2025上海中考数学一模汇编：填空小压轴题（学生版+解析版）

专题06填空小压轴题

|考点概览

考点01新定义问题

考点02翻折问题

考点03旋转问题

考点04相似三角形综合题

考点05等腰三角形有关综合题

考点。新定义冏题

1.（2025・上海静安•一模）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩

形”.如图，一张规格为A4的矩形纸片A5CD,将其长边对折（所为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，

且44、斑这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为—.

AED

BFC

2.（2025・上海宝山•一模）一个二次函数的图象经过点亿0）,则称f的值是这个函数的“零点”.例如：二次

函数y=a（x—3乂X+2）（"0）,无论a取何值（3,0）和点（-2,0）,所以3和-2是这个函数的“零点”.如果一

个二次函数有且只有一个“零点”-1,那么这个二次函数的解析式可以是.（写出一个符合要求的

函数解析式即可）

3.（2025・上海金山•一模）在平面直角坐标系无Oy中，将抛物线乙：y=aY+bx+c（其中。、b,c是常数,

且"0）,以原点为中心，旋转180。得抛物线；2,则称4是4的“中心对称抛物线”.已知抛物线%=/-3x-4,

将抛物线为向左平移〃个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为A、B.将抛物线”的“中心对称抛物线

%向右也平移〃个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C、D.当线段2C是线段48、8。的比例中

项时，"的值为.

4.（2025・上海嘉定•一模）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我

们称这条线段是梯形的“黄金分割线”.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AD=6,BC=10,点E、F分

别在边A3、CD±.（AE>BE）,如果所是梯形ABCD的“黄金分割线"，那么跖=.

AD

5.（2025・上海虹口•一模）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角

形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角

4

形的“重似线段”.如图，在VA3c中，AB=IO,tanB=~,tanC=2,点。、E分别在边A3、AC上，如

果线段DE是VABC的“重似线段"，那么小=.

考点“翻折冏效

6.（2025・上海金山•一模）在矩形A3CD中，AB=5,BC=13,点E在边。C上，将矩形ABC。沿AE翻折，

点。恰好落在边BC上的点尸处，那么EC的长为.

7.（2025・上海黄浦•一模）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线AC折叠，得到折痕AC；②

折叠纸片使边CO落在折痕AC上，点。落在点尸处，得到折痕CM；③过点〃折叠纸片，使点DC分别

落在边AD、3c上，展开得到折痕MN.如果矩形MDCN是一个黄金矩形，其中竺2=或二1,那么这张

CD2

矩形纸片的两条邻边AB:BC=.

8.（2025•上海虹口•一模）如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AC=5,tanC=2,。是AC上的动点,

将△BCD沿翻折，如果点C落到△ABD内（不包括边），那么CO的取值范围是.

A

9.（2025・上海长宁•一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,3C=6.点E在边上，连接3E,将AABE

沿着8E翻折，点A的对应点是点F,连接FD.如果那么点P到CD的距离为.

10.（2025・上海青浦•一模）梯形A3CD中，已知AT>〃3C,AB=CD,AD<BC,AD:DC=2.3.将梯形沿

过点。的直线折叠，点C落在AB上，记作点E,折痕与底边2C的交点记作点如果。尸〃AB,那么

AE:EB=.

4

11.（2025•上海松江•一模）如图，在VABC中，ZC=90°,tanB=-,E是边AB上一点，将ABCE沿直线

AJ7

CE翻折，点3的对应点为？，如果AB'IIBC,那么片的值为.

12.（2025•上海普陀•一模）VABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点。在边BC上，CD=2,如图所

示.点E在边A3上，将VBDE沿着DE翻折得其中点8与点丁对应，8E交边AC于点G,B'D

交AC的延长线于点如果是等腰三角形，那么BE=.

