山东诗营市2024-2025学年高二数学下学期开学收心考试（含答案）

山东诗营市2024-2025学年高二数学下学期开学收心考试试题

第I卷（选择题共60分）

、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正

确的.

1.已知双曲线24,则该双曲线的渐近线方程为（）

_,V2

।cy———工

Ay=±xB.片±2xc,2Dy~iV2x

2.设随机变量』的分布列为：

4589

1-2£2P

P

323

则0=()

J_324

A.4B,4C,5D.5

（2x+]-]

3.在Ixj的展开式中，x的系数为（）

A.3B.6C.9D.12

4.已知'（—2,°）,巩4,加）两点到直线/：x-y+1=0的距离相等，则加=

()

A.一2B.6C.-2或4D.4或6

AB=2,NDAB=

5.如图，在四棱锥尸一NBC。中，底面为菱形，，"为棱尸0的中点,

1/30

A.6B.8C.9D.10

6.在平面直角坐标系g中，已知A是圆G：/+(y—3)2=1上的一点，B,C是圆

2

C2:(X-4)+/=4上的两点，贝!jZBAC的最大值为()

兀兀兀2兀

A.6B.3C.2D.3

7.今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一

行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为()

991945

A.64B.16C.32D.64

8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个

E:--+=l(tz>>0)

焦点(如图).已知椭圆a~b-的左、右焦点分别为丹，鸟，过点鸟的直线与E交于点

।，OI_8«殴［=2'-MF迪=

A,B,过点A作£的切线/,点B关于/的对称点为若।।5,I"’则。()

注：s表示面积.

57

A2B.2C.3D.2

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.

9.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是()(选项中排列数的计算结果均正确)

A.若3个女生必须相邻，则不同的排法有人；,人：=144种

B.若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有八：.人〉八:=288()种

C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有八；一2八：+A；=3720种

D.若3个女生按从左到右的顺序排列，贝I不同的排法有8=840种

2/30

10.在平面直角坐标系xQv中，已知々，心分别为曲线，4k（斤＜4且后w°）的左、右焦点,

则下列说法正确的是（）

A.若C为双曲线，且它的一条渐近线方程为-2,则0的焦距为2G

B.若左=一3,过点工作C的一条渐近线的垂线，垂足为则△°巴加的面积为百

22

土-匕=1

C.若C为椭圆，且与双曲线左2有相同的焦点，则左的值为1

D.若左=3,尸为曲线C上一点，则囱+1*的取值范围是区16]

11.有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为6%，5%，4%,加工出来的零件

混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数的比为5：6：9,现任取一个零件，记事件4="零件为

第i台车床加工“（”=1，2,3）,事件8="零件为次品"，则（）

A尸（4）=025B."以）】

cP（5）=0.048D.P（4忸）=1

12.在棱长为2的正方体力BCD—44Goi中，尸为平面4s44上一动点，下列说法正确的有（）

A,若点尸在线段4s上，则尸。〃平面81QC

B.存在无数多个点尸，使得平面4PG，平面与℃

5

c.当直线平面时，点尸的轨迹被以。为球心，5为半径的球截得长度为1

D.若/PDCi=NBgi,则点p的轨迹为抛物线

第n卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

A2—04〃-1

13.已知〃为正整数，且八〃一。而，则〃=.

3/30

231

尸(z)=个P(8)=£,P(C)=3

14.如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为352,则该

电路正常工作的概率.

15.如图，在棱长为1的正方体"co—44GA中，尸为底面48。)内(包括边界)的动点，满足

n

与直线CG所成角的大小为％,则线段QP扫过的面积为.

16.已知抛物线C：的焦点为F,反(4,0),过点M作直线x+("石斤.一2=0的垂线,

垂足为Q,点P是抛物线C上的动点，则归口"归@的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

17已知(l+2x)”=%+中+&/+-一+。/”(〃。*),其中4,%,出，…，％eR,且

(l+2x)"展开式中仅有第5项的二项式系数最大.

(1)求及值及二项式系数最大项;

(2)求/+%+%+4+的的值(用数值作答).

