江苏省南京市某中学2024-2025学年高二年级下册期初测试数学试卷（含答案解析）

江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高二下学期期初测试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.从集合｛T,O,L2｝中任取两个不同的数a涉组成复数。+历，其中虚数有（）

A.4个B.9个C.12个D.16个

2.函数/（x）=Y在区间[0,2]上的平均变化率等于x=机时的瞬时变化率，则加=（）

A.1B.!C.2D.—

22

3.记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知85=百0，〃5=1，则%=（）

17

A.0B.-C.-D.2

33

4.若直线>=履+2与圆/+y2=4相交于A、8两点，且S^5O=2（其中。是原点），则%

的值为（）

A.土且B.±-C.±1D.+收

32-

5.若函数y=d-2ax在（0,指）内无极值，则实数a的取值范围是（）

999

A.（0,-）B.（-oo,0]C.（-oo,0]U[-,+°°）D.（-oo,0]U（-,+°°）

222

6.设不鸟为曲线G：L+2L=1的左，右两个焦点，P是曲线C2：土-丁=1与的一个交

623

点，则sin/可产乙的值为（）

7.已知函数/5）=所'-炉+3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A.0B.（0,|）C..2e,fD.（一2臼

8.抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平

行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线C:y=2Y上的一点

尸（异于原点O）作C的切线/,过。作/的平行线交尸尸（尸为C的焦点）于点Q,则|。。|

的取值范围为（）

C.(0,1)D.(0,2)

二、多选题

9.某企业根据市场调研得到研发投入了（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下,

则下列叙述正确的是（）

X1234567

y2357889

[5%一阿_

参考公式：J关于*的回归直线方程y=5x+&中，另=三--------,a=y-bx

Xx；-rix2

i=l

A.x=4,y=6

B.由散点图知变量x和>负相关

C.相关系数厂>0

D.用最小二乘法求得）关于X的线性回归直线方程为》=L5x+0.5

10.已知点M（4,0）,N（0,2）,点尸在。（7:工2-14尤+、2-4、+44=0上运动，在此过程中，则

（）

A.APAW的面积最大值为7-3石B.祈O法的取值范围是[-24,0]

3

C.存在斜率为]的直线NPD.存在四个直角三角形

11.己知数列｛““｝满足C为正整数）4+1才”为3的倍数，则下列结论正确

2a“+1,”“不为3的倍数

的是（）

A.若f=27,则%=i

B.若。5=1，则f所有可能取值的集合为9,12,13,81｝

C.若t=3",上为正整数，则｛。“｝的前七项和为三二

D.任意“eN*,“用9+2都不能构成等差数列

填空题

试卷第2页，共4页

22

12.已知直线y=2x是双曲线C:工-二=1(机＞0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率

16m

为.

13.已知定义在(0,+⑹的函数/(x)满足-货(x)＜0,则不等式//]£|-/5)＞。的解

集为.

14.棱长为灰的正四面体A-3CD中，点M为平面38内的动点，且满足40=逐，点G

为△ABD的重心，则直线AM与直线CG所成角的余弦值的最大值为.

四、解答题

15.已知数列｛%｝的前“项和S“满足底=J“+l("22,"wN*),且4=1.

(1)求证：数列｛%｝为等差数列；

⑵记％=一^^为数列出｝的前〃项和，求使(2,成立的n的最小值.

anan+lan

16.设函数/'(x)=ar-lnx+l,aeR.

⑴若/(x)»0恒成立，求实数。的取值范围；

(2)是否存在实数a,当无e(0,e]时，函数/(》)的最小值是2?若存在，求出。的值；若不存

在，说明理由.

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA_L平面A3CD,AB//CD,且8=2,A3=1,

BC=2,y/2,PA=l,ABA.BC,N为尸Z)的中点.

