填空题-压轴（15题）-2025年八年级数学下学期必刷题（北师版）解析版

专练06填空题-压轴（15题）

1.（2025・湖北十堰•八年级期末）如图，等边AMC中，BC=12,M是高所在直线上的一个动点，连接

MB,将线段8M点8逆时针旋转60。得到3N,连接HN.在点M运动过程中，线段EW长度的最小值是

A

【答案】3

【解析】

解:如图，取BC的中点G,连接MG

ZH\XB

N

：.BG=CG=-BC=6

2

由旋转的性质可得3N=3M,ZMBN=60°

•・•等边AABC中，CH为A8边上的高

：.AB=BC=12,BH=-AB,ZABC=60°,ZBCH=-^ACB=30°

22

：.BH=BG,ZMBN=ZABC

：.ZMBN-ZMBA=ZABC-ZMBA

：.ZNBH=ZMBG

在△NBH和△M8G中

BN=BM

<ZNBH=ZMBG

BH=BG

：.ANBH%AMBG(SAS)

：.HN=GM

HN长度的最小值即为GM长度的最小值

根据垂线段最短，当GM_LC”时，GM最小

此时在RtACGM中,ZGCM=30°

：.GM=-CG=3

2

即HV长度的最小值为3.

故答案为：3.

【点睛】

此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形

的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30。所对的直角边

是斜边的一半是解决此题的关键.

2.（2025•贵州铜仁•八年级期末）如图，已知NMON=30点4,A2,4,…在射线ON上，点B/,B2,B3,...

在射线。/上，△A1B1A2,AA2B2A3,△A3B34,…均为等边三角形，若04=1,则△A202582025A2025的边长

【解析】

解：,••△4B/A2为等边三角形,

/.ZAIBIA2=60°,AIBJ=AIA2,

ZMON=30°f

：.NA祖0=30。,

・・・△04囱为等腰三角形，

/.AiBi=OAi,

.\AiBi=AIA2=OAJ,

9：OAI=1,

同理可知4042&为等腰三角形,

OA2=A2B2=A2A3=2,

同理可知4。生明为等腰三角形，

OA3=ASB3=ASA4=22，

同理可知4。4曲为等腰三角形，

/.0A4=4祖=4必5=23，

依次类推：OAn=AnBn=AnAn+i=2,,_1,

△A202582025A2025的边长为：2"21=22020,

故答案为：22020.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，归纳，总结，验证，应用的能力，能够发现规律

并应用规律是解决本题的关键.

3.（2025•黑龙江鸡西•八年级期末）如图，△ABC,△OCE都是等边三角形，则①②△A3。丝△BC。，

③NBAE=NACE,④ABCD0AACE,⑤/BDC=NAEC,以上正确的序号是

【答案】①④⑤

【解析】

解：•••△ABC,AOCE都是等边三角形，

.-.AB=AC=BC,CD=CE=DE,ZACB=ZDCE=60。,

:.ZBCD=ZACE,

在△BCD和AACE中，

BC=AC

"ZBCD=ZACE,

CD=CE

.•小BCD-ACE(SAS),故④正确，

:.AE=BD,NBDC=ZAEC,故①，⑤正确，

'：AB=CB,BD=BD,AD与CD不一定相等，故△ABD与△BCD不一定全等；故②错误,

VZBAC=ZDCE=m°,ZACE=ZACD+ZDCE,ZBAE=ZBAC+ZACE,

；•/E4c与NACO不一定相等，故③错误.

故答案为：①④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是本题的关键.

4.（2025•山东德州•八年级期末）如图，中，NA=NACB,CP平分ZACS,BD、CD分别是AASC的

两外角的平分线，射线BD的反向延长线交CP于点P,下列结论中：①CPCD；②/尸=gZA；③BC=CD；

@Z£>=90°-^ZA;⑤尸D〃AC.其中正确的结论是___________（直接填写序号）.

