2025中考数学押题预测（广州卷）（全解全析）

2025年中考押题预测卷（广州卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列各数中，负数的是（）

A.|—5|B.+（-4）C.0D.—（—3）

【答案】B

【分析】此题考查了有理数的分类，绝对值求值，相反数等知识点，解题的关键是掌握负数的概念.

先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案.

【详解】解：A.|-5|=5>0,该选项结果为正数，不符合题意；

B.+（-4）=T<0,该选项结果为负数，符合题意；

C.0既不是正数，也不是负数，不符合题意；

D.-（-3）=3>0,该选项结果为正数，不符合题意.

故选：B.

2.未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图

形也是中心对称图形的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于

这条直线（成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解

题的关键.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；

故选：D.

3.下列运算正确的是（）

22

A.尤2./=/B.（X-1）=x-l

C.（一优2）=-m6D.m2+m3=m5

【答案】C

【分析】本题主要考查了整式的运算，

根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加解答A,再根据完全平方公式计算判断B,然后根据塞的乘方，底

数不变，指数相乘计算判断C,最后根据是否是同类项判断D.

【详解】解：因为*2./=尤2+4=》6,所以A不正确；

因为（x-1）2=/—2x+1,所以B不正确;

因为（-疗）3=-/3=_〃孔所以C正确；

因为机，J?不是同类项，不能合并，所以D不正确.

故选：C.

8-4x<0

4.不等式组2尤-1-八的解集在数轴上表示为（）

[5

【答案】C

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数

轴上即可.

【详解】解：不等式组整理得：

[x>3

解得：x>3,

数轴上表示，如图所示：

.——।—।—A__>

0123

故选：c.

5.“广州新机场”来啦！其选址佛山高明区，定位已经明确为“粤港澳大湾区国际航空枢纽之一、广州国际航

空枢纽的重要组成部分、大湾区西部综合交通枢纽”.分为两期规划目标：近期规划目标年为2035年，远

期规划目标年为2050年.若近期规划目标及远期规划目标共可满足年旅客吞吐量11000万人次，且远期规

划目标是近期规划目标的2倍还多2000万人次.设近期规划目标为年旅客吞吐量x万人次，根据题意，可

列方程为（）

A.2x+2000=l1000B.2x-2000=11000

C.x+2x-2000=11000D.x+2x+2000=11000

【答案】D

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设近期规划目标为年旅客吞吐量x万人次，根据“近期规划目标

及远期规划目标共可满足年旅客吞吐量11000万人次”列出方程，即可求解.

【详解】解：设近期规划目标为年旅客吞吐量无万人次，则远期规划目标（2x+2000）为万人次，

根据题意得，x+2%+2000=11000

故选：D.

6.某手机店今年1〜4月份的手机销售总额如图①，其中一款音乐手机的销售额占当月手机销售总额的百分

比如图②.下列结论正确的是（）

本销售总额/万元

0o5%

_

8o80_0%

6o1%

_15

4o_10%

1

2o_5%

OTo

2

->份

月<

图①

A.从1月到4月，手机销售总额连续下降

B.从1月到4月，音乐手机的销售额占当月手机销售总额的百分比连续下降

C.音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降

D.今年1〜4月，音乐手机销售额最低的是3月

【答案】D

【分析】本题考查折线统计图，条形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根

据图象信息一一判断即可.

【详解】解：A.从1月到4月，手机销售总额连续下降；错误，3月到4月是增长的.

B.从1月到4月，音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降；错误，2月到3月是增长的.

C.音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降；错误，是增加长的.

D.今年1〜4月中，音乐手机销售额最低的是3月；正确.

故选：D

7.制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.图中弯管（不计厚度）有一段圆弧A8,点。是

这段圆弧所在圆的圆心，半径OA=90cm,圆心角NA03=100。，则这段弯管中.的长为（）

A.50KB.60KC.90KD.IOOTI

【答案】A

【分析】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式、歌.直接利用弧长公式求

lou

解即可.

【详解】解：：半径。4=90cm,圆心角NA08=100。，

六这段弯管中AB的长为詈r=50n（加），

故选：A.

8.如图，在RtVABC中，ZC=90°,BD平分ZABC,DE±AB,垂足为点E,AZ）=6,AC=10,则DE的

长是（）

C

D,

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出OE=DC,再利

用线段的和差关系可求出结果.