⑴求点N到平面PBC的距离：

(2)在线段尸。上是否存在一点使得直线CM与平面所成角的正弦值是好，若存

5

在，求出器的值，若不存在，说明理由・

is.己知椭圆c：：+，=i(“>b>o)的离心率为岑，且经过点，孝］

(1)求椭圆c的方程；

(2)记椭圆C的右焦点为尸，若点A,3在椭圆C上，满足3闻+而=0,求直线48的斜率.

(3)过点，，-g1的动直线与椭圆C有两个交点P,。，在y轴上是否存在点T使得取•运40

恒成立.若存在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

19.数列｛%｝的前〃项和为九若存在正整数且「</,使得S,=r,S,=r同时成立，则

称数列｛%｝为数列”

(1)若首项为3,公差为4的等差数列｛。,｝是“"(3,6)数列”，求d的值；

⑵已知数列｛。“｝为等比数列，公比为4.

①若数列｛4｝为数列”，求4的最大值；

②若qe(T0)，/为偶数，试判断是否存在正整数"使数列｛%｝为数列”？如果存

在，求出♦的最小值，如果不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

《江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高二下学期期初测试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BADCCDABACBCD

题号11

答案AD

1.B

【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求得结果.

【详解】根据题意可知，若复数。+历表示虚数，则，W0;

第一步，从｛-U,2｝中任取一个数作为3,共有3种选法；

第二步，再从剩余的三个数任取一个作为。，共有3中选法，

因此共有3x3=9种.

故选：B

2.A

【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果.

【详解】易知平均变化率为里二*=g=2,

2-02-0

可得r(x)=2x,瞬时变化率为了'(%)=2加，

因此2m=2,解得m=1.

故选：A

3.D

【分析】由55=%结合等差中项的性质可得小=。，结合已知求出公差，进而求得4的值.

【详解】等差数列｛〃“｝中，号0-§5=4+/+为+%+4o=5。8=。，则。8=°，

因此公差所以。2=%-3d=l-3x(-：)=2.

8—533

故选：D

4.C

【分析】根据给定条件，利用圆心到直线距离以及弦长公式，列方程求得结果.

【详解】圆年+。=4的圆心为(0,0),半径为广=2,

圆心到直线距离为d=/正,弦长|=2〃一解=2/一白=，

答案第1页，共17页

依题意，SABO=1|AB|^=1-4=2,所以左=±1.

故选：C

5.C

【分析】求出导数，再由导函数在(0,百)内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最

大值的范围即可求解.

【详解】由函数y=丁—2〃%在(0,g)内无极值，得''=3%2_2〃在(0,6)内无变号零点，

L9

而函数y=3f-2a在(0,若)上单调递增，则一2“20或9—2aW0,解得aWO或

9

所以实数4的取值范围是(-8,0]U[5，+8).

故选：c

6.D

【分析】求出片，鸟的坐标，由椭圆、双曲线的定义求出I尸耳再由余弦定理求出

\PF2\,

cosN耳PF2,即可求出sin/耳PF2.

22

[详解：]由曲线C|：'+5=l的方程得4(-2,0)，8(2,0),由椭圆的定义得附M*=2后

又曲线G：丁=1的焦点和曲线G的焦点相同，不妨设P在双曲线右支上，

双曲线的定义得|尸耳卜仍耳=2百，|尸耳|="+白，户阊="一宕，

（遥+同+（#一扬2421

在4尸百工中,由余弦定理可得cos/月桃=

2（屈-6）函-6）3

272

smZFPF=^1-cos2ZFPF

}2t2"I"

故选：D

7.A

答案第2页，共17页

X2-3

【分析】将问题转化为与曲线g(x)=有三个不同的交点，利用导数研究函数

ex

g(x)的性质，从而结合图象即可求得实数。的范围;

2

【详解】令/(/"\=0,即得泡-炉+3=0,即。=匚Y三-3方程有三个零点,

ex

即直线>=〃与曲线g(x)=\^有三个不同的交点,

2x—+3X2-2X-3_(x+l)(x-3)

