北京市房山区2024-2025学年高二年级下册诊断检测一数学检测试题（附答案）

北京市房山区2024-2025学年高二下学期诊断检测一数学

检测试题

试卷共4页，共150分.考试时间90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

一、选择题：（每小题5分，共50分）

1.数列百，3,岳,亚，…，则庖是这个数列的第（）

A.8项B.7项C.6项D.5项

【正确答案】C

【分析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于〃的

方程，解方程得到答案.

【详解】解：数列百，3,而，收，…，

可化为：数列道，、历，JF，亚，…，

则数列的通项公式为：%=,

当%=N6n-3=^33时，贝！I6〃-3=33,

解得：〃=6,

故庄是这个数列的第6项.

故选：C.

本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项

公式，是解答的关键.

2.设数列｛%｝的前〃项和为S.=〃2一〃，则氏的值为（）

A.14B.15C.48D.63

【正确答案】A

【分析】

利用公式an=Sn->2,«eN*）进行求解即可.

【详解】由于数歹四%｝的前〃项和5“=/一〃，

所以风=56,邑=42,

所以的=.S8-57=14.

故选：A

3.已知函数/(x)=ax3_3Y+2x—1,且/'(1)=2,则。=()

A.-1B.2C.1D.0

【正确答案】B

【分析】求导后，代入x=l即可构造方程求得结果.

【详解】f'(x)=3ax2-6x+2,f'(l)=3a-4=2,解得.a=2

故选：B.

4.若等比数列｛%｝满足％+%=5,且公比2,则%+。5=

A.10B.13C.20D.25

【正确答案】C

【详解】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为1,2,4,8,16,•…，即%=2力，那么

4+%=4+16=20.

方法二：对于%+%=。网?+a§q2=4(q+%),又%+%=5,则/+%=4x5=20.

方法三：对于％+生=/+//=%+4/=5,解方程可得，4=1,那么通项％=2"T,可知

%=4,(z5=16,贝!］。3+。5=20.

故选C.

考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式.

5.下列求导运算正确的是

A.(In2)'=0B.(cosx)'=sinx

C.(e~xy=e~xD.(/)，=_卜6

【正确答案】A

【分析】根据导数的运算公式，即可作出判定，即可求解.

【详解】由题意，常数的导数为0,可得（In2）'=0是正确的，所以A是正确的；

根据导数的运算公式，可得（cosx）'=—sinx,（x-5），=-5x-6-所以B、C、D

是错误的，故选A.

本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与

运算能力，属于基础题.

6.等差数列｛4｝的前〃项和为S“，前〃项积为北，已知出=-4,%=一1，则（）

A.S,,有最小值，％有最小值B.S“有最大值，北有最大值

C.S“有最小值，7；有最大值D.S0有最大值，北有最小值

【正确答案】C

【分析】根据已知条件求得%”,进而求得%,结合数列的有关性质确定正确选项.

q+d=—4

【详解】依题意<=>%=-7,4=3=>%=3〃-10,

%+2d=

由%V0解得n<-^-,〃£N*，

所以等差数列｛4｝的前〃项和S”满足：S3最小，无最大值.

%=—7,a2=—4,a3=—l,tz4=2,a5=5,...

Tx=-7,7；=28,刀=-28,7；=-56,……

所以“23时：T<0,且为递减数列.

故北有最大值28,没有最小值.

故选：C

7.已知曲线y=/（x）在（5,/（5））处的切线方程是y=—x+5,则/（5）与/'（5）分别为（）

A.5,-1B.-1,5C.-1,0D.0,-1

【正确答案】D

【分析】利用导数的几何意义得到f(5)等于直线的斜率-1,由切点横坐标为5,

得到纵坐标即f(5).

【详解】由题意得f(5)=-5+5=0,f(5)=-1.

故选D.

本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题.

8.若数列｛4｝为等差数列，数列也｝为等比数列，则下列不等式一定成立的是()

A.4+"V4+4B.-b、V仇一b?

C.q%>a2a3D.axa4<a2a3

【正确答案】D

【分析】对选项A,令bn即可检验；对选项B,令〃=2"即可检验；对选项C,令%=〃

即可检验；对选项D,设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.

(1丫T111

【详解】若句=-"，则4=1也=-彳B=：也=-$

I2J24o

71

可得：4+为=^〉8+4=—1，故选项A错误；

若b”=2",则4=2也=4也=8也=16

可得："―4=14〉a一4=4,故选项B错误;

若a“=〃，贝！J%=1,4=2,%=3,%=4

可得：q%=4<a2a3=6，故选项C错误；

不妨设｛4｝的首项为外,公差为d,则有：

ara4=%(q+3d)=aj+34储

a2a3=(q+d)(q+2])=]:+2/+3*

2

则有：a2a3-ara4=2d>0,故选项D正确

故选：D

9.设｛4｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛4｝为递增数列”是“存在正整数No,当“〉N0时,

%〉0”的()

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,则d/0,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要

条件的定义判断可得出结论.

