第4章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结（解析版）

第4章指数函数与对数函数章末重难点归纳总结

®ara,=^*1(a>9,r,jeQ).®(ay=an(a>9,r,s6Q).

®(aby=^y(a>9,bX>,reQ).④^=jr(a>0,r,sEQ).

如果>0,且今1,M>0..V>0.那么

指

数

对

数0*"、)=1<^"+log»V②唔三=Iog3fToga、

运

算N

软通”€R).©log,=2Mog^V(/i6R.用)

-m

指数函数

对数函数

零点区间

零点定理

零点个数

I-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

重点一指数对数的运算

【例1】（2022・江苏）化简与求值：

（1）（石_1）。+J（3_/r）2+8,

⑵4脸3+log18-1g搭+lg25—1g-In7?.

o16<21

_

+0.002-5-10(>/5-1)-+乃°•

（2）lg25+lg2-lg50+（lg2）2

【答案】⑴兀；（2）?.（3）身叵一旦；（4）2

2218

【解析】（1）原式=1+兀-3+（2）=兀.

V—1zT1Qq11

=221O823-log,8-lg—+Ig25-lg8-lne^=9-3+lg(25x—x-)__=6+lgl0—=—

(2)原式1658222

_2

f-—3+0,002^-10(75-If1+^-°=J']+(500')2-10x^P+1

⑶I8JL''」

=，班-乎-5,15619

2218

22

(4)lg25+lg2-lg50+(lg2)=21g5+lg2(l+lg5)+(lg2)=21g5+lg2+lg2(lg2+lg5)=2(lg2+lg5)=2

【一隅三反】

1.（2022•全国•高一课时练习）计算:

7

(I)lgl4-21g-+lg7-lgl8；

⑵(lg5y+31g2+21g5+lg2xlg5；

*22

(3)(log62)+(log63)+31og62x^log6W-|log62

(4)log327+1g25+1g4+7啕2+log］1；

Ig8+lgl25-Ig2-lg5

()1gV10xlg0.1

【答案】(1)0(2)3(3)1(4)7(5)Y

［解析］(1)方法一：(直接运算)原式=lgWTg<|7jJV+Ig7-lgl8=lg—14x—7=lgl=0

方法二：(拆项后运算)M^=lg(2x7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32x2)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0.

(2)M^=lg5x(lg5+lg2)+2(lg2+lg5)+lg2=lg5xlgl0+21gl0+lg2=2+(lg5+lg2)=3.

22

(3)原式=(log62)+(log63)2+3log62xlog6需=(log62)+(log63)?+3log62xlog6衿

222

=(log62)+(log63)+21og62xlog63=(log62+log63)=1.

(4)原式=3+lg(25x4)+2=5+2=7；

।8x125

lg

=^rlgio

（5）原式===4

Igio2xlgio-1-x(-l)

2.（2022・湖北）计算下列各式的值:

x2+x~2

(1)已矢口%+%T=3,求：IT•

一—”

⑵1.5一3x('+80-251O875

+lg25+lg4+(1)+log75^?9

【答案】(1)17(2)115

【解析】（1）因为丁+二=（尤+一）一一2=9-2=7,而x2-%2=x-2+x-1=1,所以，_丁《=±1，所

7

X2+元一之

以U=±7

户一户

【答案】V2-21

a

4

_224_______「3l2「’1、2工下

[解析]⑴(-0,12)°+^x(3|j_(向+=1+fx[I)3_j"3x32+0_]

=l+-x--3+^-l=V2-2.

94

_1J__j_£

〃1.A2.〃-5.K3-1-1_11+1_51L

(2)原式—],=a3262236=〃-1.不=_1.故答案为:血—2,

a

•ma

重点二指数函数

D"K_A.n

【例2】（2022•广东・深圳市）已知函数八力=——----（”>0,。片1）是定义在R上的奇函数.

