第二章 有理数及其运算 知识归纳与题型突破（十五大题型清单） 原卷版-2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第二章有理数及其运算的知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

1.相反数

有

理有关概念

数

及4、数轴］

其

/交换律）

运

—结合律）

算H运算律

I分类律।

T加减|

有理数的运算1

4H0nn

q乘方）

|科学记数法，有效数字与近似数1

02知识速记

知识点1:正数和负数

（1）概念

正数：大于o的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“一”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“一”号的数都是负数，而是在正数前加“一”的数。）

（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

1

知识点2：有理数

(1)概念

整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。(有限小数与无限循环小数都是有理数。)

注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非

正整数。

(2)分类：两种

⑴按正、负性质分类:⑵按整数、分数分类:

正有理数正整数正整数

有理数r｛正分数

整数Y0

Y有理数L负整数

零

l分数｛正分数

负有平负整数

负分数负分数

知识点3：数轴

(1)概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度

(2)对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

(3)应用j求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

(注意不带“+”“一”号)

知识点4：相反数

(1)概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

(0的相反数是0)

几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

(2)性质：若a与b互为相反数，贝|a+b=0,即2=4＞；反之，

若a+b=0,则a与b互为相反数。

两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。

2

(3)多重符号的化简

多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数

(注意：当“一”号的个数是偶数个时，结果取正号当“一”号的个数是奇数个时，结果取负号)

知识点5:绝对值

(1)几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。

厂个正数的绝对值是它的本身(若|a|=|b|,贝觞=1)或2=-1>)

(2)代数意义J一个负数的绝对值是它的相反数

0的绝对值是0

(3)代数符号意义：

-a>0,|a|=a反之，|a|=a,则a20,|a|=-a,则a=0

-a=0,|a|=0

_a<0,|a|=-a

注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

(4)性质：绝对值是a(a>0)的数有2个，他们互为相反数。即土a。

(5)非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即间20。几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0。

故若|a|+|b|=0,则a=0,b=0

L数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

(6)比较大小

L2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。

知识点6：加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

知识点7：加法运算定律

3

(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a

(2)加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a+b

+c=(a+b)+c=a+(b+c)

知识点8：减法法则

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a—b=a+(-)b

知识点9：乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

(2)任何数同0相乘，都得0。

(3)多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定

符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。

(4)多个数相乘，若其中有因数0,则积等于0；反之，若积为0,则至少有一个因数是0。

知识点9：乘法运算定律

(1)乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即aXb=ba

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即aXbXc=(aXb)X

c=aX(bXc)o

(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即aX(b+c)=

aXb+aXco

知识点10：倒数

(1)定义：乘积为1的两个数互为倒数。

(2)性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。

注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.

知识点11：除法法则

(1)除以一个(不等于0)的数，等于乘这个数的倒数。

(2)两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(3)0除以任何一个不等于0的数，都得0。

知识点12：乘方法则运算

(1)正数的任何次幕都是正数

(2)负数的奇次塞是负数，负数的偶次暴是正数

4

（3）。的任何正整数次事都是0

知识点13：混合运算

（1）先乘方，再乘除，最后加减。

（2）同级运算，从左到右的顺序进行。

（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两

步走：先确定符号，再求值。

知识点14：科学计数法

1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成aXIOn的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。

