安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试题（含答案）

安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试题

一、单选题(本大题共8小题)

L复数言的共轨复数是()

3.3.

A.—iB.—iC.—iD.i

55

2.等比数列｛叫中的出，%4是函数/(x)=(—T2x+21)eX的极值点，出。出4，则

皿⑷二()

A.1B.—C.—1D.—

33

3.已知向量痴满足卜|=1,卜+可=2,且—则忖=()

A.1B.V2C・JiD.2

4.曲线歹=e3+l在点(0,2)处的切线与直线歹=0和V=x围成的三角形的面积为

()

A.—B.—C.—D.1

323

5.已知函数/(x)满足/(x)=2/(x—1),当0«X<1时,f(x)=3x,则/(噫18)=

()

A.2B.4C.8D.18

6.正四棱台上底面边长为1,下底面边长为2,若一个球的球心到正四棱台各个面

的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为()

A.14:兀B.7:兀C.7:2兀D.7:行兀

7.已知点P在圆卜-£[+/=；上，A(-2,0),则；|尸/|+|尸7图的最小

值为()

A.1B.V2C.242D.Vw

8.已知函数/(x)=er-aln(ax-a)+a(a>0),若对于任意的x>1使得不等式/(无)20

成立，则实数”的取值范围()

A.(0,e2]B.(0,ee]C.[e2,+«)D.[ee,+co)

二、多选题(本大题共3小题)

9.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两

次，每次取1个球，记事件4：第一次取出的是红球；事件(：第一次取出的是白

球；事件6：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则

()

A.事件4，4为互斥事件B.事件8。为独立事件

1/15

23

C.P(S)=-D.P(C|^2)=-

10.设函数/(x)=丁—%2+qx-1,则()

A.当。=-1时，/(x)有三个零点

B.当aN；时，“X)无极值点

C.3aeR,使/(x)在R上是减函数

D.VaeRJG)图象对称中心的横坐标不变

11.如图，棱长为2的正方体/BCD中，尸，。分别是棱CG，棱3c的中

点，动点W满足万方=2刀+〃方瓦，其中；L,，eR,则下列结论正确的是

A.若几+〃=1,贝！1cM

B.若彳=〃，则三棱锥用-/MC的体积为定值

C.若〃=g,Q,4,1,则直线PM与直线8c所成角的最小值为60。

D.若动点”在三棱锥尸。外接球的表面上，则点M的轨迹长度为0兀

三、填空题(本大题共3小题)

12.已知=贝！Jsin2a=.

13.已知函数/(x)=2x2+〃lnx的图象在x=l处的切线经过坐标原点，则实数

a-.

22

14.已知双曲线C：=-二=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为公，F],若在

ab

C上存在点尸(不是顶点)，使得/%£=3/小耳，则C的离心率的取值范围

为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知数列｛。“｝中，出=1，设S“为｛。”｝前a项和，2Sn=nan.

(1)求｛与｝的通项公式；

2/15

sinl

⑵若"=求数列｛，｝的前〃项和1

cos(tz„+1)008(^+1)

16.如图，四棱锥P-48cA中，平面P4D_L平面

ABCD,AB//CD,AD1CD,PA=PD=AD=CD=2,N8=1,M为棱PC上一点.

（1）证明：BD1PC；

（2）若尸/〃平面求直线尸C与平面所成角的正弦值.

2

17.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为1,乙获胜的概率

为g,每局比赛的结果互不影响.规定：净胜优局指的是一方比另一方多胜加局.

⑴如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；

⑵如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜

%=-3,-2,-1,0,1,2,3）局.设甲在净胜，局时，继续比赛甲获胜的概率为々，比赛结

束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为x,期望为矶用）.

①求甲获胜的概率乙；

②求£（4）.

22

18.已知点/（2,0）为椭HE东+方=1e>1>0）的右端点,椭圆£的离心率为

，，过点尸（2,2）的直线/与椭圆交于5、c两点，直线/3、/C分别与y轴交于

M、N点.

（1）求椭圆E的标准方程；

⑵试判断线段血W的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理

由.

19.已知函数/(x)=ln(x+l)—

(1)当〃=1时,求/(%)的极值；

⑵若求。的值；

111/

(3)求证：sin-----l-sin------1----l-sin——<ln2lneN

〃+l〃+22n'

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参考答案

1.【答案】C

【详解】由题意知,

2+i(2+i)(l+2i)

令z=二1,

l-2i(l-2i)(l+2i)

所以复数的共辗复数为1=—i，

故选C.

2.【答案】A

【详解】由/（"=优一12苫+21）1求导得广（x）=，-10x+9）e1

由/'(x)>0nx2-10x+9>0=>(x_l)(x_9)>0n尤<1或x>9；

由/'（x）<01<%<9.