18.如图，己知正方形OADC的边长为1,4°，平面OAOC,三角形4BC是等边三角形.

4/30

A

(1)求异面直线/C与80所成的角的大小;

(2)点£在线段4c上，若CE=1,求与平面BCD所成的角的大小.

19.学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有

两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，

若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一

球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚

22

球线处投篮命中率为a,在三分线处投篮命中率为§.假设学生甲每次投进与否互不影响.

(1)求学生甲被录取的概率；

(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X,求x的分布列.

20.已知抛物线C：「=4x,尸为C的焦点，直线/与°交于不同的两点A、B,且点A位于第一象限.

(1)若直线/经过c的焦点尸，且求直线/的方程；

(2)若直线/经过点£(2,°),°为坐标原点，设JOB的面积为E,ABOP的面积为$2,求

5+5的最小值.

21.如图，等腰梯形N8C。中，AD//BC，4B=BC=CD=2,AD=4,现以/C为折痕把“BC折

起，使点3到达点尸的位置，且尸/,CO.

(1)证明：平面尸zcJ"平面/co；

5/30

(2)M为上的一点，若平面ZCM与平面NCD的夹角的余弦值为5,求点尸到平面ZCM的

距离.

2

x

cr：~r—=1(。>z?>o)“八、A/c4

22.在平面直角坐标系中，已知椭圆ab经过点”L4A,⑺,外2,3),直线

48与了轴交于点尸，过尸的直线/与:r交于C°两点(异于48),记直线/c和直线8。的斜率分别

为左1，左2(左左2W°)

(1)求「的标准方程；

(2)求K无2的值；

(3)设直线/C和直线3。的交点为0,求证：。在一条定直线上.

6/30

高二数学答案

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正

确的.

1.已知双曲线24,则该双曲线的渐近线方程为()

_,V2

Ay=±xB.片±2xc,2Dy~

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.

22

-%-------y----_1i

【详解】因为双曲线方程为：24,

y=+./—x=±41x

所以渐近线方程为：丫2

故选：D

2.设随机变量』的分布列为：

4589

l-pP_2P

p

323

则〃=()

J_324

A.4B,4C,5D.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用分布列的性质，列式计算即得.

“_4

------1----1-----1P——

【详解】由323，得5,

p~~

所以5.

故选：D

口x+工］

3.在Ix）的展开式中，x的系数为（）

【答案】D

【解析】

【分析】写出每一项的表达式，即可得出x的系数.

【详解】由题意，

2xH—rk,3-k3-2后

在IX）中，每一项为\Xj,

当3—2左=1即1=1时,^*23k=C；2?=3x4=12,

故选：D.

4.已知"（-2,°）,以4,"）两点到直线/：X-N+1=0的距离相等，则加=（）

A.~2C.-2或4D.4或6

【答案】D

【解析】

【分析】求出点A到直线/的距离和点8到直线/的距离，二者相等求解方程即可.

【详解】点A到直线/的距离为&+F2

|4-m+l|_V2I5-m

点8到直线/的距离为Vl2+122,

因为点A到直线/的距离和点3到直线/的距离相等,

所以|5一机|=1,所以加=4或6.

故选：D.

5.如图，在四棱锥尸一中，底面48CD为菱形，3,M为棱尸C的中点,

且AM•43=4,则AP-AB=()

P

A.6B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出海•方=4,计算即可.

2兀

AB=2,/DAB=——

【详解】底面/8C。为菱形，3,

.■.AD-28=|2D|-|28|COS—=-2

5

为棱尸。的中点，

L(ABAD\=-AP-AB

AM=-AP+-AC=-AP++++-AD

2222、7222,

—►—►(1—►1—►1——►1—►—►1—►—►1—►—►

AMAB=\-AP+-AB+-AD卜AB=—APAB+—AB,AB+—ADAB

(222)222

=牙病益+4+（-2）］=4,wuuu

2L」解得4PA8=6.

故选:A.

