北京市通州区2025届高三年级下册4月模拟考试数学试题（含答案）

北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题

一、单选题（本大题共10小题）

8={小叫，则&”）c3=（

,人生、rn生人A=]x1\-l＜X＜2\

1.已知全集为R,集合I,)

A.付尤<7}B.{木>2}{r|-l<x<0}0<x<2}

C.D.

2;

z=-----

2.已知复数1+，,则共拆复数z=

A.-1+zB.1c.1+zD.-1-

在1

3.<X,J的展开式中，x的系数为()

A.-40B.-32c.32D.40

{“"}满足:%-2%=1

4.已知等差数列且°2=0,贝°2025)

A.2026B.2025C.2024D.2023

71

2

5.已知点尸为抛物线V=4x的焦点，过点尸且倾斜角为§的直线与抛物线交于

占两点，则以刈等于（

A.)

16

T

A.16B.6C.D.4

（X-2）2+/=1则a、6的一组取值

6.若点关于直线＞=丘+6的对称点在圆±J

为（)

k=-

A.k=2,b=-2B.3,b=-\

C.k=l,6=2D.k=l,b=-2

“x>2”是“log?(、+1)>2-x”的(

7.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

f（x}=—x2+COSX,则“一2）,/⑶，八兀）的大小关系是（

8.已知函数2)

A./（-2）＜/（3）＜/（K）B./（^）＜/（3）＜/（-2）

C./（3）＜/（-2）＜/（7i）D./（-2）＜/«＜/（3）

9.经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1）,碳原子位于正四

面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上,

抽象成数学模型为正四面体"CD,。为正四面体的中心，如图2所示，则角

正"的余弦值为（）

1/17

A

V6

D.6

10.已知平面向量）=（L°）,3=（°/）

若方满足设］与』夹角为

则COS0（）

3V2

A.有最大值为5B.有最大值为彳

3V2

C.有最小值为5D.有最小值为2

二、填空题（本大题共5小题）

Y2T

-----y~1

11.双曲线3的渐近线方程为.

12.在△4BC中，已知。=7,c=5,4.则cos2/=.

t

/、（1^5730

13.设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量12）（品为碳

14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量

V2

的比值为;当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为彳，则仁—

/、\x2-a,0<x<a

14.设。>0,函数-/，龙,若y=/（x）为单调函数，则a的一个取值

为:若g（x）=/（x）-x+”有三个零点，则实数a的取值范围是.

15.已知点P（x/）是曲线°：/+/=1+回1上任意一点，有以下四个结论:

①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②-1WXV1,T《y41；

③点尸到坐标原点距离的最大值为册;④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.

其中正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共6小题）

16.设函数"x）=2sin3+°）［…仁］

2/17

⑴若"°）=T,求。的值.

兀5兀5兀

2

在区间L]6」上单调递增,

⑵已知/（*），再从条件①、条件②、条件

③这三个条件中选择一个作为已知，使函数/6）存在，求。，夕的值.

271兀

3

条件①：/（X）在区间’6」上单调递减;

/⑶=2后

条件②：

71

条件③：“一Z为函数/（X）图象的一条对称轴.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件

分别解答，按第一个解答计分,

17.如图1,将边长为2的正六边形/3CDE/沿翻折，使平面与与平面

Z2C。垂直，如图2.点〃在线段40上，C。//平面即有.

图1图2

（1）证明：〃为线段中点;

（2）求二面角£一8“一。的余弦值.

18.某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下

第一部第二部第三部第四部第五部第六部

普通观众评分87.285.484.984.984.783.6

专业观众评分88.780.081.677.476.172.2

（1）从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于

85分的影片的概率；

（2）现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.

（i）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普

通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求才的分布列及数学期望

E。）

（ii）若任意2名观众不能选看相同影片，记厂为选到普通观众评分与专业观众评

分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望E（Y）与（i）中

“（X）的大小关系,，（结论不要求证明）

19.已知椭圆•/十记一＞，的离心率为三，点/（一2，°）在椭圆£上.

