分类加法计数原理与乘法计数原理 同步训练-2024-2025学年人教A版高二数学下册选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与乘法计数原理同步训练

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练

习，则不同的选法共有（）

A.8种B.15种C.3,种D.5^种

2.文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个,如果教师的节目不排在第一个，也

不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（）

A.720B.1440C.2400D.2880

3.由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：

未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的

方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动,要求每

个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A.60种B.120种C.150种D.240种

4.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为仇c,当且仅当a>b,b<c时称为

“凹数”（如213,312等），若a,b,ce{l,2,3,4},且仇。互不相同，则这个三位数为“凹数”

的概率为（）

A.1l5B.—C.-17D.—

624324

5.现将四名语文教师，三名心理教师,两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人,

要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A.216B.432C.864D.1080

6.2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.

除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则

甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）

A.1800B.1080C.720D.360

7.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省

皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区

、松泽文化区、良渚文化区、钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时

间长、谱系完整,是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化

一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团

队现在对该遗址四大区域进行考古发掘,现安排包含甲、乙在内的6名研究生同学到这4

个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相

同区域的方法种数为（）

A.96B.144C.240D.360

8.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名

次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很

遗憾,你没有得到第1名”，从这个回答分析,4人的名次排列情况种数为（）

A.4B.6C.8D.12

二、多项选择题

9.某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政

策，不超过9站的地铁票价如表：

乘坐站数X0<x<33<%<66<x<9

票价阮234

现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，

且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是（）

A.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有9种

B.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有18种

C.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有9种

D.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有27种

10.将4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3的盒子中，不允许有空盒子的放法

有多少种？下列结论正确的有（）

A.C；C；C；C；B.CjA；C.C；C；A；D.18

11.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（）

A.排成前后两排，前排3人，后排4人，共有A；xA：种方法

B.全体排成一排，男生互不相邻，共有A；xA：种方法

C.全体排成一排，女生必须站在一起，共有A：xA：种方法

D.全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有A；xA；种方法

12.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体

现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等,显然两位回文

数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个：101,111,121,...,191,202,...,999.下列说法

正确的是（）

A.四位回文数有45个B.四位回文数有90个

C.2"（〃eN*）位回文数有10"个D.2〃+l（〃eN*）位回文数有9x10"个

三、填空题

13.某迷宫隧道猫爬架如图所示,5,C为一个长方体的两个顶点,A石是边长为3米的大

正方形的两个顶点,且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从A点沿着图中的

线段爬到3点，再从5点沿着长方体的棱爬到C点，则小猫从A点爬到C点可以选择的

最短路径共有条.

14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三

名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有

.种.

15.如图是一个3x3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新

调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量,则不同的填法种数为

(o，i)

（T。）（。，。）（1，。）

3

(-I)(0,-1)

16.某比赛有8支队伍参赛，分别为中国赛区1,2,3,4号队伍，韩国赛区1,2,3

号队伍，欧洲赛区1号队伍.现淘汰赛需要抽签，分四组两两对决，要求来自同一赛区

的队伍不进行对战且同一编号队伍不进行对战.则会出现种不同的对局情况.

四,解答题

17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老

师分为两支队伍，每支队伍五人,并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4

名男老师,6名女老师报名参加比赛.

（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？

（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时

从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方

式？

18.某次数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有参加竞赛的学生中随机

抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100],并绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）补全频率分布直方图，若只有30%的人能进入决赛，则入围分数应设为多少分

（保留两位小数）？

（2）采用分层抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样

本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率.

（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为

笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+,A,B,C,。五个等级，

若两科笔试成绩均为A+,则不需要第二轮面试直接参加冬令营活动；若一科笔试成绩

为A+,另一科笔试成绩不低于3,则要参加第二轮面试，面试通过也可参加冬令营活

动，其他情况均不能参加活动.现有甲、乙二人报名参加考试.甲在每科笔试中取得

A+,A,B,C,。的概率分别为47,-1L,1-L,13上；乙在每科笔试中取得A+,

5612520

A,B,C,。的概率分别为工，工，工，,，上；甲、乙在面试中通过的概率分别为

4551020

上.已知甲、乙二人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时参加冬令营

516

活动的概率.

19.在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜

色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？

20.已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直

至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果）

（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次

品，则共有多少种不同的测试情况？

（2）若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？

参考答案

1.答案：B

解析：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有3义5=15种.

