第3章 空间向量及其应用 单元综合提优专练（解析版）2021-2022学年高二数学下学期（沪教版选择性必修一）

第3章空间向量及其应用单元综合提优专练(解析版)

错误率：易错题号：

一、单选题

1.(2021・上海市松江二中高二期中)已知向量｛a,b,c｝是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向

量是()

A.a+b，a，a-bB.a+b>b，a-b

C.a+b>c■>a-bD.a+b>2a—b>a-b

【标准答案】C

空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、3、O三个选项中的

向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面

【详解详析】

解：(a+4+(°-8)=2",a,a+b,a-B共面，不能构成基底，排除A；

[a+b)-(a-b)=2b,b,a+b，a-b共面，不能构成基底，排除8；

2a-b=—^a-b^+—^a+b^,a+b>a-b,—B共面，不能构成基底，排除O;

若c、a+b，a-b共面，则c=/l(a+b)+%(a-6)=(4+m)a+(4-，〃M,贝I]°、b、c为共面向量，止匕与

｛o,b,c｝为空间的一组基底矛盾，故八a+b，a-b可构成空间向量的一组基底.

故选：C.

【名师指路】

本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的

关键，属于中档题.

2.(2019・上海市延安中学高二期中)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，A3是一条侧棱，

月(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合｛>卜=A2•Ag,i=1、2、3、…、8｝中的元素个数

)

A.1B.2C.4D.8

【标准答案】A

本题首先可根据图像得出AQ=AB+Be,然后将转化为A^+川.股，最后根据棱长为1以及

48八B片即可得出结果.

【详解详析】

由图像可知，AP^AB+BP,,

2

贝ljAB-AP^AB^AB+BP\=AB+ABBPi,

因为棱长为1,AB八BP',

所以ABAP,=AB+Bq=1+0=1，

故集合\y\y=AB-APi,i=1、2、3、…、8｝中的元素个数为1,

故选：A.

【名师指路】

本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长

的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是

中档题.

3.（2022・上海•高三月考）长方体A3Cr）-AB|G。，AB=A4,=10,AD=25,尸在左侧面ADDA上，

已知尸到AR、AA的距离均为5,则过点尸且与AC垂直的长方体截面的形状为（)

A.六边形B.五边形

C.四边形D.三角形

【标准答案】B

以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与AA、AD和48的交点，再过

Q作QFIIMN交BG于F,过/作ER//QM,交于E,即可判断截面形状.

【详解详析】

以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸（20,0,5）,A（25,0,10）,C（0,10,0）,.-.^=（-25,10,-10）,

设截面与40交于。（％0,10）,则P。=&-20,0,5）,

.-，AC-Pe=-25（xe-20）-50=0,解得兀=18,即0（18,0,1。），

设截面与4。交于”（如,。,。），贝U=（如-20,0-5）,

.•，4C-PM=-25（XM-20）+50=0,解得%=22,即“（22,0,0）,

设截面与AB交于N（25,6,0）,则=（3,yw,0）,

.14?•时=-25x3+10〉'=。，解得W=7$,即N（25,7.5,0）,

过。作QF//MN,交4G于F，设尸（号,10,10）,则。户=（4-18,10,0）,

则存在4使得。尸=2MN,gp（^F-18,10,0）=/l（3,7.5,0）,解得号=22,故/在线段4G上，

过F作M//Q0,交BBi于E,设E（25,10,ZE）,则诙=（—3,0,10—z",

则存在〃使得石片=〃°闻，即（—3,0,10—ZE）=M（4,0,—10）,解得ZE=2.5,故E在线段5⑸上，

综上，可得过点尸且与4C垂直的长方体截面为五边形QMNEF.

【名师指路】

本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与42、AD和的交点，即可利用平

面的性质找出其它点的位置.