3/17

（1）求椭圆£的方程；

（2）若过/的直线1（斜率不为0）与椭圆£的另一个交点为B,线段中点为M,

射线。加交椭圆£于点N,交直线》=-2于点0.求证：UM=|（W||OQ|.

/（x）=-

20.已知函数e\

（1）求函数/（X）的单调区间；

（2）曲线>=/G）在点（'/（'））（"°）处的切线为1,记/与y轴交点的纵坐标为g"

求g（’）的最大值；

（3）若/（x）=°有两个根再，3,写出a的范围并证明再X2<1.

21.已知数列/吗，出，…,即（〃是大于3的整数）为有穷数列，定义.=（x，％z）为

x-ak+y-ak+x+z-ak+2，左=1,2,3,•••N—2

bk=<x-ak+y-ak+i+z-ax,k=1

“卷积核”数列氏4也，…心满足：[x-ak+yat+z-a2,k=N

⑴若数列“：1，4,6,3,2,卷积核人（3,2,1）,求数列氐

⑵设乂=2加T（加>3）,已知税»0且为<出<…<金，左=1,2,…,2机一1,若

x>y>z>0,求证：数列夕中最大的项为max""'",（max{a,b}表示人中的

最大值）.

⑶已知%+&+%+…+即=0且％，生，…,与不全为0,卷积核.=（1"，1）,是否存在数

列4使得数列6的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列4若不

存在，请说明理由.

4/17

参考答案

1.【答案】B

【详解】由"=3一142},可得外={小<一1或x>2},

所以G")C8={X|X>2},

故选B.

2.【答案】B

【详解】分析：首先求得复数z,然后求解其共轨复数即可.

z_2/_2z(l-Q2(/+1)^.

详解：由题意可得：1+，2,

则其共粒复数彳=1-，.

本题选择6选项.

3.【答案】A

=砥.25士(-1”。曰

【详解】通项公式

令10-3后=1,得口=3,

所以X的系数为《"咒(_1)3=_40,

故选A

4.【答案】D

【详解】设公差为"，

1"|_|a$—2。3=1a?=0

14+4d-2(4+2d)=lJ%=-1

得储+d=0,解得］d=l,

所以""="一2,

所以。2025=2023.

故选D.

5.【答案】C

【详解】由题意可得，抛物线的焦点尸(L°),

由直线的斜角为3,可知直线4夕的斜率为百，

...直线的方程为V=6(XT),

设，(项,必),8优,巴),

联立方程l「=4x，可得3/一心+3=0,解得“一3，工2一§,

5/17

\AB\=\AF\+\BF\=x,+l+x,+l=—

由抛物线的定义可知，..................3.

故选C.

6.【答案】D

【详解】由于"（一）在圆（、一2）2+入=1上,圆心为（2，°）,

要使/（L°）关于直线V=h+6的对称点在圆（x_2）2+/=i上，

则直线昨履+6必经过圆心（2,0）,故2左+6=0,结合选项可知：只有口符合，

故选D.

7.【答案】A

【详解】设函数〃x）=l°g2（x+l）+x-2,其定义域为（T+oo）.

对/（无）求导，根据求导公式一而'，（/）'=依可得"x）-（x+l）ln2+l

1

>0/(X)=——-——+1>0

因为x>T,所以（x+l）ln2,则(x+l)ln2

这表明函数“X）在（T+00）上单调递增.

当x>2时，〃x）¥（2）=log2（2+l）+2-2=log23>log21=0,即log2（x+l）+x-2>0,移项

可得log2（x+l）>2-x.

所以由Q2能推出log2（x+l）>2-x；充分性成立.

当log2（x+D>2-x时，即/（x）=log2（x+l）+x-2>01

因为/⑴=log2（l+l）+l-2=log22-l=0,且/（x）在（T+co）上单调递增，所以

/（x）>0时，x>le

这说明当l°g2（x+D>2-x时，不一定有Q2,必要性不成立.