所以函数〃x）在（-叫1）和（9,+s）上单调递增，在。,9）上单调递减.

所以函数“X）的极大值点为x=l,极小值点为x=9.

由题意可知。2，。24=<4=9，所以log3|a13|=1.

故选A.

3.【答案】A

【详解】因为，一同,不，则0_4石=庐_»石=0=庐=）石，

又因为同=1,

由归+同=2得7+2.石+片=4，

则1+2片+片=4=片=1，则同=1，

故选A.

4.【答案】A

【详解】y'=-2e2=y盘=_2,所以在点（0,2）处的切线方程为了=-2》+2,它与

y=x的交点为4G，与k0的交点为（1,0）,所以三角形面积为:x：xl=a

故选A.

5.【答案】C

【详解】因为2=log39<log318<log327=3,所以0<logs*-2<1.

2

因为/（无）=2/（x-1）,所以/（log318）=27（log318-2）=2X3啕回?=8.

故选C.

6.【答案】B

【详解】

4/15

如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆,

根据CD=1,N8=2,设球的半径为则由直角三角形8C8中的勾股定理得：

91

BC2=(2R?+『BC=

利用等面积法：sBEFC=S^FCI+S&BEI+^^BCI'

可得:

解得：V

再由棱台体积公式得：Vx=1(l+4+Vi><4)xV2=^y-

由球的体积公式得：匕=3x7tx电=&,

3I2J3

772

所以正四棱台与球的体积之比是：多二餐=2,

K<27t

------71

3

故选B.

7.【答案】B

【详解】设尸(x,y),3(。,0),^\PA^PB\,则;J(x+2)2+/二"江+尸,

整理后x"-竽x+""

与已知尸轨迹方程展开整理得：x2+y2-5x+4=0,

9a+2

4

对照，得c；“，解得。=2，所以8(2,0).

9a--4.

---------=4

4

；|尸/|+\PM\=\PB\+\PM\>\MB\=J(2_1)2+(1-0)2=V2

则当P、B、M三点共线时取得最小值百

故选B.

5/15

8.【答案】A

【详解】因为0>0,由数-。>0可得x>l,即函数f(x)的定义域为(1,+s),

X

/(x)=e%-alna-o'ln(x-l)+iz>On]'^—-Ina>ln(x-1)-1,

即ex~'na+x-Ina2x-1+In(x-1),

构造函数g(x)=x+lnx,其中x>0,则g<x)=l+：>0,故函数g(x)在(0,+8)上单

调递增，

所以8(。'』""8卜一1),可得贝ijx-lna与n(x-1),

HPlna<x-ln(x-l),其中x>l,令〃(x)=x-ln(x-l),其中x>l,

则〃(x)=l-----=匚，当l<x<2时，”(x)<0,此时函数〃(x)单调递减，

x-1x-1

当x〉2时，”(x)〉0,此时函数〃(X)单调递增，

所以，Ina4力卜)向=力⑵=2,解得aVe?.

综上，0<a<e2

故选A.

9.【答案】ACD

【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥

的，A正确；

由于是红球有3个，白球有2个，事件3发生时，两球同为白色或同为红色，

q

尸(。)=器?=不具百==，事件3不发生，则两球一白一红，尸©=1,8,C不独

P(B)C；+C；4

立，B错；

事件4发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发

3

生，所以P(C|4)="D正确.

故选ACD.

10.【答案】BD

【详解】对于A,当a=-l时，f(x)=xi-x2-x-1,求导得八无)=3x?-2x-l,

令/(x)=0得x=-g或x=l,由/'(x)>0,得或无>1,由/'(x)<0,

得T<x<i,于是[a)在y,-g),(1,+m)上单调递增，在(—1)上单调递减，

/。)在彳=-g处取得极大值/(-；)=-《一；+；-1<0,因此“X)最多有一个零点，A

错误；

6/15

对于B,/'(x)=3x2-2x+a,当时，A=4-12a<0,即/'(无)20恒成立，

函数/(x)在R上单调递增，AM无极值点，B正确；

对于C,要使/(x)在R上是减函数，则八x)=3/-2x+aV0恒成立，

而不等式3--2》+“40的解集不可能为R,C错误；

o????SR

对于D,由-x)+/(%)=(§-a―(§-%)2+-x)-1+x3-x2+ax-1=—a--,

得了(X)图象对称中心坐标为(g,"I-II),D正确.

故选BD.