故选：B

2.答案：B

解析：由题意可知，先将学生的节目全排列有A：=120种排法，

然后对教师节目进行插空有Aj=12种排法，

所以满足题意的排法种数为120x12=1440种.

故选：B.

3.答案：C

解析：依题意,5名获奖者按1：1：3去到三个不同会场，有C；A；种方法，

5名获奖者按1：2:2去到三个不同会场，有等.A；种方法，

A?

r2r2

所以不同的派出方法有A；=60+90=150（种）.

故选:c

4.答案：C

解析：试题解题思路：由于a,Z?,CG{1,2,3,4},且仇。互不相同,故可得4x3x2=24个三

位数.若力=1,则“凹数'有:213,214,312,314,412,413共6个;若=2,则“凹数”有：

324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有p=§=L

243

5.答案：B

解析：求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有A；种方法,

再把4名语文教师按2:1:1分成3组，并分配到三所学校，有C；A；种方法，

最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有A；种方法，

由分步乘法计数原理得不同的安排种数为A；.C；A；.A；=432.

故选：B.

6.答案：B

解析：①恰有2个部门所选的旅游地相同，

第一步，先将选相同的2个部门取出，有C；=6种；

第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有A：=120种，

根据分步计数原理可得，方法有6x120=720种；

②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A：=360种，

根据分类加法计数原理得，

则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有

720+360=1080种.

故选：B.

7.答案：C

解析：先将6名同学分成4组:一种方式是甲、乙组成一组,再从另外4人任选2人组成

一组，其余的一人一组;另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组,其余的一人一

组.再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为（C+C；）A：=240.故选C.

8.答案：C

解析：解析：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻；

所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3,4名,丁为第1名,此时共2种情况；

丙是第3名时，甲，乙只能是第1,2名,丁为第4名,此时共2种情况；

丙是第4名时，甲,乙有可能是第1,2名，或第2,3名，

当甲,乙是第1,2名时,丁为第3名,此时共2种情况；

当甲,乙是第2,3名时,丁为第1名,此时共2种情况；

所以一共有2+2+2+2=8种情况.

故选：C.

9.答案：BD

解析：因为甲、乙两人乘坐地铁，共花费5元，

则其中一人的乘坐站数不超过3,另一人的乘坐站数超过3不超过6,

设首站之后的前6站分别为A,Bj,G，4，B2,C2,

若甲乘坐地铁不超过3站，则两人下地铁的所有方案为（A,4）,（4，与），（&。2），

（耳4）,（耳与），（4G），©4），（。，耳），©G）共8种,

同理，若乙乘坐地铁不超过3站，也有8种方案，

因此甲和乙两人共花费5元时共有18种下地铁的方案，故A错误，B正确；

设首站之后的前9站分别为A,耳，G，4，B?,C2,&，鸟，C3,

若甲、乙两人共付费6元，则共有三类方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3

元；甲付4元，乙付2元；

由选项AB的分析可知每类情况有9种方案，

所以甲、乙两人共付费6元时共有27种下地铁的方案，故C错误，D正确.

故选：BD.

10.答案：BC

解析：根据题意，4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3的盒子中，且没有空盒，

则3个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，有2种解法：（1）

分两步进行分析：①先将4个不同的小球分成3组，有C；种分组方法；②将分好的3

组全排列，对应放到3个盒子中，有A；种放法，故没有空盒的放法有C；A；种.（2）分

两步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小

球放入选出的小盒中，有C；C；种方法；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个

小盒中，有A；种放法，故没有空盒的放法有C；C；A；种.选BC.

11.答案：ACD

解析：对于A：先选出前排3人，有A：种排法，剩余4人随机排序有A：种排法，故

有种方法，A正确.

对于B：利用插空法，4名女生随机排序有A：种排法，旁边有5个空位，把男生排进

去有A；种排法，故有A：xA；种方法，B错误.

对于C：把4名女生放在一起有A：种排法，再和3名男生排序有A：种排法，故有

A：xA：种方法，C正确.

对于D：从其他6人抽出两人排在两侧有A：种排法，再把剩余5人随机排序有A；种

排法，故有A：xA：种方法，D正确.故选：ACD.

