2025年中考数学考点过关练：圆的有关概念及性质

第21关圆的有关概念及性质

基础练

考点1圆的有关概念和垂径定理

“2024湖南长沙］如图，在OO中，弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则。O的半径长为

B.4V2

2.［2024内蒙古通辽］如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过

拱门所在圆的圆心，若AB=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

ADB

A.1.25mB:1.3mC.1.4mD.1.45m

3.［2024四川凉山州］数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在

工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C,测出AB=40cm,CD=l

0cm,则圆形工件的半径为

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

4.［2023湖南常德］沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如

图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧,C是弦AB的中点,D在AB上,CD_LAB.“会圆术”给出AB长1的近似值

s的计算公式：s=4B+霄当OA=2,ZAOB=90°at|l-s|=.（结果保留一位小数）

5.［2024江西抚州校级模拟］图1是某育花苗圃的木制大门，门上面一部分是半圆形，下面一部分是长方形.现有

一辆装满货物的小货车要从该木制大门（大门相关尺寸见图2）开进该苗圃，车高2.5m,宽1.6m.问：这辆小货车能否

通过该苗圃的木制大门?

图1图2

考点2圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系

6.[2024湖南]如图,AB,AC为。O的两条弦，连接OBQC,若NA=45。,则NBOC的度数为（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

7.[2024重庆B卷]如图,AB是。O的弦QCLAB交。O于点C,点D是。O上一点，连接BD,CD.若/D=28。,

则/OAB的度数为（）

A.28°B.34°C.56°D.62°

8.〔2024北京〕如图,。O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若/D=35。,则NC='

9.[2024江苏连云港]如图,AB是圆的直径,/1、N2、N3、Z4的顶点均在AB上方的圆弧上,/1、Z4的一

边分别经过点A、B,则Nl+N2+/3+/4='

10.[2024四川南充]如图,AB是。O的直径，位于AB两侧的点C,D均在。0上,NBOC=30。,贝!|/ADC=

度.

D

11.[2024内蒙古包头]如图,AB是。O的直径,BC,BD是。。的两条弦，点C与点D在AB的两侧,E是OB上

一点（OE>BE）,连接OC,CE,且/BOC=2/BCE.

⑴如图L若BE=1,CE=V5,求。O的半径；

⑵如图2,若BD=2OE,求证:BD〃OC.（请用两种证法解答）

考点3圆内接多边形

12.[2024黑龙江牡丹江]如图,四边形ABCD是。O的内接四边形，AB是0O的直径，若/BEC=20。,则/A

DC的度数为（）

A.1000B.1100C.1200D.1300

第12题团第13题图

13.[2024吉林]如图,四边形ABCD内接于。O,过点B作BE〃AD,交CD于点E.若/BEC=5。。厕/ABC的

度数是（）

A.50°B.1000C.130°D.150°

14.［2024四川宜宾］如图,△ABC内接于0O,BC为。O的直径,AD平分/BAC交00于D,则唱丝的值为

)

A.V2B.V3C.2V2D.2V3

15.［2024山东滨州］如图,四边形ABCD内接于。O,若四边形OABC是菱形，则ND

16.［2024江西上饶一模］平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出n个不重复的圆,

则n的值不可能为（）

A.4B.3C.2D.1

17.R024新疆］如图,AB是。O的直径,CD是。O的弦,ABJ_CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为（

)

A.1B.2C.3D.4

18.［2024河南开封一模］如图，一圆弧过方格的顶点A,B,C,试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐

标为（24）,点B的坐标为（-4,2）,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A.(-l,2)

D.(2,l)

19.［2024湖北武汉一模］如图，皿和欢分别是以ABAC为直径的两个半圆其中AC是半圆。的一条弦，

E是AC的中点，D是近的中点.若AB=6,DE=1,_,且AO3厕AC的长为（）

X.3+V3B.4+V3

C.3+V2D.4+V2

20J2024陕西］如图,BC是。O的弦，连接OB,OC,NA是BC所对的圆周角，则NA与NOBC的度数的和是.