6.在平面直角坐标系中，已知A是圆6：—+（歹—3）2=1上的一点，8,0是圆

°2：（x-4了+/=4上的两点，则/6/C的最大值为（）

7T7t7C27c

A.6B.3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，当点A与圆G的距离最短时，且过A与圆02相切时，/A4c取得最大值，结合圆

的性质，即可求解.

【详解】由点A是圆—3）2=1上的一点，是圆G：（x-4>+廿=4上的两点，

可得圆心G（."02（4,0）,半径"=1/2=2,

根据题意，当点A与圆G的距离最短时，且过A与圆02：（x—4）2+/=4相切时，

22

此时/8/C取得最大值，此时l—L=|QC2|-l=V3+4-1=4^

G1

sinZBAC=-=-ABAC,=-ABAC=-

可得242,所以-6,所以3.

7.今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一

行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（）

22”竺

A.64B.16C.32D.64

【答案】B

【解析】

【分析】对观看《长安三万里》的人数进行分类讨论，利用排列和组合计数原理以及古典概型的概率公

式可求得所求事件的概率.

【详解】分以下两种情况讨论：

（1）小明和其中一人同时看《长安三万里》，另外两人看剩余三部电影中的两部，

C；A；_18_9

此时，所求概率为436432；

（2）观看《长安三万里》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组,

C3A3__18_9

再将这两组人分配给两部电影，此时，所求概率为436432.

综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为3216.

故选：B.

8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个

E:--+=1（。>b>0）

焦点（如图）.已知椭圆矿匕的左、右焦点分别为片，耳，过点耳的直线与£交于点

।.,_8a四=2S-MFE=

R=—IArpIoc

A,B,过点A作£的切线/,点B关于/的对称点为V,若।।5,I"凸I3,则%盟4()

注：s表示面积.

切线...

57

A.2B.2C.3D.2

【答案】C

【解析】

再结合S“耳尸2M'l即可得解.

【分析】结合椭圆性质以及光学性质得55

【详解】如图，由椭圆的光学性质可得M4/三点共线.设忸叫=”

则忸制=2a—x,|阿|=|/周+|肱4|=|2制+|/闾+忸引=2°+工

忸用_2a-x_2

故阿周2a+x解得"I.

12。

24Mg四二=3

解《所产*'丽号所以V防_4a

又5

【点睛】关键点睛：关键是充分结合光学性质以及椭圆定义，将线段长度都用。来表示，由此即可顺利得

解.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.

9.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是()(选项中排列数的计算结果均正确)

A.若3个女生必须相邻，则不同的排法有八；,人：=144种

B.若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有八：4；仄'=2880种

C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有八；—2人:+八：=372()种

D.若3个女生按从左到右的顺序排列，贝U不同的排法有A”840种

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用相邻与不相邻、有位置限制及定序的排列问题，列式计算判断即可.

【详解】对于A,3个女生必须相邻，则不同的排法有A；,A；=720种，人错误；

对于B,3个女生中有且只有2个女生相邻，先排4个男生有人：种，3个女生取2个女生排在一起，

与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中，有不同排法有人：・A：・A；=2880种，B

正确；

对于C,女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有

A；-2A：+A；=3720种，。正确;

?=A；=840

对于D,3个女生按从左到右的顺序排列，不同的排法有人3种，D正确.

故选：BCD

C：二+X=1

10.在平面直角坐标系xQv中，已知々，心分别为曲线4k（无＜4且后w°）的左、右焦点,

则下列说法正确的是。

A.若C为双曲线，且它的一条渐近线方程为-2,则0的焦距为2G

B.若左=一3,过点工作C的一条渐近线的垂线，垂足为则△°巴加的面积为百

22

%y_1

C.若C为椭圆，且与双曲线左2有相同的焦点，则左的值为1

D.若左=3,尸为曲线C上一点，则囱+1*的取值范围是区16]

【答案】BC

【解析】

【分析】根据双曲线渐近线方程即可判断选项AB,利用椭圆和双曲线方程中"0的关系即可判断选项

C,根据椭圆定义，化简求解即可判断选项D.

【详解】设曲线。的半焦距为。（。叫.