A

13.（2025•上海崇明•一模）四边形A3CD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=5,BC=12,AD=8,将AB

沿过点A的一条直线折叠，点B的对称点落在四边形ABCD的对角线上，折痕交边BC于点尸（点P不与点

14.（2025・上海杨浦•一模）已知矩形ABCD（AD>45）,点E是边AD的中点，将AABE沿BE翻折，点A

的对应点厂恰好落在对角线AC上，那么tanZFBC=.

考点砧我转同题

15.（2025・上海闵行•一模）在等腰VABC中，AB=AC,是边上的高，将线段AD绕着点。逆时针

FF□nF

旋转，点A旋转到点E,即与边A3交于点P,且▼=[,如果也与相似，那么笔的值为—.

DF2AB

16.（2025・上海宝山•一模）如图，已知VA3C,AB=AC=4,ZB=30°,。是边BC的中点，线段AB绕

点D顺时针旋转得到对应线段A3',线段AE与AC,BC分别交于点E,b,如果AEFC是直角三角形，那么

4E的长是.

17.（2025・上海嘉定•一模）如图，将一块含30。角的实心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面内绕

着它的重心G逆时针旋转180。.如果这块三角板的斜边长12厘米，那么运动前后两个三角形重叠部分的面

积为平方厘米.

G'

考点%相他三育册除含题

18.（2025・上海松江•一模）如图，正方形ABCD中，点及F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE=8/=DG,

如果AE:3E=1:2,那么空的值为

连接CE、FG,交于点H,

HF

如图，在中，＞是的中线，右，：

19.（2025•上海静安•一模）AABC3£AABCBC=2BD,AC=6tanA=

那么AB的长为—.

C

20.（2025•上海黄浦•一模）如图，将矩形A5CD平移到矩形EFG”的位置（点A对应点E,点B对应点厂，

点C对应点G）,边EH与CD交于点、M,边EF与BC交于点、N,其中DW:MC=3:2,BN:CN=3:2,

如果M、N两点的距离为。，那么A、E两点的距离为.（用含。的代数式表示）

G

F

21.（2025・上海长宁•一模）如图，在一副三角尺中，ZBAC=NEDF=90°,4=30。，ZE=45°,AB=EF,

分别过点A、点。画AG、。〃交边BC、边跖于点G、点H,如果AG分割VA3C得到的两个三角形与

4G

分割△。跖得到的两个三角形分别相似，那么—的值为.

DH

22.（2025•上海杨浦•一模）如图，已知正方形ABCD与正方形CFG”,尸为CD边上一点，GP的延长线交

23.（2025・上海奉贤•一模）如图，RtAABC和RtADEF中，NBAC=NEDF=90°,AB=3,AC=4,DE=4,DF=8,

点M在边2c上，点N在边防上，A〃分割VABC所得的两个三角形分别与DN分割江）跖所得的两个三

角形相似，那么线段DV的长是.

寸点笫等牍三龟形嘶关除合题

4

24.（2025•上海普陀•一模）在平面直角坐标系xQy中（如图），点43在反比例函数y=—位于第一象限的

x

图像上，点3的横坐标大于点A的横坐标，OA=OB.如果△Q4B的重心恰好也在这个反比例函数的图像

25.（2025・上海徐汇•一模）如图，四边形ABCD中，AC±AB,BD±CD,BD=CD,如果A3=根,=

且加＜〃，那么AD的长是（用含根/的式子表示）.

D

A

BC

专题06填空小压轴题

|考点概览

考点01新定义问题

考点02翻折问题

考点03旋转问题

考点04相似三角形综合题

考点05等腰三角形有关综合题

考点。新定义冏题

1.（2025・上海静安•一模）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩

形”.如图，一张规格为A4的矩形纸片A5CD,将其长边对折（所为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，

且44、斑这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为—.

AED

BC

【答案情

【知识点】相似多边形的性质

【分析】本题考查了相似多边形的性质，理解题意，掌握相似多边形的各边的比是解题的关键.

分别表示出原矩形的长和宽，折叠后的长与宽，结合题意“白银比”进行计算即可求解.