这种记数的方法叫做科学记数法。（l^|a|<10）

注：一个n为数用科学记数法表示为aXIOn」

2.近似数的精确度：两种形式

（1）精确到某位或精确到小数点后某位。

（2）保留几个有效数字

注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示

例如：256000（精确到万位）的结果是2.6X105

3.有效数字：从一个数的左边第一个非。数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。

注意：

（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0X104的有效数字是3。

（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。

例如：2.605万的有效数字是2,6,0,5o

03题型归纳

题型一正负数

例题：中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引人负数，如果盈利600元记作+600元，那

么亏本400元记作（）

A.-400B.-600C.+400D.+600

巩固训练

1.若气温为零上1CPC记作+1CPC,则-3。（2表示气温为（）

5

A.零上3PB.零下3久C.零上7°CD.零下7久

2.某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g）,抽样监测了其中4袋.其中超标的记为正数,

不足的记为负数.检验结果分别是+4,—0.4,—0.7,—2.4,最接近标准质量的是（）

A.+4B.-0.4C.-0.7D.-2.4

3.实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活

10棵记作+2棵，茄子组成活7棵记作（）,彩椒组成活8棵记作（)・

题型二相反意义的量表示

例题：在记录水库水位时，如果记录员把高于正常水位5cm记为+5cm,那么低于正常水位3cm应记为（）

A.3cmB.+3cmC.—3cmD.±3cm

巩固训练

1.小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，-12.00表示支出12元，下列说法正确的是（

-12.00

让支付回曰I（单

Q+3.04

A.+3.04表示收入3.04元B.+3.04表示支出3.04元

C.收支总和为15.04元D.收支总和为8.96元

2.一次数学测验全班的平均分为95分,小明考了98分，张老师记作+3分，小亮考了91分，张老师应记作

)分・

3.已知一个乒乓球的标准质量为2.70g,把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02,则质量为2.59g的乒乓球应记

为.

题型三有理数的概念辨析

例题：下列说法中，正确的是（)

A.正分数和负分数统称为分数B.0既是正整数也是负整数

C.正整数、负整数统称为整数D.正有理数和负有理数统称为有理数

巩固训练

1.在一0.8、3.5、p0、枭3.010010001....（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6

2.在数一2,0,y,p0.兆中，有理数的个数是()

A.2B.3C.4D.5

题型四有理数的分类/大小比较

例题：把下列各数填在相应的括号里

-3,—,7,3.14,2024,-3-,0,+2.01,-5%,n,53

54

整数集合：｛｝

分数集合：｛｝

非负数集合：｛｝

非负整数集合：｛｝

例题：比较大小：—(―m-1(填“>”，“<”或

巩固训练

1.比较大小：一2___(选填或

34

2.把下列各数分别填在相应集合中.

-179

一3,0,2020,-35,6.4,-1,0.03%,--,-3.14,500%,m3.5,-8.

37

负数集合：｛...)

整数集合：｛

正分数集合：｛...)

负整数集合：｛

3.把下列各数填入相应的括号内.

0.618,-3.1415,2022,-32,26.5%,0.

2

(1)正分数：｛｝;

(2)整数：｛｝;

(3)负有理数：｛｝；

(4)非负数：｛｝.

题型五数轴和数轴上的点所表示的数.

例题：在数轴上表示-3的点与表示2的点之间的距离是()

A.5B.-5C.5或一5D.1

7

例题：有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示.把-a,b,0按照从小到大的顺序排列，正确的

是（）

-----111-------->

a-0--------------b

A.0<—a<bB.—a<O<bC.b<0<—aD.b<—a<0

巩固训练

1.以下数轴画法正确的是（）

।।।।।।।।।»

A.-2-1012B.-2-101

-1----1----1-----1----1----1----.................................»

C.-3-2-10123D.-2-1123

2.数轴上表示整数的点叫作整点.某数轴的单位长度为1cm,若在这条数轴上任意画出一条长度为2024cm

的线段，则线段盖住的整点个数为（）

A.2025个B.2024个C.2025或2024个D.2024或2023个

3.如图，数轴上两点A,8所表示的数分别为-3,1.若点C在数轴上，且则点C表示的数是

（）

A.8B.5C.5或一4D.5或一11

题型六倒数的概念、相反数的概念和相反数的性质运用

例题：2024的相反数是（）

A.2024B.-----C.-2024D.--

20242024

例题：-1的倒数是（）

1

A.3B.-C.-3D.--

33

巩固训练

1.下列各组数中，互为相反数的是（)

A.7和一7B.—7和士C.—7和二D.三和7

777

2.一2的相反数是（）

A.2B.-2C.-D.-1

2

3.如图，在数轴上，点4、B分别表示数a、b,且a+6=0.若4、B两点间的距离为6,则点4表示的数为

)

8

AB

A.-6B.6C.-3D.3

4.若a,6互为相反数，则代数式a+b—2的值为.