2

【答案】①②④⑤

【解析】

解：VZBG4+ZBCF=180°,CP平分NAC8,CD平分/FCB,

11

・•・ZPCB=-ZBCA,ZDCB=-ZBCF,

22

ZPCD=ZPCB+ZDCB=-/BCA+-NBCF=-(ZBCA+ZBCF)=1x180°=90°,

222''2

：.CP±CD；

故①正确；

延长C8到G,如图,

•；BD平分NCBE,

：./EBD=NDBC,

•；NEBD=/PBA,ZCBD=ZPBG,

:・/PBA=/PBG,

：.ZABG=2ZGBP,

VZABG=ZA+ZACB,BP2ZPBG=ZA+2ZPCBf/PBG=/P+/PCB,

：.ZPBG=^/A+NPCB,

：./P=gNA,

故②正确；

•：CD平分/BCF,BD平分/CBE,

：.ZBCD=-ZBCF,ZDBC=-ZCBE,

22

11

ZBCD+ZCBD=-ZBCF+-/CBE,

22

=1(ZA+ZABC)+1(ZA+ZACB),

=90°+-ZA,

2

.\ZD=180°-(/BCD+/CBD)==180°-90°--ZA=90°--ZA,

22

故④正确；

・.・ZBAC=ZACB,

・•・2ZDBC=ZEBC=ZA+ZACB=2ZA,

NDBC=NA,

：.ZD=90°--ZDBC,

2

：.2ZD+ZDBC=180°,

只有当NA=60。时，ZD=ZDBC=60°,

：.BC=CD,

故③不正确，

"?ZDBC=ZA=ZACB,

J.PD/7AC,

故⑤正确；

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查三角形内角与外角平分线，等腰三角形性质与判定，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判

定，掌握三角形内角与外角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定是解题关键.

5.（2025・四川宜宾•八年级期末）己知：Rt^ABC^,ZBAC=90°,AB=AC=1,。是BC边上的一个动点

（其中0。＜/84。＜45。），以为直角边作R/AAOE,其中/D4E=90。，S.AD=AE,DE交AC于点F,

过点A作于点G,交BC于H,在。点的运动过程中，有下列结论：①"BD出AACE：②BADC2

2

=2AD；③8。2+狼2=。吟④当近一1时，AC平分NHAE；⑤当/射。=22.5。时，5^0=25^,

其中正确的有.（将所有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）

【答案】①②③④

【解析】

解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AOE中,

\'AB=AC,NBAC=NDAE=90°,AD=AE.

，ZBAD=ZCAE.

AABDW/\ACE.故①符合题意；

在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，

1ABC1ACB1ADE?AED45?,

AABD乌LACE,

\?ACE45靶DCE=45?45?90?,BDCE,DE2=2AD2,

\CE2+CD-=DE',

\BD2+CD2=2AD\故②符合题意，

如图，连接由，则EH?=CE2+C/f2=。"2+3。2,

等腰直角三角形AOE,AHdDE,

\DG=EG,DH=EH,

\DH1CH2+BD\故③符合题意；

QAB=AC=1,?BAC90?,BD&-1,

\BC=V2,Cr>=^-(V2-1)=l,CE=BD^y/2-1,而EH=DH=LCH,

\"+(0一=(]_CH)2,

解得：CH=V2-1=CE,

QAC=AC,?ACB1ACE45?,

\NACH^/ACE,

\^HAC1EAC,即AC平分E)HAE,故④符合题意,

如图，过尸作HV_LAE于N,

Q?BAD22.5?,ffij^BAD^CAE,

\?CAE22.5靶47）=45?22.5?67.5?1DAF,

\?GAF45?22.5?22.5??CAE,而4GADE,

\FG=FN,

\EG?2GF,而。G=EG,

\DG72GF,

\SVADG?2SVAGF，故⑤不符合题意；

综上：符合题意的有：①②③④.

故答案为：①②③④

【点睛】

本题考查的是等腰直角三角形的性质，利用S4S证明三角形全等，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的

定义与性质，角平分线的性质的应用，二次根式的乘法运算，掌握以上知识是解本题的关键.