可得g'(x)e"=e"

所以当x£一1)或x£(3,+8)时，gr(x)<0,g(x)单调递减；

f

当龙«—1,3)时，g(x)>Ofg⑺单调递增,

所以当尤=—1时,g(x)有极小值为g(x)=-2e,

当x=3时，8(尤)有极大值为8(到=：,

当X—+8时，g(x)f0,且当国2⑺时，g(x)>0,

所以作出函数g(x)=F的图象如图所示，

所以数形结合可知0<。<9，即实数”的取值范围为10，£

故选：A

8.B

【分析】由光学性质可知NFOQ=NPQO,即1尸0|=1世1=，，结合由三角不等式可得答案;

O

【详解】由C:y=2d可得C:Y=；y,故焦点小,j,

如图，由光学性质可知：入射光线EP,反射光线根〃y轴，所以N1=N2,

又。。/〃，所以/世。=/1,因为机//y轴，OQHI,

答案第3页，共17页

贝U有/尸。。=/2,所以/尸。。=/尸。。，^\FO\=\FQ\=^,

O

由三角不等式可得＜QQ＜100+（因尸在抛物线上且异于原点，等号不可取），

故选：B.

［点睛】关键点点睛:根据平行线以及光学性质可得N1=N2,NFQO=N1,故ZFOQ=Z2,

进而可得NFOQ=NF1。。，即可利用三角形三边关系求解.

9.AC

【分析】对于A,根据条件，直接求出京7,即可求解；对于B和C,根据条件，画出散点

图，即可求解；对于D,利用线性回归直线方程过样中心（元为，代入计算，即可求解.

1+2+3+4+5+6+7-2+3+5+7+8+9+9,

【详解】对于选项A,由题知工==4,y=---------------------------=6，

7

故选项A正确,

对于选项c,由选项B知变量x和y正相关，所以厂＞o,故选项c正确,

对于选项D,因为样本中心点为（4,6）,又L5X4+0.5=6.5K6,

所以》=1.2x+L2不是y关于x的线性回归直线方程，故选项D错误，

故选：AC.

10.BCD

【分析】根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可根据面积公式求解A,根据数

答案第4页，共17页

量积的坐标运算求解B,根据相切时的斜率即可求解C,分情况讨论直角顶点，即可结合点

到直线的距离以及两圆位置关系求解D.

【详解】因为M(4,0),N(0,2)所以左MN=3=-4，

所以直线MTV的方程y_2=_g无，即x+2y_4=0,

由0C:尤2—14x+y2—4y+44=0,f#(%-7)2+(y-2)2=9,

所以圆心C(7,2),半径为r=3,

对于A：因为圆心C(7,2)到直线MN的距离为d=尸I=述,

Vl2+225

|M7V|=V42+22=A/20=2>/5，

所以APMN的面积最大值为g|2VW|(3+d)=；x2岔x[¥+3]=7+3如，故A错误;

对于B,设P&,%),则加・收=(T,O)・(x0—4,%)=16-4%，

由(x-7?V9,贝l]4VxV10,

^)6[4,10],因此荻•砺=16-4%e[-24,0],故B正确，

对于C,当直线NP与上半圆相切于点尸时，此时|CV|=7,r=3,故L=4_六=前>7'

3

故存在斜率为,的直线NP,C正确，

对于D,①设与直线垂直且过点M(4,0)的直线为2%->+机=。，

贝！J2x4—0+加=0,得加=—8,即直线为2x—y—8=。，

|14-2-8|4

因为圆心到直线2x-y-8=。的距离为<3,

所以直线2x-y-8=0与圆(1)，(尸2)2=9有两个交点,

答案第5页，共17页

所以以M为直角顶点的直角三角形有2个;