因为充分性成立，必要性不成立，所以“x>2”是“log2（x+l）>2-x”的充分不必要

条件.

故选A.

8.【答案】A

=—x2+cosx=f（x）

【详解】因为“'2八1

所以函数/G）为偶函数，

/'（x）=x-sinx

令g（x）=x-sinx,xe（0,+co）则g'（x）=1-cosx>0,xe（0,+oo）

所以函数g（x）>g（0）=。,

即当xe（0,+oo）时，/（x）>0,

所以函数/（X）在（&+"）上单调递增，

所以八一2）=八2）<"3）</（兀）

故选A.

6/17

9.【答案】B

【详解】如图:

BH=-x

设正四面体的棱长为a,正三角形BCD中，3

AH=一*a)2=gq

正四面体的高

设=则中，

OB2=BH2+HO2=BH2+(AH-AO)2

斤=(旦)2+E_R)2

即3,、3

R^—a,OA=OB=OC=OD=R=显a,

解得4即4

则△403中,

--aJ"T-a2

44]_

7IJ

2xOAxOB2x"ax"q3,

44

故选B.

10.【答案】C

【详解】设。=(%〃)，

由3(")=0得.力2=0,故鼠己=”=1,因此c=(«,i)

c•(?-3)m2+l—m

COS0=

\c-ay/m2+l^(m—iy+l

故

由于Jm?++1>m(m~r)+1

2

m+1一加)m4-2m3+3m2—2m+11

(m2+l)^(m-l)2+lj加4―2加3+3加2-2m+262+1)[3一1)2+1],则

f(加)=(加2+1)](加—I,+1]=(加2+加之—2加+2)

则/r(m)=2m(m2一2加+2)+(加2+1^2m-2)=4m3-6m2+6m-2

1)=12卜一g1+3>0

/\3r2rgYm)=12m2-12m+6=6(2m2-2m+

g(m)=4Am-6m+6m-2n6v7V

7/17

故g（"?）在R上单调递增，由于

故当g（W＜°在上恒成立，g3）＞。在&上恒成立,

故/（加）在【单调递减，在匕'+"）单调递增，

故当2时，J取到极小值也是最小值，因此I

（m2+lj（m-l）2+l]1/（加）-12525

因此

（m2+]_机）

f）—____：_____________

21（m2+lT（m-l）2+ll

故由于加+1-机＞n0恒成立，故1小」4

故选C.

尸土与

11.【答案】.3

--y2=1r-

【详解】双曲线3的焦点在x轴上，a='3,b=l,

,V3

y=±——x

所以渐近线方程为3.

_24

12.【答案】"25/0.96

7克

ac..6zsinCX77后

____—_____sinA—______=___——=____

【详解】由正弦定理可得sinNsinC,故c510

cos271=1-2sin2^4=1-2x[血=--

出=旦C（1）^=—C（1）^5=^1

已知0。4,即°24°,两边同时除以°。可得2-4.

_2±._22=22=f—V45730=42

因为4=22=（2）,所以（2）（2）.

t33

------=-/=-x5730=8595

根据指数的性质，可得57302,解得2

8/17

14.【答案】1(答案不唯一)，(1，+8)

【详解】因为则OVx<a时，/(x)=/-。，“X)在［0,a)上单调递增，

此时

2

时，/(x)=V？-a；/(x)在［",+<»)上单调递增，此时/(x)20,

故要使得，="x)为单调函数即单调递增函数，则需满足a2-a<Q,:.Q<a<\

结合。>0,则o<a4i,

故a的一个取值可为1；

2

04尤<。时，/(x)=^-«；令g(x)=/(x)-x+a=0,

贝l］/_a=x_a,解得x=0或x=l；

xNa时，f(x)=G-a。,令g(x)=/(x)_x+a=0,

则Jx2_q_=x_q,解得x=q,

当0<aWl时，gOO=°在04尤<。时有一解x=0,在xN。时，有一解x=a,不符合

题意；

当°>1时，8々)：。在0Vx<a时有两解x=0和x=l,在xWa时，有一解x=q,符

合题意；故实数a的取值范围是6+").