【详解】解：设矩形纸片长为AD=BC=a,宽为AB=CD=b,

折叠后矩形的长为6,宽为;〃，

I

根据题意可得，）工,

ab

./_1

••/一屋

解得，2=也，

a2

故答案为：变.

2

2.（2025・上海宝山・一模）一个二次函数的图象经过点«,0）,则称/的值是这个函数的“零点”.例如：二次

函数＞=4(%-3乂X+2)("0),无论4取何值(3,0)和点(-2,0),所以3和-2是这个函数的“零点”.如果一

个二次函数有且只有一个“零点”-1,那么这个二次函数的解析式可以是.(写出一个符合要求的

函数解析式即可)

【答案】y=(x+l)2,答案不唯一

【知识点】待定系数法求二次函数解析式

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据“零点”的定义可知二次函数的图象经过一个点

(-1,0),据此写出一个函数的解析式即可.

【详解】解：•••一个二次函数有且只有一个“零点”-1,

.••这个二次函数的解析式可以是y=(x+l)2,答案不唯一.

故答案为：y=(x+l)2,答案不唯一.

3.(2025・上海金山•一模)在平面直角坐标系xOy中，将抛物线乙：y=aY+bx+c(其中b、c是常数,

且"0),以原点为中心，旋转180。得抛物线%则称4是乙的“中心对称抛物线”.已知抛物线为=/-3彳-4,

将抛物线％向左平移”个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为A、B.将抛物线为的“中心对称抛物线”

上向右也平移〃个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C、D.当线段BC是线段48、8。的比例中

项时，”的值为.

［答案］21±5^

4

【知识点】二次函数图象的平移、比例的性质

【分析】本题考查二次函数图象的变换，比例的性质，根据题意，求出C,D四点的坐标，进而求出A3,

BD,3C的长，根据比例中项的定义，得至=列出方程进行求解即可.

2

【详解】解:•.-y1=x-3x-4,

.••当/=——3%-4=0时，解得：玉=4,%=-1,

・•・抛物线％=/-3x-4与x轴的交点坐标为：(4,0),(-1,0),

・・・当抛物线必向左平移〃个单位长度后，新的抛物线与x轴的交点坐标为：(4-n,0),(-l-n,0),即:

抛物线外的“中心对称抛物线”％与X轴的交点坐标为：（TO）,（1,o）,

「必向右也平移〃个单位长度，

・•・平移后的抛物线与x轴的交点坐标为：C（T+",0）,D（l+”,0）,

AB=4-n+l+n=5,BC=4-7z+4-M=|8-2n|,BD=4-n-l-n=\3-2r^,

•••线段BC是线段A3、BD的比例中项，

・•・BC2=ABBD,

.・・（8-2〃）2=5|3-2小

解得：w=21+5A/5.

4

故答案为：〃=21±5>.

4

4.（2025・上海嘉定•一模）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我

们称这条线段是梯形的“黄金分割线”.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=6,BC=10,点E、/分

别在边A3、CD±.（AE>BE）,如果所是梯形ABCD的“黄金分割线"，那么所=.

BC

【答案】2君+4

【知识点】黄金分割、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解

【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，过点A作AG〃CD交所于点证明

FHAF

AAEHSAABG,得到等=嚷，求出E"的长，利用&7+FH求出所的长即可.

BGAB

【详解】解：过点A作AG〃CD交跖于点H,

•••EF是梯形ABCD的“黄金分割线”,

AE_#-I

AD//BC//EF,

AB

四边形ADFH,ADCG均为平行四边形,

.-.HF=CG=AD=6,

:.BG=BC-CG=4,

■：AG//CD,

：.AAEH^AABG,

.EH_AE_>/5-l

2

••­£//=275-2,

■.EF=EH+HF=2y/5+4；

故答案为：2店+4.