11.【答案】ABD

【详解】以。为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

则。(0,0,0),A(2,0,0),2(0,0,2),4(2,2,2),C(0,2,0),

所以房=(2,0,0),西=(0,0,2),

所以两=4方+〃西=42,0,0)+〃(0,0,2)=(240,2〃)，即四(2九0,2〃)，

所以两=(24-2,2〃)，又西=(2,2,2),

所以西•西=232+(-2)-2+2〃・2=4彳-4+4〃=4(；1+〃)-4=0,

所以豉，函，所以CM，。片，故A正确；

因为4=〃，DM=ADA+jLiDD,,所以点M在直线上，

又因为&B\UABUDC,AlBl=AB=DC,所以四边形/QC多是平行四边形，

所心4。〃耳。，又4。①平面8/C,BCu平面2/C,所以平面片/C,

所以W到平面3/C的距离为定值，又△B/C的面积为定值,

所以三棱锥片-/"C的体积为定值，故B正确；

点尸为C0的中点，坐标为(0,2,1),点〃的坐标为(24,0,1),

向量用7=(24-2,0),向量前=(-2,0,0),

设直线P“与直线BC所成的角为6,

7/15

\PM-BC\4

cos。二l~4

\PM[\BC\A/422+4X2

又因为0“人1,当2=1时，（cos。）1mx=正，

即直线PM与直线8c所成角的最小值为45。，故C错误;

因为三棱锥C-。尸。即为三棱锥尸-C。。，又底面△80是直角三角形,

过。。的中点N作。平面CD。，。是三棱锥C-DP0外接球的球心，

因为PC,平面C。。，所以CW=gpC=g,又。。二五+俨=石,

所以三棱锥c-o尸。外接球的半径厂=J个］+（；：=手，

因为点M在平面内，又在三棱锥尸0外接球的表面上,

所以M的轨迹是平面截三棱锥C-D尸。外接球的截面圆，

又易得。到平面的距离为1,所以截面圆的半径为J乎一F=f

所以M的轨迹的周长为2”也=后,故D正确.

2

故选：ABD.

12.【答案】|

71V2

所以sina

~~T

25

所以sin2a=cos----2a=cos=l-2sinf1-2x

9

13.【答案】-2

【详解】因为/（尤）=2-+0111工，所以/'卜）=4》+区,

所以（（1）=4+〃，又/⑴=2,

所以＞=/（x）在尤=1处的切线方程为：y-2=（4+a）（x-l）,

又切线方程过原点，把（0,0）代入得-2=-lx（a+4）,

解得：。=-2.

14.【答案】（72,2）

【详解】设尸片与〉轴交点。，连接。居，由对称性可知，NQKF—QFE，如图

所示，

8/15

又•/NPF[F\=3NPFF?,：.gQ=ZPQF2=2ZPFtF2,：.\PQ\=\PF2\.

又•••|亚|一|尸用=2a,A\PF]-\PF^\PF]-\P^=\QF\=2a,

在RtA0O耳中,\QF\>\OF^,：.2a>c,：.e=-<2,

a

由/尸6片=3/尸片耳，且三角形的内角和为180。，尸乙入〈詈-=45°

:.cosNPF[F]=>cos45,即_£_>2^,贝ije=—>V2.

一OK2a2a

综上，ee(V2,2).

15.【答案】⑴凡="-1

(2)Tn=tan(w+l)-tanl

【详解】(1)数列｛&｝中，%=1,S"为｛与｝前〃项和，

当〃=1时，2S]=%n26=ax,/.％=0,

当〃22时，2Sn=〃①，

2s〃+|=(〃+1)%+1②，

由②-①得:2s,+]-2S,=(〃+1)%-〃%,2(Sn+1-)=(«+1)an+i-nan,

即〃。“=(〃-1)。“+1，

n2_1L幺=3a_2

当时，—3

“22=―递推可得:a99

册n-1n-\〃-2，a32a21

“〃+i.%…幺.幺_nn-132

由累乘法可得：----------X-----------X•••X—X—

1”3。2n—1n-221'

乎=",又因为电=1，所以％="，即。经检验，当"=1时％=0符合上

式，

所以%="1;

(2)由(1)可知4=〃-1,an+l=n,所以：

7sinl

b=------------------------------

〃cos(%+I)cos(为+1+1)

sinl

cos〃cos(〃+1)

9/15

cos〃cos(〃+1)

sin(几+1)cosn-cos("+1)sin〃

cosacos(〃+l)

sin(〃+l)cos〃cos(〃+l)sin〃

cosncos+1)cosncos仅+1)

=tan(加+1)-tan〃,

所以(=4+a+&+Lbn

=(tan2-tan1)+(tan3-tan2)d----b[tann-tan-1)]+[tan(〃+1)-tan

=tan(w+l)-tanl；

所以数列｛4｝的前n项和7；=tan(«+l)-tanl.