题型七绝对值定义、绝对值的性质与化简

例题：-5的绝对值是（）

A.1B.5C.-5D.

例题：实数a,6在数轴上对应点的位置如图所示，则|。-6|+向的化简结果是（）

ab

I・I______ll______I；I______II»

-3-2-101234

A.aB.-CLC.a—2bD.2b-a

巩固训练

1.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数.不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角

度看，最接近标准的是（）

—3.6g—2.5g—0.9g—0.8g

A.<':•B.'C.'D.

2.请根据以下检验记录（“+”表示超出标准质量，“-”表示不足标准质量），选出质量最接近标准质量的乒

乓球的编号是（）

编号1234

偏差/g+0.03-0.02+0.05-0.04

A.1B.2C.3D.4

3.三个有理数a,b,c在数轴上表示的位置如图所示，则化简|a+6|-|c-b|+a的结果是（）

IIII>

ab0c

A.2a+2bB.2a+2b—cC.-cD.-2b—c

4.已知数a、b、c位置如图所示，化简|a--|a+c|=.

----------1—e-

0ab

9

题型八非负性的性质

例题：若—2|十|九一7|=0,贝+九|=()

A.2B.7C.8D.9

巩固训练

1.若-4|+(y+§=0,则6%y的值为()

44

A.-B.8C.-8D.--

33

2.若|a+2|+(5—bp=0,则a+b=.

3.如果|a—l|+|b—2|=0,那么2ab=.

4.已知(a+2尸与也—3|互为相反数，则a—b=.

题型九有理数的加减运算

例题：把7-(-3)+(-5)—(+2)写成省略加号和的形式为()

A.7-3-5-2B.7+3-5-2C.7+3+5-2D.74-3-5+2

例题：计算：

(1)(-3)+40+(-32)+(-8)；(2)51+(-|)+(+1|)+(-8.25)；

(3)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)；(4)(-0.5)+3^+2.75+(-50.

巩固训练

1.计算：

(1)0—(+5)—(—3.6)+(—4)+(—3)—(—7.4)；

10

(2)-3|+15.5-6|+(-5.5).

2.计算:

(1)0-(-2)+(-7)-(+1)+(-10)⑵(-5。-(-2.25)-(-2|)-(+5|)

2211

⑶.0.5-5广1+31(4)-9.2-(-7.4)+9|+(-6|)+(-4)+|-3|

3.计算:

(1)25.3+(-7.3)+(-13.7)-(-7.3)；⑵(一今+(-y)+(+须+(+£)；

(4)(-10)-(-15)+(-16)-(+20).

【题型10］有理数乘除法运算

例题：计算：

(1)(-3)+X0.75+(一力X(-6)；x(-0.1)+5x(-10)；

11

⑶[(一72)x(—|)]x[(—I)+(一到.

巩固训练

1.计算：

(1)(-3)+(-1；)x0.75-(-|)x(-6)(2)(-0x(-0.1)(-10)；

2.计算：(一81)++(-15).

3.计算：

(1)(-81)+：x/(-16).