5.（2025•上海虹口•一模）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角

形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角

4

形的“重似线段”.如图，在VABC中，AB=10,tanB=-,tanC=2,点、D、E分别在边AB、AC上，如

果线段OE是VABC的“重似线段”，那么DE=.

【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算

【分析】如图，作AG_LBC于G,求解AG=8,BG=6,CG=4,3G=6+4=10,AC=A/82+42=4A/5-

作VA3c的中线AF,。为VABC的重心，线段。E是VA3C的“重似线段”，分两种情况：当AADEsAABC

时，当△AD'E'SAACB时，过B作交AC于再进一步求解即可.

4

【详解】解：如图，作AGL5C于G,AB=10,tanB=-,tanC=2,

AG4AGc

•,*=,=2,

BG3CG

AG=8,BG=6,CG=4,

BG=6+4=10,AC=/8。+4==4y[5，

作VABC的中线AF,。为VABC的重心,

,AQ_2

••—―，

AF3

•・・线段DE是VABC的“重似线段”,

・・・当△ADE1coAABC时，

ADDE

•••AADE=，---=~~~，

ABBC

.-.DE//BC,

ADAQ2

••瓦一瓦—"

ADDE2

••而一而-3’

DE=—,AD=—,

：.ZAE'D'=ZABC,ZAD'E=Z,C,—=—=

ABACBC

■.BA=BC=10,

■■.ZC=ZBAC,AH=CH=2s/5,

：.ABAC=AAD'E',8〃=加一（2肩=4小,。在3H上,

■■.AE'^iyE,

..BQ2

.成一

；3=竽

4

•••tanZAE'D'=tanZABC=-,

3

口则=有,

E'H-3

D'E'=AE'=AH+HE'=26+石=36.

on

综上：DE=，或3非;

故答案为：与■或3«；

【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，勾股

定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.

考点分朝折冏效

6.（2025・上海金山•一模）在矩形A3CD中，AB=5,3c=13,点E在边DC上，将矩形ABCD沿AE翻折，

点。恰好落在边BC上的点F处，那么EC的长为.

12

【答案】y

【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题

【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和勾股定理.

先根据矩形的性质得AO=3C=5,AS=CD=3,再根据折叠的性质得AF=A£>=5,访=DE,在RMABF

中，利用勾股定理计算出斯=12,则Cb=l,设CE=x,则DE=EF=5—x,然后在RbECF中根据勾股

定理得到f+俨=（5-尤『，解方程即可得到无即可求解.

.■.AD=BC^13,AB=CD^5,

•.•矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点。恰好落在BC边上的尸处,

AF=AD=13,EF=DE,

22

在RtAABF中，■:BF=VAF-AB=12>

■■.CF=BC-BF=13-12=1,

设CE=x,贝！|£>E=£F=5—x

在Rt^ECF中，CE2+FC2=EF2,

■.x2+l2=（5—尤）二

12

解得X=

12

故答案为二.

7.（2025•上海黄浦・一模）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线AC折叠，得到折痕AC；②

折叠纸片使边CD落在折痕AC上，点O落在点P处，得到折痕CM；③过点"折叠纸片，使点。、C分别

落在边AD、BC±,展开得到折痕MN.如果矩形MDCN是一个黄金矩形，其中丝=或二1,那么这张

CD2

矩形纸片的两条邻边AB:BC=.

