2025上海中考数学一模汇编：向量及其运算（学生版+解析版）

专题03向量及其运算（3大考点）

考点概览

考点01向量的相关概念

考点02向量的线性运算

考点03图形的相似与向量综合

：支口向量的相义椭念

1.（2025・上海杨浦・一模）已知b和c都是非零向量，下列结论中不能判定〃〃〃的是（）

A.a//cb//cB.a+b=c

D.a=3c，b=2c

2.（2025・上海静安•一模）已知办b、c都是非零向量，下列条件中不能判定bIIc的是（）

A.ac,ab

c.H=icla=3b，c=12〃

（2025・上海嘉定•一模）下列命题正确的是（

如果|〃|二W，那么a=Z?如果4和。都是单位向量，那么〃=。

C.a+(—a)=OD.如果〃=助（左wO）,那么〃〃Z?

4.（2025・上海崇明•一模）已知〃与单位向量e方向相反，且长度为5,那么〃=.（用含向量e式子表

示a）

5.（2025・上海奉贤•一模）已知e是单位向量，向量。与e的方向相反，且长度为4,那么。用0表示

是.

:点W向量的铁收运算

6.（2025・上海松江•一模）已知q+6=2c，a-b=3c,且e是非零向量.那么下列说法中正确的是（）

A.a//b//cB.a"b，。与c不平行

C.a//c>a与b不平行D.b//c>b与a不平行

7.（2025•上海普陀•一模）设非零向量。、b,如果a+36=0,那么下列说法中错误的是（）

A.。与。方向相同B.d//bC.a=-3bD.\a\=3\b\

8.（2025・上海长宁•一模）如果两个非零向量。、。方向相反，且同=2网，那么下列说法正确的是（）

A.〃+2b=0B.a—2b=0C.a=2bD.a=—2b

9.（2025・上海虹口•一模）已知非零向量〃、6和c，下列条件中，不能判定〃〃。的是（）

A.a=2bB.a=2c2b=c

C.|34=忸|D.a//cb//c

10.（2025・上海崇明•一模）已知直线/上三点AB、C,且下列说法正确的是（）

A.AB=CBB.BC=BAC.CA=2BCD.CA=2BA

11.（2025・上海宝山•一模）如图，在等腰梯形A5CD中，AD//BC,ZB=60°,45=4）,设AB=凡A。=〃,

用向量a,Z?表示。C,结果正确的是（）

B

A.DC=a-bB.DC=a+bC.DC=ci—bD.DC=aT—b

22

12.（2025•上海宝山•一*模）计算：a+—（b—a）=

13.（2025・上海长宁•一模）计算：2（a-3b）+5b=.

14.（2025・上海虹口•一模）计算：2。+3（力-4=.

15.（2025・上海崇明•一模）计算：3（a+b）-^a-2b）=

16.(2025•上海黄浦•一模)(a+b)+3[+-2“=

17.（2025・上海松江•一模）如图，梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,设R4=Q,BC=b，那么30可

BC

4ni

18.（2025•上海静安•一模）如图，点。、E分别在边AB、AC±,M—=-,DE//BC.AD=a，EC=b>

BD2

那么用向量a、b表示向量BC为.

19.（2025・上海青浦•一模）如图，点£、/分别是平行四边形ABCD的边。C、BC的中点，连接08,如果

EF=a>BC=b，那么向量AB关于a、b的分解式为.

20.（2025•上海金山•一模）在VABC中，如果AB=AC,这个三角形的重心为点G,设GB=a，GA=b，

那么向量8c用向量a、b表示为.

心点把图形的相制易向量除合

21.（2025上海虹口・一模）如图，在丫回€;中，点。、片分别在边43、43上，连接班、。£,如果3£>=24）,

DE//BC,AB-a,AC=b，用Q、b表示BE—.

22.（2025•上海杨浦•一模）如图，在VABC中，点。、E分别在边AB、AC上，DE//BC,AD=2DB,

设BC=b，那么.（用含〃、Z?的式子表示）

B

23.（2025•上海嘉定•一模）如图，在VABC中，点。、E分别在边A3、AC上，且应）=2AD,EC=2AE,

连接。E,如果AB=a,A（j=b，那么。E=.（用含向量a、b的式子表示）

24.（2025・上海长宁♦一模）如图，已知在VABC中，中线AD、BE交于点、G,EF〃BC交AD于点、F.