对于A,若C为双曲线，则后＜°,

4-k_1

所以22,解得左=-1,则

双曲线的焦距为2君，所以A错误；

_V3

y——x巴g,0）

对于B,0的一条渐近线方程为2

I二[=\/3

所以点与到渐近线的距离

又10闾=疗，则口闾=2

QAORM

所以所以B正确;

对于C,因为椭圆C与双曲线左2有相同的焦点,

所以4—左=左+2,解得上=1,故c正确;

对于D,设附［飓=马,则八+々=2。=4,

I尸胤2+|尸鸟「=刀+（4T"=2亿—2）2+8

又1=。-。"VQ+C=3

所以当八=2时，41।21）正，

当日或3时，依旧叫）一°,

所以附「+1明2的取值范围是［8叫,故D错误.

故选：BC

11.有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为6%，5%，4%,加工出来的零件

混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数的比为5：6：9,现任取一个零件，记事件4="零件为

第i台车床加工”「=1,2,3）,事件5="零件为次品"，则（）

尸⑷=0.25B区'J

CP（5）=0.048D."4忸）='

【答案】ACD

【解析】

【分析】AB选项，根据题意可得到尸（,）5+6+94,0（引4）=5%,判断AB；C选项，根据

全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.

【详解】AB选项，事件4="零件为第i台车床加工"”=1，2,3）,事件8="零件为次品，，，

则尸（4）=5+6+9=［,.⑷=5+6+9=记,尸（4）=5+6+9=痴,

（|i）,（I2）,（|s）4外,故A正确，B错误；

C选项，尸包）=尸（4即+尸（48）+尸（48）

=尸（4）尸（叫4）+尸（4）尸（引4）+尸（4）尸（叫4）

139

=-x6%+—x5%+—x4%=0.048

41020,故C正确;

⑶（）尸）尸（）

P（A=P483440.25x6%5

（H/P（B）—P（B）~0.048

16,故正确.

D选项,D

故选：ACD.

12.在棱长为2的正方体4s8一44Goi中，尸为平面4544上一动点，下列说法正确的有（）

A,若点尸在线段4s上，则尸平面

B.存在无数多个点P,使得平面4PG1平面BRC

5

c.当直线GP〃平面NC"时，点尸的轨迹被以。为球心，5为半径的球截得长度为1

D.若ZPDC'=NBiDq,则点p的轨迹为抛物线

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可判断AD的正误，对于C,可先求出尸的轨迹

为直线"田，再结合点线距可求轨迹被球截得的长度，故可判断其正误，对于D,可先求出产的轨迹,

据此可判断其正误.

由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则2（°‘°‘°）,8（°,2,°），°Q,2,0）,O（2,0,0）,

4（0,0,2）,4（0,2,2）,G（2,2,2）,〃（2,0,2）

A,因为点尸在线段4s上，故尸（002-a）,其中o«a«2,故尸。=（2,-a,"2）,

设平面用风的法向量为加=（，歹,）,ffj]1），11（，，）,

in-BXC=02x—2z=0

故[应用2=0,故（2x-2y=0,取x=l,则Z=y=l,故祖=（1,1,1）,

故尸Z>m=2_a+a_2=0,故WM,而尸。<x平面耳2。，故尸0〃平面4°C,故A正确

B,」G=（2,2,2）,而zq=2加，故/CJ平面4*,

当尸，“G时，4G，尸确定一个平面，此时"1U平面NG。，故平面"GP，平面即£故B正

确.

C,设尸（Qs/）,则尸G=（2,2_S,2./）

设平面"C2的法向量为“=（，，）,又（，，），1

n-AC=0[a+b=Q

<

故[〃♦/〃=0即1a+c=o,取a=l,故b=c=-1,故"=（1，一1一1）,

因为010〃平面,故〃,尸G=°即2+s-2+/-2=0,

所以$+/=2,故尸的轨迹为直线而网=（0，-2,2）,'0=（2,-2,0）,

（____,____k

BD2BDBA,

故。到直线的距离为

5

2--6=1

48）被以。为球心，5为半径的球截得长度为4

故点尸的轨迹（即直线Y,故C正确.