15.【答案】①③④

【详解】将(fr)代入(fy+(-y)2=1+1(f)(-力，整理得/+/=1+回］,所以曲

线C关于原点对称，

同理将(-x/)，(x，-y)代入方程整理后其方程不变，故曲线关于x，y轴对称，故①正

确；

2仅『一*|-1=0

x=—y+—=1+—lUyl

取2,则.42,故

44(增根已舍去)，因此②错误,

x2+y2=l+M<l+--

因为.2，当且仅当'=了时，等号成立，所以x2+>42

则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为V^+v2=V2.故③正确；

令xe(0」)，y>0可得/-盯+f_1=0,

令/&)=■/-9+》2-1,

因为A=4-3/>0,

所以函数有两个零点，

又因为/("VO,/⑴="2一“<°,

所以两个零点一个小于0,一个大于1,

9/17

即曲线c上当xe（°』）时y>l,

同理当y«。』）时工>1,

即第一象限部分图象应在了=1,x=l与坐标轴围成的正方形外部，

所以第一象限内的面积应大于1;

由图象的对称性可得，曲线0所围成的区域的面积应大于4,故④正确.

16.【答案】⑴亮

1兀

6）=\冲=——

（2）选择条件①或③，3.

,1

【详解】⑴由题意可知/（°）=2sinO=T,即仙夕一5,

71

(D------

因则6

2兀71715兀

（2）条件①：/（X）在［3'61上单调递减，在了6」上单调递增，且

则/G）在亮处取最小值，在6处取最大值，

7_兀_5兀\兀〕—571兀

则5=77一「%尸，飞…二—+2伍左GZ

2

(P-......F2左兀,kwZ

贝I］。=1,3

71

(P=----

因贝I3,

/伍］=2也

条件②：因“止［-2,2］,

则不可能成立，故无解析式;

/凹=2型

条件③：因［6）,则"x）在6处取最大值,

兀715兀

又“一刀为函数/（X）图象的一条对称轴，且在76」上单调递增,

则/（X）在一不处取最小值,

T_715兀一5兀兀…，r

则兀—co+(P=—卜2kli,ksZ

5CD6,62

兀

(P———+左£Z

则0=1,

71

H<-(D------

因2,则3,

10/17

/(x)=2sin

f(x)=2sin

综上可知，若选择条件①或③，则I〃；

若选择条件②，则不存在解析式.

17.【答案】（1）证明见解析

_V5

（2）5

【详解】（1）由于C。//平面瓦鸣，CDu平面/5CD,平面48cAe平面8A位

椒CDIIBM,又DMUBC,故四边形的功）。为平行四边形，

BC=LADDM=-AD

故8c=。N，由于2,故2，故〃为线段中点，

（2）过片作百N'/O于N,过N作NOL8河于0,连接°，

由于平面与平面N3CD垂直，且交线为AD,々Nu平面/。片片,

故与平面/BCD,

平面/BCD,故

又NOIBM,F、NcON=N,F、N,ONu平面F[NO,

故班，平面片N°

片Ou平面ENO,故瓦W,片O,

故/月CW的补角即为二面角片-8/-。的平面角，

百

由于月/=加/=/片,故N为NM的中点，则NFL^AM一班，

ON=--BM=—

由于“西为等边三角形，N为的中点，故222,

cosNFQN=

22

ylON+F{N

在直角△百°N中,

_V|

故二面角E-BM-O的余弦值为一丁

1“案】⑴尸⑷1

(2)(i)分布列见解析；E(X)~3(ii)E(Y)=E(X)

11/17

【详解】(1)已知事件A为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85

分”，题中给出有4部影片满足该条件，而影片总数为6部.