⑴如果尸G=l,求GO和AF的长；

（2）如果AB=a,AC=b＞那么EP=.（用含向量。、。的式子表示）

25.（2025・上海徐汇・一模）如图，A。与BE相交于点C,£）E〃AB,点厂在线段BC上，且EC2=CCBC,

连接。尸,E4.

（2）设AB=a,BC=6,当BC=2EC时，求向量CO（用向量a/表示）.

26.（2025•上海普陀•一模）如图，已知点E、E分别在VABC的边A3和AC上，EF//BC,BE=2AE,

点。在BC的延长线上，BC=CD,连接即与AC交于点G.

⑴求然FG的值;

（2）设BA=a，BD=b，那么AC=，EG=.（用向量。、6表示）

27.（2025・上海闵行•一模）已知：如图，点A、8在射线上，点C、。在射线ON上，AD.BC交于

1OBOD5、江

=

点尸，7^7=~7^rQ,设0A=〃，OC=b•

（1）AC=,BD=（结果用含向量a、6的式子表示）

⑵由（1）可知与3。是向量.

（3）如果网=6,那么|可=.

28.(2025・上海崇明•一模)如图，四边形A3CD中，AD//BC,AC与3。相交于点。，50=16,00=8,

AO=5.

------------------1

⑴求CO的长；

(2)设BA=a，BC=b，试用。、b表示C。.

29.(2025・上海黄浦•一模)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=4,BC=5,对角线AC、BD交于

点、E.

Ay--------------------^D

(1)设2C=a，BD=b＞试用。、。的线性组合表示向量AE.

(2)已知ADJLCD,tanZDAC=1,求sinNABC的值.

30.(2025•上海奉贤•一模)如图，AB//CD,AC与3。相交于点E,AB=9,。=6,点尸在A。上,

S/\DEFeS/^AEF=2.3.

⑴求E尸的长；

(2)设EC=a,EF=b,用含o、Z?的式子表示

专题03向量及其运算（3大考点）

■考点概览

考点01向量的相关概念

考点02向量的线性运算

考点03图形的相似与向量综合

考点"向黄的相关概念

1.（2025•上海杨浦•一模）已知°、b和c都是非零向量，下列结论中不能判定a〃b的是（）

,VVVVVVV

A.a//cb//cB.a+b=c

VVVVVV

C.a-2bD.a-3c<b—2c

【答案】B

【分析】本题主要考查了平面向量的知识，理解并掌握平行向量的定义是解题关键.

根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断即可.

【详解】解：A>,-a//'c，b//c>•-a//by故本选项不符合题意；

B、a+b=c，但不一定平行，故本选项符合题意；

C、•二=2力，故本选项不符合题意；

D、3=31，b=2c，■■a//b,故本选项不符合题意.

故选：B.

2.（2025・上海静安•一模）已知服b、c都是非零向量，下列条件中不能判定"I。的是（）

A.a\\c,abB.c=3b

C.|&|=|c|D.a=3b，c=—2a

【答案】C

【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键.

根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解.

【详解】解：A、ac,ab,则6।c,能判定，不符合题意；

B、c=3b，则6c,能判定，不符合题意；

C、网=同模相等，不一定平行，故不能判定bc,符合题意;

D^a=3b,c=-2a,贝!]g=-66，

■.bc,能判定，不符合题意；

故选：C.

3.（2025・上海嘉定•一模）下列命题正确的是（）

A.如果=那么a=6B.如果°和6都是单位向量，那么a=b

C.a+（-fl）=0D.如果°（左w0）,那么a〃b

【答案】D

【分析】本题考查命题与定理，平面向量，解答本题的关键是掌握平面向量的基本概念和性质.

由平面向量的基本概念和性质，即可判断.

【详解】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A选项不符合题意；

B、两单位向量的方向可能不同，故B选项不符合题意；

C、。+卜。）=0,故C选项不符合题意；

D、如果。=祝》（%彳0）,那么正确，故D选项符合题意；

故选：D.

4.（2025・上海崇明•一模）已知a与单位向量3方向相反，且长度为5,那么.=.（用含向量e式

子表示。）

【答案】-5e

【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模.根据a长度为5,得到忖=5上|=5,再根据“

与单位向量e方向相反即可求解.

【详解】解：•.七与单位向量e方向相反，且长度为5,

|a|=5|e|=5,

a=-5e>

故答案为：-5e-

5.（2025•上海奉贤•一模）已知e是单位向量，向量d与e的方向相反，且长度为4,那么。用e表示

是.