D,因为/0℃1=/用℃1,故尸在以。为顶点，为轴的圆锥面上，且圆锥轴截面的顶角的半角为

NBQCi

尸在平面“四4上，故尸在平面“四4与圆锥面的截面上，但因〃平面”网4,故该截线为双曲

线的一支，故D错误，

故选：ABC.

【点睛】结论点睛：如果圆锥的轴截面顶角为'，圆锥的对称轴与平面0所成的角为％则当"4时,

071cc9

一<,n<—0<,<一

平面a与圆锥面的截面为抛物线；当22时，平面a与圆锥面的截面为椭圆，当2时,

平面。与圆锥面的截面为双曲线的一支.

第II卷(非选择题，共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)

13.己知"为正整数，且八"一5",则"=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.

【详解】由A；=C：；：根据排列数和组合数的公式，可得〃(〃-1)=4〃，解得〃=5.

故答案为：5.

231

尸(Z)=1，P(8)=£,P(C)=3

14.如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为352,则该

电路正常工作的概率.

8

【答案】15

【解析】

【分析】由题知该电路正常工作指的是A元件正常工作且B,C中至少有一个能正常工作，根据相互独

立事件同时发生的概率公式代入计算即可.

【详解】由题，该电路正常工作指的是A元件正常工作且B,C中至少有一个能正常工作，设A,B,C

元件能正常工作为事件A,B,C,该电路正常工作为事件D,由题A,B,C相互独立，则

尸(。)=尸a靛)尸⑷［i一尸®初=尸⑷卜［1一尸⑶｝口一尸©］卜宗-

8

故答案为：15.

15.如图，在棱长为1的正方体—481cs中，尸为底面48CD内(包括边界)的动点，满足

3P与直线CG所成角的大小为6,则线段QP扫过的面积为.

【答案】12

【解析】

【分析】根据题设描述易知尸的轨迹是以。为圆心，3为半径的四分之一圆，即可求OP扫过的面积.

71

【详解】由题设，DD/CG,要使2P与直线CG所成角的大小为7,只需RP与直线所成角的

71

大小为6,

71

尸绕以6夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：尸的轨迹是以。为圆心，3为半径的四分之

一圆，

—1X，(-号-----)X7T-_--»---

...r)p在48CD上扫过的面积为4312.

兀

故答案为：12.

16.已知抛物线C：r=8x的焦点为F,皿4,0),过点乂作直线》+("百》-G"2=0的垂线,

垂足为Q,点P是抛物线C上的动点，则归厂上户口的最小值为.

11

【答案】2

【解析】

【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出°的轨迹方程，再数形结合求最值即可.

连接AM,则N"=J^=2,由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设°(x/),所以点Q的轨迹

।2)22，2

记圆'/I7的圆心为卜),过点Q,P,N分别作准线x=-2的垂线，垂足分

别为B,D,S,连接DQ,则附”。目即+园平。闫四阙一4+2一得,

11

仅当B,P,Q,N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以卢丹+户口的最小值为2.

11

故答案为；2

四、解答题(本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知0+2万)“=%+叱+%/+--+"'(〃€?4*),其中4,用,出，…，且

0+2x)"展开式中仅有第5项的二项式系数最大.

(1)求及值及二项式系数最大项；

(2)求%+%+%+%+。8的值(用数值作答).

【答案】(1)"=8,1120—

(2)3281

【解析】

【分析】(1)根据题意知《最大得出”的值，再计算其即可;

(2)利用赋值法，分别令％=1和x=-l,得出两式，相加即可得出/+%+为+%+的的值.

【小问1详解】

因为(1+2x)”展开式中仅有第5项的二项式系数最大，

_C4,,7；=C"-(2x)4=70xl6x4=1120x4

m即/T仅7有"最B大，所以故58v7

即〃=8,二项式系数最大项为第5项：1120/；

【小问2详解】

令X=1,得+4]++…+=3,

令x=_],得/_q+4_.-+。8=（T）=1

1

斯++%+恁+Q父——X&+1）=3281

两式相加可得-2

18.如图，己知正方形OADC的边长为1,4°,平面OADC,三角形4BC是等边三角形.