2。~1~a

（1）求。的值；

⑵求函数“X）的值域;

⑶当x«l,2)时，2+〃犷(力―2工>0恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)。=2(2)(-1』)(3)y,+^

【解析】(1)因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=型】*=空2=0,解得”2,

2〃+QQ+2

7X_1r)~x_i1_r)x_i

当a=2时，f(x)=-—此时〃—x)=^—-==所以〃=2时，f(x)=-—^是奇函数.

7x

v72X+1'2-+l1+2*v7v72X+1

所以〃=2；

(2)由(1)可得;-]一J

V72X+12X+12X+1

197

因为2*>0,可得2工+1>1，所以0<h~^<l,所以-2<-,所以-1<1-不「<1,

2+12+12+1

所以函数“X）的值域为（-1,1）;

（3）由2+时（力一2工＞0可得时（x）＞2，-2,

即m-二=1＞2,-2,可得〃?＞（2'-2乂2'+1）对于了©0,2）恒成立，

2'+12X-1

令2:1=”（1,3）,则心（1）”+2）=/二十],

tt

o7?1010

函数）=­7+1在区间。,3）单调递增，所以-：+1＜3-§+1=7,所以m2不，

所以实数小的取值范围为

【一隅三反】

4

1.（2022•贵州・黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数/（幻=1-力一（。＞0且"1）为定义在R上

的奇函数.

（1）利用单调性的定义证明函数/（X）在R上单调递增；

（2）求不等式/（炉+2x）+“X-4）＞0的解集.

⑶若函数g（x）=4fU）-1有零点，求实数上的取值范围.

【答案】⑴证明过程见解析；⑵（F,T）U（l,y）（3）左«Yo,-l）U（l，y）

447

【解析】⑴由题意得＜（0）=1一五二0,解得："2,小）=＞行1=＞的'

任取且为＜马，则

7?922X1+1+2-2X2+1-22西+i_2^2+i

/（不）_〃々）=1------------1+--------=---------

1'2）2画+12巧+12*2+12再+1（2巧+1乂2再+1）（2芍+1）（2演+1）因为占工€土且

%1<x2,所以2为包一2爸包<0,2*+1>0,2'2+1>0,

2为+12"2+i

所以、）一（%）=产而旬＜°故/（为）＜/伍）所以函数/（X）在R上单调递增;

（2）/（尤2+2%）+/（尤-4）＞0,gp/（x2+2x）＞-/（x-4）,

因为/（x）=l-右为定义在R上的奇函数，所以/（x2+2x）＞-y（x-4）=/（4-x）,

2

因为/（%）=1-为定义在R上单调递增，所以炉+2%〉4-%,解得：或x＜Y,

2X+1

所以解集为：(f,T)U(l,+w)；

(3)==-1有零点，

当上=0时，g(x)=kf(x)-l=-l,没有零点，不合题意，舍去；

21

当上W0时，即1—不「=：有根，

乙IXK

2

其中当%>0时，2、>1，2、+1>2，0<——<1,

2+1

2

故/(%)=1-十：£(0,1),

2X+1v7

2

又因为/(x)=l-k二在R上为奇函数，

2+1

2

所以当x<0时，/W=l--e(-l,0),且"0)=0,

71

所以/(x)=1---在R上的值域为(-111),故7€(-1,0)”0,1),

AI1K

解得：左e(-o),-l)U(l,y),

所以实数上的取值范围为让(F,-l)U(l,y).

2.(2022.全国•高一课时练习)已知函数/(x)=b?优(。,匕为常数，a>0,且。*1)的图象经过点A(l,6),

5(3,24).