【答案】-42

【分析】本题考查了实数与向量相乘，熟练掌握向量的定义、表示方法及运算法则是解题的关键.

根据向量的表示方法进行解答即可.

【详解】解：的长度为4,向量e是单位向量，

...同=4同,

又•响量。与。的方向相反,

CL——4©,

故答案为：-4e.

6.（2025•上海松江•一模）已知°+6=2e，a-b=3c,且c是非零向量.那么下列说法中正确的是（）

A.a//b//cB.allb，。与c不平行

C.aHc，。与》不平行D.bHc，〃与。不平行

【答案】A

【分析】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量平行的判定方法.判断出“=2.5c,6=-0.5c可

得结论.

【详解】a+b=2c,a—b=3c

/.a=2.5c,b=-0.5c

•••c是非零向量，

/.abc

故选：A.

7.（2025•上海普陀•一模）设非零向量〃、b,如果a+3人=0,那么下列说法中错误的是（）

A.。与。方向相同B.a//bC.a=-3bD.\a\=3\b\

【答案】A

【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据非零向量〃、方，

有a+3b=0，即可推出d=-3〃，从而得出〃=3忖，d//bf。与匕方向相反，由此即可判断.

【详解】解：•・,非零向量。、b,有a+3Z?=0,

•••a=—3b

.■.a=3\b\,a//b，d与6方向相反，

故B、C、D正确，不符合同意，A错误，符合题意.

故选：A.

8.（2025・上海长宁•一模）如果两个非零向量°、。方向相反，且同=2忖，那么下列说法正确的是（）

A.a+2b=0B.a—2b=GC.a=2bD.a=—2b

【答案】D

【分析】本题考查向量的相关概念、向量的性质等知识点，掌握向量的概念是解题的关键.

根据向量的概念及性质判断即可.

【详解】解：•••两个非零向量4、6方向相反,且同=2忖,

a=-2b＞即a+2）=0.则D选项正确.

故选D.

9.（2025・上海虹口•一模）已知非零向量。、6和c，下列条件中，不能判定a〃6的是（）

A.a=2bB.a=2c，2b=c

C.|3a|=|2Z?|D.a//cib//c

【答案】C

【分析】此题考查了向量.根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量a、6叫做平行向量”

进行逐一判定即可.

【详解】解：A.a=2b,则a与b方向相同，故q〃b，选项不符合题意；

B.a=2c，2b=c，则a与c方向相同，6与：方向相同，则a与6方向相同，Wallb，选项不符合题

思；

C.|3«|=|2&|,不能说明a〃b，选项符合题意；

D.a//c，b//c＜则a〃b，选项不符合题意；

故选：C

10.（2025・上海崇明•一模）已知直线/上三点A、B、C,且=下列说法正确的是（）

2

A.AB=CBB.BC=BAC.CA=2BCD.CA=2BA

【答案】D

【分析】此题考查了平面向量.画出图形，由题意得到AB与AC方向相同，且即B是AC

的中点，根据图形进行判断即可.

【详解】解：如图，

——1------------------------1--------------------------1--------1

ABC

■.AB=-AC,

2

・•.AB与AC方向相同，且即8是AC的中点，

UUUUL1U

AB=BC>BC=AB，CA=2.CB,CA=2BA,

综上可知，只有C4=2BA正确，

故选：D.

H.（2025・上海宝山•一模）如图，在等腰梯形A3CD中，AD//BC,ZB=60°,AB=AD,设

AB=a,AD=b,用向量a,6表示。C，结果正确的是（）

A.DC=a-bB.DC—a+bC.DC=a——bD.DC=a+—b

【答案】B

【分析】本题考查平面向量的线性运算、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，注意向

量的方向是解答的关键.如图，过点A作4/〃CD交3c于点H证明皿=钻=&£>-S,求出8C，

再根据0c=D4+AB+求解.

【详解】解：如图，过点A作Af/〃CD交于点"

在等腰梯形A3CD中，AD//BC,

.•.ZB=ZC=60°,

•••AH//CD,

；.?AHB?C60?,

•••ABH是等边三角形，

；.AB=BH=AH,

vAD//CH,AH//CD,

・•・四边形ADCH是平行四边形，

・.AD=CH=BH=AB,

BC=CH+BH=2AD

••BC=2b，

•**DC=DA+AB+BC=—b+Q+2b=a+b•

故选：B.

12.（2025・上海宝山•一模）计算：。+；（6-。）=.