21.［2024江西］如图,AB是OO的直径,AB=2,点C在线段AB上运动，过点C的弦DELAB,将喙沿DE翻折

交直线AB于点F,当DE的长为正整数时，线段FB的长为.

22.［2024浙江瑞安二模］图1是圆形置物架，示意图如图2所示.已知置物板AB〃CD〃EF,且点E是BD的中

点.测得AB=EF=12cm,CD=18cm,/BAC=9(F,/ABG=60。,则该圆形置物架的半径为cm.

图1图2

23.如图，在圆内接四边形ABCD中、AD<AC、/人口(2</8人口延长人口至点以使人£=人匚延长8人至点兄连

接EF,使/AFE=/ADC.

⑴若/AFE=60。.CD为直径求/ABD的度数.

(2)求证:①EF〃:BC;②EF=BD.

AO

C

'B

24.[2024安徽马鞍山一模]如图，在。O中,AB、AC为弦,CD为直径,ABLCD于E,BFEMC于F,BF与CD相交

于G.

⑴求证：ED=EG-

(2)若AB=4V5,OG=2,求。O的半径.

25.[2024安徽蚌埠二模]如图，OO中两条互相垂直的弦AB,CD交于点P.AB经过点O,E是AC的中点，连

接EP并延长，交BD于点F.

(1)若AB=10,OE=VTU,求AC的长；

(2)求证:EF_LBD.

D

26J2024辽宁大连一模］参考资料：对角互补的四边形的四个顶点一定在同一个圆上.

请利用上述结论解决以下问题：

如图,AB为。01与。。2的公共弦，连接01A并延长交。于C连接BC、0102.

⑴请探究01,CQ,B四点是否共圆，若是.请证明并使用尺规作图，作出四边形OiCO2B的外接圆，保留作图

痕迹；若不是，请说明理由.

⑵若。1。2-AC=BC-O2B,写出CB与OOi的位置关系，并证明.

1.B

2.B解析:连接0A,

•.D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=lm,

.-.CD±AB,AD=BD=0.5m,

设拱门所在圆的半径为rm,

•.CD=2.5m,/.OD=(2.5-r)m,

r2=0.52+(2.5-r)2,解得r=1.3,

二拱门所在圆的半径为1.3m.

3.C解析:设圆心为0,连接0B,

/CD垂直平分AB,AB=40cm,

，点0在直线CD上,BD=20cm,

设圆形工件的半径为rem,则0C=0B=

rem,

•.CD=10cm,/.OD=(r-10)cm,

•••NODB=90°,0D2+BD2=OB2,

••.(r-10)2+202=*解得r=25,即圆形工件的半径为25cm.

4.0.1解析：连接OC、

.OA=2,NAOB=90°、

AOB=2,AB=2近、

••C是弦AB的中点，

.-.CO±AB;.CD±AB,.-.DSC,0共线，

CO=y[2,CD=2-y[2,

■■s=AB+—,•••s=2V2+(2-‘)=3,

OA2

,907rx2

I=----------=7T,

180

.-.|l-sl=|n-3|~3.14-3~0.1.

5.能通过

解析二•车宽1.6m,1.6<2,

，要判断小货车能否通过，只要比较距大门中轴线0.8m处的门高与车高即可.如图过点0作0P1,EF于点

P,在PF上取点H,使得PH=0.8m,过点H作HM^AB于点D,交半圆AB于点M.

易知DH=OP=2.3m,OM=OB=lm,OD=PH=0.8m.

在RbOMD中，由勾股定理可得，MD=VOM12-OD2=V12-0.82=

，MH=MD+DH=0.6+2.3=2.9(m),

••-2.9>2.5,

二.这辆小货车能通过该苗圃的木制大门.

1

ZA--ZBOC.

2

又"二45。，

/.zBOC=2x45°=90°.

7.B解析:「4=28°,

.-.zBOC=2zD=560.

-,OC±AB,

二点C为AB的中点,

AC^BC,

..NAOC=NBOC=56。，

NOAB=90°-56°=34°.