(1)求异面直线/C与8。所成的角的大小；

(2)点£在线段4c上，若CE=1,求与平面8C。所成的角的大小.

【答案】（1）45°；

⑵30。.

【解析】

【分析】（1）异面直线4c与8。所成的角为/C与0c所成的角，即/4CO或其补角，求解即可;

（2）作EF//AO交OC于点、F,连接。瓦少尸，则与平面8C。所成的角为NEDE,由勾股定理

求出EF,DF,即可得出答案.

【小问1详解】

因为O8DC为正方形，则5D//OC,

则异面直线AC与BD所成的角为"C与OC所成的角，即“CO或其补角,

因为正方形0Aoe的边长为1,三角形/8C是等边三角形.

所以BC=AB=AC=五,QZO，平面OAOC,08<=平面。以。。，

所以/0L08,所以40==1,

AC）

AO±OC,tanZACO=——=1,/.ZACO=45°

OC

所以异面直线"C与AD所成的角为45°.

【小问2详解】

作EF//40交OC于点F,连接。及少尸，

QA01平面0BDC,EF1平面OBDC,

则ED与平面BCD所成的角为NEDF,

AOCA1V2

因为C£=l,所以跖CE,则所1,

V6

V

FF

tanZEDF=——=—^ZEDF=30。

DF3

则ED与平面BCD所成的角的大小为30°

19.学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有

两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，

若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一

球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取.已知学生甲在罚

22

球线处投篮命中率为在三分线处投篮命中率为假设学生甲每次投进与否互不影响.

（1）求学生甲被录取的概率；

（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X,求X的分布列.

5

【答案】（1）6

（2）分布列见解析

【解析】

【小问1详解】

记事件A,表示“甲在罚球线处投篮，第i次投进”，事件区表示“甲在三分线处投篮，第i次投进”.

尸（4）=尸（4）二尸（男）=尸（鸟）=3

则4,3,

设事件C表示“学生甲被录取”，则C=4瓦++444+AiA2BiB2,

1213213215

X—X—+—X—X—+—X—X—X—

所以3344344336

5

所以学生甲被录取的概率为％.

【小问2详解】

由题分析知，X的可能取值为2,3,4.

尸（x=2）=尸/小___出_+4片）、=9]+%3*32=记9

132313

p（X=3）=P+4A）=—X—X—H--x—=—

443438

1311

尸（X=4）=尸（514瓦）=—X—X—=—

44316

所以X的分布列为

X234

931

P

16816

20.已知抛物线C：V=4x,尸为C的焦点，直线/与C交于不同的两点A、B,且点A位于第一象限.

（1）若直线/经过c的焦点尸，且14a=6,求直线/的方程;

（2）若直线/经过点£（2刀），°为坐标原点，设的面积为E,ABO厂的面积为邑，求

cc

1+2的最小值.

【答案］（1）y=0》一行或y=-血夜

⑵4G

【解析】

【分析】（1）分析可知，直线/不与x轴重合，设直线/的方程为》=加了+1,设点/（再’凹）、

'（%，%）,将直线/的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式求出加的

值，即可得出直线/的方程；

（2）分析可知，直线/不与x轴重合，设直线/的方程为、=a+1,设点/（石'%）、'（/，%）,将直线

8

>2=--------

/的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，可得出必，利用三角形的面积公式结合基本不等式

可求得5+si的最小值.

【小问1详解】

解：依题意知，/0,°）

若直线/与X轴重合，此时，直线/与抛物线C只有一个交点，不合乎题意,

设直线’的方程为》=叼+1,设点4（再，必）、862，%），

x=my+1

<2»2

联立〔了=4x,可得V_4叼-4=0,则A=16加2+16〉0,

由韦达定理可得%+%=4加，

2

所以以同=x1+x2+2=myl+1+my2+l+2=m（^yl+y2）+4=4m+4=6

m=+,V2x=——V2y+\,x=--