【答案】

【分析】本题考查了向量的线性计算，熟练掌握运算法则是解题关键.

根据向量的线性计算，即可求解.

1121

【详解】解：原式="■!—b—a=—a-\—b,

3333

21

故答案为：—a+—b.

13.（2025・上海长宁•一模）计算：2（a-3b）+56=.

【答案】2a—b

【分析】本题主要考查向量加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

先去括号，然后根据向量加减法进行计算即可.

【详解】解：2（a-3b）+5b

=2a-6b+5b

=2a—b.

故答案为：2a-b-

14.（2025・上海虹口•一模）计算：2a+3（b-a^=.

【答案1-a+3b/3b-a

【分析】本题考查了平面向量的计算，解题的关键是掌握平面向量的计算方法，根据平面向量的加减法

计算法则和去括号法则进行计算.

【详角毕】尚星：2。+3（"-〃）=2〃+3"-3。=-a+3b.

故答案为：-a+3b-

15.（2025・上海崇明•一模）计算：3（o+&）-|（o-2/?）=

【答案】|a+4&

【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的

加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则.根据平面向量的加法法则计算即可.

【详解】解：3（a+4一—24

—3a+3b—a+b

2

5

=—u+447b,

2

故答案为：^a+4b.

16.（2025・上海黄浦・一模）,+6）+3］卜一2早］=.

【答案】2a—5b/—5b+2a

【分析】本题考查了向量的知识，熟练掌握以上知识是解题关键.

按照向量的线性运算计算即可.

【详解】解：（a+b）+3ga-2〃

=d+b+a—6b

=2a-5b

故答案为：2a-5b-

17.（2025・上海松江•一模）如图，梯形A5CD中，AD//BC,BC=2AD,设A4=a,BC=G，那么30

可以用。、b表示为.

r1r

【答案】a+-b

【分析】本题考查向量的线性计算.熟练掌握三角形法则，是解题的关键.先根据4）〃3C,BC=2AD,

BC=b，得出==然后利用三角形法则，进行求解即可.

【详解】解：-.AD//BC,BC=2AD,BC=b，

：.AD=-BC=-b,

22

,*,BA=a，

BD=BA+AD=a+—b.

2

r1r

故答案为：

An1

18.（2025・上海静安•一模）如图，点O、E分别在边A5、AC上，且工工=彳，DE//BC.设

BD2

EC=b，那么用向量〃、8表示向量3。为.

【分析】本题主要考查了平面向量，根据平行线分线段成比例A得p出1=二D签F=再1根据平面向量

CE2BC3

三角形运算法则求出即可推出结果.

4n1

【详解】：DE//BC.-=

BD2

AE_\_DE_1

'~CE~2fBC-3?

・•・AE=-EC=-b,

22

DE=AE—AD=—b—a,

2

3

BC=3DE=-3a—b,

2

3

故答案为：-3a+\b.

19.（2025・上海青浦•一模）如图，点£尸分别是平行四边形ABCD的边DC、BC的中点，连接。8,

如果EV=a，BC=b，那么向量AB关于a、6的分解式为.

DEC

【分析】本题考查向量的线性计算，根据题意，易得BD=2EF,BD〃EF,进而得到08=2EP=2"，

平行四边形的性质，得到A£＞〃3C,AD=3C,进而得到AD=8C=6，再利用三角形法则，求出4J即

可.

【详解】解：・••平行四边形ABCD,

.-.AD//BC,AD=BC,

•••AD=BC=b，

•・•点E、尸分别是平行四边形A3C£＞的边。C、的中点，

.-.BD=2EF,BD//EF,

DB—2EF=2a，

AB=AD+DB=b+2a;

故答案为：2a+b-

20.（2025・上海金山•一模）在VA3C中，如果A5=AC,这个三角形的重心为点G,设G3=a，GA=b,

那么向量8c用向量a、B表示为.

【答案］—2a-b

【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，向量的线性运算等知识点，熟练掌握三角形法则和平行

四边形法则是解题的关键.

根据“三角形重心的性质一重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍”可得GD=：AG,然后根据向

量的三角形法则可得比＞=86+6。=-68+6。=-。-；匕，由3C=2即可得3C=28。，于是得解.

【详解】解:如图,

A

•••G是VABC的重心，

：.GD=-AG,

2

•••GA=b,

：.GD=-AG=--GA=--b,

222

,JGB=a，

由三角形法则可得：BD=BG+GD=-GB+GD=-a--b,

2

•力为BC的中点，

:.BC=2BD,

.­,BC=2BD=2\-a--b]=-2a-b,

故答案为：一Za-b.