6.（2025•广东广州•八年级期末）如图，在四边形ABC。中，AB=BC,AD=CD,我们把这种两组邻边分别

相等的四边形叫做“筝形筝形42C。的对角线AC、8。相交于点。.已知/AOC=120。，ZABC=6Q°,

小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD=2AD；③S承形ABCD=AGBD；④点M、N分别

在线段AB、BC上,且NM£W=60。，则MV=AM+CN,其中正确的结论有.（填写所有正确结论的

序号）

D

【答案】①②④

【解析】

解：:四边形A5C0是“筝形”四边形，

：.AB=BC,AD=CD,

•・・ZABC=60°f

•••△A5C是等边三角形，故①正确；

：.ZBAC=ZBCA=60°f

'：AD=CDfZADC=120°,

：.ZDAC=ZDCA=30°,

：.ZDAB=90°,

\'AD=CDfAB=BC,BD=BD,

:・AABD沿ACBD(SSS),

・•・ZABD=ZCBD=30。,ZADB=ZBDC=60°,

：.BD=2ADf故②正确；

*/Zr)OC=Z£>AC+ZAZ)B=60o+30o=90o,

：.AC.LBDf

•*S^g^^ABCD—S^ACD~^S^ACB,

S四边形ABCD=|XACXOO+1xACxO8=1xAC^BD,故③错误；

延长BC到E,使CE=AM,连接。E,如图所示:

ZDAB=ZDCB=90°,

：.NDAB=NDCE=90。,

又；AM=CE,AD=CD,

：.AADM^ACDE(SAS),

:./ADM=/CDE,DM=DE,

"?ZADC=120°,

"?ZMDN=60°,

：.ZADM+ZCDN=AADC-ZMDN=60°,

：.ZCDE+ZCDN=ZEDN=60°,

ZEDN=ZMDN,

又■:DN=DN,

:AMDN咨AEDN(SAS),

：.MN=EN,

"?EN=CE+CN=AM+CN,

：.AM+CN=MN,故④正确；

故答案为：①②④.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添

加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

7.(2025・福建泉州•八年级期末)如图，点C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作

等边AABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接尸。、OC.现

给出以下结论:①=BE；②NA08=60。；③CO平分/BCD；④AO=30+CO.其中正确的是.（写

出所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【解析】

解：\•等边AABC和等边ACDE,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

：.180°-ZECD=180°-ZACB,

即/ACr>=/BCE,

在"CO与ABCE中，

AC=BC

<NACD=NBCE,

CD=CE

；.AACD”ABCE（SAS）,

：.AD=BE,故①正确；

ZCAD=ZCBE,

'：ZAPC=ZBPO,

：.ZAOB=180°-ZCBE-ZBPO=180°-ZCAD-ZAPC=ZACP=60°,

：.ZAOB^60°,故②正确；

■:AACD乌ABCE（已证），

:./CAD=/CBE,

VZACB=ZECD=60°（已证），

ZBCQ=180°-60°x2=60°,

/ACB=NBCQ=60。,

在"CP与ABCQ中，

ZCAD=ZCBE

<AC=BC,

ZACB=ZBCQ

；・AACPABCQ(ASA),

：.AP=BQfCP=CQ,

•••△。尸。为等边三角形

：.ZCPQ=60°f

：.ZACB=ZCPQ,

J.PQ//AE,

假设OC平分ZBCD

・•・ZPCO=ZQCO=30°f

'：CP=CQ,

：.OC1.PQ,OC平分PQ,

・•・OP=OQ,

：.CO平分NPO。，

ZAOB=60°,

：.ZPOQ=180°-ZAOB=120°

：.ZPOC=ZQOC=60°f

・・・ZBCA=ZDCE=60°,ZOCA=ZBCA+ZOCP=ZDCE+ZOCQ=90°,

在△AOC和△EOC中，

ZAOC=ZEOC

<oc=oc,

ZOCA=ZOCE

：.^AOC^AEOC(ASA),

:.AC=EC,

•・•题中没有AC=EC条件，

为此只有AC=EC时CO平分/BCD,

故③不正确；

BD

O

/\\

Ac

在04上截取0H=0C,连结CH,过。作C7LL0A于F,CG_L8E于G,

・•・ZAFC=ZBGC=90°,

•：AACPQMBCQ,

:・/CAP=/CBQ,

在尸C和△BGC中，

ZAFC=ZBGC

</FAC=/GBC,

AC=BC

：.AAFC^ABGC(AAS),

:.CF=CG,

VCF±0A,CG±BEf

：.CO平分NAOE,

ZAOB=60°,

：.ZAOE=180°-ZAOB=180°-60°=120°,

ZH0C=ZEOC=-ZAOE=-xl20°=60°,

22

•••△OHC为等边三角形，

:・CH=CO,NHCO=60。，

AZACH+ZHCB=60°,NHCB+NBCO=60。,

：./ACH=/BCO,

在△4”。和480c中，

CH=CO

<ZACH=ZBCO,

AC=BC

：.AAHC^ABOC(SAS),

：.AH=BO,

?.AO=AH+HO=BO+OC,

故④正确.