4.（2021・上海•高二期中）在棱长为1的正方体中，分别为瓦14£的中点，点尸在

正方体的表面上运动，且满足MPLCW,则下列说法正确的是（

B.线段的最大值为立

A.点P可以是棱B片的中点

2

C.点尸的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2+君

【标准答案】D

在正方体ABCD-A与G2中，以点。为坐标原点，分别以ZM、DC,方向为x轴、y轴、2轴正方

向，建立空间直角坐标系，根据确定点P的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.

【详解详析】

在正方体ABCD-A旦GR中，以点。为坐标原点，分别以D4、DC、方向为x轴、、z轴正方

向，建立空间直角坐标系,

因为该正方体的棱长为1,M,N分别为3〃,4c的中点,

则0(0,0,0),呜另,咽,1,：c(o,i,o),

所以CN=1,O,1；设p(x,y,z),则=

因为MP_L&V,

所以《+z—!=0,2x+4z—3=0,当兀=1时，z=-；当x=0时，z=g；

212J244

取小臼，小切，G1，T,《。，。梳)，

连接所，FG,GH,HE,则所=GH=(0,1,0),EH=FG=(-1,0,

所以四边形EFG”为矩形,

则所-CN=0，EH-CN=0,即砂_LOV,EHLCN,

又EFEH=E,且EFu平面£FG",EHu平面EFGH,

所以CN_L平面EFGH,

又EM==所以M为EG中点，则Me平面£FG〃,

所以，为使必有点Pe平面EFGH,又点尸在正方体的表面上运动,

所以点尸的轨迹为四边形EFGH,

因此点「不可能是棱B用的中点，即A错;

又|叶网=1,网=|而卜冬所以|叫平用,则点尸的轨迹不是正方形;

且矩形£FGH的周长为2+2x或=2+君，故C错，D正确;

2

因为点/为EG中点，则点M为矩形EFG”的对角线交点，所以点/到点E和点G的距离相等，且最

大，所以线段MP的最大值为由，故B错.

2

故选：D.

【名师指路】

关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由求出

动点轨迹图形，即可求解.

5.（2021•上海・曹杨二中高三期中）已知正方体ABCD-ABCiR的棱长为2,E、F分别是棱AA1、4。

的中点，点尸为底面ABCO内（包括边界）的一动点，若直线2P与平面3所无公共点，则点尸的轨迹

A.V2+1B.75C.血+等D."

【标准答案】B

【思路指引】

以点。为坐标原点，DA,DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点

P（a/,0）,计算出平面诋的一个法向量加的坐标，由已知条件得出=可得出。、匕所满足的

等式，求出点尸的轨迹与线段AD、2c的交点坐标，即可求得结果.

【详解详析】

以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为无、丁、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则5(220)、后(2,0,1)、尸(1,0,2)、。(0,0,2),设点尸(a也0),

BE=(0,-2,l),EF=(-1,0,1),设平面5石F的法向量为机=(x,y,z),

由＜，，取z=2,可得根=(2,1,2),

m-EF=-x+z=0

DF=(a,b,—2),由题意可知，RP〃平面BEF,则2P•%=2a+b—4=0,

令6=0,可得a=2；令b=2,可得a=l.

所以，点P的轨迹交线段A£＞于点A(2,0,0),交线段BC的中点”(1,2,0),

所以，点P的轨迹长度为|=J(2-+(0-2『=6.

故选：B.

6.(2022・上海•高三月考)如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD,则下

列叙述正确的是()

①平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；

②异面直线BC与AD所成的角为60。；

③四面体ABCO有外接球；

④直线DC与平面ABC所成的角为30°.

A.②④B.③C.③④D.①②③④

【标准答案】C

【思路指引】

①由题设四面体相关侧面的关系即可判断正误；②过。、C作BC、的平行线且交于尸，连接A尸，

则NAZ"就是异面直线8C与AD的夹角，设8。=1求相关边的长度，再应用余弦定理求8$//10下；③

由四面体的性质即可知正误；④由面面垂直确定。C与平面ABC所成的角是NDCS,即知线面角的大小.