【详解】解：：八£工

ZBED=9Q。,

：8。平分/ABC,ZC=90°,

DE=DC,

VAD=6,AC=IO,

：.DE=DC=AC-AD=10-6=4,

故选：B.

9.如图，菱形Q4BC的边长为2,点C在y轴的负半轴上，抛物线丁=加过点5若NAOC=60。，贝匹为

()

A.—1B.—2C.—D.1

2

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点8作6D轴交》轴

于点O,求出3点的坐标，代入即可求解，求出B点的坐标是解题的关键.

【详解】解：过点8作皿轴交，轴于点。，

:菱形Q4BC的边长为2,

/\

I1

・•・OC=BC=2,

ZAOC=60°,

JZBCD=60°,

BD=BCsinZBOC=2xg=6，CD=2cos60°=2x1=1,

**.A/3,—3^,

把网-6,-3）代入y=ax2,

-3=3〃，

a=—lj

故选：A.

10.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，

通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图

形，点尸有半圆。上，点C在直径A5上，且OFLAB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证

明为（）

B.a2-^-b2>2ab(<a>0,Z?>0)

C.2"；.(a>0,Z?>0)D.£±^<

>0,Z?>0)

2

【答案】D

【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键.

先求出半径，再利用勾股定理求出PC的长度，再根据R9WRC,代入式子即可得到答案.

【详解】解：设AC=a,BC=b,可得圆的半径r=一

OC=r-BC=^--b=^—^-

22

a-b2a+b\a2+b2

在直角三角形R9C中，FC2=OC2+OF2=I+

22

<.*FO<FC,

・a+b

(a>0,Z?>0),

--2-

故选：D.

第n卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共15分）

11.若。+》=2,则。2+Z?2+2a6=.

【答案】4

【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.将等式。+》=2

两边平方，得到4+2必+从=4即可求解.

【详解】解：a+b=2,

/.（（/+/?）=22=4,

,/（a+b）?=/+2"+〃，

•"a?+2ab+b2=4•

故答案为：4.

12.如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图,G为竖直向下的重力,尸为竖直向下的拉力.若Nl=107。,

则Z2的度数是°

【答案】73

【分析】根据平行线的性质即可求出答案.

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键.

【详解】解：如图所示标注字母,

根据题意得HG〃£F,

.-.Zl+Z2=180o

「4=107。，

.•.Z2=180°-107°=73°,

故答案为：73.

13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+6的图象与X轴交于点A,与y轴交于点8,点尸在线段

上，尸C，x轴于点C,则周长的最小值为.

【答案】372+6/6+372

【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，依据题意列出APCO周

长的式子，从而找到使其最小的点P位置是解题关键.先根据一次函数列出△尸CO周长的式子，再根据垂

线段最短找到使周长最小时点尸的位置，然后结合一次函数的性质、等腰直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：由题意，可设点尸的坐标为。+6）（。＜0）

OC=—a,PC=〃+6

APCO周长为OC+PC+OP=—a+a+6+。尸=6+OP

则求周长的最小值只要求出求OP的最小值即可,

如图，过点。作

则OP的最小值为OD,即此时点P与点D重合，

由直线y=x+6的解析式得，

当x=0时，y=x+6=6,

当>=0时，x+6=0,解得x=-6,

:一次函数y=x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,

A(-6,0),B(0,6),则(24=OB=6

•*.ABO是等腰直角三角形，/54。=45。

.D4O是等腰直角三角形，OD=AD,y/OD2+AD2=OA=6>

解得OD=3A/2,

贝11Ape。周长的最小值为6+0尸=6+00=3点+6,

故答案为：3^2+6-

14.对于字母办n,定义新运算〃欣”=.-7"-〃，若方程f+3x+l=0的解为。、b,贝!].☆6+2的值

为.

【答案】6

【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系.判断出。+6=-3,ab=\,再根据新定义计算即可.

【详解】解：,方程f+3x+l=0的解为。、6,

.,.«+/?=-3,ab=l,

々☆Z?+2="-〃—£?+2=1+3+2=6.

故答案为：6.

15.如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成.如图②，把魔方的中间一层转动了45。.如图

③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段48的长度为一.