②设与直线MN垂直且过点N（0,2）的直线为2x-y+n=Q,

贝!J2x0—2+几=0,得〃=2,即直线为2%—y+2=。,

|14-2+2|_14

因为圆心到直线2%-y+2=0的距离为>3,

所以直线2x-y+2=0与圆（x-7）2+（y-2）2=9相离，无公共点,

所以以N（0,2）为直角顶点的直角三角形不存在;

③以跖V为直径的圆为（*-2）2+。-1）2=5,设圆心为。，则。（2,1）,半径为百,

所以.刈=^（7-2）2+（2-1）2=726,

因为3一百<|8|<3+百，

所以以为直径的圆与圆（了-7）2+（丫-2）2=9相交,

所以以P为直角顶点的直角三角形有2个；

综上，户在运动过程中，能且只能得到4个不同的RtZXPMN,故D正确.

故选：BCD

答案第6页，共17页

11.AD

【分析】根据递推公式代入计算可判断A正确，B错误，由.=3及可知数列的前左构成等比

数列，利用等比数列前〃项和公式计算可得C错误，对〃€内,％,%+”见+2中的前两项是否为

3的倍数进行分类讨论，再由等差数列定义判断即可得D正确.

【详解】对于A,若r=27,可得％=27,

根据递推公式计算可得%=9,%=3,4=1,%=3,%=1,%=3,4=1,即可得A正确，

对于B,由题意％=fG为正整数）以及递推公式可知。,均为正整数；

显然当生=1时，可得知只能为3,

再根据递推公式可得前3项的取值有以下情况：

=9,a2=27,=81；=9,a2=27,q=13；a2=9,a?~4,=12；

。3=1,=3,。］=9;%=1，%=3,=1；

所以f所有可能取值的集合为｛1,9,12,13,81｝,可得B错误;

对于C,若f=3/，左为正整数，显然可知数列的前左构成等比数列，公比为g,ak=l.

则可知数列｛a,｝的前k项和为即C错误;

对于D,若“€叱,%,%+1都为3的倍数，且能构成等差数列,

因此可得a,=3a,+j,a,+2=号，显然此时4+a^2=—an+l2an+l,

显然此时%，。“+1，%+2不能构成等差数列;

若都不为3的倍数，且能构成等差数列,

Q—1

a2a2a+1

则n+i=n+L%+2=n+l)因此凡+联=号—+2<2„+1+1=2.，

解得。用=T，与题意矛盾，显然此时风，。用，4”2不能构成等差数列;

若〃eN*,a“为3的倍数，。用不为3的倍数，且能构成等差数列,

贝14=3%+i,4+2=2a.+i+1,因此%+an+2=5an+1+1=2t?„+1,

答案第7页，共17页

解得%=T，与题意矛盾，显然此时4“%，%+2不能构成等差数列；

若〃eN*以不为3的倍数，为3的倍数，且能构成等差数列，

则。“+2=早，«„+i=2an+l,因此an+an+2=+等=2。用，

解得〃用=-/，与题意矛盾，显然此时见，。向，%+2不能构成等差数列；

综上可得，任意〃€^,双，4田,““+2都不能构成等差数列，即D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：在判断D选项时关键在于对任意，zeN*,a“,amMm中的前两项是否

为3的倍数分四类进行讨论，再利用等差中项性质判断即可得出结论.

12.5上书

22

【分析】根据给定条件，求出加值，进而求出离心率即可.

2r24

【详解】由双曲线C:工v-二=1(m>0)的渐近线为y=2x,得一=2,即〃7=2,

16mm

所以双曲线q-工=1离心率e=亟3=@.

16442

故答案为：好

2

13.(0,1)

【分析】令函数g(x)=』J,求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出g(x)的单

调性，再利用单调性解不等式可得结论.

【详解】构造函数g(x)=&,则g，a)"u)1a),

XX

又xe(0,+co),f(x)-xf'(x)<0,可得g'(x)>0,

因此g(无)=3在(0,+9)上单调递增，

X

原不等式可化为即gp~1-g(x)>0,

£X

X

可得g[J>g(x)，因此「X,

解得0<x<l.