【详解详析】

①平面BCD的法向量与平面ABC的法向量垂直，而与平面ACD的法向量不垂直，故错误；

②过。作BC的平行线，过C作5。的平行线，两平行线交于点歹，联结AF,则NADF就是异面直线

3c与AD的夹角，过A作AE_L8C,联结即、EF,

若BD=1,则BO=2,BC=26,A8=AC=",

由面BDCc面ABC=3C,面面ABC,BDu面BDC,

8£)_1面43。，ABi面ABC,则8。_LA8,同理可证FC_LAC,

/.AD=AF=y/10,DF=26,易得cosZADF=—,故错误；

③由于所有的四面体都有外接球，故正确；

④因为平面ABC,所以DC与平面ABC所成的角是“CB=30。，正确.

故选：C

二、填空题

7.(2018・上海•复旦附中高二期末)点4L2,1),7(3,3,2),C(A+1,4,3),若AB,AC的夹角为锐

角，则2的取值范围为.

【标准答案】(-2,4)u(4,+。)

【思路指引】

根据AB,AC的夹角为锐角，可得A8.AC>0，且不能同向共线•解出即可得出.

【详解详析】

AB=(2,1,1),AC=(2,2,2),

42,4。的夹角为锐角，.14®/^：=2彳+2+2>0，且不能同向共线.

解得2>-2,2^4.则4的取值范围为(-2,4)u(4,+8).

故答案为(-2,4)。(4,+8).

【名师指路】

本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.(2021.上海交大附中闵行分校高二月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E为BC的

中点，点P在线段DiE上，点P到直线CCi的距离的最小值为.

A

【标准答案】半

【详解详析】

点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影

为P',显然点P到直线CCi的距离的最小值为PC的长度的最小值，当PC_LDE时，PC的长度最小，

。乐

止匕时P，C=E2x1=T.

9.(2019•上海市青浦区第一中学高二期中)已知直线/的一个方向向量1=(4,3,1),平面。的一个法向量

n=(m,3,-5),且///a,贝j］机=

【标准答案】-1

【思路指引】

由题意可得，根据线面平行可得d_L〃，则d.〃=0，进而得至I]4祖+9-5=0,解得即可.

【详解详析】

解:由题意可得d_Lw，贝！j4ni+9-5=0

解得=-1

【名师指路】

本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平

面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.

10.（2019•上海•曹杨二中高二期末）已知非零向量〃、b及平面向量〃是平面a的一个法向量，则

n-b=O是“向量6所在直线在平面a内”的条件.

【标准答案】必要不充分

【思路指引】

根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解详析】

解：若向量九是平面a的法向量，则〃」a,

若〃.b=0,则方//a,则向量6所在直线平行于平面a或在平面a内，即充分性不成立，

若向量b所在直线平行于平面。或在平面a内，则6〃a,

向量■是平面a的法向量，

几_La，

则及_Lb,即神=0,即必要性成立,

则〃"=0是向量0所在直线平行于平面a或在平面a内的必要条件，

故答案为：必要不充分

【名师指路】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键.

11.（2020・上海・复旦附中青浦分校高三月考）在斜三棱柱A4G-4BC中，8C的中点为44=。，

AG=b,AA=c，则4M可用a、b、c表示为.

-1--

【标准答案】c+-（b-a）

在斜三棱柱A4G-ABC中,利用三角形法则转化4M为基底的线性运算求解.

【详解详析】

在中，BiM=BlB+BM，又BC的中点为=ggC

A#G-A3C是斜三棱柱，B©=BC,B{B=\A

在中耳

B1M=AA+1B1C1,M181G4G=AG-A

\4M=AA+g(AG-43])=c+g(b_a)

故答案为：c+-(b-a)

【名师指路】

本题考查空间向量的线性运算.

用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的

始点指向末尾向量的终点的向量.