⑴试确定函数的解析式;

⑵若关于尤的不等式-加20在区间(3』上恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】(1)/(力=3乂2〃2)18,：

【解析】(1)因为函数/(x)=。?"的图象经过点4(1,6)和3(3,24),

\ab=6,A,,

可得.3c—结合。>0,且解得a=2,6=3，

[6・谬=24

所以函数〃x)的解析式为〃x)=3x21

⑵要使舞+B?机在区间(-8,1]上恒成立，

只需保证函数y=在区间（-8』上的最小值不小于加即可,

在区间（-85上单调递减,

所以当x=l时，[取得最小值，最小值为|,

所以只需加£2即可，即实数"2的取值范围为Js].

616」

3.（2020・广西・兴安县第二中学高一期中）己知定义域为R的函数/。）="二是奇函数.

2+4

⑴求4、6的值;

（2）证明五功在（-8,+8）上为减函数；

⑶若对于任意“R,不等式/（--2/）+/（2/-Q<0恒成立，求发的范围

【答案】（1）。=1,6=1；（2）证明见解析；（3）%<-；

A-11-2"

/（0）=--=0/（%）=-------

【解析】（1）由已知1+。，6=1,2、+1,

=此时/（%）定义域是R,/（-%）=±22=2二=-/（工），八九）为奇函数.

2X+12111+2X

所以Q=1,b=l；

，/、1—2"2

f（X）———I1H---------

（2）由（I）2"+l2"+l,

设任意两个实数4%2，玉<%2，则0<2国+1<2"2+1,

22所以—1+;^2>-1+小2；，即/&）>/区），所以/⑺是减函数;

2*+i2^+12X1+12X2+1

（3）不等式f（/-2f）+/（2/一行<°化为/（?-2t）<-/（2r2-k）,

F（x）是奇函数，则有/a2-20</（-2产+左），

/（无）是减函数，所以产-2t>—+T,

所以左<3r-2/=3（f-；）2-g恒成立，易知3«-§）2的最小值是,所以上<-“

重点三对数函数

2—Z7Y

【例3】(2022•甘肃定西•高一阶段练习)已知函数〃尤)=log3—T(aeR)的图象关于原点对称.

(1)求。的值；

⑵当xe[3,5]时，〃x)<log3(x+2外恒成立，求实数4的取值范围.

【答案】(1)4=一1(2)。,+8)

2

/(x)=log3

【解析】(1)函数无-2的图象关于原点对称，

则函数〃尤)=log3上日为奇函数，有x)=—〃x),

即logs生2=-1。乐”彳，即1强31»^."?]=0,即4-=1解得。=±1,当。=1时，不满足题

-x-2x-2y-x-2x-2)4-x

忌、,••ci——1.

2+%%+2

⑵由小)<1唱。2机得喝二^.口+2%),口产>三-:

Y-I-D4

令g(无)~--^=1+—-无，易知g(无)在尤目3,5]上单调递减，

则g(x)的最大值为g⑶=2.又•.•当xe[3,5]时,〃x)<log3(x+2外恒成立,

BP2k>-----%在XE[3,5卜恒成立，且冗+2上>0,/.2k>2,k>l,

x-2

即实数左的取值范围为(L+8).

【一隅三反】

1.(2022・全国•高一课时练习)已知函数〃x)=log/x2-2ox+3).

2

⑴若函数“X)的定义域为(F,1)53,Y),求实数。的值；

(2)若函数/(x)的定义域为R,值域为(-8,T],求实数〃的值；

(3)若函数/(X)在(-叫1]上单调递增，求实数。的取值范围.

【答案】(l)a=2(2)实数。的值为1或一1(3)[1,2)

【解析】(1)令"(力=/-2依+3,则由题意可知],3为方程Y-2"+3=0的两个根，

所以函数“X)的图像的对称轴方程为x=W=粤=2,即a=2.

-22

(2)由题意，对于方程尤2—2办+3=0,△=(-2a)2_4xlx3<0,即一代'<“<白,

2

由函数〃尤)的值域为(-8,-1],可得当x="时，/(«)=logi(a-2axa+3)=-l；解得。句或乩

2

故实数。的值为1或-1.

