是等腰三角形，

二△BCD是等边三角形，

又•••VADE是等边三角形，

二AABD绕点D顺时针旋转60。后与AECD重合,

二NECD=ZABD=90°,

又,:Z.BCD=ZACB=60°,

/.ZACF=NFCB=NFBC=30。,

：.FC=FB=2AFf

.AFAO1

••—―，

ABAD3

X^OAF=ZDABf

：.AAOF^AADB,

：.ZAFO=ZABD=90°9

：.OF±AB.

皿与他

本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，

熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键.

精稀网题

1.(2022•山东济宁•校考二模)如图1,正方形ABC。对角线AC、BD交于点、0,E、尸分别为正方形ABC。

边AB、AD上的点，砂工AC交于点且=N为郎中点.

(1)请直接写出QV与的数量关系

(2)若将AAEF绕点A旋转到图2所示位置时，(1)中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明

理由；

⑶若AB=8,E为A3中点，△钻尸绕点A旋转过程中，直接写出点M与点C的最大距离.

【答案】⑴OM=0ON

(2)成立，证明见解析

(3)472

【思路分析】(1)如图1,连接儿W,由正方形的性质可知，。是的中点，AB^AD,ZBAD=90°,

由=M'可知〃为的中点，尸是等腰直角三角形，贝=D产，由N为防中点，可知和ON

分别为/XBEF和V氏万的中位线，根据中位线的性质可得NMNO=90。，MN=ON,在H/AMON中，由勾

股定理可求得OM=也ON;

(2)如图2,连接MN,连接BE、。尸交于点“，证明△■OAF四△BAE(SAS),贝I],DF=BE/ADF=/ABE,

在△BDH中,由三角形内角和求得/BHD=90。，则BELOF,跖V和ON分别为△BEF和V3D厂的中位线,

根据中位线的性质可得/MM9=90。，MN=ON,在RbMON中,由勾股定理可求得OM=&ON;

(3)由题意知，AE=^AB=4,AM=AEsin45°=2^2，可知M在以A为圆心，2夜为半径的圆上运动，

如图3,由题意知，当C、A、”三点共线时，CM取最大与最小值，根据二者的差为。A的直径计算求解

即可.

【详解】(1)解：OM=s/2ON.

如图1,连接MN,

由正方形的性质得，。是8D的中点，AB=AD,440=90。,

ME=MF,

为所的中点，且跖1AC,

A尸是等腰直角三角形,

AE=AF,BE=DF,

为即中点,

MN和ON分别为ABEF和7BDF的中位线,

MN//AB,ON//AD,MN=-BE,ON=-DF,

22

.ZMNO=90°,MN=ON,

在Rt4MON中，由勾股定理得OM=\lMN2+ON2=-J1ON，

OM=忘ON.

(2)解:成立.

证明如下：如图2,连接MN,连接班、£＞厂交于点H,

由(1)知AE=AF,NE4尸=90。，

由正方形的性质得=/BAD=90°,ZABD=ZADB=45°,

•/ZDAF=ZDAE+ZEAF,ZBAE=ZBAD+ZDAE,

ZDAF二/BAE,

在△IMF和ABAE中

AF=AE

'；IZDAF=ZBAE,

AD=AB

：.△DAF^ABA£'(SAS),

DF=BE,NADF=/ABE,

：.N3HD=180。-(ZASD-ZASE)-(ZADB+ZADb)=90。,

BEIDF,

为E尸的中点，N为BF中点,

MV和ON分别为△BEP和V5D厂的中位线，

J.MN//BE,0N//DF,MN=-BE,ON=-DF,

22

/.ZMNO=90°,MN=ON,

在Rt4MON中，由勾股定理得OM=\)MN2+ON2=41ON，

OM=四ON-

(3)解:由题意知，AE=^AB=4,AM=AEsin45°=2y/2

在以A为圆心，2夜为半径的圆上运动，如图3,

图3

由题意知，当C、A、M三点共线时，CM取最大与最小值，且最大与最小的差为。4的直径4四，

，点M与点C的最大距离和最小距离的差为4&.