16.【答案】(1)证明见解析

⑵巫

8

【详解】(1)取4。中点O,连接P。,。。

・・,PA=PD,:.POLAD

•・,平面尸4O_L平面ABCD,平面上40c平面=40,尸0u平面PAD

尸。_L平面ABCD

QBDu平面4BCD,；.P0上BD

兀

c­/DO=1=AB,CD=AD,NDAB=ZCDO=-

A封B

:ADAB义ACDO

TT

:.ND0C+NADB=—,gpBD1OC

2

又PO,OCu平面POC,POcOC=O,3。_L平面POC

•・•尸Cu平面POC,BD1PC

(2)连接ZC,设=连接w

'：PA〃平面瓦〃），尸4u平面PAC,平面尸4CCI平面BMD=MQ

PA//MQ,易知/Q:QC=1:2,「.PM:MC=1:2

取BC中点N,连接ON,则CM,ON,O尸两两互相垂直.

分别以O4OMO尸为x轴，＞轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系

10/15

.•.丽=(2,1,0),正=(-1,2,_6),

:.PM=-PC=

33'3

J.2_V|22

:.DM=DP+PM={l,0,s[3]+_5_5_

333

设平面的一个法向量万=(x/,z)

设直线尸C与平面2MD所成角为凡则

4-X2A/2

即直线尸C与平面3河。所成角的.正弦值为亚

17.【答案】⑴言

O1

O

⑵①1；②E(X°)=7.

【详解】(1)4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3,4局

甲胜，

概率为C；x2x！x(2］=3；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各胜一局，

并且第3,4局乙胜，概率为=-,所以恰好4局结束比赛的概率为

16420

--1---...

818181

(2)①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：

若甲赢，则甲的状态变为净胜T局，继续比赛获胜的概率为21；

若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，

2212121

根据全概率公式，匕=§匕，同理匕=§«+］匕，P^-P^-P,,

6=|+；4,

21?143

由△=§+］/得6=,+亍|，

o15gl

与匕联立消去耳，得不4=元+§匕，

又匕=］巴，F.=|^+|p2,得匕=：片，

CQ1Q

与亍4=5+］已联立消去乙，得片=§，

11/15

o

所以甲获胜的概率为1.

②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：

若甲赢，则甲的状态变为净胜T局，继续比赛至结束，还需要局，共进行

了E（X_J+1局；

若甲输，则甲的状态变为净胜局，比赛结束，共进行了1局，

则£（^2）=-[E（X1）+l]+-xl,即E（X_2）=d（X_J+l,

同理E（X_J=|[E（X°）+I[+；[E（X_2）+I],即E（XT）=RX°）+；E（几）+1,

E（X。）=Y（XJ+1]+M（X_J+1],即/X。）亨（Xj+&（X_J+l,

£（与）=][矶占）+1]+§画4）+1]，即双乂）=萨（莅）+/（X0）+l,

O11

£（XJ=§X1+§[E（XJ+1],即£（占）=/区）+1,

711315

联立£（毛）=§£（占）+§£（4）+1与£（占）=/（3）+1,得£（乜）=/（4）+亍，

2?1

联立£（工2）=]£（工1）+1与£（XT）=1E（X°）+§£（工2）+1,得

E（X_J=：£（X°）+£,

71

代入E（X°）=萨（XJ+萨（X_J+l,得

£（Xo）=|",E（XO）+T+：：£（X。）*卜1,

所以E（X0）=7.

2

18.【答案】⑴二+「=i

4

（2）是，JW的中点为10,£|

【详解】（1）由题意得£="，a=2,又“2=62+C2,

a2

解得Q=2,b=\,c=\/3,

所以椭圆E的标准方程为土+必=1；

4

（2）设3（石,必）,C（x2,y2）,

因为直线/经过（2,2）且与椭圆交于BC两点,所以直线回的斜率一定存在，

故设直线力的方程为：y=kx+m,其中加=2（1-左），

12/15

y=kx+m

2222

由*x2得：（1+4A;x+Skmx+4m-4=0,

彳+y_

3

A=64^2m2-16（l+4A:2）（m2-l）>0,得k>3

o

-Skm4m2—4

又因为直线小方程:广六(1),得力已

同理NO,二空

(X2~2

由鼻+W=

X]—2马-2

（何+m）（x-2）+（丘2+加）（巧—2）2kx[X2+（m-2k）（x+x）-4m

2=-212

x{x2-2（%j+X2）+4

2左（4加24）-8km（m-2k）-4m（l+4k2）

（4加之一4）+16加+4（1+4左之）

-8k-4m4k+2m4左+4（1—左）

4m2+16km+16k2m2+4km+4k24（1—左『+8左（1—左）+4代

故也v的中点为(0,；

19.【答案】⑴/(x)在x=0处取得极小值0,无极大值；

⑵。=1；

⑶证明见解析.

【分析】(1)求导，根据函数的单调性可得最值；

(2)分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值;

13/15

(3)利用放缩法，由sinx<x(x>0),可知若证sin-一+sin-一+…+sin」-<ln2,即