A

【答案】6-3V2/-3V2+6

【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出VABC为等

腰直角三角形.根据题意得到VABC为等腰直角三角形，设AB=AC=无，进而得到3C,再结合

AB+AC+3C=6建立等式求解，即可解题.

【详解】解：由题意得NABC=NAC5=45。，

即VABC为等腰直角三角形，且AB+AC+BC=6,

设AS=AC=x,则BCNAB。+AC?=缶,

:.x+x+\[2x=6>

解得x=6-30，

则图中线段AB的长度为6-3&,

故答案为：6-3A/2.

16.反比例函数乂=9（。>0,。为常数）和%=2在第一象限内的图象如图所示，点M在%=2的图象

XXX

上，MCLx轴于点C,交的图象于点A；岫,丫轴于点。，交的图象于点8,当点M在%=2

XXX

的图象上运动时，以下结论：

①SODB=S.0C4；

②四边形的面积为2-。；

③当a=l时，点A是MC的中点;

④若S四边形0AMB=S.ODB+S.ocA,则四边形。CMD为正方形.

其中正确的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【分析】①由反比例函数的几何意义可得答案；②S四边形=S矩形DMCO—SBDO—SAOC，进行计算即可得到

答案；③连接OM,根据已知条件得到％=@=!，根据三角形的面积公式即可得到结论；④由①②知，

XX

2-a=a,解得：a=l,得到OC不一定等于OD,从而得出结论.

【详解】解：①MC_L九轴于点C,交必=@的图象于点A;M£>_Ly轴于点交的图象于点5,

xx

「.AC_Lx轴，轴，

,点43在反比例函数弘=3上，

x

ODB=SOCA=~a^故①正确，符合题意；

2

②点M在％=—的图象上，M。，工轴于点C,收，y轴于点。，

x

一S矩形£>Mco=2,

二•S四边形MB=S矩形OMCO—S血-SAOC=2--g”2-Q,故②正确，符合题意；

A在函数％=9的图象上，点M在力=2的图象上，

XX

■.SAtOzeC=-2OCAC=2~,SMOC=2-OC-CM=1,

AC=—,CM=—,

ococ

AC=-CM,

2

.••点A是MC的中点，故③正确，符合题意；

④'s四边形0AA"-s0DB+sOCA，

由①②知，2—a=a,

解得：a=l,

2

点M在%=一的图象上运动，

.:0C不一定等于OD,

，四边形0cM0不一定为正方形，与〃的取值无关，故④错误；

综上所述，正确的是：①②③，

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了反比例函数y=t(ZwO)中左的几何意义，即过双曲线上任意一点引X轴、y轴垂

线，所得矩形面积为陶，所得三角形的面积为:同，熟练掌握此知识点是解题的关键.

三、解答题：本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.解方程：2九+1=46

x-55-x

【答案】x=T

【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边同乘以(x-3)得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判

断即可.

【详解】解：—2x+1=63

x-55-x

方程两边同乘(x-3),得：2x+x-3=-6,

解得：x=—\

检验：当％=—1时，x-3^0,

x=-l是原方程的解.

18.如图，在VABC中，。在AB边上，连接CD,AC=4,AD=2,BD=6,求证：AACD^AABC.

c

【答案】见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.由已知求得

ACAF)1

警=嘿=:，根据相似三角形的判定即得答案•

ADAC2

【详解】证明：AD=2,BD=6,

AB=AD-\-BD=2+6=8,

.AD

*AB-AC_2?

ZA=ZA,

:.^ACD^AABC.

19.计算:

(l)V27+|^-1j-3tan60°+(万一后)°

2x—1

(2)下面是小明化简分式鼻-2c।的过程,请认真阅读并完成相应任务:

x-1x-2x+l

2x-1

解：原式=(x+l)(x_l厂诉第一步

(x+l)(x-l)x-l弟一步

2x+1“_

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)第一步

2—%+1

=(x+l)(I)第四步

3-x

=(x+l)(x-l)第五步

【任务一】填空：

第一步开始出现错误.

【任务二】请直接写出正确的化简结果:

【答案】(1)5

⑵四;一匕

【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，分式的减法运算：

(1)先化简各数，再进行加减运算即可；

(2)任务一：第四步分子相减时，没有变号，出现错误；任务二：通分化为同分母，再根据同分母的分式

的减法法则进行计算即可.