;克朗图形的相他导向凌徐合

21.（2025・上海虹口•一模）如图，在VA5C中，点。、E分别在边A3、AC上，连接班、DE,如果

BD=2AD,DE//BC,AB=a,AC=b,用。、b表小BE=

【答案】+

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定以及平面向量，先证明.ADEs,Age,再利用比例关系结

合平面向量的运算法则进行计算即可.

【详解】BD=2AD,AB=a

BD=--a

3

DEBC

ADEsABC

DEAD

*BC-AB-3

BC=AC-AB=b-a

:.DE=-BC=-b--a

333

BE=BD+DE=—QH—b—a=—d.H—b

3333

故答案为：-a+^b.

22.（2025•上海杨浦•一模）如图，在VABC中，点。、E分别在边A3、AC上，DE//BC,AD=2DB,

设BC=b，那么.（用含〃、Z?的式子表示）

【答案】-2a1

33

【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出DB=：。，根据相似三角形的性

22

质推出==再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果.熟记平面向量的加减运算法则

是解题的关键.

【详解】解：•.•?1£)=2DB,AB=a,

12

DB=—a,AD=—AB,

33

•♦・DE//BC,BC=b，

；・NADE=/ABC,ZAED=ZACB,

・•.AADE^AABC,

_4DO

DEAD3Mn_2,^DE=-BC,

----==-------=-3

BCABAB3

/.DE=—b,

3

BE=DE-DB=-b--a.

33

21

故答案为：-b--a.

33

23.（2025・上海嘉定•一模）如图，在VABC中，点。、E分别在边A3、AC上，且BD=2AD,EC=2AE,

连接。E,如果AC=b^那么。石=.（用含向量〃、。的式子表示）

【答案】g"—g"

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，三角形法则求出证明

DE

AADE^AABC,求出工的值，即可得出结果.

【详解】解：,.•”二〃，AC二。，

BC=A.C—A,B=b—a，

•；BD=2AD,EC=2AE,

：.AB=3AD9AC=3AE9

ADAE

*'AB-AC-3?

：.DE//BC,

­.AADE^AABC,

DEAE_1

'BC-AC-3?

：.DE=-BC,

3

：.DE=-BC=-b--a-

333

故答案为：卜一£

24.(2025・上海长宁•一模)如图，已知在VA5C中，中线A。、BE交于点G,EF〃BC交AD于点F.

(1)如果FG=1,求GO和AF的长；

(2)如果AB=〃，AC=b，那么斯=.(用含向量〃、匕的式子表示)

【答案】(1)GO=2,AF=3

(2)-a--b

44

【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的

关键.

(1)根据三角形的重心，再证明GFEs,GDB,得出比例式，即可求解；

(2)先求出CB=C4+AB=a-〃，即可得到跖==.

444

【详解】(1)解：中线A。、BE交于点G,

•••点G为重心，

EF\BC,

GFEs,GDB,

.FGEG

…GD-BG-2'

FG=1,

\GD=2,DF=3,

AFAE1

~FD~~CE~'

.\AF=DF=3；

(2)解：「AB=a,AC=b,

…CB=CA+AB=a—b,

EF\BC,EF=-CB,

4

I.EF=—CB=—a——b,

444

故答案为：^-a-^-b.

44

25.（2025•上海徐汇・一模）如图，AD与助相交于点C,OE//AB,点尸在线段BC上，且EC?=C?BC,

连接D£E4.

（2）设A8=a,BC=/>,当3c=2EC时，求向量CD（用向量。力表示）.

【答案】（1）见解析；

（2）CD=—tz+—Z?

【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据平行线分线段成比例性质可C得D==E*C,再由石。2=。尸.3。可得EC*=C三F，从而得出

ACBCBCEC

g=再证AACESDCF,可得=再由平行线的判定即可得出结论；

ACEC

（2）由3c=2EC得出段=1,可得出段=2=2，再由AC=a+6可得=进而可得

nC2ACnC222

答案.

【详解】（1）证明：DE//AB,

.CDEC

一花一耘’

EC2=CFBC,

.ECCF

'~BC~~EC'

CDCF

ZACE=ZDCFf

:./\ACEsADCF,

,\ZCAE=ZCDF,

,\DF//EA；

(2)解：BC=2EC,

.£C_1

••—―，

BC2

CDEC_1

*AC-BC-2?

