北京市某中学2024-2025学年高一年级下册3月月考数学试题【含答案】

北京市中关村中学2024-2025学年高一下学期3月月考数

学试题

一、单选题(本大题共10小题)

1.已知集合A={%£N|%K6},B={XGR\X2-3X>0},则()

A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.{x|3<x<6}D.{x|3<x<6}

2:.如图，二在平行四边形AB:CD中，AC-AB=()

A.CBB.ADC.BDD.CD

3.与-224。角终边相同的角是()

A.24°B.113°C.124°D.136°

4.已知函数”x)=9-log2X,在下列区间中,

，包含/(x)零点的区间是

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+co)

ab

5都是非零向量，下列四个条件中，使H=而成立的充分条件是

A.=M且〃〃BB.a=-bC.a//bD.a=2b

AB

6.已知平面上不共线的四点。A民C，若OA—3。?+20c=6，贝!1一《=

AC

()

2

A.2B.-C.1D.-

323

7.设Q=log。？0.3,b=log20.3,贝Ij

A.a+b<ab<GB.ab<a+b<0

C.a-\-b<0<abD.ab<0<a+b

8.如图所示，已知在矩形ABC。中，AD=4A/3,设丽=£,BC=b,BD=c，则

5+S+c=()

AD

;

BC

A.273B.46C.8出D.16A/3

9.已知函数无)=£=7,给出下列四个结论：

①〃x)在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是

(-8,Tn2)；④/(x)的图象关于点(0,J对称.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.①④D.①③④

px+vyt—1%>0

10.已知函数/(%)=｛'~，其中机<-1,对于任意石£R且石W0,均存在

ax+b,x<0

唯一实数%,使得/(%)=/(匕)，且芯片/，若|/(刈=A㈤有4个不相等的实数

根，则。的取值范围是

A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2,-l)u(-l,0)D.(-2,-1)

二、填空题(本大题共6小题)

11.与向量：=(T,1)方向相同的单位向量石=.

12.半径为2,圆心角为2弧度的扇形的面积为.

13.函数〃尤)=—一+石工的定义域为

14.已知点A(3,-4)与点8(-1,2),点p在直线A3上，且|Q|=2|而则点P的坐标

为.

15.对于函数/(x),若集合｛x|x>0,/(无)=/(-无)｝中恰有左个元素，则称函数/(无)是

“上阶准偶函数”.已知函数“幻二‘力

2x,x>a.

(1)若。=0,则函数/(X)是“阶准偶函数”；

(2)若函数/Q)是“1阶准偶函数”，则。的取值范围是.

16.定义在上,内)上的函数〃x),g(x)单调递增，I(f)=g(t)=M,若对任意

存在玉<%,使得/a)=g(%)=左成立，则称g(x)是在上,+向上的“追逐函

数”已知“无)=1,下列四个函数：①g(x)=x；②g(x)=lnx+l；③g(龙)=2-1；

④g(x)=2一.其中是〃尤)在［1,+⑹上的“追逐函数”的个数是个.

三、解答题(本大题共4小题)

17.已知2=(1,0)石=(2,1)

(1)当“为何值时，左Z-石与Z+2I共线？

(2)^AB=2a+3b,BC=a+mb,且4B,。三点共线，求口的值.

18.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线

并对所抽取产品的某一质量指数进行检

［6,8),［8,10］分组，得到如图所示的

甲、生产线产品质量指数频率分布直方图乙、生产线产品质量指数频率分布直方图

(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组

区间的中点值作代表)；

(2)若产品的质量指数在［8,10］内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从

样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行

检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.

19.如图1所示，在VABC中，点。在线段回上，满足3①=方瓦G是线段46上的

点，且满足3而=2而，线段"与线段交于点。.

(1)若标=+求实数x,y的值；

⑵若超少，求实数f的值；

(3)如图2,过点。的直线与边加分别交于点区F,设荏=2丽衣=〃记，

(2>0,〃>0),求2+〃的最小值.

20.若函数/(尤)满足：对任意正数型都有〃s)+/«)</(s+f),则称函数/(X)为

“N函数”.

(1)试判断函数X(x)=Y与力(x)=ln(x+l)是否为“N函数”，并说明理由；

⑵若函数y=3*+x-3a是“N函数”，求实数。的取值范围；

⑶若函数/⑺为“N函数”，/(1)=1,对任意正数s、t,都有7•(s)>0"(f)>0,

1Y7

是否对任意xe(2：23)(keN)都有/(x)-,若成立，请加以证明，若不

x2x

成立，请说明理由.

参考答案

1.【答案】B

【详解】由A={尤eN|xW6},B={xe用一-3q0}得：A={0,1,2,3,4,5,6),

B={x[x>3叫<0},故Ac3={4,5,6},故选B.

2.【答案】B

【详解】由图知衣-丽=竟=而，

故选B.