【答案】1:2

【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割

【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设"N与AC交于点H,

由矩形的性质可得/MNC=90。，MN//DC,MD=NC,MN=DC,则=由折叠性质可

知：ZMCD=ZMCP,ZNMC=AMCP,故MH=CH,设M£）=（逐一1*,CD=2k,MH=CH=x,根

据勾股定理求出苫=丘叵4，则NH=叵口々，再证明ACBASAQVH,最后由相似三角形的性质即可求解，

22

掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，设与AC交于点打，

M

D

•.•矩形MDCN是一个黄金矩形，

；.NMNC=90°,MN//DC,MD=NC,MN=DC,

：.ZMCD=ZNMC,

由折叠性质可知：ZMCD=ZMCP,

：.ZNMC=ZMCP,

：.MH=CH,

..MD75-1

,:---=-----,

CD2

...设=CD=2k,MH=CH=x,

；.MD=NC=（非fk,MN=CD=2k,

,■，NH=MN-MH=2k-x,

在RtANHC中，由勾股定理得：NH2+NC2=CH2,

.•.（2Z:-x）2+[（^-l）?t]2=x2,解得：x=^^-k,

-_j5—^/5,y/s—1

NH=2k---------k=-------k7,

22

•・•MN//DC,

・•・^CBA^ACNH,

.T/c

,AB_NH_2_1,

:.AB:BC=1:2,

故答案为：1:2.

8.（2025・上海虹口•一模）如图，在RtZ\ABC中，NA5c=90。，AC=5,tanC=2,。是AC上的动点,

将△放»沿翻折，如果点C落到内（不包括边），那么CO的取值范围是.

A

【答案】

【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算

【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角

三角形得到他=23C,再利用勾股定理求出=H；设点C折叠后的对应点为E,再分点E恰好在AC上

和点E恰好在上两种情况，分别求出对应的CO的长即可得到结论.

【详解】解：•••在RtZ\A5c中，/ABC=90。，tanC=2,

ABc

----=2,

BC

:.AB=2BC,

在RtZXABC中，由勾股定理得W2+502=4。2,

.-.（2BC）2+BC2=52,

BC=y/5,

设点c折叠后的对应点为E,

如图所示，当点E恰好在AC上时，

由折叠的性质可得ZBDC=ZBDE=90°,则同理可得CD=1；

A

如图所示，当点E恰好在A3上时，过点。作小，3C于尸,

A

l，1!1\

BFC

由折叠的性质可得NEBO=ZCBD=:/ABC=45°,

•・•DFtBC,

・•.V5D厂是等腰直角三角形，

；.BF=DF,

DF

•・•在RtZXCD尸中，tanC=—=2,

・•.BF=DF=2CF,

・•・BC=BF+CF=3CF=百，

,CD=^CF2+DF2=45CF=-

3

・•・当点。落到△AB£>内（不包括边）时，1<CD<1,

故答案为：

9.（2025・上海长宁•一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,3C=6.点E在边AD上，连接BE,AABE

沿着8E翻折，点A的对应点是点P,连接ED.如果那么点F到CO的距离为.

【答案】|5|4

【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算

【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键.根据题意画出图

形，根据AD〃3C,AG=FG,得出=再通过相等的角的三角函数值相等，即可求出结果.

【详解】解：过点尸作叮，CD于点P,

•・•四边形A3CD是矩形,

:.AD//BC,AD=BC=6,

・.•AG=FG,

AE=DE=-AD=3,

2

,BE:ylAE2+AB2=5，

•・FD〃BE,

:.ZAFD=ZAGE=90°,

ZDAF=ZABE=ZCDH,

DFAF3

sinZDAF=—=sinZABE=——=-,

ADBE5

/.DF=6x-=—,

55

FP3

■.■sinZCDH=——=-,

DF5

10.（2025・上海青浦•一模）梯形ABCD中，已知AT>〃3C,AB=CD,AD<BC,AD:DC=2:3.将梯形沿

过点。的直线折叠，点C落在A2上，记作点E,折痕与底边的交点记作点如果。尸〃那么

AE:EB=.

【答案】5:4

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解、根据等角对等

边求边长

【分析】延长FE,D4交于G,设位>=2m，则CD=AB=3〃z,由AD〃3C,DF//AB,知四边形ABFD

是平行四边形，有。尸=AB=3根，BF=AD=2m,ZB=Z4DR,根据将梯形沿过点。的直线折叠，点C落

在A3上，记作点E,可得NCFD=NEFD,EF=CF,DE=CD=3m,故ZDEF=NEFD,求出£F=BP=2〃7,

2桃Ap1GF2Sm5

证明△。回G,可得二=丑,GF=4.5m,从而GE=GF—EF=4.5m—2m=2.5m,艮口可得把=4=卫=2.