(3)函数在(一8可上单调递增，则“(力=/一2依+3在上单调递减.

易知函数"(X)的图像的对称轴为直线x=a,所以“21.

易知"(x)在x=l时取得最小值，

当x=1时，有〃(1)=1-2a+3>0,得a<2,

所以实数。的取值范围是[1,2).

2.(2022•全国•高一单元测试)已知函数〃x)=log“(l+6x)(。>0且"1),/(1)=1,“3)=2.

⑴求函数〃尤)的解析式；

⑵请从①尸)⑺-八-)②W外-9-八江③丁=/⑴+”-耳这三个条件中选择一个作为函数8⑺

的解析式，指出函数g(x)的奇偶性，并证明.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴/(x)=log2(l+x)；(2)答案见解析.

Joga(l+6)=1[a=l+bfa=2

【解析】⑴依题意，h°g/l+")=2,1/=1+36,而。>。且awl,解得标=1,

所以函数f(X)=log2(l+X).

Jl+x>0

(2)选择①，g(x)=log2(l+x)-log2(l-X),贝！]有解得T<X<1,即g(x)的定义域为(T，l),

又g(-X)=log2(1-x)-log2(1+X)=-[log2(1+x)-log2(1-%)]=-g(x),

所以函数g(x)是定义在(T，l)上的奇函数.

选择②，

+x〉0

g^)=log2(l-^)-log2(l+x),则有1>0,解得T<X<1，即g(x)的定义域为(-L1)，

又g(-X)=logo(l+x)-log2(1—X)=-[log,(1—x)—log2(1+x)]=—g(x),

所以函数g(x)是定义在(T，l)上的奇函数.

选择③,

11+%>0

g(x)=log2(l+x)+log2(l-x),则有17>0，解得T<X<1，即g(x)的定义域为(T，l),

又g(一尤)=log,(1—尤)+log2(l+x)=g(x),

所以函数g（x）是定义在（T，l）上的偶函数.

3.（2022・全国•高一课时练习）已知函数〃尤）=bgiF"的图象关于原点对称，其中。为常数.

4X-1

⑴求。的值；

⑵当xe（l,+w）时，〃尤）+1。8工（彳-1）＜利恒成立，求实数〃，的取值范围；

4

⑶若关于X的方程/⑺=l°g工（尤+左）在［2,3］上有解，求实数k的取值范围.

4

【答案】（1）。=一1（2）［-1,心）（3）［-1,1］

【解析】（1）因为函数〃x）=log|二彳的图象关于原点对称,

4工一］

/、/、,i-ax,1+ax

所以〃尤）+/（r）=0，即1叫一Tf+bgi二7=°，

4X-14—冗-I

~（\-ax1+ax1八，一，、、

所以logi--X----7=。恒成"，

八x-1-x-lj

1-ax1+ajc

所以--------x---------=1恒成立,

x—1—X—1

即1-/*2=1_了2恒成立,

即（/一1卜2=。恒成立，所以合一1=0,解得°=±1,

又a=l时，/（x）=log］一二~无意义,故。=—1.

4%一］

（2）因为xe（l,Ko）时，”x）+l°gi（xT）＜〃z恒成立，所以log』号+1气工"-1）。〃恒成立,

所以l°g_L（%+1）＜根在％£（1,+00）上恒成立，

4

因为＞=logjx+l）是减函数，所以当xe。,y）时，logjx+l）e（-co,-l）,

所以"zN-l,所以实数机的取值范围是［-1,口）.

（3）

因为〃町=1＜^二=题/1+二7］在［2,3］上单调递增，9（尤）=141（尤+左）在［2,3］上单调递减,

7XT7k4

rf（2\<g（2}政5尸一2".丁,，

因为关于尤的方程汽无）=峭（尤+外在［2,3］上有解，所以乩［二'即

4log,2>logi（3+^）,

、44

解得-14左<1,所以实数上的取值范围是［-U］.