3.【答案】D

【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果.

【详解】因为-224。=-360。+136°,所以与-224°角终边相同的角是136。，

故选D.

4.【答案】C

3_

【分析】因为/(2)=3-1>0,/(4)=--2<0,所以由根的存在性定理可得答案.

3

【详解】因为"2)=3—1>0,/(4)=--2<0,

满足"2)/(4)<0.所以“X)在(2,4)内必有零点.

故选C.

【关键点拨】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解

答好本类题目的关键.

5.【答案】D

【详解】对于A,当口=忖且£〃否时,abab

甲W或同A错误;

ab

对于B,当，』时,□一W，B错误;

a_ba_b

对于c,当£〃B时,同w或同w,C错误;

ab

对于D,当％=2万时,甲M，D正确.

故选D.

6.【答案】B

【详解】由次一3丽+20d=6，得3次一3彷=2函一2诙，W3BA=2CA,

\AB\2

所以^==二.

IAC|3

故选B.

7.【答案】B

1111

【详解】分析：求出一=log03027=log032,得到一+7的范围，进而可得结果.

abab

详解：.vtz=log020.3,Z?=log20.3

「•一=logo.302工=logo.32

ab

11.」

—I—=log。§0.4

abJ

c11y口n八a+b/

0<—i—<1,Bp0<------<1

abab

又a>0,b<0

.,."<0即ab<a-\-b<0

故选B.

8.【答案】C

【详解】a+b+c=AB+W+BD=AB+AD+(M5-AB)=2AD,

因止匕，|fl+g+c|=2|An|=8A/3.

故选C.

9.【答案】C

【详解】对于①，因为内层函数a=1+b在R上为减函数，且。>0,

外层函数>=:在(0,+向上为减函数，故/⑺在定义域上单调递增，①对;

对于②，因为尸>0,则1+b>1,可得〃x)=]+；-e(O,l),

所以，函数无最大值，也无最小值，②错；

对于③，由/(无)可得1+123,可得-2,解得x4-ln2,

故不等式的解集是(-8,Tn2],③错；

对于④，函数“X)的定义域为R,

f[x}+f(-x)=—^—+-^—=—^-—=父担=1

v7v7xA

1+bl+ee'[l+e,)l+e1+e*'

所以，〃元)的图象关于点1o,£|对称，④对.

故选C.

10.【答案】D

【详解】由题意可知F(X)在[0,+8)上单调递增，值域为[q+8),

:对于任意不eA且X1W0,均存在唯一实数X2,使得f8=f1xj,

f(x)在(9,0)上是减函数，值域为(0,+8),

/.a<0,b-m.

・・・"(x)|二广(加有4个不相等的实数根,

0〈广(勿)<-m,又冰-1,

0<a/z?+6<-ffl,即0<(a+1)m<-/n,

：.-2<a<-l.

本题选择D选项.

点睛：（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后

代入该段的解析式求值，当出现『（『（a））的形式时，应从内到外依次求值.

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段

上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相

应段自变量的取值范围.

11.【答案】（-冬冬

【详解】与向量方向相同的单位向量B=

12.【答案】4

【详解】设弧长为1，半径为八圆心角为由题意知/=入。=4,

x>0

+有,解得0<xW2且xwl,

2-x>0

因此，函数的定义域为（0」）U（l，2].

14.【答案】go1或（—5,8）

【详解】设P（x,y）,则由网=2同，得Q=2方或衣=-2万.

若羽=2万，贝I]（龙一3,y+4）=2（-l-x,2-y）.

_l（

x—3=-2—2x,解得「=了故尸!，0

所以

y+4=4-2y.

J=。，,

j——5

若丽=-2而，同理可解得Jy=8'故尸（一5,8）・

综上，点P的坐标为1,0)或(-5,8).

15.【答案】2[-2,T)U[1,2)

【详解】①当°=0时，函数=/(尤)的取值为2x,的取值

2x,x>0

为g),即21根据题意得丁=2力解得x=2或x=l,

则集合｛尤|x>0JO)=/(-x)｝中恰有2个元素，

故=是"2阶准偶函数”

2x,x>0

②根据题意，函数=是“1阶准偶函数”，

2x,x>a.

则集合｛尤|尤>O"(X)=/(T)｝中恰有1个元素,

当4=0时，〃x)=U"4°是"2阶准偶函数”，不合题意;

2x,x>0

当。<0时，函数的图像如图①所示，

2x,x>a.

图①

根据“1阶准偶函数”的定义得〃尤)的可能取值为2x,〃-尤)的可能取值为

由题意知f(x)=f(-x),

所以2x=2，解得x=1或x=2

要使得集合M尤>0,〃尤)=〃-x)｝中恰有1个元素，则需要满足1<-。42,

即-2<a<-l

当a>0时，函数/(xxlj的图像如图②所示，

2x,x>a.