3mGFBEEF2m4

【详解】解：延长用，DA交于G,如图：

设AD=2加，则CD=AB=3机，

■.AD//BC,DF//AB,

四边形AB/刃是平行四边形，

/.DF=AB=3nl,BF=AD=2m,/R=/ADF,

,•,将梯形沿过点。的直线折叠，点C落在A3上，记作点E,

:.NCFD=ZEFD,EF=CF,DE=CD=3m,

DE=DF=3m,

:.NDEF=NEFD,

\-DF//AB,

:./CFD=/B,ZEFD=ZBEF,

:.ZB=ZBEF,

EF=BF=2m,

\ZB=ZCFD=ZEFD=ZDEF,ZB=ZADF,

:.ZADF=ZDEF,

•：ZEFD=ZDFG,

^EFD^^DFG,

EFDF2m3m

——=——,即nn——=——,

DFGF3mGF

..GF=4.5m,

:.GE=GF—EF=4.5m—2m=2.5m,

••,GA//BF,

.AEGE_2.5m_5

一~^E~~EF~2m~4；

..AE:EB=5:4.

故答案为：5:4.

【点睛】本题考查梯形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，平行四边形判定与性质及等腰三角

形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题.

4

11.（2025•上海松江•一模）如图，在VA3c中，ZC=90°,tanB=-,E是边AB上一点，将△口“沿直线

AF

CE翻折，点8的对应点为B',如果那么）的值为-

Q9

【答案】]或（

【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形

的判定方法及性质是解题的关键.

4

根据tanB=（，设AC=4x,3C=5x,运用勾股定理可得AB=同心分类讨论：如图所示，将ABCE沿直

线CE翻折，点B的对应点为？，AB'\\BC,设AB,C3'交于点运用勾股定理可得钻'=3%,由平行可

证AASRSABCF,可得解得BN=良，再证ABEFSA®，，可得QE_刀即可求解；

88次=工

将ABCE沿直线CE翻折，点B的对应点为？，||8C,延长B'A,CE交于点G,运用勾股定理可得AB'=3x,

ApAG2x2

由折叠与平行的性质可得3C=?C=?G,则AG=2无，再证△AGES&CE,得至！|子====-==即可

BBEBC5x5

求解.

4

【详解】解：在VABC中，NC=90。，tanB=-,

nAC4

tanB=-----=—,

BC5

设AC=4x,BC=5x,

AB=y]AC2+BC2=J（4X『+（5X）2=屈x,

如图所示，将ABCE沿直线CE翻折，点8的对应点为？，AB'\\BC,设AB,C2'交于点P,

AB'

BC=BfC=5x,ZBfAC=ZACB=90°,

在中，AB^y/^C）*2-*AC2=^（5X）2-（4X）2=3X,

r

vAB\\BCf

・•・AAB，FS@CF,

ABfAFBrF3

'BC-BF-CF-5?

-CF+B,F=CB,=5x,

・・.CF=5x—B'F,

B'F3

"5x-BfF~59

15Y

解得，B，F=等,

o

同理，AF+BF=AB=441X^

•••BF=y/4Ix-AF，

AF_3

V41X-AF-

解得，A/=

8

折叠，

ZCBE=ZCB'E,BE=B'E

■：AB'\\BC,

.-.ZCBA=ZB'AB,

：.ZEB'F=NEAB',且也叩=NA£B',

AAB'EF^^AEB',

15x

B'EB'F

gpB'Ev

~AEAB78EB'=

AE3x

B'F5

整理得‘至二,

.♦BEuBE,

AE8

BE5

f

如图所示，将沿直线C£翻折，点3的对应点为？，AB\\BCf延长？AC石交于点G,

・•・BrG\\BC,

・・.NG=/BCG,ZBfAC=ZACB=90°,

,・,折叠，

ZBCG=ZBfCG,BC=B'C=5x,

../G=/B'CG,

・•.B,C=B,G=5x,

在R^ACB'中，AE=-AC?=-（4I『=3九,

AG=B'G-AB'=5x-3%=2x,

VAG\\BC,

MAGESABCE,

AE_AG_2x_2

*BE-BC-5x-5；

AoO

综上所述，矢的值为g或:，

EB55

QO

故答案为：K.

