2026届新高考数学热点冲刺复习 幂函数、指数函数、对数函数的综合应用

2026届新高考数学热点冲刺复习

幂函数、指数函数、对数函数的综合应用01课前自学02课堂导学目录【课时目标】掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象及其性质，能利用函数的图象与性质解决有关的综合问题.【考情概述】幂函数、指数函数、对数函数的综合应用是新高考考查的重点内容之一，常以选择题或填空题的形式进行考查，有时与其他知识交汇考查，难度中等，属于高频考点.

知识梳理1.与指数、对数函数相关的较复杂函数的研究，往往与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质相联系，解题时当底数a与1的大小关系不确定时，一般要分类讨论.2.换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函数式的化简求值、解析几何的计算等.回归课本1.判断：

（2）若函数y＝lg（x2＋ax＋1）的值域为R，则实数a的取值范围是（－2，2）.

（

✕

）（3）

（RA一P161复习参考题4第11题改编）函数f（x）＝loga（x＋1）＋loga（x－1）是偶函数.

（

✕

）（4）

（RA一P135探究与发现改编）函数y＝log2x与y＝2－x的图象关于直线y＝x对称.

（

✕

）✕✕✕✕

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

c＜a＜bD.

c＜b＜a3.已知函数y＝log2（ax－1）在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（

C

）A.

（0，1]B.

[1，2]C.

[1，＋∞）D.

[2，＋∞）DC

A.

f（x）＝x2C.

f（x）＝2xD.

f（x）＝lnxBD

－1

（－1，0）

6.

（RA一P140习题4.4第7题）判断下面各对函数是否互为反函数.若是，则求出它们的定义域和值域：（1）

y＝lnx，y＝ex；解：（1）

y＝lnx与y＝ex互为反函数，y＝lnx的定义域和值域分别为（0，＋∞），R；y＝ex的定义域和值域分别为R，（0，＋∞）.

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

c＜b＜aD.

b＜a＜cD

（2）设3a＝8，b＝log0.50.2，c＝log424，则a，b，c的大小关系为（

B

）A.

a＜b＜cB.

a＜c＜bC.

b＜a＜cD.

b＜c＜aB解：由题意，得a＝log38＜log39＝2，b＝log0.50.2＝log25＝log425＞log424＝c＞log416＝2，则a＜c＜b.总结提炼

指数式、对数式、幂值比较大小的思路（1）思路一：对于同底数的指数式、对数式或幂值，直接根据函数的单调性比较大小.（2）思路二：对于不同底数的指数式、对数式或幂值，①可化为同底数的指数式、对数式或幂值，再根据单调性比较大小；②找中间量（通常找0和1）进行比较；③用作差法、作商法比较大小.

A.

b＞c＞aB.

b＞a＞cC.

c＞b＞aD.

c＞a＞bA考向2

构造函数比较大小例2

（1）

（一题多解）已知a，b，c∈（0，＋∞），且lna＝a－1，blnb＝1，cec＝1，则a，b，c的大小关系是（

C

）A.

c＜b＜aB.

a＜b＜cC.

c＜a＜bD.

b＜a＜cC（2）

（多选）若正实数x，y满足lny－lnx＞y－x＞sin

y－sin

x，则下列关系式可能成立的是（

AD

）A.

0＜x＜1＜yB.

y＞x＞1C.

0＜y＜x＜1D.

0＜x＜y＜1AD总结提炼

指数、对数比较大小（1）对于结构相同的，利用相应函数的单调性比较大小；（2）结构不同，但通过变形能转化为熟悉的函数的，可以利用图象求解，或转化为结构相同的函数的不同函数值，再构造函数求解.【对点训练】2.

（2023·黄石模考）已知a＝e－2，b＝1－ln2，c＝ee－e2，则下列大小关系正确的是（

D

）A.

c＞b＞aB.

a＞b＞cC.

a＞c＞bD.

c＞a＞bD

（2）已知函数f（x）＝2｜2x－m｜（m为常数）.若f（x）在区间[2，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围是

（－∞，4]

.（－∞，4]

[－1，＋∞）

【拓展探究】将例3（2）中的条件改为“若函数f（x）＝2｜x－a｜（a∈R）满足f（1＋x）＝f（1－x），且f（x）在区间[m，＋∞）上单调递增”，则实数m的最小值为

1

.1

总结提炼

求解与指数函数有关的复合函数的问题时，要明确复合函数的构成，常应用换元法简化问题.当涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题转化为与内层函数相关的问题并加以解决.考点三

与对数有关的复合函数综合问题

（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；

（2）用定义证明函数f（x）在D上是增函数；

（3）

当x∈（t，a）时，若函数f（x）的值域是（－∞，1），求t与a的值.总结提炼

求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【对点训练】3.已知函数f（x）＝loga（3－ax）.（1）

当x∈[0，2]时，若函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围.

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，