【详解】(1)解：V27+|-1j-3tan60+(万一忘了

=3肉4-3石+1

=5；

(2)任务一

第四步开始出现错误；

故答案为：四

任务一.二-----——

1士先一./一2尤+1

2x-1

解：原式=(尤+1)(1)一百

______2________1_

(x+l)(x-l)x-1

_2X+1

2-x-l

_1-x

x+1

20.如图，在RtZXABC中，NA4C=90。，点。在边AB上，以03为半径作O,交5c于点。，连接OD.

⑴尺规作图：作线段的垂直平分线/,交AC于点E;(要求：不写作法，保留作图痕迹)

(2)连接DE£>£与10相切吗？请说明理由.

【答案】(1)图见解析

(2)£)E与相切，理由见解析

【分析】本题考查基本作图-作垂线，切线的判定，等边对等角.掌握作垂线的方法，以及切线的判定的方

法，是解题的关键.

(1)根据作垂线的方法，作图即可；

(2)根据中垂线的性质，等边对等角，得到NEDC=NC,NOBD=NODB,再根据等量代换，得到

ZODB+ZEDC=90°,进而得到NODE=90。，即可得出结论.

【详解】(1)解：如图所示，垂直平分线/为所求.

A

(2)证明：DE是:。的切线，理由如下：

直线I是线段CD的垂直平分线，

/.ED=EC,

:"EDC=/C,

.OB=OD,

.\ZOBD=ZODBf

ZA=90°,

"OBD+NC=900,

ZODB+ZEDC=90°,

:.ZODE=90°,即ODJ.DE,

OD是。的半径，

:.DE是。的切线.

21.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三

位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲、乙两位同学得分的折线图:

C.甲、乙、丙三位同学得分的平均数和中位数:

同学甲乙丙

平均

8.68.6m

数

中位

9n9

数

根据以上信息；回答下列问题：

(1)表中m的值为,n的值为.

(2)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高,

则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是(填“甲”、“乙”

或“丙”).

(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生歌唱比赛，用列表或树状图法求甲和乙

同学同时被选中的概率是多少？

【答案】(1)8.6,9

⑵丙

(3)1

【分析】(1)根据加权平均数的定义，中位数的定义计算解答即可.

(2)按照规则计算三人的平均分，得分最高的就是最优秀的.

(3)利用画树状图法计算即可.

,皿3口=»/口-10x4+9x3+8x2+3”

【详斛】(1)解：根据题思，得根=彳=-----------------=8.6,

故答案为：8.6；

由7,7,7,7,9,9,10,10/0,10,

9+9

故中位数陵亍=9,

故答案为：9.

_10x3+9x3+8x2_73

(2)解:根据题意，得五

—8

由7,7,7,9,9,10,10,10,得高_10x3+9x2+7x3_69

―8~~8

_10+7+9x4+8x2_69

由7,8,8,9,9,9,9,10,得工甲

—8~-8-

由《73最大,

8

故丙最优秀,

故答案为：丙.

(3)解：根据题意，画树状图如下:

开始

共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙的可能性有2种,

21

所以甲和乙同学同时被选中的概率是百=>

126

答：甲和乙同学同时被选中的概率是5.

O

【点睛】本题考查了平均数，中位数，画树状图法求概率，平均数的决策应用，熟练掌握公式是解题的关

键.

22.如图1,佛山电视塔坐落于佛山市禅城区文华公园内，它集广播电视发射、旅游观光以及饮食娱乐于一

体，是佛山市标志性建筑之一.小梁和小罗利用卷尺和自制的测角仪对电视塔的高度进行了测量.如图2,

小梁站在点A处利用测角仪AE测得电视塔顶端。的仰角为60。，小罗站在点B处利用测角仪跳■测得

电视塔顶端。的仰角为71.5。.已知测角仪高度均为1.5m,两人相距60m.(点A,B,C,D,E,尸在同

一竖直平面内，点A,B,C在一条直线上)

D

图1〃图2

⑴求电视塔的高度.(结果精确到1m.参考数据：sin71.5°«0.9,cos71.5°«0.3,tan71.5°«3.0,

041.7)

(2)根据“景点简介”显示，佛山电视塔总高为238m.请提出一条减小误差的合理化建议.