综上所述，正确的是①②④.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，

反证法，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键.

8.（2025•江苏・泰州市海陵学校八年级期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在

RdABC中，ZACB=90°,ZA=30°,贝IAB=28C.请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2,点。是

A8边上的动点，则。+^4。的最小值为.

【答案】6

【解析】

解：作射线AG,使得N8AG=30。，

过。作£>E_LAG于E,过C作CP_LAG于尸,

G，

：.DE=^AD,

：.CD+；AD=CD+DE^CF,

VZCAG=ZCAB+ZBAG=60°fAC=2f

・•・ZACF=30°,

.*.AF=1,

CF=VAC2-AF2=5/3，

.•.C£>+qAO的最小值为名.

故答案为：V3.

【点睛】

本题主要考查勾股定理，含30。直角三角形中,30。所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG,使得/BAG=30。

是解答本题的关键.

9.（2025•辽宁沈阳•八年级期末）如图，在HAABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,点。为AB的中点，

若直角EDF绕点D旋转,分别交AC于点E,交BC于点尸，则下列说法：

①AE=CF；

@EC+CF=y/2AD;

③DE=DF；

④若AECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值.

其中正确的有.

【答案】①②③④

【解析】

解：①连接8.

在用AABC中，NACB=90。，AC^BC,点。为A3的中点，

:.CD±AB,CD=AD=DB,

在AADE与ACD/7中，ZA=ZDCF=45°,AD=CD,ZADE=ZCDF,

:.\ADE=\CDF(ASA),

■-AE=CF.说法正确；

②在HAABC中，ZACB=90°,AC^BC,AB=8,

AC=BC=4拒.

由①知AE=CF,

:.EC+CF=EC+AE=AC=4-j2.说法正确；

③由①知MDE三ACDF,

:.DE=DF.说法正确；

④•.•AECP的面积=gxCE-CF,如果这是一个定值，则CE-CF是一个定值，

又,；EC+CF=4叵,

EF-=EC2+CF2=(EC+CF#-2.CECF,

△EC/的面积为一个定值，则E尸的长也是一个定值，故说法正确.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证

明AADE三ACDP.

10.（2019・四川成都•八年级期末）如图，等边△ABC内有一点O,OA=3,OB=4,OC=5,以点B为旋

转中心将BO逆时针旋转60。得到线段3。'，连接A。，下列结论：①△ABO'可以看成是ABOC绕点B逆

时针旋转60。得到的；②点。与O'的距禺为5；③/AOB=150。；④S四边形AOBO，=6+4y/2;⑤S*0c+^/^AOB

=6+”.其中正确的结论有一.（填正确序号）

【答案】①③⑤

【解析】

解：如下图，连接00',

VAABC为等边三角形,

AZABC=60°,AB=CB；

由题意得：NOBO，=60。,OB=O,B,

...△OBO,为等边三角形，ZABO^ZCBO,

.".OO,=OB=4；ZBOO1=60°,

...选项②错误；

AB=BC

在4人80，与4CBO中，"ZABO'=ZCBO,

BO'=BO

：.AABO^ACBO(SAS),

...AO'=OC=5,

△ABO'可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60。得至I］的,

二选项①正确；

在八人。。'中，：32+42=52,

...△AOO,为直角三角形,

.../A00'=90°,ZAOB=90°+60°=150°,

•••选项③正确；

,**S四边形AOBO'=-x42xsin60°+gx3x4=4班+6,

・,・选项④错误；

如下图，将△AOB绕A点逆时针旋转60。至△AO〃C,连接OO",

同理可得，△AOO〃是边长为3的等边三角形，

△COO〃是边长为3,4,5的直角三角形，

SAAOC+SAAOB

—S四边形AOCO"

—S^cocr+S^AOO"

=lx3x4+1x32xsin60°

=6+”

4

故⑤正确；

故答案为：①③⑤.