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

12.(2020・上海•模拟预测)在正方体ABCD-4耳。田中，点M和N分别是矩形A8CD和的中

心，若点尸满足。尸="DA+aDM+kDV,其中徵、〃、keR,且〃2+〃+左=1,则点尸可以是正方体表

面上的点.

【标准答案】B,(或C或，AC耳边上的任意一点)

【思路指引】

因为点尸满足+左DV,其中m、“、k&R,Rm+n+k=l,所以点A,三点共面，

只需要找到平面与正方体表面的交线即可.

【详解详析】

解：因为点P满足QP=++左LW,其中加、n、kwR,S.m+n+k=l,

所以点AM,N三点共面，

因为点M和N分别是矩形ABCD和BB©C的中心，

所以CN=B]N,AM=MC,

连接MV,44,则MNA耳,所以，AC与即为经过AM,N三点的平面与正方体的截面，

故点尸可以是正方体表面上的点耳(或C或，AC左边上的任意一点)

故答案为：片(或C或、AC耳边上的任意一点)

【名师指路】

此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档

13.（2020・上海•高三月考）正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3,则这个三棱锥的侧面和底面所

成二面角的大小为.

【标准答案】600

【思路指引】

由题意作出正三棱锥S-ABC,设。为底面ASC的中心，过S作交A3于点E,连接EO,可得

NSEO为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件导随==，得出第=2,从而得出答案.

sABC3\OE\

【详解详析】

如图在正三棱锥S-45C中，设0为底面,ASC的中心，连接SO,则50,平面ABC.

过S作SELAB交AB于点E,连接EO

则SO_L,又SE_L,且SEcSO=S,所以AB_L平面SEO

则OE，AB,所以Z.SEO为侧面和底面所成二面角的平面角.

3

在正三角形MC中，。为中心，s=sOBC+S0AB+S0AC=3SOAB=-|AB||OE|

由条件有产---P----可-得阁2

||AB|-|OE|

在直角三角形SOE中，cosZSEO=^|i=1

所以NSEO=60。

故答案为：60°

【名师指路】

本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.

14.（2019•上海交大附中高二期中）已知A,B,C,尸为半径为R的球面上的四点，其中A民AC,8c间的球

ITTT1T

面距离分别为一A,~R,~R,^OP=xOA+yOB+zOC,其中。为球心，则x+y+z的最大值是

322

【标准答案】4

3

【思路指引】

OP

根据球面距离可求得AABC三边长，利用正弦定理可求得AABC所在小圆的半径；。「'=」一，根据

x+y+z

R,,

平面向量基本定理可知P,AB,C四点共面，从而将所求问题变为的的最大值；根据|。耳最小值为球心

到AABC所在平面的距离，可求得|。尸［最小值，代入可求得所求的最大值.

【详解详析】

1TTT71

QAB间的球面距离为§尺:.ZAOB=-:.AB=2Rsin-=R

36

同理可得：BC=AC=42R

松+叱―AB2

cosC=sinC=

2ACBC44

・・・AABC所在小圆的半径：r工旦=^R

2sinC7

OPxOA+yOB+zOC

设OP=一^一P',A氏C四点共面

x+y+zx+y+zx+y+zx+y+z

OPR

x+y+z=---1।

OP'1*1

若x+y+z取最大值，则需PH取最小值

I。尸［最小值为球心到AABC所在平面的距离d=一产=^.R

.・G+y+z)=q=且

v7max>/213

-----R

7

本题正确结果：孚

【名师指路】

本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是

能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离

的比值的最大值的求解的问题.

15.（2018・上海市张堰中学高二月考）如图，已知正方体A8CD-ABGR的棱长为4,点E、尸分别是线段

AB、GA上的动点，点尸是上底面4片GR内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面的

距离,则当点P运动时,PE的最小值是.

【标准答案】26

【思路指引】

通过题意可知当E,F分别是AB,G2上的中点，尸为正方形A与GR中心时，PE取最小值，利用两点间

距离计算即可求出.