12.（2025•上海普陀•一模）VABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点。在边BC上，CD=2,如图所

示.点E在边A3上，将V3OE沿着。E翻折得△B75E,其中点2与点B对应，夕E交边AC于点G,B'D

交AC的延长线于点如果△88G是等腰三角形，那么BE=.

【知识点】与图形有关的问题（一元二次方程的应用）、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定

与性质综合

【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角

形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.先画出图形，过点H作HFLB'E于点F,

确定如果△B'HG是等腰三角形，则只能是=设？£=鹿=尤（0＜尤＜10）,则AE=10-x,再证出

50—5九40-4X

AAEG^AACB,根据相似三角形的性质可得AG=1—,EG=1—,然后证出△印3△AEG,根

据相似三角形的性质可得HG=更三出，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求

24

解即可得.

【详解】解：由题意，画出图形如下：过点H作于点尸，

■.■ZACB=90°,

:.NDCH=90。,

•••8E交边AC于点G,交AC的延长线于点H,

ZB'HG=ZDCH+ZCDH=90°+ZCDH>90°,

如果△9HG是等腰三角形，则只能是NB'HG为顶角，B'H=GH,

：.ZB'=ZB'GH,

由对顶角相等得：ZAGE^ZB'GH,

；.ZAGE=NB',

由折叠的性质得：/B=NB'，

.-.ZAGE=ZB,

•.•在VA3c中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD=2,

.•・ZA+/3=90°,AB=y/AC2+BC2=10-BD=BC-CD=6,

ZA+ZAGE=90°,

.*.ZAEG=90°,即

由折叠的性质得：HE=BE,B'D=BD=6,

设？£=B£=x（0vxvl0）,贝！JAE=AB-跖=10-%,

在△AEG和/XACB中，

ZAEG=ZACB=90°

ZA=ZA

・•.AAEG^AACB,

AGEGAEAGEG10—x

——=——,即nn——=——

~ABBCAC1086

50-5x40-4x

解得AG=,EG=

33

SY-327Y-40

：.CG=AC-AG=^^,B'G=B'E-EG=,

33

VB,H=GH,HFIB'E,

7x-40

；.FG=LB，G=

26

又HFIB'E,

・•AB〃HF,

:.^HFGs9

7x-40

,HG=FGHG

"AG~EG'50-5x~40-4x

35x—200

解得HG=

24

344-35r56-5X

HD=B'D-B'H=B'D-HG=,CH=HG-CG=^^,

2424

121234435

在RtZ\C£>〃中，CH+CD=HD,即仅9二盘］+2=f~^

I24）I24.

解得x=?或》=三>10（不符合题意，舍去），

42

即5E=g,

42

故答案为：—.

13.（2025・上海崇明•一模）四边形A3CD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=5,BC=12,4）=8,将AB

沿过点A的一条直线折叠，点5的对称点落在四边形A3CD的对角线上，折痕交边5C于点尸（点尸不与点

【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点B的对称点？落在对角线AC

上和落在对角线80上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】解：如图，当点8的对称点？落在对角线AC上时，