重难点四零点定理

【例4-1］（2022•课时练习）函数）=以2+2奴+3,（〃。0）的一个零点为1,则其另一个零点为.

【答案】-3

【解析】解法一：因为函数丁=。%2+2〃％+3,（〃工0）的一个零点为1,

将（1,0）代入得a+2a+3=0,解得〃=-1.

所以y=-x2-2x+3.

令—x2—2x+3=0,解得%=1,x?=—3,

所以函数的另一个零点为-3.

解法二：由函数y=Qf+2ax+3,（a。0）的一个零点为1,可得方程依2+2〃％+3=0,（〃w0）的一个根为1,根

据根与系数的关系可得玉+%=-次=-2,所以另一个根为-3.故函数的另一个零点为-3.

a

故答案为：-3.

【例4-2］（2022•山东）方程lnx=4—2x的根所在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】令/'（x）=lnx+2x-4,显然/（x）=lnx+2x-4单调递增，

又因为〃1）=2-4=-2<0,/（2）=ln2+4-4=ln2>0,

由零点存在性定理可知：〃x）=lnx+2x-4的零点所在区间为（1,2）,

所以Inx=4-2x的根所在区间为。，2）.

故选：B

【例4-3】（2022•全国•高一课时练习）函数/（x）=xsin2G-l在区间（0,3］上的零点个数为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】函数〃%)=%sin2K-1在(0,3]上零点的个数即方程％sin2»%-1=0在x«0,3]上解的个数,

方程xsin2;r%-l=0化简可得sin2%%=—,

所以方程方程xsin2公-1=0的解的个数为函数y=sin2%x与函数y=1的图象交点的个数，其中xe(0,3],

X

在同一坐标系中作出函数>=sin27rx与函数y的图象如图所示，

X

由图可知在区间(0,3]上，两函数图象有4个交点，

故函数/。)=衣皿2g-1在区间(0,3]上的零点个数为4,

【例4-4】(2021•全国•高一期末)已知函数/(元)=｛：一""""(a>0),若函数g(x)=/(x)-4闪有三个零

15—x,x>

点，则。的取值范围是()

A.(0,l)U[5,+8)B.(0,|)U[5,+«)C.(1,5]D.(1,5]

【答案】A

【解析】g(x)=/(x)-4忖有三个零点=与y=4|x|的图象有三个交点.

因为〃〉0,所以当了40时，X2—x=—4x，得x=—3或％=0,

所以y=/(x)与y=4|%l的图象有两个交点，则当冗>。时，y=/(x)与y=4|%|的图象有1个交点.

当x>0时，令4x=5—x,得犬=1,所以Ovavl符合题意；

y

12

11

10

9

8

7

6

5

o

k4

v3/

—I11——I-------1——I1_I---------

-5Y-3-2-l^ri2347

令4X=Y-X,得X=5,所以5符合题意.

V

2A-

1_

0_

9_

8_

7_

6_

5_

4_

综上，实数。的取值范围是（O」）U[5,"）.故选：A.

【一隅三反】

3

1.（2022・浙江•余姚市实验高中高一开学考试）函数4x）=lnx——的零点所在的区间是（）

x

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】B

【解析】因为y=lnx,y=-2为xe（O,y）上的单调递增函数，所以/（x）=lnx-3为xe（0,y）上的单调递

XX

333

增函数，因为/⑴=lnl-1=一3<0,/(2)=ln2--<0,/(3)=ln3-->0,

由零点存在定理，(2,3)上必有唯一零点.故选：B.

兀

2.(2022・江苏・金沙中学高一阶段练习)函数〉=5山％-$皿彳+§)-1在区间(0,2万)上的零点所在的区间为()

A.(0,—)B.(―,TF)C.D.(1,2%)

【答案】B

【解析】y=sinx-sin(x+£)-l,=-sinx--cos^-1,=sin(%-g)-1,