故答案为：4万

2.(2022・湖北省直辖县级单位•校考一模)如图1,在RtZXABC中，ZACS=90°,过点A作直线MN,使

ZCAB=ZCAM,过点B作于点N,过点C作CM_LMN于点

(1)猜想NAQW与N&W的数量关系，并说明理由；

⑵求证：AB=AN+2AM；

3

(3)如图2,连接NC交A3于点G,若CG=1NG,CM=6,求AC的长.

【答案】(1)NA4N=2NACN,理由见解析

(2)证明见解析

zox6730

O---Z

【思路分析】(1)根据直角三角形两锐角互余得到NC4〃=90。-NACN,再由平角的定义得到

2ZCAM+ZBAN=180°,由此即可推出结论；

(2)如图所示，过点C作CD_LAB于。，证明=△C4D,AD=AM,CN=CD,再证明A、C、B、N

四点共圆，得到NABC=NANC,进而证明△CMV2△CD3,得到&)=肱V,由此即可证明结论；

(3)如图所示，过点N作于E,过点C作CHL3N于H,则四边形C/VC阳是矩形，得到

NH=CM=6,再由全等三角形的性质和三线合一定理得到，BN=2NH=U,证明△CDGS/WEG,推

出NE=8,利用勾股定理求出族=4迷，证明AABNsAA以石，求出A5二可^,AN=笞进而求出

AM=—则AC=

5f5

【详解】(1)解：ZBAN=2ZACM,理由如下；

,：CM1MN,即NM=90。，

・•・ZACM+ZCW=90°,

・•・ZCAM=90°-ZACM

VZCAB=ZCAMfZCAB+ZCAM+ZBAN=180°,

・•・2ZCAM+/BAN=180°,

・•・180°-2ZACM+/BAN=180°,

・•・ZBAN=2ZACM；

(2)证明：如图所示，过点。作SLAB于。，

ZM=ZCDA=90°f

XVZCAD=ZCAM,CA=CA,

：.ACW^AC4Z>(AAS),

AAD=AM,CM=CD,

BN工MN,

：.NBNA=ZACB=90°,

・・・AC,B、N四点共圆，

：.ZABC=ZANC,

又,：/CMN=/CDB=9QP,CM=CD,

：.ACW^ACDB(AAS),

BD=MN,

AB=AD+BD=AMMN=AM+AM+AN=2AM+A/V；

(3)解：如图所示，过点N作于£,过点C作C”,BN于"，则四边形CVM/是矩形,

・•・NH=CM=6,

•・•/\CMN9ACDB,

：.CN=CB,

：.BN=2NH=12f

CD±AB,NE±ABf

：.CD//NE,

:.△CDGsATVEG,

.NENG

，9'CD~~CG9

3

,:CG=—NG,

4

.NE_4

••—―，

CD3

又•:CD=CM=6,

：.NE=8,

•*-BE=y/BN2-NE2=4A/5，

ZNEB=ZANB,ZNBE=ZABN,

：.AABNsAABE,

.ABANBNanABAN12

9NB~NE~BE91284V5

.36A/52475

55

.…AB-AN66

25

/.AC=>]AM2+CM2=.

N

3.（2021•北京•一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点8、C重合）,连接。3,DE,将DE

绕点E逆时针旋转90°得到EF,连接BF.

⑴如图1,点E在BC边上.

①依题意补全图1；

②若钻=6,EC=2,求所的长；

（2汝口图2,点E在BC边的延长线上，用等式表示线段8。，BE,火之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴①见解析；②BF=26

（2）BF+BD=-J2BE,证明见解析

【思路分析】（1）①根据题意作图即可；

②过点尸作交CB的延长线于证明△DEC四△EfE得到EC=77/=2,CD=BC=EH=6,

则HB=EC=2,在中，利用勾股定理即可求解；

（2）过点歹作用交CB的延长线于"证明40£右四^£五才得到£^=2,CD=BC=EH,则

HB=EC=HF,△DCS和ABHF都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）①如图所示，即为所求；

②如图所示，过点尸作FHLCB,交CB的延长线于

・・•四边形ABCQ是正方形,

ACD=AB=6,ZC=90°,

■:/DEF=/C=90。，

；・ZDEC+/FEH=90。，/DEC+/EDC=90。，

:・/FEH=/EDC,

在ADEC和Z\EFH中,

ZH=ZC=90°

<ZFEH=/EDC,

EF=DE

：.△DE8AEFH,

；・EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

：.HB=EC=2,

・••在中，BF=y]FH2+BH2=722+22=272.