【点睛】

本题考查旋转的性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌

握旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的应用是解题的关键.

11.（2025•福建・泉州五中八年级期末）如图，在AASC中，ZACB=90°,DEIBC,DE=AC,若AC=2,AD

=DB=4,ZADC=30°.以下四个结论:①四边形ACEZ）是平行四边形;②乙45°；③2（#+收）；

④点尸是中点，点G、H分别是线段上的动点，则FG+G8的最小值为".正确的是.（填

序号）

A

【答案】①③④

【解析】

解：VZACB=90°,DEVBC,

...NCOE=NAC8=90。，

二DE//AC

y.'：DE=AC,

.••四边形ACED是平行四边形；故结论①正确.

,：AD=DB=4,乙4。。=30。，

ZABC=ZDAB=15°,

假设N45°,则ZDBE=ZABE-ZABC=45°-15°=30°,

.•.在RMBDE中，BE=2DE=4,

DB=yjDE2-BE2=A/42-22=2734>

假设不成立；故结论②错误.

在HABDE中，AC=2,AD=4,

CD=y/AD2-AC2=>/42-22=273，

BC=CD+DB=2y/3+4

...在R/AACB中，AC=2,BC=2y/3+4,

AB=7BC2+AC2=J(2点+4『+22=+2国=2a+20,

即A8=2(#+匈；故结论③正确.

如图所示，作点尸关于BC对称的点尸，作/HLAfi于点”，与BC相交于点G,则歹G=aG,

FG+GH=F'G+GH=F'H,根据"直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG+GH有最小值.

A

E

连接AG,FF与BC相交于点M,

VF'H±AB,ZABC=15°,

ZHG3=75。，

ZCGF'=75°,

四边形AC即是平行四边形，

ZGCF'=ZADC=30°,

：.ZCF'G=75°,

CF'=CG

又：点b是AD中点，点/与点尸'关于BC对称，AD=4,

：.CF'^AF=~AD^2,

2

CG=CF'=2,

：.CG=AC,GF'=NMFhMC=水+仅一商=#_及

△ACG为等腰直角三角形，

AAG=2y/2,/C4G=45。，

ZGAD=180°-90°-30°-45°=15°,

又•.,/QAB=15°,

NG4H=15°+15°=30°,

...在中，FG=-AG=-X2A/2=V2,

22

丁点尸是AD中点，点厂与点尸关于BC对称，CD=2日

：.CM=-CD=-x2y/3=y/3,F'F±CB.

22

Z.F'M^-DE=-AC^-x2^1,

222

,?CG=2,

MG=CG-CM=2-6,

.•.在MzJWF'G中，GF'=y]MF'2+MG2=^l2+(2-73)2=痛-0)?="一&，

/.FG+GH=F'G+GH=娓-0+啦=娓,

即尸G+GH的最小值为后；故结论④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用.其中涉及平行线的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形中30。角所对的

直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，“一定两动”求线段最小值等问题.综合性较强.

12.(2025•内蒙古乌海•八年级期末)如图，QABCZ(中，/DBC=45°,DE_LBC于点E,BFLCD于点F,

DE,即相交于点即与AD的延长线相交于点G.下面给出四个结论：①=②=

@AB=BH；®ABCF=AGDF,其中正确的结论是.

【答案】①②③

【解析】

解：ZDBC=45°,DBLBC

：./DBE=/BDE=45。

：.BE=DE

：.BD=^/2BE

故①正确

■:DELBC,BFLCD

：.NBEH=NDEC=9。。

：.ZBHE+ZHBE=9Q°=ZHBE+ZC

：.ZC=ZBHE

•；四边形ABCD是平行四边形，

ANA=NC=NBHE

故②正确

ZC+ZCDE=90

ZCDB=ZHBE

在48〃£和40cB中

ZHBE=ZEDC

<BE=DE

NBEH=ZDEC=90°

ABHE与ADCE(ASA)

：.BH=CD

•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD

：.AB=BH

故③正确

在ABb和△GO尸中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等

故④错误

故正确的有①②③

故答案为：①②③

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知

识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

13.(2025・四川成都•八年级期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，ZC=60°,丝=芈，点/在BC上，

BC6

且CF=ggC,点E为边CD上的一动点，连接所，AE,将△CEF沿直线EF翻折，点C的对应点为点G,

连接BG,若点B,点G,点E在同条直线上，则生的值为.