【答案】(1)CD的高度约为237m；

(2)减小误差可多次测量，去测量数据的平均值.

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

(1)根据题意可得：ZAEG=60°,ZAFG=71.5°,EF=AB=60,AE=BF=CG=1.5,再根据锐角三角函

数表示出DG的长，结合图形列出方程，解方程得到答案；

(2)结合(1)误差为1m,进而可得减小误差的建议：多次测量，求平均值.

【详解】(1)解：如图，延长所交C£＞于点G.

由题意知，四边形和四边形BCGP均为矩形.

：.EF=AB=60,BC=FG,AE=BF=CG=1.5m.

设BC=FG=x,则EG=60+x.

在RtVDEG中，

tanZ£)EG=—,

EG

DG=EG-tan60°=73(60+x)a1.7(60+x),

在RtADFG中，

tanZDFG=—

FG

.-.Z)G=FGtan71.5o®3x,

1.7(60+x)=3x.

解得％=78.46.

/.CD=DG+CG®3x78.46+1.5«237(m)

答：电视塔CD的高度约为237m；

(2)误差为238-237=l(m).

减小误差可多次测量，去测量数据的平均值.

23.【问题背景】

如图，在平面直角坐标系xOx中，正方形0WC的边OC,Q4分别在x轴和y轴上，若反比例函数>

X

(人20)的图象分别交AB,于点N.

【构建联系】

(1)求证：AM=CN.

k

(2)。是边A8上靠近点A的三等分点，将△Q4D沿直线OD折叠后得到△0V。，若反比例函数y=*

尤

(上片0)的图象经过点4,且。4=3,求人的值.

【深入探究】

(3)在(2)的条件下，连接C4',AN,求sinNC4'N的值.

【答案】(1)证明见解析；(2)左=粤；(3)包逅

【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线

是解题的关键.

(1)根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答；

(2)过点4作跖_1_%轴于点E,交AB于点尸，证明ZXAZ不由相似三角形的性质列方程，即可

解答；

(3)过点N作NHLC4'于点过点4作AK_L3N于点K,求得期,AN的长，即可解答.

【详解】解：(1)证明:设点”(％,%),N(%,%)，

点Af,N都在正方形ABCD上，

二.%=%,且占/=%.%，

...玉=%，即AM=OV.

(2)如图1,过点A作EF_Lx轴于点E,交于点尸,

四边形Q4BC是正方形，Q4=3,

:.AD=-AB=1,

3

根据折叠的性质可得A'O=AD=1,。4'=。4=3,ZOA'D=ZOAB=90°,

ZDA'F=90-ZOA'E=ZA'OE,

,£F_Lx轴,

NDFA'=ZA'EO=90°,

.-.△ADF^Z\OAE,

DF_A'F__A'P_1

"^E~~OE~~O^^3,

:.DF=-A'E,A'F=-OE.

33

A'F+A'E=OA=3,AD+DF=OE,

-OE+A'E=3

.3<

1'

1+-A'E=OE

I3

A，「12

AE=——

5

解得

0E=-

5

点A

把点4仔因代入y」解得发=翳

jJx

(3)如图2,过点N作于点过点A作A'K_L3N于点K,

则四边形A'KCE,FA'KB为矩形,

由(2),可知CK=AE="，A!F=3--=-,AM=CN=—^3=—,A'K=FB=3--=-,

555252555

39

BN=3-CN=—,

25

△ANC22255125

A'N=JAK，+KN?=JAK，+(BN-AV)2

36A/5

NH125~67205

sin/CAN=——

A'N6屈205

25

24.如图，以平行四边形ABC。的一边A5为直径的圆交边3C于点E,交对角线AC于点F,G是边CD上

的一点，连接AG,且BE=DG.

D

M

----------

(1)请在以下三个条件中任选一个:,证明：直线AG是圆M的切线.

①/AGD=/ACB：②尸是弧AE的中点：③E是2c的中点.

(2)在第(1)间的条件下，若直径为4,连接班并延长交AG于点N,AN=3,求四边形ABCD的面积.