8.55

9.90

解析：:AB是圆的直径，

.■.AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°,所对的圆周角的度数为90°,•21/2/3/4所对的弧的

和为半圆，

1

44④+N4=士x180°=90°.

2

11.⑴3⑵见解析

解析:⑴过点。作OH，BC于点H.

-,OC=OB,OH±BC,

.-.zCOH=zBOH,CH=BH,

•.zBOC=2zBCE,

zBOH=zBCE,

•.zBOH+zOBH=90°,

.•.zBCE+zOBH=90°,

.•.zCEB=90°,

•••BC=y/EC2+EB2=V5T1=A/6,

CH=BH=

2

BHEBY1

cosNOnDBUH=—=—=-p,

OBBCOBA/6

.QB=3,：OO的半径为3.

⑵证法一:过点O作OK,BD于点K,则BK=DK,

•.BD=2OE,/.OE=BK,

•.zCEO=zOKB=90°,OC=OB,

RfOEC2RtABKO(HL),

..NCOE=NOBK,

.-.BDllOC.

证法二:过点0作OKLBD于点K,则BK=DK,

•.BD=2OE,.­.OE=BK,

D1Z

•••cosZCOE=—oc,cosNOBK=—OB,0C=OB,

.,.coszCOE=coszOBK,

.-.zCOE=zOBK,

/.BDllOC.

12.B解析:连接AC,

/AB是。0的直径,.zACB=90。，

.NBEC=20°,

.-.zCAB=zBEC=20°,

NABC=90°-NBAC=70°,

1•四边形ABCD是。。的内接四边形，

zADC=180°-zABC=110°.

13.C解析:「BEIIAD,

..NADC=NBEC=50。，

1.四边形ABCD内接于。0,

.•.zABC=180°-zADC=130°.

14.A解析:如图，连接BD,CD,

；BC是。。的直径，

..NBAC=NBDC=90°,

/AD平分NBAC,

.,.zBAD=zCAD,

BD=DC,

.■.BD=CD,

在四边形ABDC中，

zACD+zABD=180°,

将AADC绕D点逆时针旋转90。得到△ADB,点A的对应点为点A）则A,B,A，三点共线,

A

..AB+AC=AB+A'B=AA',由旋转可知NA'DB=NADC,A'D=AD,

zA'DA=NA'DB+NBDA=NADC+.NBDA=NBDC=90°,

..在等腰直角三角形A'DA中，sinA'=sin45°=—=^,

AA乙

.AB+AC_AA_rr

•・AD-AD-'

15.60

解析二•四边形ABCD内接于。0,

.,.zB+zD=180o,

..四边形OABC是菱形，

.,.zB=zAOC,

.-.zAOC+zD=180o,

由圆周角定理得ND即NAOC=2ND,

，2ND+ND=180。，

zD=60°.

16.C解析：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1,此时n=l;

②当三点在一条直线上时，如图2,过A,B,C或A,C,D或A,B,D作圆,共可作3个圆，即n=3;

③当A,B,C,D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，如图3,

过A,B,C或B,C,D或GD,A或D,A、B作圆，共可作4个圆，即n=4.

故n的值不可能是2,故选C.

17.B解析:•：AB是。0的直径，且AB±CD,

・"E=Q=4.

在RtADOE中，OE—V52-42=3,.1BE=5-3=2.

18.C解析:如图所示，

•.AW=1,WH=3,

AH-Vl2+32——V10,

■,BQ=3,QH=1,

•••BH=Vl2+32=V10,

..AH=BH,同理AD=BD,

.■■DH为线段AB的垂直平分线，易得WH为线段AC的垂直平分线，

••.H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，

则BH=AH=HC,H为圆心.

贝m亥圆弧所在圆的圆心坐标是（-1,1）.

19.D解析:连接DA,DC,EO,BC,OE交AC于点F,

'.E是AC的中点/.OE垂直平分AC,

；.F是AC的中点.

.AC为OF的直径,;.NADC=90°.