尸(/)=—4=—2

根据古典概型概率公式，所以63.

(2)(i)依题意，X的可能取值为0,1,2,3,4.因为每次抽取事件相互独立,

_2

且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为'一3，共抽取

P=-X〜5(4,—)

4次，所以X服从参数〃=44,3的二项分布，即3、

根据二项分布概率公式P(X=k)=cy(l-p)'i可得：

7111

P(X=0)=C«(-)°(-)4=(-)4=-

尸(x=l)=呜4)3=4x沁3*P(X=2)=CK|)2(1)2=6x1xl=|i=A

3

P(X=3)=C^(-)(-)=4xAxl=2r

43327381,

p(x=4)=c：(|r(|)o=(|r=^

JJJolf

列出X的分布列：

X01234

1883216

P

8181278181

08169664

H------H----------1------

8181278181

_8+48+96+64_216_8

―81--87-3.

(五)确定y服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都

低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以丫服从超几何分

布，其中N=6,M=4,〃=4.

T^/y\颜y)=〃=4x—=—

求E(y)：根据超几何分布的数学期望公式N,可得63.

88

比较大小：因为£")=],所以SR).

£:—+/=1

19.【答案】(1)4-

(2)证明见解析

a2-b2=c2

角军得Q=2,C=6,6=1

【详解】(1)根据题意可知

12/17

丫2

E：一+丁=1

故椭圆方程为4

F.^_,2=]

(2)设直线/：7=MX+2>GW°),联立/：y=«G+2)与1"的方程可得

(4左2+1卜2+16左2%+16左2_4=0

—16左2x,+x,—8k2

设以不，乂)，则/+%=祈7=%=k=E,

故加(4后2+1J止+1,故⑷2+1正+U,

2k

2

k=软+1=1

戢--8甘一4k

4A:2+1,

1

y=-----x

故直线OM的方程为-4k,

22

1x(1Y_216k

联立4k与椭圆方程可得4I4左J，解得48+1,

在直线'=一“、中，令》=-2,贝1］先=无，故.一2’瓦1

\OM\\OQ\=OM-OQ=-2x+-'^―16〃+1

故।口।4斤2+12k4k2+14/+1

20.【答案】(1)增区间(一001)，减区间(1'+°°)

4

(2)e2

ae|0,—|

(3)IeA证明见详解

e-xe_l-x

r(x)=

e'Y

【详解】(1)由

故当xe(-8,1)时，/。)>0,当xe(l,+8)时，/(x)<0

所以/(x)的单调增区间为(-00』)，减区间为(L+8).

13/17

\-tI

（2）曲线在处的切线斜率'一了，又"“一/,

y--7=-7-（^-0

所以其切线方程为ee,

2te'-t2-e't(2-t)

g(»出+」g'(0=

ez

令X=0,得e'e'e',贝I4

当,€（0,2）时，g'0>°,g（f）单调递增,当=（2,+00）时,g'C）<。，g（t）单调递减,

4

所以g("g(2)=/

/(0=1

（3）由（1）,/（X）的单调增区间为（一°°/），减区间为（1/°°）

且

"0）=0

当X3-00时，/（口——00,当Xf+00时，/（x）-o,

即x-1）时，"DO自上）时，"止］。,：［

若"x）=。有两个根项,马,则且0<再<1,%>1,

1<X2<1

要证再迎<1,即证2%，又/a）在a+8）上单调递减,

1

/（X2）>/

x,又/（、2）=/（再）,

即证1

在（0,1）上恒成立,

即证

1

牛1>lo

>1<^>———>1

01

1

>0-T

书画

又,即证

21nxiH----/〉0x

两边取对数，原命题即证再在玉上恒成立,

尸(x)=21nx+--x

令3xXG(0,1)

+2x—1-(x-1)

<0

X2X2

故尸（x）在（°」）上单调递减,所以尸（x）>尸⑴=0,

2In再H----玉>0z>.