由折叠可得，AB'=AB=5,PB'=PB,ZAB'P=ZABP=90°,

.•.NCB'P=90。，

■■ZABC=9Q°,AB=5,3c=12,

•••AC=\lAB2+BC2=V52+122=13，

.-.B'C=AC-AB'=13-5=8,

设PB，=PB=x,则尸C=12—x,

PB'2+B'C2=PC2,

.-.X2+82=(12-X)2,

解得x=g,

如图，当点8的对称点？落在对角线上时，设AP与3。相交于点G,

由折叠可得，AP±BD,

.-.ZAGB=ZBGP=90°,

-AD//BC,NABC=90。，

・•・/BAD=180。—ZABC=180°-90°=90°,

••BD==V52+82=，

VS=-BDAG=-ABAD，

△ABBDD22

—xxAG=—x5x8,

22

vZBAG+ZABG=90°,NR5G+NABG=90。,

；・NPBG=/BAG,

又•・•ZBGP=ZAGB=90°,

*'•4BGPs&AGB,

BP_BG

'AB-AG?

25屈

即叫

540辆

89

综上，PC长为q■或不，

38

2671

故答案为,f：或r丁.

3o

14.(2025・上海杨浦•一模)已知矩形ABCD(AD>AB),点E是边AD的中点，将沿8E翻折，点A

的对应点F恰好落在对角线AC上，那么tan/FBC=.

【答案】显△正

44

【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、求角的正切值

【分析】延长即交C。于点G,连接EG,由矩形的性质可得AB=CD,AB//CD,

ZBAE=ZBCD=ZD=90°,由两直线平行内错角相等可得=由折叠的性质可得AE=£E,

AB=FB,ZBAE=ZBFE=90°,由等边对等角可得=利用邻补角互补可得

ZEFG=180°-ZBFE=90°,由对顶角相等可得=,进而可得NGB=NCFG,由等角对等

边可得FG=CG,由点E是AD边的中点可得?!£1=/）£■,进而可得DE=FE,利用HL可证得

RbEFG当RtAEDG,于是可得FG=£>G,进而可得DG=CG,则CG=LCD=LAB,FG=-AB,即

—^―222

AB=2FG,BF=2FG,BG=3FG=3CG,利用勾股定理可得BC=JBG^—CG?=20CG，然后根据

tan/FBC=空即可得出答案.

BC

【详解】解：如图，延长所交8于点G,连接EG,

四边形ABC。是矩形,

:.AB=CD,AB//CD,NBAE=ZBCD=ND=90°,

:.ZBAF=ZGCF9

・・・将石沿跖翻折，点A落到点尸处，

:.AE=FE,AB=FB,NBAE=NBFE=9伊,

.\ZBAF=ZAFBf

ZBFE+ZEFG=180。，

ZEFG=180。—ZBFE=90°,

又・.,ZAFB=NCFG,

:./GCF=/CFG,

:.FG=CG,

•：ZEFG=9Q°,

..ZEFG=ZD=90°,

,・,点E是边的中点,

/.AE=DE,

:.DE=FE,

又♦:EG=EG,

RtAEFG^RtA£DG（HL）,

:.FG=DG,

:.DG=CG,

.\CG=-CD=-AB,

22

:.FG=-AB

2f

:.AB=2FG,

，BF=2FG,

•.BG=3FG=3CG,

BC=A/BG2-CG2=^（3CG）2-CG2=2卮G,

.」an"C=^=n=3=",

BC2V2CG2V24

故答案为：

4

【点睛】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，两直线平行内错角相等，折叠的性质，等边对等角,

利用邻补角互补求角度，对顶角相等，等角对等边，线段中点的有关计算，全等三角形的判定与性质，线

段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键.

»考点后於稔冏泉

15.（2025•上海闵行•一模）在等腰VABC中，AB=AC,是边BC上的高，将线段AD绕着点。逆时针

旋转，点A旋转到点E,即与边A3交于点F,且大;=[,如果AAFE与ADFB相似，那么~的值为

DF2AB

【答案】叵

4

【知识点】三线合一、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

根据题意，^AFE^DBF,设M=根据相似求出加可得出结论.

【详解】解：由题意得：只能AAEES