是丽的中点，

•••FD垂直平分AC,

，D,E,F,。在同一条直线上,DA=DC,NDFA=90°,..NDAF=45°；DF=AF.设EF=x，则.DF=AF=CF=x+l,OF=|x

6—x=3—x,.".AC=2x+2,

•••F是AC的中点,0是AB的中点，

.■.OF是MBC的中位线,

.'.BC=2OF=6-2x.

.AB为。O的直径"・zACB=90°,在RfABC中,根据勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

62=(2x+2/+(6—2%)2,x—1+/或x=1—

•.AC>3,.,.2x+2>3,.,.x>|,.'.x=l+冬

AC=2x+2=4+V2.

20.90°

解析:「NA是BC所对的圆周角，

NA--NO.

2

-,OB=OC,

.,.zOBC=zOCB.

X-.zO+zOBC+zOCB=180°,

.•.zO+2zOBC=180°,

：.-z0+NOBC=90",

2

SPzA+zOBC=90°.

21.2-百或2或：2+V3

解析:17X8=2,AB是。O的直径

.-.0<DE<2,

VDE的长为正整数，

••.DE的长为1或2,

分情况讨论：

①当DE=1且DE在点O右侧时，连接OD,如图1,

由题意得DC=CE=^,OB=OD=|X5=1,

OC=y/OD2-DC2=—,

2

••・CB=0B-OC=1--,

2'

FB=2CB=2.-43.

②当DE=2时，如图2,FB=20B=2.

③当DE=1且DE在点0左侧时，连接OD,如图3,

由题意得DC=CE=^,0B=0D=|48=1,

OC=y/OD2-DC2=—,

2

BCOB+OC=1+—,

2

•••FB=2CB=2+V3.

综上,线段FB的长为2-遮或2或2+V1

解题关键

根据DE4AB,可得DE=1或2,利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.

22.14

解析：如图，延长FE交AC于点J,过点B作BT±CD于点T.

•.ABIIE"CD,BE=ED.，AJ=JC,NCJO=NCAB=90°.

，FJ垂直平分线段AC,

，圆心。在EJ上，连接AO,设AO=OF=rcm.

易得EJ丑(4B+CD)=|(12+18)=15(cm),

.■.FJ=EJ+EF=12+15=27(cm),

.NCAB=NACD=NBTC=90°,

二四边形ACTB是矩形，

「.AB=CT=12cm,

..DT=CD-CT=18-12=6(cm),

.ABIICD,:NBDT=NABG=60。，

・•・BT=V3DT=V3x6=6V3(cm),

AC=BT=6y/3cm,

A]=C]=3y/3cm,

2__

在RSAOJ中，产=(3V3)+(27-r)2,，r=14,即圆形置物架的半径为14cm.

23.(1)30°

(2)①见解析②见解析

解析:Q)；CD为直径，,zCAD=90°,

•.zAFE=zADC=60°,

ZACD=90°-60°=30°,

.•.zABD=zACD=30°.

⑵证明:①..•四边形ABCD是圆内接四边形，

.•.zADC+zABC=180°,

X/zAFE=zADC,

..NAFE+NABC=180。，

.-.EFllBC.

②过点D作DGUBC交。O于点G,连接AG,CG,

・•,DGllBC"•.易得BD=CG,

.-.BD=CG,

1•四边形ACGD是圆内接四边形，

，易得NGDE=NACG,

EFIIBC.EFIIDG,.".NDEF=NGDE、

.,.zDEF=zACG,

•.zAFE=zADC,zADC=zAGC,

..NAFE=NAGC、

.AE=AC,.”AEF学ACG(AAS),

.-.EF=CG,.-.EF=BD.

24.(1)见解析⑵g

解析：Q)证明:连接BD,

•.AB±CD于E,BF，AC于F,

..NCFG=NGEB=90°,

又.•NCGF=NBGE,..NC=NGBE,

•••AD=AD,

.,.zC=zDBE,

..NGBE=NDBE,

•.AB±CD,

..NGEB=NDEB=90°,

.-.zBGE=zBDE,

.■.B