所以占在上恒成立，故国尤2<1得证.

21.【答案】⑴"17,27,26,14,12

（2）证明见解析

（3）存在，理由解析

14/17

［详解】⑴4=(I46)-(3,2.1)=17A=(4,6,3}(3,2,1)=27,b3=(6,3,2)-(3,2,1)=26

〃=(3,2,1)•(3,2,1)=14,4=(2,1,4>(3,2,1)=12

所以数列3:17,27,26,14,12

01=21<a=a

(2)方法一：依题意有0™-i2m-i<•<,<om_2=am+2<am^-am+l<am,

b

m-x=XJ+yam+zam+i,bm=xam+yam+i+zam+2,

当后e{l,2,3,…，加一2}时，

ak<am-i

1<^ak=xak+yak+］+zak+2<xam_}+yam+i+zam,

怎+i4am-\=

a

由〔怎+24m

又无>y>z>0,贝|j&<xam_x+yam+i+zam<xj+yam+zam+i=或7,

即当左e{1,2,3,一、》1-2}时，bk<bm_x；

当斤e{m+l,%+2,…，2加7}时，记a2m=a},a2m+l=a2；

a

k<am

aa

"M<m+\=%=x&+yak+l+zak+2<xam+yam+{+zam+2=bm,

由［4+2<am+2

即当后e{m+l,机+2,…,2加11}时，“<耙，

综上可得：数列6中最大的项为max{酊唠|}.

方法二：由已知可得%<%<...<am>am+i>am+2>...>alm_t_

当24左Vw-2时，a-<a*<at+l<ak+2,

因为%-d-i=x.(%-a1)+y(aM-ak)+z-(ak+2-ak+i)>0)

所以4<为<­•-<bm_2

当加+1〈挺2机-3时，ak_}>ak>aM>ak+2

因为4-4-=x-(ak-a^)+y(ak+i-al!)+z-(ak+2-ak+l)<Q；

所以超>超+1>”>b2m,3

因为打m-2~X.。2m_2+',a2m-i+2，/=X1。2m-2+》,“2加-1+Z'a2m-\

b

2m-i-瓦“3=x-a2m_2+y-aM+z-ax-(%.a2m_3+y-a2m_2+z.a2111T)

=x-(a2m-2-a2m-3)+y(a2m-i-。

所以a"-2(b2M-3

因为=x,/叫t+>.%+^-a2=x-a2m_i+ya2m_x+z-a2m_2

b

所以2m-2-%T=(X-Z)Q*2-«2m-l)>。

所以仇”|<b2m-2

所以当上2加+1时，bm>bm+1>...>b2ln_3>b2m_2>b2m_^

所以数列B中最大的项为公或口或加2.

因为勾二。22

15/17

bbxaaz

所以m-n,-2=-.+ym+i+-am+2-x-a^2-yam_l-z-am

=x-am+z-am+1-x-am_2-z-am

因为ak=a2m-k0

=XZaZa=XZa

所以与—bm—2(~)m一(1-)m+2(~)(m—。机+2)＞。

所以与〉心.

(与与口无法比较大小，假设w=(3,2,l),当41,2,3,4,3,2,1时数列6的最大值为

仇=%

当41,2,3,5,3,2,1时，数列8的最大值为“；当上0,1,4,6,4,1,0时，数列6的最大值为与

)

综上，数列8中最大的项为粼或与一.

卜，〃为奇数

(3)方法一：当N为偶数时，取数列A的通项”1一1,〃为偶数，

b_Jl+2x(_l)+l=0,〃为奇数

此时对V-e{l,2,3,…,N},有"=1T+2X1+(-1)=0,〃为偶数，

故当N为偶数时，存在数列A,使得数列8的各项为0,

当N为奇数时，设N=2加T,机23且机eN,

下面用反证法证明不存在数列A,使得