【详解详析】

如图建立空间直角坐标系：

设A£=a,DF=b,Ogfc4,噫必4,P(尤,y,4),01!k4,藤64,

则下(0,44),E(4,a,0),PF=(-x*一y,0),

点P到F的距离等于点P到平面ABB^的距离，

.加+—了=(4_幻2,整理得尸点轨迹方程：x=2-他券，

所以P到平面ABB.A,的距离PP=d,1=4-尤=2+S3,

8

所以4nin=2,此时P与尸共线垂直DG,

又|阳=yld2+P'E2<74+16=2小

二当EF分别是AB,GR上的中点，尸为正方形431GA中心时，尸石取最小值，

此时尸(2,2,4),E(4,2,0),"0,2,4).

故答案为：2后

【名师指路】

本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难题.

16.(2022・上海•高三月考)在空间直角坐标系中，点尸(X,y,z)满足：x2+y2+z2=16,平面a过点

M(l,2,3),且平面a的一个法向量”=(1,1,1),则点尸在平面a上所围成的封闭图形的面积等于

【标准答案】4万

【思路指引】

由题意，点尸在球面上，所以点P在平面a上所围成的封闭图形即为平面a截球面所得的截面圆，根据

球的截面性质求出截面圆的半径「即可求解.

【详解详析】

解：由题意，点尸在以(0,0,0)为球心，半径为4的球面上，

所以点尸在平面a上所围成的封闭图形即为平面a截球面所得的截面圆，

因为平面a的方程为lx(x-l)+lx(y-2)+lx(z-3)=0,即无+y+z-6=0,

所以球心(0,0,0)到平面a的距离为d=42T>=2—，

所以截面圆的半径r=,4?-仅⑹，=2,截面圆的面积为S==4万，

所以点尸在平面a上所围成的封闭图形的面积等于4万.

故答案为：4万.

三、解答题

17.（2021・上海市复旦中学高三月考）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，上4,平面A3CD,

AP=AB,尸是PB的中点，E是BC上的动点.

（1）证明：PE1.AF；

（2）若BC=2BE=2gB,求直线R4与平面PDE所成角的大小.

【标准答案】（1）证明见解析；（2）60°.

【思路指引】

（1）以A为原点建立空间直角坐标系，证明=0即可；

（2）求出平面尸DE的法向量，根据$111。=卜0$<〃,/12>|即可求出.

【详解详析】

解：（1）建立如图所示空间直角坐标系.

设AP=AB—2,BE=a,

则4(0,0,0),5(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),矶。,2,0),

于是，PE=(a,2,—2),A歹=(0,1,1),

则PE-AF=O，所以AFJ_PE.

⑵若BC=2BE=2有AB,则可460,0),尸。=卜&0,-2),PE=(2瓜2,-2),

设平面尸/汨的法向量为〃=（x,y,z）,

n-PD=014A-2z=0

令x=1,贝！Jz=2A/3,y=y(3,

n-PE=。'得：MX+2,-2Z=0

于是〃=（1,后2月,而#=（0,0,2）.

II\n-AP\

设AP与平面PDE所成角为d,所以sine=kos<〃,A尸—=—,

11忖网2

所以AP与平面PDE所成角。为60。.

18.（2021・上海•高二月考）如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面正方形的对角线AC与交于点。,

CM

且AB=2,OP=3.点M在线段PC上，设专=彳.

（1）若4=g，求直线AM与总所成角的余弦值；

（2）若平面ABM与平面E4C所成锐二面角的余弦值为述，求彳的值.

10

【标准答案】（1）叵；（2）2=-.

115

【思路指引】

（1）由题可知AC，5£>,OP,平面ABC。，则以Q4为％轴，。8为丁轴，OP为二轴，建立空间直角坐标

系，当为=：时，写出各点坐标，得出40=-^-,0,-,PB=（0,拒，-3）,再利用空间向量法求空间异面

直线的夹角，即可得出直线A"与PB所成角的余弦值;

（2）设M（a,6,c）,贝Uc看=2孱>,进而得出点"（历0,32）,根据空间向量求法向量的方法，求出平

’2虎-&、

面的法向量力=,根据线面垂直的判定定理可得出。，平面尸，从而得出平面

I323AC

ACP的法向量蔡=方=（0/,0）,最后利用空间向量求二面角的方法，可列出

/\m-n\13J2

cos(inn/=----------——_-.........