【答案】(1)②，证明见解析

唁

【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、菱形的判定和性质等知识，证明四边形ABC。是菱形是解

题的关键.

(1)选择②尸是弧AE的中点，连接4瓦防，证明ABF"CBF(ASA),得到再证明

ACE^ACG(SAS),得至ljNAGC=/AEC=90。，A8为直径，即可得到结论;

(2)由勾股定理得到M=山后+4^=5,由等积法求出A尸=空第=与则防==

BN55

241192

得到AC=2AF=g,求出S4BC=/AC8P=W，即可得到答案.

【详解】(1)解：选择②，

证明：连接AE,87"

：尸是弧AE的中点,

ZABF=ZCBF,

：A3为直径,

ZAFB=ZAEB=ZBFC=ZAEC=90°,

,/BF=BF,

：.ABF^CBF(ASA)

：.AB=BC,

•・,四边形ABCD是平行四边形，

・•・四边形ABCD是菱形，AB//CD

：.BC=CD,N3AF=ZACG,

,:BE=DG.

：.CE=CG,

：.ZBAF+ZABF=ZCBF+ZACE=90°,

：.ZBAF=ZACE,

：.ZACG=ZACE,

又「AC=AC

：..ACE^ACG(SAS),

・•.ZAGC=ZAEC=90°

■:AB//CD

：.ZBAG=180。一ZAGC=90°

:.AB±AG

TAB为直径，

・•・直线AG是圆M的切线.

(2)如图，

由勾股定理得到BN=y/AB2+AN2=5，

sABN^AF-BN^AB-AN

.AB-AN12

..AF=----------=——

BN5

・•・BF=y/AB2-AF2

*：AB=BC,

24

AC=2AF=—

5

12416192

,,SABC=-ACBF—x——x——=

2255云"

192c384

・•・四边形ABCD的面积为2s的。=-----x2=------

2525

25.已知抛物线y=ax2+bx-3(a>0)与x轴交于A,B两点(点B在无轴正半轴),与v轴交于点C,连接BC,

AB=4,ZBCO=45°.

(1)求抛物线的解析式;

⑵若点。在点8,C之间的抛物线上运动(不与点C重合)，连接OD交BC于点E,连接C。.记

△CDEACOE的面积分别为St,S2,求去的最大值；

d2

17

(3)已知抛物线的顶点的为G,过点G的直线/与抛物线的另一个交点为P,直线/与直线厂：>交于

点尸，过点F作/'的垂线，交抛物线于点。，过PQ的中点M作于点N.求证：MN=^PQ.

【答案】⑴y=/_2x_3

(3)见解析

【分析】(1)根据抛物线解析式可得C(0,-3),根据等角对等边推得3(3,0),A(-l,0),待定系数法即可求

得抛物线的解析式；

sND-ME

(2)过点E作EM，OC于点“，点。作DN，OC于点N,根据三角形的面积公式可推得，=..F,

d2M.此

待定系数法求直线的解析式为y=x-3,设E(a,a-3),求得直线OE的解析式为y=巴二x,设

a

D(b,b2-2b-3),求得直线的解析式为？=2b-3人根据匕0二2=伫2,推得

bba

j=_J_•一。［+3,根据二次函数的性质可得当时，2a有最大值为：，即可求得；

a3^2j42a4

(3)根据抛物线的性质可求得顶点G(l,-4),连接QN和尸N,过点尸作尸与点待定系数法求直

线PG的解析式为：％=M%T)-4,求得直线PG与直线/'的交点坐标为求得

苏一”’根据直线所与抛物线交于尸，G两点，求得川1+上水2-4),PH=k2+；,

8=2万+；根据平行线分线段成比例公理可求得在N=N"=:”=0+!，根据正切的定义推得

16k4228k

ZQNF^ZNPH,根据等角的余角相等可得/产纱=/四尸，推得NQNP=90。，根据中线的判定可得MN

是Rt^PAQ斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明MN=；尸。.

【详解】（1）解：：抛物线y=o?+bx-3,

•••当尤=o时，y=-3,

C(0,-3),

OC=3,

,?ZBCO=45°,ZBOC=90°,

OC=OB,

：.3(3,0),

*.•AB=4,

：.A（-l,0）,

将A（-l,0）,3（3,0）代入抛物线y=&+云_3