E

G

B尸0

【答案】而

【解析】

解：在平行四边形ABC。中，

..ABV13

•*——，

BC6

■'-^.AB=CD=y/13k,AD=BC=6k,

■.■CF=-BC,

3

:.CF=2k,BF=4k,

由翻折可得，FC=FG=2k,EG=EC,ZEGF=ZC=60°,

过点/任EM_LBE于M,

BM=^BF2-FM2="(4Q2_(显)=屈k,

BG=BM-GM=(V13-1)4,

设CE=GE=x,过£作印_18(7于N,

贝｝|CN=L,EN=—X,

22

在直角三角形BEN中，BN=6k-；x,BE=BG+GE=(-Ji3-l)k+x,

(6k-1x)2+吟x)2=[(V13-1)左+无产，

：.x=(y/13-l)k,

DE=k,

延长书、AD交于点T,

二.NT=90。，ZTDE=60°,

DT=-DE=-k,TE=­k,

222

113

/.AT=AD+DT=6k+-k=—k,

22

2222

/.AE=^AT+TE=J—k+-k=j43kf

V44

丝=①=闻.

DEk

故答案为：743.

【点睛】

此题考查的是翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决

此题关键.

14.（2025・山东济南•八年级期末）如图，△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,四

边形ACDE是平行四边形，连接CE交于点F连接3。交CE于点G,连接BE.下列结论中：①CE

=DB；②△A£>C是等腰直角三角形；③NADB=NAEB；④CD=EF；@S剪形BCDE=^BD-CE；@BC2

+DE2^BE2+CD2；其中一定正确的是（把所有正确结论的序号填在模线上）

B

D

【答案】①②③⑤⑥

【解析】

解：①：/BAC=NOAE=90。，

ZBAC+NZMC=ZDAE+ADAC,

即：ZBAD=ZCAE,

•••△ABC和AADE都是等腰直角三角形,

：.AB=AC,AE=AD,

：.ABAD^ACAE(SAS),

CE=BD,

二故①正确；

②：四边形ACDE是平行四边形，

/.ZEAD=ZADC=90°,AE=CD,

AADE是等腰直角三角形，

：.AE=AD,

：.AD=CD,

AAADC是等腰直角三角形，

•••故②正确；

③,/△ADC是等腰直角三角形，

：.ZCAD=45°,

：.ZBAD=9O0+45°=135°,

'：ZEAD=ZBAC=90°,ZC4D=45°,

ZBAE=360°-90o-90o-45o=135°,

又AB=AB,AD=AE,

：.ABAE^ABAD(SAS),

：./ADB=/AEB；

故③正确；

④：四边形ACDE是平行四边形，

：.EF=CF,AF=DF,

又由②得：AAOC是等腰直角三角形，

...△CED为直角三角形且/C。尸=90°,

CD^CF,即CD^EF,

故④CO=EF错误；

⑤△BAE^ABAD,

:.ACAE义ABAE,

・•・ZBEA=ZCEA=ABDA,

・・・ZAEF+ZAFE=90°,

：.NAFE+NBEA=9。。,

■:NGFD=NAFE,ZADB=ZAEB,

：.ZADB+ZGFD=90°,

：.ZCGD=90°f

：.BDLCE,

S四边形BCDE=—BD-CE,

故⑤正确；

@VZCGD=90°,

：.BC2=CG2+BG2,DE2=GD2+GE2,CD^CC^+DG2,BE2=BCf+GE2,

：.BC2+DE2=BE2+CD2.

故⑥正确；

故答案为：①②③⑤⑥.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，注意细心分析，

熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，是解决问题的关键.