【详解】设等差数列｛为｝的公差为d,则dwO,记［可为不超过尤的最大整数.

若｛4｝为单调递增数列，则d>0，

若为NO,则当“22时，>«1>0；若/<0,则a”=%+(〃—l)d,

由=%—>0可得〃〉1一幺，取£=1--+1,则当"〉N。时，%〉0,

d_d_

所以，“｛4｝是递增数列”="存在正整数No,当“〉N0时，%>0"；

若存在正整数No，当“〉时，an>Q,取左wN*且左〉No，软>0,

假设d<0,令％,=%+(〃—k)d<0可得”>左一％,且k-">k,

dd

当〃〉k.+1时，%<0,与题设矛盾，假设不成立，则d〉0,即数列｛%｝是递增数列.

所以，“｛4｝是递增数列”U“存在正整数No,当〃〉No时，见〉0”.

所以，“｛4｝是递增数列”是“存在正整数No,当〃〉N0时，见〉0”的充分必要条件.

故选：C.

10.已知函数/(x)满足/(1)=一1,/'。)=2,则函数y=在x=l处的瞬时变化率为

e

()

1133

A.B.—C.-D.-

eeee

【正确答案】C

【分析】根据导数的概念和运算法则，求导后代入x=l即可.

【详解】•­/=/'(.)，尸―/3-尸=/'(x)-/(x),

Je八2%+2ecX+1

y=丛?在x=1处的瞬时变化率为⑴7⑴=2—(J)=A.

*e1+1e2e2

故选：C.

二、填空题(每小题5分，共30分)

11.在等差数列｛2｝中，已知4+%=6，则该数列前5项和艮=

【正确答案】15

【分析】根据等差数列的性质，结合前〃项和的公式求解即可

【详解】：%+%=4+%=6，.•.S5=5("I；"5)=W=]5.

故15

1+Ax1

12.已知函数/(x)=/+x,则/=；lim^()~/()=.

-°Ax

【正确答案】①.0②.3

【分析】根据解析式和导数的定义直接求解即可.

2

【详解】.-./[/(-1)]=/(0)=0+0=0;

/(1+(1+Ax)2+1+Ax-2.、

lim-----------=hm-----------------=lim(Ax+3)=3-

Ax—>0\xAx—>0\xAx—>0'/

故0；3.

13.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问

次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织

布的尺数是.

【正确答案】—

【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.

【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为%,公比为2,

则&(1-25)=5,解得/=3

1-231

所以第二天织布的尺数为%=2x2=".

■3131

故答案为

31

14.已知｛4｝是公差不为0的等差数列，且为,出，%成等比数列•则该等比数列的公比为.

【正确答案】2

【分析】设4=%,因％,a2>%成等比数列，贝!1(q=%(q+3d),据此可

得答案.

【详解】设%=%+(〃-l)d,则。2=%+d,a4=aA+3d,

又％,a2,%成等比数列，则(/+d)~=%(q+34)=>屋=,又dwO,

a、2d一

则4=d,则公比为==一7=2.

aAa

故2

15.无穷数列｛4｝的前n项和记为J.若｛%｝是递增数列，而｛3｝是递减数列，则数列｛%｝的通

项公式可以为—.

【正确答案】

a„=~-(答案不唯一).

n

【分析】根据｛sj是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据｛%｝是递增数列，可以联

想到在(0,+8)上是递增的函数，进而构造出数列.

【详解】因为｛s“｝是递减数列，可以考虑%<0,而｛4｝是递增数列，可以构造%=-

n

故。〃二一,（答案不唯一）.

n

16.过原点作曲线y=lnx的切线，则切点坐标为,切线方程为.

【正确答案】①.（e,1）②.x・ey=O

【分析】

设切点坐标为：（玉）,%）,求导y=工，根据切线过原点，由切线的斜率左=3='求解.

【详解】设切点坐标为：

因为y=lnx,

所以V——，

x

因为切线过原点，

所以切线的斜率为：k=^=—,

%%

解得X。=e,—1,

所以切点坐标为：（Q1）,

切线方程为：y=—x,即x-ey=O,

e

故x-ey=O.

三、解答题（共70分.要求有必要的解题步骤）

17.已知函数/（x）=x」nx.

（1）求这个函数的导数；

（2）求曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线方程.

【正确答案】（1）/f（x）=lnx+l

（2）x-j-l=0

【分析】（1）由导数乘法公式可得答案;

(2)由题可得切线斜率，然后利用点斜式可得答案

【小问1详解】

/'(X)=x'4nx+x(lnx)=Inx+1；

【小问2详解】

由(1),/'。)=1，又/。)=0，

则切线方程满足y_/(l)=/'(l)(x_l)nx—y—l=O.