答案第8页，共17页

故答案为：（0,1）.

14.2（碗+⑹

15

【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用正四面体性质求出点〃的轨迹是以。为圆心，

半径为1的圆，再利用重心性质以及异面直线夹角的向量求法即可求出结果.

【详解】根据题意，记A在底面38内的摄影为。，则平面38,

又CO,OMu平面3CZ）,故AO_LCO,AOLOM；

利用正四棱锥性质可得CO=—xx=V2，所以AO=J6—2=2，

32

又因为则OM=,5-2,=1,

可知点Af的轨迹是以。为圆心，半径为1的圆，

以。为坐标原点，OCOA所在直线分别为％z轴，在平面内过。作平行于3。的直线为

了轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

设M(cosa,sintz,O),tze[0,2兀],

易知A（0,0,2）,2-孝，一半0,D一„，。,C（A/2,0,0）,

（jy2、

又点G为△ABD的重心，可得G—,0,­,

7

一逑05

因此AM=(cosa,sina,-2),CG=3…37

设直线AM与直线CG所成的角为巴

答案第9页，共17页

一班…44A/24

—COS6Z+—

则可得cos*CG3333

cos

W||CG^/l+4x22A/5

4724

——cosa+—（）丽+「）取得最大值.

当cos。=1时，3340+l_2

cos6=

2非3x2百15

因此直线AM与直线CG所成角的余弦值的最大值为［标+⑹.

15

故答案为：2即+灼

15

【点睛】方法点睛：求解异面直线夹角的方法：

平移法：作出异面直线夹角的平面角求解；

向量法：利用空间向量以及夹角公式计算.

15.（1）证明见解析

（2）2

【分析】（1）根据等差数列的性质可得5"=",即可利用的关系得利用等

差数列的定义即可求证，

（2）利用裂项相消法求解1,即可利用二次函数的性质求解最值.

【详解】（1）由底=6二+l（,22,"eN*）可得｛四｝为等差数列，且公差为1,首项为1,

故6'=i+（"-i）=",即s,=〃2,

当凡22时，Si=5-1）2,故%=S“-S,T=〃2-（〃-1）2=2W—1,

当〃=1时，％=1也符合,

故=2/7-1,

因此“22时，%-QT=2〃—1—（2〃-3）=2,故｛%｝为等差数列，且公差为2,

,111______

（2）6“=-------

a"+i（2〃-1）（2〃+1）2{2n-l2n+l）

111

故1-+••■+

lr352H-1占卜口一。二七

答案第10页，共17页

由(2—1可得VI白二1，

an2n+l2n—l

故2〃2-3〃-12O,

由于y=2川_3〃-1为开口向上，且对称轴为7的二次函数，

故>=2r-3〃-1在“eN*单调递增，且儿=2=8-6-1>0,九1=2-3-1<0,

因此使T„>—成立的n的最小值为2.

an

16.(l)a>—；

e

⑵存在，a=i.

【分析】(1)由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可.

(2)利用导数按分类讨论函数/(x)在(0,e］上的单调性，并求出最小值即可.

ee

【详解】(1)函数f(x)="x7nx+l的定义域为(0,+功，不等式/(©zoo。、也已，

X

令g(尤)=叱匚，依题意，aNg(x)恒成立，g，(x)="生，

XX

当0<x<e?时，g'(x)>。；当x>e2时，g'(无)<。，

函数g(x)在(0,e?)上递增，在(e\+(»)上递减，g(x)1mx=g(e2)=J,则窈±■,

ee

所以实数。的取值范围是«>4.

e

(2)由函数/(x)=ax-lnx+l,求导得/(%)=。-L，由xe(0,e］,得工2,，

xxe

当时，y(x)<0,函数/(%)在Qe］上单调递减，

e

21

/(%)min=/(e)=e〃=2,解得〃=_>_,无解；

ee

当时，由/'(x)<0,得0<%<L；由r(x)>0,^-<x<e,

eaa

函数/(%)在(0/)上单调递减，在(±3上单调递增，

a0

/COmin=/(,)=2+lna=2,解得a=l,符合题意，

a

所以存在实数a,当xe(0,e］时，函数/(x)的最小值是2,。=1.