'lml-l«ljI『今&:10,从而可求出力的值•

【详解详析】

解：(1)由题可知，正四棱锥尸-ABCD且四边形ABCD是正方形，

所以AC_L5£>,OP_L平面ABC。，

则以。为原点，。4为了轴，02为〉轴，。尸为z轴，建立空间直角坐标系,

则40,0,0),C(-0,0,0),尸(0,0,3),M一孝，°弓，8(。，&,。)，

京=(_述，0,3[病=(0,也,一3),

22

设直线40与尸3所成角为。,

—>—>9

|AM-5|2_V33

贝ljcos0=

\AM\-\PB\

・・・直线AM与总所成角的余弦值为叵.

11

(2)设M(a,6,c),则国即(。+应也)=(&，。，3为,

“+应=&,：.乂(及入一垃,0,34),

/?=0,c=3A

AB=(-0,y/2,0),AM=(&-2忘,0,32),AP=(-插,0,3),AC=(-260,0),

设平面ABM的法向量力=(x,y,z),

n-AB=-后x+\[ly=02A/2—-\/2A

取尤=1,得〃=['，32J

n-AM=(>/22-2A/2)X+32Z=0

由于3DJ.AC,OPL^ABCD,

可知3D_LOP,且OPcAC=O,则B£>_L平面ACP,

则平面ACP的法向量蓝=&=(0,1,0)，

・・・平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为述,

10

/\m-n\1372

cos(m,n)\=-------=一,—=---

・•・|mNn|(2艮防10,

32

7

2

解得：A=1.

19.(2021・上海•高二月考)如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形AB£F所在的平面互相垂直,

△4BE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°.

(1)求证：£F_L平面3CE；

(2)设线段CD、AE的中点分别为尸、M,求证：〃平面BCE；

(3)求二面角/一的余弦值.

【标准答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)驾.

【思路指引】

(1)根据题意，由面面垂直的性质得出3C，平面进而得出由等腰直角三角形的性质

得出FE_LEB,最后根据线面垂直的判定定理，即可证明跖_L平面BCE；

(2)由题意可知/场，AS,通过线面垂直的判定定理可证出平面A3CD,从而以AD,AB,AE方向

分别为X,y,z轴正方向，建立空间坐标系，令正方形A5CD的边长为2,求出各点的坐标，得出

前=(-以及平面3CE的一个法向量话=(o,_i「i),利用空间向量的数量积得出句>£>=()，通

过空间向量法即可证明PM//平面BCE；

(3)设平面EBD的一个法向量〃=(x,y,z),通过空间向量求法向量的方法求得〃=(1,1,3),危=(0,0,2)

为平面A5CD的一个法向量，最后根据空间向量求二面角的方法，即可求出二面角尸-3D-A的余弦值.

【详解详析】

解：（1）..,平面ABEF_L平面ABCD,且平面）平面ABCD=AB,

由于正方形A3CD,所以3CJ_AB,

3C_L平面ABEF,

又由£Fu平面ABEF,

BC上EF,

又：AABE是等腰直角三角形，AB=AE,则N3£A=45。，

在，AEF中，FA=FE,ZAEF=45°,

:./FEB=90°,即FE_L£B,

又,：EBBC=B,且EB,3Cu平面BCE,

，EF_L平面BCE；

（2）因为△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,所以AE_LAB,

又平面ABEF_1_平面ABCD,且平面ABEF平面ABCD=AB,

所以AE_L平面A5CD,因此AE_LA£>,即AD,AB,AE两两垂直，

以A为坐标原点，4£）,4民45方向分别为工，y,2轴正方向，建立空间坐标系,

令正方形A5CD的边长为2,贝人

A（O,O,O）,B（O,2,O）,C（2,2,0）,D（2,0,0）,E（0,0,2）,F（0,-l,l）,P（2,l,0）,M（0,0,l）,

由（1）得£F_L平面BCE,则d=（o,_i,_i）为平面BCE1的一个法向量，

又•,痴=（-2,-1,1），

则战.Ek=0x（-2）+（-l）x（-l）+（-l）xl=0，

—>—>

PM1EF'