又AC=a+b，

CD=-ciH—b.

22

26.（2025・上海普陀•一模）如图，已知点E、尸分别在VABC的边AB和AC上，EF//BC,BE=2AE,

点。在5c的延长线上，BC=CD,连接£»与AC交于点G.

(1)求7^7的值；

(2)设A4=a,BD=b，那么AC=，EG=.(用向量。、》表示)

【答案】⑴:

Cl)-a+—b,~—a+—b

264

【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性

质是解答本题的关键.

PPAp11

(1)由题意可得▲但”.ABC,则==F=T，即==三，再证明AEFGS.OCG,即可求解；

BCAB3CD3

1119

(2)由题意得^。二^四二7人，AB=-a^则AC=AB+BC;由题意得=BE=-AB,则

2243

2

EB=--a,ED=EB+BD，进而求解.

【详解】(1)：BE=2AE,

：.AB=3AE.

♦：EFBC,

ZAEF=ZB,ZAFE=ZACB9

AEF-ABC,

•m•E则F一A=E—1二一，

BCAB3

•・•BC=CD,

EF

••—―，

CD3

•・・EFBC,

：.Z.GEF=Z.GDC,NEFG=NDCG,

・•.EFG~DCG,

EG_EF_1

'GD~CD~3'

(2)vBC=CD,

BC=-BD=-b,

22

,•，BA-a，

•t,AB——d，

AC=AB+BC——aH—b,

2

EG

*GD-3，

：.EG=-GD,EG=-ED

34f

:BE=2AE,

.-.BE=-AB,

3

2

.测£5=_铲,

2.

ED=EB+BD=—&+b,

3

EG=—\~—a+b\=-—a+—b.

413J64

故答案为：AC^-a+-b,EG=--a+-b.

264

27.(2025•上海闵行•一模)已知：如图，点A、8在射线上，点C、。在射线ON上，AD.BC交

十.OBOD5、儿.

于点''7^7=，设。4=〃'OC=b.

o

（1）AC=,BD=（结果用含向量a、6的式子表小）

（2）由（1）可知与BO是向量.

（3）如果,尸|=6,那么W$=

【答案】（l）b-a；

⑵平行

（3）16

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平面向量，掌握平面向量是解题的关键.

（1）AC^OC-OA^b-a，BD=OD-OB=^b-a-

（2）根据4c=0一°,BD=|/?-|a,得出AC与3。是平行向量；

CR0r）5A尸3I.1

（3）根据£=匕==,得出4。〃班）,从而得到人^。。八0尸从根据一==求出附=io,

OAOC3PDBD511

从而得到冈=16.

【详解】（1）解：AC=OC-OA=b—af—OD—OB=—b——a,

故答案为：b-a;§6一耳〃；

（2）解：AC=b—a>BD=-b——a,

；・AC与3。是平行向量,

故答案为：平行;

⑶解:嘿OD5

~OC~3

・•.AC//BD,

・•・AAPCS/\DPB,

AP_AC_3

PDBD5，

•.•网=6,

.•.囱=10,

.-.|DA|=16,

故答案为：16.

28.（2025・上海崇明•一模）如图，四边形A5CD中，AD//BC,AC与相交于点0,80=16,00=8,

AO=5.

⑴求C。的长；

(2)设A4=a,BC=b，试用。、b表示C0.

【答案】⑴co=io

22

(2)CO=—tz——Z?

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和向量的知识，掌握了以上知识是解题的关键；

(1)利用已知条件证出一AODsC03,再得出头=段，然后代入计算即可求解.

COBO

2

(2)先求得C0=§C4,再根据CA=5A-5C="人然后即可求解；

【详解】(1)解：・・・AD〃5C,

•••AODsCOB,

AODO

,•布一而’

V40=5,00=8,30=16,

5_8

,•而一记’

解得：CO=10；

(2)解：・・・CO=2AO,

CO=-CA,

3

又•••C。与C4同向，

CO=-CA

3f

*,C4=BA.—BC=a—b，

22

CO=-a——b；

33

29.（2025・上海黄浦•一模）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=4fBC=5,对角线AC、BD交

于点E.

(1)设8C=a，8。=6，试用。、b的线性组合表示向量AE.

(2)已知AD_LCZ),tanZDAC=1,求sinNABC的值.

44

【答案】⑴=

⑵与

ED4444

【分析】(1)证明ADEs.CBE,即得—=得到进而得到ED=-b,再

BE