18.已知等差数列｛%｝满足生=9，a3+a9=22.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)等比数列抄/的前〃项和为j，且4=%,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任

选择两个作为已知条件，求满足$,<2025的〃的最大值.条件①：b3=ai+a2.条件②：53=7；

条件③也+i>“

【正确答案】(1)an=2n-l

(2)10

【分析】(1)根据等差数列下标和性质和通项公式直接推导求解即可；

(2)若选①②，根据等比数列通项公式和邑可求得公比9；若选①③，根据等比数列通项公式

和单调性可求得公比q；若选②③，根据与和等比数列单调性可求得公比q；根据b\和q可得Sn,

结合｛8｝单调性可求得结果.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,

。3+。9=2。6=22,。6=11，/.d=&—。5=2,

.e.an=a5+(〃-5"=9+2(〃-5)二2〃一1.

【小问2详解】

由⑴知：4=%=i,设等比数列也｝的公比为q

若选①②：,.，&=q+%=1+3=4,/.S3=4+%+/=5+4=7,/.b2=2,

.q4=2.eAj"I"y1

Y42'..S"^Z^=K=2T'

••.｛、｝为递增数列，510=1024-1=1023,5U=2048-1=2047,

满足S,<2025的n的最大值为10；

若选①③：,.•人3=。1+。2=1+3=4,请=4,

771C乙(1—9〃)1-2”

又bn+\>b“，：.q>\，：.q=2，：.sH==r

n1—q1-2

••.｛、｝为递增数列，510=1024-1=1023,Su=2048—1=2047,

满足Sn<2025的n的最大值为10；

若选②③：•.•S3=Z?]+Z?2+a=l+q+q2=7,g=2或q=-3,

77C乙(1一9〃)1一2〃

又bQb",：.q=2,：.s=△----L=-----=2"—1，

"1—q1-2

••.｛、｝为递增数列，510=1024-1=1023,5U=2048-1=2047,

.•・满足S„<2025的〃的最大值为10.

19.已知数列｛%｝满足q=0,2%+i-0,-a“+i=1(〃eN*),

(1)计算出，/，为，并推测｛4｝的通项公式；

(2)证明你所得到的结论.

【正确答案】(1)%=—，%=一，。4=一；an=---(〃CN*)

234nv'

(2)证明见解析.

【分析】(1)由递推公式计算4，的，%，即可推测通项公式;

(2)利用数学归纳法可完成证明.

【小问1详解】

由题，2a2-qq=1n2a2=1n%=5；

324=3

2a3—a?.CI3—1=>5Q3=1=>〃3=§；2a4—,(z4=1=>—ct4=l=>ct4—.

H—1

则推测%=——〃£N

n

【小问2详解】

,n-1

证n明二----

n

当〃=1时，结论显然成立;

假设”=kkeN*）成立，则为=匕,

s左一1）i左+1k

贝ij2a-a-a=1^n2---a=1n-—a=1na=

Mkk+lVkJk+lkk+lk+l4+1

即〃=左（左£、1*）成立时，〃二女+1也成立，又〃=1时，结论成立，

则结论对所有正整数均成立，则％=——（〃eN*）.

n'

20.在数列｛%｝中q=1,。“+1=24+〃—1,〃eN*.

（1）证明：数列｛4+〃｝是等比数列；

（2）求数列｛2｝的通项公式%；

（3）求数列｛%｝的前〃项和公式S,.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）a“=2"-n

」+1）

（3）S=2"1-2—-'--L

n2

【分析】（1）根据递推关系式和等比数列定义直接证明即可;

（2）根据等比数列通项公式可求得%+〃，进而得到与；

（3）采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.

【小问1详解】

an+l+(〃+l)=2an+n-l+n+l=2an+2〃=2(a“+〃)，又％+1=2,

•••数列｛%+〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

【小问2详解】

nn

由(1)得：a„+n=2x2-'=2,:.an=T-n.

【小问3详解】

由(2)

得心“二(21+22+23+~+2")_(1+2+3+—+/)=2(：—；

=2向.2/("+1)

2

21.设｛%｝和也｝是两个等差数列，记g=min｛4+%〃也+4〃，…也+%〃｝("=1，2,3,

其中minUi，%,…,七｝表示为，马,…演这s个数中最小的数.

(1)若bn=n,求证：｛qj不是等差数列；

(2)若g=2,bn=n,证明：｛cj是等差数列；

(3)证明：或者对任意实数M,存在正整数m,当〃2加时，^-<M或者存在正整数m,使

n

得5,Cm+1,C,"+2，…是等差数列.

【正确答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；(3)证明见解析；

【分析】(1)把%=-〃也=〃代入即可求得。1，。2，。3,即可证明｛%｝不是等差数列；

(2)在(1)的启发下，证明当〃22时，(d+]+〃以)=1>0,所以为+怎〃关于

左eN*单调递增.所以％=min｛4+axn,b2+a2n,---,bn+ann]=b｛+aAn=l+2z?,从而得证；

(3)首先求｛g｝的通项公式，分4〉°，4=0,4<。三种情况讨论证明.

【小问1详解】

,«*ctn——bn—nf..Q]——1,a2=—2,。3——3,b]—1?Z?2=2,a—3,

C]=min{1_1x1}=0,c2=min1l-lx2,2-2x2}=-2,c2-cx=-2,

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