安徽省安庆市某中学2024-2025学年高一年级下册期中考试数学试题（含解析）

安庆二中2024-2025学年度第二学期期中考试

高一数学试题

(考试时间：120分钟分值：150分)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

2

.4=Ix<215={xlx+3x-45ol.nn_

1.己知集合L।,集合।,则」」8-()

A.[T4]B.[0,1]C.[-4,1]D.(-8,4]

【答案】B

【解析】

【分析】先分别求出两个集合的解集，再根据集合的运算可求出结果.

【详解】对于不等式J7«2，解得o<X<4,

所以.4=[XI0<,r<4；,

对于不等式1-44。，BP(A-+4|(.V1|<0,解得7s,r<1,

所以B=I-4<v<1,

所以8=[X|0<JC<1|=[0,1].

故选：B.

2.已知aeR,幺1■为纯虚数，贝!Ia=()

2-41

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数运算化简㈡:，再由纯虚数的定义列方程求a.

2-4i

a+i(a+i)(2+4i)2a-4+|4«+2)i

【详解】因为为纯虚数,

2-4i—(2-4i)(2+4i)

所以2a4=0，且4aI2工0,

所以a=2.

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故选：B.

3.如图，矩形OU'8'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形O48C的直观图，其中

0才=4.0'C'=I,那么00/8。的面积为(

B.4VTD.

【答案】D

【解析】

【分析】求出矩形o‘rs'C'的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案.

【详解】依题意,矩形O/8'L的面积S'=OT-O'C'=4,

而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的二二,

4

所以口OABC的面积为86.

故选：D

4.若tana=2,则.""a’的值为（

s《inn2Jna+consb*cai

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.

故选：B

5.如图所示，在△ABC中，点。是线段BC的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则/后=()

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A'/>'I-BCB-BA+-BCcD-BA+-BC

33363333

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.

【详解】依题意，BE—BAAE-BA+-=BA+-(BZ)—BA)=BA+—(—BC—BA)——"BA+—BC.

333236

故选：B

6.函数/(x)=/(e'-e'I的大致图象为()

【解析】

【分析】分析函数/的奇偶性，并利用导数分析函数在(0,+81上的单调性，结合排除法可得出

合适的选项.

【详解】函数/(、1的定义域为R,/(-x|=l-.tr(e'-6')=-12(€'-e-')=-/I：VI,

所以，函数为奇函数，排除BD选项.

当X>0时，-V>-V,贝h-e,；-0,/*lV|=2.t(e1-e'|+.v'|e'+e')>0,

所以，函数/(W在(O，+“：上为增函数，排除C选项.

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故选：A.

7.斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,

侧面积为24,则该正四棱台的体积为()

22428仄I12V5

A.56B.---C.—v3D.-----

333

【答案】c

【解析】

【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解.

【详解】由[[4(2+4)]j'=24—为四棱台的斜高.

设四棱台的高为力，则力=yjh'-|2-l|：=JT，

所以四棱台的体积为：V=1x73x(4+16+74x16)=^^-.

故选：C

8.己知四边形.48(7)中，.4ClB0,/B=8C=z=2,/C=C0=2jJ,点E在四边形.48(7)的四

条边上运动，则下才.『万的最小值是()

A.4B.0C.-3D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】由题意分析可知四线性.48(?。关于直线8。对称，且8cle0,只需考虑点£在边8C,CD上

的运动情况即可，然后分类讨论求出EB-ED的最小值.

【详解】如图所示，因为4C，8。，且.48=8C,所以8。垂直且平分XC,

Er

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则—）为等腰三角形，又.建;CD=,所以“CO为等边三角形.

则四边形.48。。关于直线8。对称，故点E在四边形4BCD的四条边上运动时，只需考虑点E在边

BC,CD上的运动情况即可，

RD

因为.48=8。=工-=2,易知“：.CD=BD：，即8c1CD,则行.而=0,

①当点E在边8c上运动时，设而=入而|04力41|,

则丽=丽+丽=而+而_而=（入-1）而+而，

所以曲・丽=入而而+而］=疔鼠|入-1）而,当a=1时，EBEO的最小值

为—1;

②当点E在边C。上运动时，设丽=A•函（04A411,

则丽=丽+丽=而+而-而而+而，

所以而•前而+）卜而/而=当k=1时，钺.丽的最小

L」2

综上，下鼠£万的最小值为,3,

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知复数：，、二,以下四个说法中正确的是（）

A.二।•三=1•三

B.若同=|-；|,贝IJ二；=二；

c匕+z』引4|+匕|

D.若小二/二产三）是方程x、ax+6=0（a、be别的虚根，则、、二：互为共辗复数

【答案】ACD

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【解析】

【分析】根据共轨复数的性质，可判定A正确；根据；=J5i,三=17,可判定B不正确；根据复数模的

运算，以及基本不等式，可判定C正确；根据实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，可判定D正确.