【分析】(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，再由空间距离的向量求法计算可得结

答案第11页，共17页

果;

（2）设力拓=4而彳利用线面角的向量求法解方程计算可得结果.

【详解】（1）取C。的中点为E,连接AE,

因为上4，平面ABCD,AB,AEu平面ABCD,

所以R4_LAB,PA_LAE,

又CD=2,AB=1,C。的中点为E,AB//CD,

所以AB〃CE,CE=AB=1,可得四边形ABCE为平行四边形，

又因此ABCE为矩形，可知

因此AE,AB,AP两两垂直，

以点A为坐标原点，所在直线分别为x，MZ轴建立空间直角坐标系，如下图所示:

易知尸（0,0,1）,8（0,1,0）（（2应,1,0）,£＞（2/,-1,0）,因此N（直,

可得丽=（0,1,-1）,/=（2五,0,0）,

设平面尸3c的一个法向量为与=（%y,z）；

PB-n=y—z=0

解得x=0,令y=l,可得z=l；

BC-fi=2y/2x=Q

因此法向量可以为万=（O,U）,

且CD=2,AB=1,BC=272,PA=\,AB±BC,N为P。的中点.

易知PN=[j^,-g,-,

答案第12页，共17页

1V2

所以点N到平面PBC的距离为〃=

同

(2)假设存在点M,^W=2DP,2e[0,l],

IjFfy.CM=CD+DM=CD+2DP=(-2722,-24-A,2)

由（1）可知平面PBC的一个法向量为为=（0,1,1）,

因为直线CM与平面PBC所成角的正弦值是叵,

CM\\n\^822+(-2+/L)2+22X725

3

解得4=3

o

___.3—.DM3

BPDM--DP,可得——=-.

8DP8

18.（l）y+/=1

⑵±1

⑶存在T点纵坐标的取值范围为-；』，满足题意.

【分析】（1）根据椭圆离心率并代入点坐标计算可得椭圆方程;

（2）设直线的方程为尤=%y+l,联立椭圆方程并利用韦达定理以及向量共线解方程可

得结果;

（3）对直线P。的斜率进行分类讨论，联立直线和椭圆方程由韦达定理以及向量数量积的坐

标表示，再根据并•迈40恒成立解不等式可得结果.

C_垃

a2b2=l

111

【详解】（1）依题意可知解得c2=1,

"2b2'

a2=2

a1=b2+c2

因此椭圆C的方程为J+y2=l；

（2）易知F（l,0）,设直线AB的方程为x=my+l,A（%,yJ,3（巷,为）;

答案第13页，共17页

x=my+1

联立V2_],整理可得®2+2*+2叼T=o,显然△=4疗+4（疗+2）＞0；

2m1

因止匕/+%=—

由3丽+丽=0可得3（芭+，即3%+%=0，

2mm

代入可得%+%=-2%=-,即M=

m2+2m2+2

m21m21

因止匕yy=—3y；=—3,即

x2m2+2m2+2m2+2-3

解得m=±l,

因此直线AB的方程为1=±y+l,即其斜率为±1.

（3）如下图:

设直线方程为y=^(x3,y3),2(x4,y4),T(0,f)；

y=kx--

2,整理可得（2左2+l）》2_2fct—|=0,显然A=4上2+6（2左2+1）＞0；

联立

二+丫2=1

I2-

2k3

因此…=豆】1H=-访训,

所以

2

k

TP-TQ=(x3,y3-t)\x4,y4-t)=x3x4+(%一)(%—)=(/+1)W尤4-+&+'

、

2

俨+1)3-+