12.答案：BD

解析：据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、

2222、...、2992、...9009、9119、9229、...、9999,共90个，则A错误,B正确；

对于2〃位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选

法,……，第n和第〃+1位也有10种,则共有9xl0xl0x......x10=9x101种选法，故C

错；

对于2〃+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选

法,……，第〃+1个数字，即最中间的数字有10种选法，

则共有9xl0xl0x......xl0=9xl0几种选法，即2"+1(“wN*)位回文数有9x10〃个，所以D

正确.

故选：BD.

13.答案：120

解析：小猫要从A点爬到C点，需要先从A点爬到3点,需要走3横3竖,则可选的路径

共有C=20条，再从3点爬到C点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选

择的最短路径有20x6=120条.

14.答案:24

解析：若三人选书没有要求，则有33=27种，

若三人选择的书完全相同，则有3种，

所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27-3=24种.

故答案为：24.

15.答案：72

解析：

123

456

789

首先对3x3的九宫格每个位置标注数字，

第一步先排(0,0%一共9个位置，因此有C；种排法，

根据对称性知,(0,0)所在的行和列只能排(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1),

不妨设(0,0)在1位置，

第二步排2位置，则从1,-1),。,-选一个，因此有C；种排法,

则3位置的数也定下来了，

第三步排4位置，则从1,-1）,。,-剩余的两个中挑一个，因此有C；种排

法，

接着排7位置,7位置是（1,1）,1,-1），（1,-1），（-M）中剩余的最后一个，

相当于（0,0）所在的行和列都定下来了，

则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的，

因此按分步乘法计数原理知,C；xC；xC；=72（种）

因此共有72种排法，

故答案为：72.

16.答案：8

解析：记中国赛区1,2,3,4号队伍分别为A,B,C,D,韩国赛区1,2,3号队伍

分别为a,b,c,欧洲赛区1号队伍为机，

根据题意，A只能对战0,c中的一支队伍，

当A对战Z?时，3可以对战a,c,中的一支队伍，

若3对战a,则C只能对战机，故。只能对战c,只有1种情况；

若3对战c,则C可以对战a,加中一支队伍，。对战剩下的队伍，一共有2种情况；

若3对战机，则C只能对战a,故。只能对战c,只有1种情况；

当A对战c时，3只能对战a,机中的一支队伍，

若3对战a,则C可以对战小机中一支队伍，。对战剩下的队伍，一共有2种情况；

若3对战机，则C可以对战a,6中一支队伍，。对战剩下的队伍，一共有2种情况；

综上：对局情况一共有1+2+1+2+2=8种.

故答案为：8.

17.答案：（1）120种

（2）36种

c3C2

解析：（1）两组都是3女2男的情况有=60（种）：

一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有CjC：=60（种），

所以总情况数为60+60=120（种），故一共有120种不同的分组方案；

（2）丙站在左1位洪有C；xA；xA；=12（种）不同的排列方式；

丙站在左2位，共有C；xA；xA；=8（种）不同的排列方式;

丙站在左3位，共有C；xA；xA；=8（种）不同的排列方式;

丙站在左4位共有C；xA；xA；=8（种）不同的排列方式.

综上所述，共有36种排列方式.

18.答案：（1）图见解析，入围分数应设为76.25分

3

⑵-

5

⑶1

解析：（1）由频率分布直方图可知，成绩在［70,80）的频率为

1-(0.015+0.030+0.010+0.005)xl0=0.40,

所以［70,80)组的纵轴为0.40+10=0.040,所以补全频率分布直方图如图所示.

频率

组距

0.040

0.030

0.015

0.010

0.005

0福/分

又(0.010+0,005)X10=0.15<0,3,

(0.040+0.010+0.005)xl0=0,55>0.3,

所以7。％分位数位于［7。,8。）内，为"能21°+7°=7625,

所以入围分数应设为76.25分.

（2）依题意从［80,90）内抽取6x—也一=4人，标记为1,2,3,4；

0.01+0.005

0.005

从［90,100］内抽取6x=2人,标记为a,b.

0.01+0.005

从6人中随机选2人，其样本空间为

。={(L2),(1,3),(1,4),(1,。),=母(2,3),(2,4),(2,公(2,垃(3,4),(3,。),(3,垃(4,垃(4,垃3加)

共包含15个样本点，即有