图②

根据“1阶准偶函数”的定义得〃力的可能取值为2x或("-可为出”=2，,

由题意知f(x)=f(-x),

当］=2\解得x=0不符合题意

当2x=2",解得尤=2或x=l,

要使得集合｛x|x>O"(x)=〃-x)｝中恰有1个元素，则需要满足14〃<2.

综上，若函数/Q)是“1阶准偶函数”，则。的取值范围是l-2,-l)U［L2).

16.【答案】2

【详解】“犬)=/在［1,+8)上的值域为［1,+8).

若对任意人>",存在不<々，使得/(%)=g(x2)=%成立，

则“X)与g(X)在［1,E)上的值域相同，

又〃力=/在［1,+8)上单调递增，则〃占)=8优)<〃々),

则对任意xe(l,+e),有/(x)>g(x).

对于①：8(%)=》在□，+℃>)上单调递增且值域为［L+s),

且F(x)=〃x)_g(x)=x2_x=x(x_l)>0恒成立.

即〃x)>g(x)在。，+功上恒成立，符合题意；

对于②，当时，g(x)=lnx+l>lnl+l=l,即函数g(x)在［L+S)上的值域为

作出函数g(x)=lnx+l、y=的图象如下图所示：

由图可知，当x«l,+e)时，的增长速度显然快于函数g(x)的增长速度，

则对任意的x«l,+8),/(x)>g(x),符合题意；

对于③，函数g(尤)=2-1在［1,+8)上递增，且值域为

且〃5)=52<25—l=g(5),不符合题意；

2

对于④，对于函数g(x)=l-二，该函数在［1,+°°)上为增函数,

X

17

且当xZl时，0<-<1,则g(x)=l丁卜1,1),不符合题意.

所以，①②是“追逐函数”.

17.【答案】⑴左=一二

2

小3

(2)7?1=-

【详解】(1)因为2=(1,0),3=(2,1)

所以％%-0)-(2,1)=(%-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),

因为筋-另与2+25共线,

所以k解-得1％=一;1

(2)因为Z=(1,0)石=(2,1)

所以通=22+33=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(1+2m,m),

因为A,B,。三点共线，

1+9mrn3

所以须与而共线，即^^=9，解得“2=3.

o32

18.【答案】(1)X甲=6,X乙=5

⑵*

15

【详解】(1)解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：

%甲=3x0.05x2+5x0.15x2+7x0.2x2+9x0.1x2=6.4；

乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：

%乙=3x0.15x2+5x0.1x2+7x0.2x2+9x0.05x2=5.6.

(2)由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100X0.1义2=20件，

乙生产线的样品中优等品有100X0.05X2=10件.

从甲生产线的样品中抽取的优等品有6x2J0^=4件，记为a,b,c,d；

从乙生产线的样品中抽取的优等品有6乂"^=2件，记为凡邑

20+10

从这6件产品中随机抽取2件的情况有：

(a,6),(a,c),(a,d),(a,£),(a,F),

(人，c),(6,d),(A£),(6,户)，

(c,d'),(c,£),(c,F),

(d,£),(d,b)，

(£,F),共15种;

其中符合条件的情况有：

(a,£),(a,尸)，(6,£),(6,6)，

(c,£),(c,6)，(d,E),(46)，共8种.

Q

故所求概率尸=话.

【方法总结】

(1)由频率分布直方图直接求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数即可；

(2)先确定甲、乙生产线的样品中抽取的优等品的个数，再利用列举法写出所有情况，利

用古典概率模型求解即可.

13

19.【答案】⑴x===

44

⑵"三

(3)8+4月

11

-1.

【详解】(1)因为3比=而所以CO=：C5,

4

所以而=又+国=前+一9=!?+一(通一七)=—南+一正，

4444

所以V1，y二：3

44

__.2__________________.?__►__►

(2)由题意可知：GC=AC-AG=AC--AB=-^AB+AC,

GO=AO-AG=tAD-AG=tAD——AB=t\-AB+-AC——AB=(---)AB+—AC,

5U4J5454

又因为G,O,C三点共线，所以存在实数上使得口必玄，

(---)AB+—AC=k(--AB+AC)=--AB+kAC

45455f

ft22k[8

__-i-f____

所以;§5,解得：1〉

"=kk=〃

〔4I11

Q

所以

1—.—.1—.—.

(3)易知TAE=AB,—AF=AC,

由（2）知

—.8、81—•3—►2—•6—►21―►61—,2—>6—►

AO=-AD=—(-AB+-AC)=—AB+—AC=—x-AE+—x-AF=——AE+—AF

11114411111121141U11〃

26

又因为瓦。尸三点共线，所以彳+丁=1,又丸

71T1/111〃

所以：

,,26、,，82〃628.[2u_6A8c叵8+40