15.（2025•浙江•八年级期末）如图，在口A8CD中，AD=4叵2尸分别为CD,AB上的动点，DE=BF,

分别以AE,CF为对称轴翻折△AQE,ABCF,点。，8的对称点分别为G,H.若E、G、H、尸恰好在同

一直线上，ZGAF=45°,且G8=5.5,则A3的长是.

【答案】14.5

【解析】

解：过G点作尸于点

由折叠知AG=A£>=40，

VZGAF=45°,

・・・ZAGM=45

5

：.AM=GM=^AG=4,

2

*；DE=BF,

・・・设。6=3/=羽则由折叠性质知，EG=DE=BF=FH=x,

・：GH=55

/.EF=2x+5.5,

V四边形ABCD是平行四边形，

：.DC//ABf

：.ZAED=ZBAE,

ZAED=NAEG,

：.ZFAE=ZFEA,

/.AF=EF=2x+5.5,

AAB=AF+BF=3x+5.5,MF=AF-AM=2x+1.5,

222

由勾股定理得，FG-FM=MGf

即(x+5.5)2-(2x+1.5)2=42,

4

解得，x=3,或》=--(舍)，

...AB=3x+5.5=14.5,

故答案为：14.5.

【点睛】

本题考查勾股定理，平行四边形性质，方程思想的运用，属于综合提高题.

16.（2020•山东济南•八年级期末）如图，在平行四边形ABCD,AD=2AB,尸是A。的中点，作

垂足E在线段AB上，连接ERCF,则下列结论：①/BCD=2/DCF；②EF=CF；③S&CDF=SACEF；

@ZDFE=3ZAEF,一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

尸D

E,

BL-----------------------

【答案】①②④

【解析】

①•・•点F是AD的中点，

：・AF=FD.

•・•在平行四边形ABCD中，AD=2ABf

AD//BC,AF=FD=CD,

ZDFC=ZFCB,ZDFC=ZDCF,

:./FCB=NDCF,

・・・NBCD=2NDCF,故①正确；

②延长EF,交CD延长线于点M,

•・・四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,

ZA=ZMDF,

,・,点F是AD的中点，

；・AF=FD.

ZA=ZFDM

在△4£尸和4。匹做中，\AF=DF

ZAFE=ZDFM

AAEF=^\DFM(ASA)

:.FE=MF,ZAEF=/M.

\-CE.LAB,

/.ZAEC=90°,

ZECD=ZAEC=90°,

:.CF=^EM=EF,故②正确；

③：FE=MF,

.,SvEFC=S^CFM•

•'S^CFM=S^CDF+S^MDF

S/^cDF<S^EFC，故③错误；

④设NFEC=x,则ZFCE=X,

ZDCF=ZDFC=90°-x,

:.ZEFC=l?fr-2x,

:.ZEFD=90P-x+180P-2x=27CP-3x.

QZ4£F=90°-x,

.-.ZDFE=3ZAEF,故④正确；

综上所述，正确的有①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是

解题的关键.

17.（2019•河南三门峡•八年级期末）如图，直线4,4分别经过点（1，。）和（4,0）且平行于y轴.nOABCm

点A,C分别在直线4和4上，0是坐标原点，则对角线长的最小值为.

【答案】5

【解析】

解：过点B作BDL/2,交直线x=4于点D,过点B作BE，x轴，交x轴于点E,直线//与OC交于点M,

与x轴交于点F,直线〃与AB交于点N.

•/四边形OABC是平行四边形，

AZOAB=ZBCO,OC//AB,OA=BC,

•・•直线〃与直线/2均垂直于X轴，

・・・AM〃CN,

・・・四边形ANCM是平行四边形，

AZMAN=ZNCM,

.*.ZOAF=ZBCD,

ZOFA=ZBDC=90°,

.,.ZFOA=ZDBC,

在^OAF和^BCD中，

ZFOA=ZDBC

<OA=BC,

ZOAF=/BCD

AAOAF^ABCD(ASA),

ABD=OF=1,

.*.OE=4+1=5,

，22

•-OB=y/oE^BE.

由于OE的长不变，所以当BE最小时(即B点在x轴上)，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练

掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

18.（2019・四川达州・八年级期末）如图，在AABC中，AB^AC,E,尸分别是BC,AC的中点，以AC为斜

边作RtAAZJC,若/CAO=/BAC=45。，则