：.PM//平面BCE；

（3）设平面FBD的一个法向量〃=（x,y,z）,

法=（2,-2,0）,康=（0,-3,1），

n-BD=0f2x—2y=0

则，即a_n'

令x=l,则平面FBI）法向量乃=（LL3）,

又：钻平面ABCD，则矗=（0,0,2）为平面ABCD的一个法向量，

令二面角尸-BD-A的平面角为0,

泰〃63而

则cos6=/二百二丁

所以二面角尸-BD-A的余弦值为平.

20.(2021•上海市奉贤区奉城高级中学高二月考)如图，四边形A8CD是边长为。的正方形，出，平面

77

ABCD,尸。与平面ABC。所成角的大小为:

(1)求证：平面AP8_L平面CPB；

(2)求直线B4与平面P8C所成角的大小.

JT

【标准答案】(1)证明见详解(2)-

4

【思路指引】

(1)由PA_L3C,AB_L3C证明BC_L平面APB,结合3Cu平面CPB,即得证；

(2)建立空间直角坐标系，计算平面P8C的法向量，利用线面角的向量公式，即得解

【详解详析】

(1)由题意，B4_L平面ABC。，BCu平面ABC。

s.PALBC

又四边形ABC。是正方形，.1AB，3c

又PAAB=A,PA,ABu平面APB

BC_L平面APB,BCu平面CPB

；•平面”B_L平面CPB

JT

(2)由题意，出，平面ABC。，P。与平面ABC。所成角的大小为；

4

7T

・・・ZPDA=—,・•.PA=AD=a

4

由于B4_L平面A5cZ),AB±AD,如图所示建立空间直角坐标系

则A(O,O,O),P(O,O,a),6(000),C(o,%0)

则PA=(0,0,—a),PB=(0,a,—a),PC=(a,a,—a)

设平面PBC的法向量〃=(%,y,z)

[nPB=0(ay-az=0

In・PC=0[cue+ay—az=Q

n=(0,1,1)

不妨设直线PA与平面PBC所成角的大小为a

...PAna也小乃、

..sinct=-------=-]=~=—,a£(0,1]

\PA\\n\41a2’2

71

CC——

4

TT

故直线巩与平面由所成角的大小为「

21.（2021.上海.曹杨二中高三期中）如图，在四棱锥P-ABC。中，平面ABCQ,底面ABCD是边

长为2正方形.

(1)求证：8。_L平面PAC；

(2)若求直线上4与平面PBD所成角的正弦值.

【标准答案】(1)证明见详解

⑵近

3

【思路指引】

(1)先证明AC_L5£),PA^BD,由线线垂直推线面垂直，即得证；

(2)建立空间直角坐标系，求解平面网见的法向量，利用线面角的向量公式，即得解

(1)

四边形ABCD是正方形，

:.AC±BD,

又\PA_L平面A5CD,BOu平面ABCD

:.PA±BD,且PAAC=A,PA,ACu平面PAC

.•.3D_L平面PAC

⑵

由题意，P4_L平面ABCD,ABLAD

以A为坐标原点，所在直线为My"轴建立如图所示的空间直角坐标系

故A(0,0,0),尸(0,0,2),8(2,0,0),0(0,2,0)

p

:.PA=(0,0,-2),PB=(2,0,-2),PD=(0,2,-2)

设平面PBD的法向量为〃=(%,y,z)

n-PB=2x-2z=0.