【详解】对于A中，设=1=4+左,二2=c+1i.(a*瓦,

则zt-z,=(o+/?i)(c+di)=ac-hd+(ad+hc)i,所以:［•三=ac-hd-(ad+bc)i

又由W•二？=(a-bi)(cdi)=achd(ad+bc)i,

所以二］•［：=二।•三，所以A正确；

对于B中,取Zj=>/2i,z?=l+i,满足「则Z1——2.Z2=2i,所以z；z2,

所以B不正确；

对于C中，设二I=a+8i,二2=c+(/i\a,b,c,deR),

贝！Jpi+Zzl=|(a+c)+(6+(/)i|=a2++c:+</:+lac+2bd,

(|zj+|z：|f=aW+d+/+2^(a2+/>:)(c:+d:),

又由(ac+M)'=a\~+b2d2+labed,

(a2+b2)(c2+d2)=a2c:+b2d2+a2d2+b2c2^a2c2+b2d2+2abcd

当且仅当「d：=h；时，等号成立，所以匕+二』引zj+H，所以c正确；

对于D中，利用实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，即可得到D正确.

故选：ACD.

10.已知.48C的内角L8,C所对的边分别为。，机。，则下列说法正确的是()

A.若sin8>sinC,则8>C

B.若。=2#/=4,4=：,则三角形有两解

C.若.48C面积为S,S=则C=?.

4'4

D.若6cos8ccosC=0,则.48(7一定为等腰直角三角形

【答案】AC

【解析】

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【分析】对于A：利用正弦定理化简即可；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：利用面积公式和

余弦定理化简即可；对于D：举反例即可.

【详解】对于选项A：因为sin8>sinC,贝所以8>C,故A正确；

对于选项B：由余弦定理可得r=b,♦「•？hicos.』，BP24=16+c2-2x4cx—,

2

整理可得(-4VFc-1-U，解得<-2W-$或t-?V?-4(舍去)，

所以三角形有一解，故B错误;

对于选项C：因为S=一（/+,则』absinC='x2aZ>cosC,可得tanC=l,

424

且Ce(0.7d,所以C=£,故c正确；

对于选项D：例如才=8=C=；,贝u“=b=,

可得Mos8ccosC=frcosfibcosB=0,符合题意，

但.48C为等边三角形，故D错误；

故选：AC.

11.定义在R上的奇函数/⑶，满足/(l+x)=〃3-x)且“X)在［0,2］上单调递减，/(2)=-1,则

()

A.函数图象关于直线X=2对称

B.函数/(W的周期为4

C./(2024)+/(2022)=1

D.设=/十T|-6<x<2|,和g［x］的图象所有交点横坐标之和为一2

【答案】AC

【解析】

【分析】A：将./(I川=/13X)变形为〃2+#=/(2XI即可判断；B：根据〃-2)./(2)的大小

关系可作出判断；c：根据B中计算出的周期化简/(20241•/|20221,结合〃的奇偶性可判断结果;

D：先分析的图象的对称性，然后作出xi在同一坐标系下的图象，根据图象的交点

个数作出判断.

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【详解】对于A：因为/(l+x|=〃3x),所以〃2+M=/[2x),所以/(X)图象关于直线X=2对

称，故A正确；

对于B：因为/(l+x)=/(3-x),所以/'(x+4)=/(-x),

又因为是R上的奇函数，所以/|-x)=所以〃x+4i=・/|x),

所以〃x+8)=-/(x+4)=/(x),所以的周期为,

又因为/(2)=友2)=1,所以所以的周期不可能为4,故B错误；

对于C：因为〃的周期为，所以

/(2024)+/(2022)=/(8x253|+/(8x253-2)=/(0)+/(-2),

因为是R上的奇函数，所以.〃0|+/「21=0-〃2|=1,所以〃20241+/(2022|=1,故c正

确；

对于D：因为〃x+4)=/(-x),所以/(-4-x)=/(x+8)=/(x),所以/(-2-”=/(-2+幻，

所以的图象关于K=-2对称，

又因为g1-4-x|==$十臼=g(x),所以g(-2-x)=g(-2+x),

所以月(H的图象也关于、=2对称，

作出〃N.g|XI在同一平面直角坐标系中的图象如下图所示：

由图象可知：有两个交点，且交点关于A=-2对称，

所以的图象所有交点横坐标之和为-2x2=-4,故D错误；

故选：AC.