【题型111有理数的乘方

例题：下列各组数中，数值相等的是（)

A.-22和(-2)2B.一日和（一义）2

C.一|2|和|一2|D.(-2)2和22

12

巩固训练

1.下列各式中，不相等的是()

A.(—2)3和—23B.(—3)2和32C.(一3)2和—32D.|—2|3和23|

2.下列各组数中，相等的一组是()

A.一(―2)与+(—2)B.+(—3)与+|-3|

C.(一27与一23D.(-3)2与-32

3.计算(—2尸=()

A.-6B.6C.-8D.8

4.下列各组数种，值相等的是()

A.一23与(一2尸B.23与32C.一22与(-2)2D.一|一3|与|一3|

【题型12］有理数混合运算

例题：⑴(一；)+|-(一2习+(-3)；⑵_*(/)-4X||-21

(3)一炉+(_2)2x(——+———；(4)_1。_(1_0.5)x—x[2_(_3)2]；

(4)-|x-32x(-0-2+(-2)3-

(6)-5^-(-2>+(1—0.8x—x(-2).

巩固训练

1.计算：

(1)(—1)2022+(-2)3X5-|-28|+4；⑵(-/*)+(/)

13

2.计算：

(1)6+(—5)+4+(—5)；(2)-16+24X(|-|+|).

3.计算:

(1)-32x(一｝+(-8)+(—2)2；(2)(—1)202。+|*(—2)3.

【题型13］算“24”点

例题：小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：

-540+2+6

(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？

(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？

(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24.写出运算式子.(写出一种运算式).

巩固训练

1.小亮和同伴玩“24点”游戏，游戏规则是从一组卡片中任意抽取4张，根据卡片上的数进行混合运算(每

张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24或-24.小亮抽到的4张卡片上的

数分别是2,-6,12,13,请帮助小亮列出一个结果为24或-24的算式.

2.有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数(每个数用且只用

14

一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24.现有四个有理数1,-2,2,3,请仿照“二

十四点”游戏规则写出一个算式：,使其结果等于24.

3.根据“二十四点”游戏规则，3,4,-6,10每个数都必须用且只能用一次，用有理数的运算符号（+或-或

x或+或乘方）连接，运算符号不一定全用，便其结果等于24,算式为—.

4.有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这

四个数（每个数用且只能用一次），使其结果等于24.例如对1,2,3,4,可作如下运算：（1+2+3）x4=

24.在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩.现给出3,-5,6,-8四个数，这个算式为

（只写一个算式即可）

【题型14］科学计数法和近似数的表示

例题：“村超”出圈带动“村经济”，“村B4”的赛事同样火热，在“村B4”赛事期间，台江县接待游客181900

人次，其中181900用科学记数法表示应为（）

A.0.1819X106B.1.819X106

C.1.819x105D.18.19x104

例题：用四舍五入按要求对0.07056取近似值，其中错误的是（）

A.0.1（精确到十分位）B.0.07（精确到0.01）

C.0.070（精确到千分位）D.0.0706（精确到0,0001）

巩固训练

1.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米，将数字21500000用科学记数

法表示为（）

A.2.15x107B.0.215x108C.2.15x106D.21.5x106

2.世界文化遗产长城总长约为6700000米，将6700000用科学记数法可表示为（）

A.6.7x105B.6.7x106C.67x105D.0.67x107

3.南宁市2023年全年粮食总产量约为2130000吨，其中数据2130000用科学记数法表示为（）

A.0.213x107B.2.13x106C.21.3x106D.21.3x105

4.小星用天平称得一个罐头的质量为2.046kg,用四舍五入法将2.046精确到0.01的近似值为（）

A.2B.2.0C.2.04D.2.05

5.8.0648保留一位小数是（）,精确到百分位约是（）.

【题型15］有理数实际应用

15

例题：出租车司机李师傅某天上午营运时从公司出发，在东西走向的大街上进行，如果规定向东为正，向

西为负，他这天上午所接八位乘客的行车里程（单位：km）如下：

—3,+9,+10,—6,—12,2,8,—10.

（1）将最后一位乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？

（2）若汽车耗油量为每千米0.07升，这天上午李师傅接送乘客，出租车共耗油多少升？

（3）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km）,超过部分每千米2元，求李师傅这天上午共

获得车费多少元？

巩固训练

1.2021年第1