,令%=1故y=1,Z=1

n•PD=2y-2z=0

/.n=(1,1,1)

不妨设直线PA与平面尸皿所成角为。

mi.In...PAn25/3

则sina=|cos<PA,n>|=|-----1=--尸=——

\PA\\n\2x63

故直线上4与平面尸SD所成角的正弦值为走

3

22.(2021.上海市行知中学高二期中)如图所示，在直三棱柱ABC-A/SG中，侧面AA/CG为长方形,

AAi=l,AB=BC=2,ZABC=l2.0o,AM=CM.

(1)求证：平面AAGCJ.平面CMB；

(2)求直线AiB和平面3MB所成角的正弦值.

【标准答案】(1)证明见解析

(2)日

【思路指引】

(1)结合面面垂直的判定定理证得平面AACC±平面3MB.

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法计算出直线48和平面所成角的正弦值.

(1)

由于48=3。,4^=。河，所以3MLAC,

根据直三棱柱的性质可知BM1AA,,

由于ACCA4|=A,所以平面441GC,

由于8A/u平面GMB,所以平面AACC，平面GM8.

⑵

设N是AG的中点，连接MN,则MN〃/1A，两两相互垂直.

以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

A(Ao,i),B(o,i,o),G(-V3,0,1),AB=卜61，T)，

设平面CtMB的法向量为〃=(x,y,z),

设直线\B和平面QMB所成角为凡

n-AiB2百厉

卜,利2-755

23.(2021.上海市大同中学高三月考)如图，在正方体A2CZ)-中.

(1)求异面直线4C和8。所成角的大小；

(2)求二面角的大小.

【标准答案】(呜

⑵空

3

【思路指引】

(1)建立空间直角坐标系，计算可得4。8。=0,即得解；

(2)分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可

⑴

由正方体ABC。-4旦GR,故两两垂直，不妨令正方体边长为1

以。为坐标原点D4,DC,DDt所在直线分别为尤,Mz轴建立空间直角坐标系，如图所示：

故A(1,0,1),C(0,1,0),0(0,0,0),8(1,1,0)

由于AC-BD=1—1=0，故AC，加

TT

异面直线AC和BO所成角的大小为]

(2)

由(1),DA.=(1,0,1),DC=(0,1,0),C\=(1,-1,1),CB=(1,0,0)

设平面D4c的法向量为〃=(x,y,z)

n-DA=x+z=0人11c辽

,q%=].，.z=-I,y=0,故几=(l,0,—I)

n•DC=y=0

设平面3A1C的法向量为根=(%,%4)

m-CA=x—%+z,=0“</八

•，*]，令%=]「.Z]=I,%=0,故加=(0」」)

\mCB=玉=。

设二面角5-的平面角为a,由图得二面角为钝角

故cosa=-\cos<m,n>\=-\m"|=——」「=--

\m\\n\A/2-A^2

故£=与，即二面角8-AC-。的大小为暮

24.(2021.上海市南洋模范中学高二期中)在正三角形ABC中，尺上尸分别是A8、AC、3C边上的点，满

足AE:EB=CF:FA=CP:PB=l:2(如图I).将_但沿用折起到4所的位置，使二面角成

直二面角,连接4B、4尸(如图2)

⑴求证：4乃，平面8£尸；

(2)求直线AiE与平面AiBP所成角的大小；

(3)求二面角B-AiP-F的余弦值.

【标准答案】(1)证明见解析

(2)60°

⑶

8

【思路指引】

(1)设正三角形A8C的边长为3.在图1中，取BE的中点。，连接。E由已知条件推导出ADF是正三

角形，从而得到EPLAD在图2中，推导出NA/E2为二面角A/-EF-8的平面角，且BE.由此能

证明A/E_L平面BEP.

(2)建立分别以为尤轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A/E与平面

48尸所成的角的大小.

(3)分别求出平面AFP的法向量和平面5