【点睛】结论点睛：对称性常用结论如下：

(1)若函数/")满足/(4+*}=/(。-”或/(2。7)=/(*)或/(2。+”=/(-”，则/(x)的一

条对称轴为x=。；

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(2)若函数/(x)满足〃a+x)+/(a-x)=2/>^/(2a-x)+/(x)=2方或/(2a+x)+f(-x}=2b,

则/(x)的一个对称中心为(。力).

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知£=|1,3|[=[2+，1|,且d与/1的夹角为锐角，则实数彳的取值范围是—.

【答案】A>—5且拄一Q

【解析】

【分析】依据两个向量的夹角为锐角，所以可得8$«,q}>0且月工4£屋>01,然后计算即可.

【详解】因为d与力的夹角为锐角，则coS(u后>0,且cos，；”")/I,

——-5

即d,6=2+%+3>0,且6HA“7(A>0],则/>—5且及—.

3

故答案为：4>一5且拄一§.

13.如图，在离地面高100的热气球M上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45。，已知

ZBAC=603,则山的高度BC为.

【答案】150

【解析】

【分析】先求得4W,然后利用正弦定理求得,4C,由此求得8c.

【详解】依题意可知三角形,八/0是等腰直角三角形，

所以=IDOVT，

ZX.WC=60e,Z.WK=180°-45°-60°=75°,£ACM=180°-60°-75°=45°，

由正弦定理得』—4W,4M

,AC=•sin600

sin600sin450sin45°

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A“100x/23

心，，BC=JC-sin60°=­sin260°==150

所以sin45°4

故答案为：NO

l.r+lLx5O

14.已知/(."=

v＞o'若方程有四个不同的解项、八、XJ、L且＞＜工＜八＜3,

1I

贝I］』+-V,+-的取值范围是.

XyX4

【答案】|-2,-2+

【解析】

1I、1

【分析】作出函数的图象可得：项+工=-2,xt=—,进而得到占♦与~---=-2-----x,,求出

XjM

口的取值范围，利用函数的单调性进而求解.

【详解】如下图所示:

y=f(x)

OX31

方程/（M=a有四个不同的解玉、七、X）、肛且、＜'＜v＜h，且

由图可知，点（三,“）关于直线入=1对称，则\+工=-2,

由图可得由|lnxj=|lnx/可得Inx,=-Inx,=In',可得

由a=|lnxj=-In.、e[0,l]可得<1,

I1I

所以，X|+4+-

-X-二在-.1I上均为减函数，故函数丁=1

因为函数J'=一、I

X

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因为_4M<],则-2<---x,-2<-2+e--,

ex,e

11(|1

因此，$+工+-----7的取值范围是I-2,-2+e--.

心Xj\e.

故答案为：卜2,-2+e-：.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据函数的对称性、对数的运算性质将所求代数式化简，转化

为只含一个变量的函数，结合函数基本性质求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.求下列各式的值：

(1Y7

⑴(本+lg25+lg4+7心:；

Jl-2sinlO°coslO°

sin10°-Vl-sin:100

【答案】⑴20;(2)-1

【解析】

【分析】(1)根据指数累运算与对数运算公式求解.

(2)利用同角关系计算即得.

小问1详解】

(1

77+Ig25+Ig4+7^J2

\64/

2

=(2-6)y+lg52+lg22+2

=24+2(lg5+lg2)+2

=24+2lgl0+2

=16+2+2=20；

【小问2详解】

Jl-2sinl0°8s10°Jsin"0°+cos“00-2sinl00cosl00

sinl00-Vl-sin210°sinlO0->/l-sin:10°

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^(sinl00-cosl00)4

sin100-cos10°

_cos10°-sin10°_]

sin100-cos10°

16.记.48。的内角.L8,C的对边分别为。、氏。，已知J讽os/l+J?acos8+ctart4=0.