(2)结论：BF+BD=y[2BE,理由如下：

过点尸作加，CB,交CB的延长线于H,

・・•四边形ABC。是正方形，

ACD=AB,NDCE=90。,

ZDEF=ZDCE=90%

；・/DEC+/FEH=90°,ZDEC+ZEDC=90°,

：./FEH=/EDC,

在△DEC和△班H中,

ZFHE=ZDCE=90°

<ZFEH=ZEDC,

EF=DE

：.△DEC"AEFH,

：・EC=FH,CD=BC=EH,

：.HB=EC=HF,

・・・△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，

'BD=NBC?+CD2=^BC=®EH'BF=^BH2+HF2=y/2BH

,:EH+BH=BE,

BF+BD=y[2BE.

4.（2021・安徽•统考三模）已知：在AErG中，ZEFG=90。，EF=FG,且点E,b分别在矩形ABC。的边

AB,AD上.

(1)如图1,当点6在8上时，求证：AAEF沿力FG；

(2)如图2,若尸是AD的中点，FG与。相交于点N,连接EN,求证：EN=AE+DN；

(3)如图3,若AE=AD,EG,尸G分别交CD于点M,N,求证：MG?=MN-MD

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

(3)详见解析

【思路分析】(1)先用同角的余角相等，判断出/4£尸=/。/G,即可得出结论；

(2)先判断出AAHF名AOVF,得出AH=DN,FH=FN,进而判断出=即可得出结论；

(3)先判断出AE=PG,PF=AE,进而判断出PG=PD,得出/MDG=45。，进而得出/PGE=NGDN,

判断出AMGNSAMDG,即可得出结论.

【详解】(1)证明：••・四边形ABC。是矩形，

:.ZA=ZD=90°,

:.ZAEF+ZAFE=90°,

■.■ZEFG=90°,

:.ZAFE+NDFG=90°,

ZAEF=ZDFG,

■：EF=FG,

在△?!£尸和△DPG中，

ZFAE=ZGDF

<ZAEF=ZDFG

EF=FG

•.△AEF^AZ）FG（AAS）；

（2）证明：如图2,延长N/，E4相交于H,

:.ZAFH=ZDFN,

由⑴知，ZEAF=ZD=90°,

,\ZHAF=ZD=90°f

•・,点尸是AD的中点，

.\AF=DF,

在八4/*和△QNF中，

ZHFA=ZNFD

<AF=DF

ZHAF=ZNDF

:.^AHF^AZ)A^(ASA),

:.AH=DN,FH=FN,

Q?EFN90?,

：.EH=EN,

♦;EH=AE+AH=AE+DN,

:.EN=AE+DN；

（3）证明：如图3,过点G作GPLAD交AO的延长线于P,

/.ZP=90°,

同⑴的方法得，尸之△PEG(AAS),

/.AF=PG,PF=AE,

\-AE=AD,

:.PF=AD,

:.AF=PD,

:.PG=PD,

VZP=9O°,

:./PDG=45°,

ZMDG=45°,

在RtAEFG中，EF=FG,

:.ZFGE=45°9

:./FGE=NGDM,

•・•ZGMN=ZDMG,

:AMGNSAMDG,

.MG_MN

'DM~~MG，

/.MG2=MNMD.

5.（2022•江苏扬州•校考三模）在矩形ABC。中，AB=6,BC=8f

G

B

EC

【问题发现】

(1)如图1,E为边。C上的一个点，连接BE,过点C作BE的垂线交AZ)于点/，试猜想BE与C尸的数量关

系并说明理由.