(1)求A；

(2)若Q=4,求ABC的面积的最大值.

【答案】(1)力=至

⑵史

3

【解析】

【分析】⑴边化角结合sin18+川=sin('即可求解；

(2)由余弦定理、基本不等式结合三角形面积公式即可求解；

【小问1详解】

由JIfrcos/l+JJocosB+ctanJ=0结合正弦定理边化角可得：

6sinBcosA+VJsinAcosb+sinCtanJ=0,

即"sin(8-.41+sinCtan.4=0,又d-8=x-C,

所以6sinC+sinQan4=0,又sinC*0,

所以tailA=—>/?>，。<」<x

所以；

【小问2详解】

,222«

由余弦定理，得cos.4=—————=一一,

2bc2

所以/+<;-16=-fee.

由基本不等式知卜•12Ue,

于是-be=/)'+c:-16>2be-16=>he<—,

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当且仅当b=c=—时等号成立.

3

^\，曲、，后16

所以ABC面f积ncS=—bLcs\nA=—be<—x—=---

24433

当且仅当/>=。=士①时，面积取得最大值SC.

33

17.记.48。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2/>c=2dcost,.

(1)求角A的大小；

(2)若。点在线段8C上，且平分/84C,若8D=2CD,且,4。=6,求

【答案】(1)4=T

g3G

(2)a=---

2

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理化简已知等式可得2sin8sinf=2sin-IcosC,结合sin8=sin|.4•C|利

用两角和的正弦展开式化简，再结合角的范围可求结果;

(2)由'，八7”.-S，一利用三角形的面积公式化简可得力+c=k,再结合角平分线定理可得c=2/>

,然后用余弦定理可求结果;

【小问1详解】

由正弦定理可得;b

sinB

所以2b-c=2acosCn2sinB-sin(=2sinAcosC,

即2sin(4+C)-sinC=2sinAcos(,

可得2sinAcosCf2cosAsinC-sinC=2sinAcosC,

整理可得sin。2cosA1)=0,

因为在ABC中，sinC>0,

所以cos4=J,又

2

n

所以j二Q；

【小问2详解】

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因为•AKpA。平分/8/C,

由§如+§>u=S»得:,40.,43sinm.,4Csinm./Csin3,

262623

即走C+苴^=—be

整理可得力+c=k,①

444

因为。。为角平分线,所以N8」D=NC/D,

BDAB

在△中由正弦定理可得一_--

sin/.BADsinZBDA

CDAC

在中由正弦定理可得.

sinZCADsin-C'

又上BDA=n-ADC,所以sin/80.4=sinAADC,

ADDn

所以==2^AB=2AC^c=2b,②

ACCD

由①②可得8=3,c=3,

2

在.48C中，由余弦定理可得

兀27

:2:

BC=AC+AB-2ACABcos-=—f

18.在.48C中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,BC,AC边上的两条中线AM,8N相交于点P.

(1)令4八0,』C二A，用Q，h表示AP;

(2)证明：所卜;,2.+。2卜/；

⑶若.48=4,.40=10,N8.4C=60：,求NMPN的余弦值.

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【答案】(1)」，--lJ*-

⑵证明见解析⑶4叵

91

【解析】

【分析】(1)由条件可得竺=，，结合工/=।(1以+%)可解；

(2)在.48C中，由余弦定理，得C0S/48C,在屋彳8的中，由余弦定理，得H/；

(3)/与而，丽的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.

【小问1详解】

由题可知?是A48c重心，且竺=2，

PA2

所以AP=:AAf=；(4月+彳")=卜+j.

【小问2详解】

在48C中，由余弦定理，得cosN.4BC=，

lac

在AHBM中，由余弦定理，得

【小问3详解】

因为而，丽=/MPN，AM=^-a+^-h,BN=-a+-b,

222

■.1.21.2-2I«2

所以』A/8N=—-a--ab+-b=-8-5+25=12,

244

-1A7BN124回4病

所以c°s,JL7即=^^=即=寸,即乙的余弦值为詈.

19.已知。为坐标原点，对于函数/(x)=asinx+〃cosx,称向量d7=(。/)为函数/(K|的相伴特征向

量，同时称函数/(打为向量6"的相伴函数.

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⑴记向量ON=(1,6)的相伴函数为/(K),若且xj-f，：]，求siiu的值；