【类比探究】

⑵如图2,G为边AB上的一个点，E为边。延长线上的一个点，连接GE交AD于点”，过点C作GE的

垂线交于点R试猜想GE与C尸的数量关系并说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,点E从点8出发沿射线8C运动，连接AE,过点8作AE的垂线交射线8于点凡过点E作防

的平行线，过点B作BC的平行线，两平行线交于点连接DL,在点E的运动的路程中，线段DL的长

度是否存在最小值？若存在，求出线段加长度的最小值；若不存在，请说明理由.

4

【答案】(l)BE=gCT,理由见解析

4

(2)GE=-CF,理由见解析

⑶存在，。“长度的最小值为3.6

【思路分析】(1)证明ABCESACD厂，即可得解；

(2)过点G作。〃的垂线交。于点证明AGMESAC/*,即可得解；

(3)过点H作HKLBC于点K，连接"CAC,则四边形尸CK"是矩形，证明/何/4班心，得出

—=—=—=根据N〃KC=NASC=90。，可得AABCSACKH,得出H在〃。上运动，当DH工HC

HKBCFC4

3

时，DH最小,进而求得sinNOC〃=g,根据OH=DCxsinNOC",即可求解.

4

【详解】(1)解：BE=-CF,理由如下：

・・•四边形ABC。为矩形，

...ZBCD=ZCDA=90°,CD=AB=8,

・・・/BCF+/DCF=90。,

■:BELCF,

：.NBCF+NEBC=90。,

：.NDCF=NEBC,

：.ABCES晨JDF,

,BEBC_84

9，~CF~~CD~6~3"

4

・・・BE=-CF；

3

4

(2)解：GE^-CF9理由如下：

过点G作。。的垂线交CO于点M,如图所示:

E

：.GM=BC=8,

,：GMLCD,

:./EGM+/E=94。,

VCF1GE,

；・NE+/ECF=90°,

：.ZEGM=ZECF,

・・•ZGME=ZCDF=90°,

:・AGMES卫DF,

.GEGM84

^^F~~CD~6~3f

4

：.GE=-CF；

3

(3)存在，理由如下,

如图，过点“作于点K,连接“CAC,则四边形尸CK"是矩形,

图3

・.•BE//FH,FH//BE

・••四边形BEHF是平行四边形，

・・・FH=BE=CK,

VZABE=ZFCB=90°fBFLAE,

・・・ZFBC+ZAEB=ZFBC+ZBFC=90°,

JZAEB^BFC,

.BEAB3

**FC-BC-4?

・：FH=BE=CK,

.CKFHBE3

又/HKC=ZABC=900,

：.^ABC^CKH,

；・/HCK=/CAB,

・・・H在〃。上运动，

・,•当时，最小，

,：ZHCK=ZCAB,

：.ZCHK=ZACB,

丁FC//HK,

：.ZCHK=ZFCHf

・.•AB=6,BC=8,

：.AC=10,

3

sinZACB=sinZCHK=sinZDCH=-,

31R

当DH±HC时，DH=DCxsinZ.DCH=6x—=—=3.6,

即£归长度的最小值为3.6.

6.(2022•山东济南•模拟)如图1,已知AB为。。的直径，点C为A8的中点，点。在BC上，连接3D、CD、

⑴求证：ZC+ZCBD=ZCBA；

(2)如图2,过点C作C。的垂线，分别与A。，AB,相交于点尸、G、H,求证：AF=BD；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接8尸，若BF=BC,的面积等于3,求尸G的长.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)FG=—

2

【思路分析】(1)连接AC,由AC=BC，推出==由C£)=CZ)，BD=BD，

推出/DC3=NZMS,ZCBD=ZCAD,推出N£)C3+NCB£>=NC4D+/ZMB=NC4B=NCBA；

(2)只要证明AACF=ABCD,即可推出AF=8D；

(3)由AACK=ACBM,推出AK=CAf,由推出CV=CE>,△AFK是等腰直角三角形,

CK

推出AK=FK=FM=CM,在RtaATQ中，tanZCAK=——=3,作EN