四川省2023-2024学年高二数学下学期期末模拟试题二（含答案）

高二数学下学期回归教材期末模拟试题（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合M=|x|x=C?,meN*,m<5},

A.8B.16C.32D.4

【答案】A

【解析】因为x=加eN*,加<5,由。；=。；=5,以=1,

法一：M={1,5,10}其子集有0{1},{5},{10},{1,5},{1,10},{5,10},{1,5,10}共8个。

故选：A

法二：（速解）集合M有3个元素，故其子集个数为23=8个.

故选：A.

2.设/&）是可导函数，且1加/°-3一）-/⑴=2,则/"）=（）

Ax-—

2

A.2B.—C.—1D.—

3

【答案】B

【解析】/，（1）=〃/（1一3刈-/。）」1一/（1-3以）-/（1）=<

'7AX->O-3Ax3加一。-Ax3

故选：B

3.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为：,则从A到3这部分电源能

通电的概率为（）

-1=1-----

-1=1—

A-------------B

—CZ1-----1=1-------

A18855八95八148

A.---Bn.---C.---D.---

243243243243

【答案】A

【解析】从/到8电路不能正常工作的概率为

_<22^F12<11A151155

1133）131334927243

所以从/到6电路能正常工作的概率为〃=1-4=1一诟=前.故选：A.

4.已知［x—2］的展开式第3项的系数是60,则展开式所有项系数和是（）

A.-1B.1C.64D.36

【解析】1―21的展开式第3项为2）=4C%I,

则由已知可得4C；=60,解得，=6,令X=l,得（1-2丫=1,所有项的系数和为1,故选

Bo

5.下列命题不亚做的是（）

A,正十二边形的对角线的条数是54；

B.身高各不相同的六位同学，三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法；

C.有5个元素的集合的子集共有32个；

D.6名同学被邀请参加晚会，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，共有32种去法.

【答案】D

【解析】对A：任意两点连线的条数，再排除边数，故正十二边形的对角线的条数是

12=66—12=54.故A正确；

对B：6个人全排列有A：种方法，/、C、〃全排列有A；种方法，

则力、C、〃从左到右按高到矮的排列有8=120种方法，故B正确；

A3

对C：这个集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素和5

个元素，所以这个集合的子集共有。；+仁+。；+或+仁+或=25=32个，故C正确；

对D：.当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，则有。：+。：+。：+《+。：=24=16种

去法；

当甲和乙两位同学都不去，则有C：+=15种去法；

根据分类计数原理得：共有16+15=31种去法。故D不正确

6.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学

生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生

中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）

【解析】令4="玩手机时间超过匕的学生”，

4="玩手机时间不超过匕的学生”，B=”任意调查一人，此人近视”，

则Q=4U4,且4,a互斥，尸(4)=01，尸(4)=0.9,0(814)=0.6,尸(8)=0.2,

依题意，尸（5）=P（4）P（3|4）+尸（4）尸（3|4）=0/x0.6+0.9x尸（319）=0.2,

7

解得尸（刃4）二不，故选B.

7.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名,

1

第二行11

第三行121

它的排列规律如图所示：第西行1331那么下列说法中正确的是

第五行14641

第六行15101051

()

A.第〃行的第个位置的数是C^B.杨辉三角前10项的所有数之和为1024

C.70在杨辉三角中共出现了4次D.210在杨辉三角中共出现了6次

【答案】D

【详解】对于A选项：第"行的第个位置的数是C；］；,故A错误；

对于B选项：I+2+2?+L+29=1023，B不正确；

由于C：=C］，不妨设加《会令C：=70,

当加=1时，w=70,C；。=C北=70,

当机=2时，仁=也畀=70,无正整数解，

当加=3时，c：="（"T）（”一2）,当〃=8时C；=56<70,当〃=9时，2=84>70,而C：递

6

增，从而无解；

当加=4时，c4=〃（l）（"2乂"3）,当"8时C；=70,

〃24

由于C；是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于

ri

70,所以当5V加V］时，70,70共出现3次，C不正确；

类似于前c］=C瑞=210,《=C；：=210,，=C：°=21C,

.•.以C：o，C：。为顶点的下方三角形区域中的数都大于210,D正确.

故选：BCD

8.已知0为函数/(x)=("+1-a)e-x-3的极小值点，则a的取值范围是()

A.(-1,+co)B.(-e,+co)C.1,+co］D.［0,+co)

【答案】A

【解析】/,(x)=ex(«x+l)-l,r(x)的导函数为/"(x)=e，(办+a+l).

若a20,/ff(x)>0,/'(x)在R上单调递增，因为/'⑼=0,所以当xe(0,+oo)时，

/,(x)>0,/(x)单调递增，当xe(—oo,0)时，/,(x)<0,/(x)单调递减，符合题意.

若一1<。<0,当xe［-oo,_a+l)时,/'(x)在［一叫一上巴)上单调递增，

因为一等〉°'所以/(x)在(一00,。)上单调递减，在［。，―-］上单调递增，符合题意.

若Q=-1,当X£(一8,0)时,/"(%)>0,当X£(0,+8)时,/"(%)<0,因为/'(0)=0,

所以广(力“0,不符合题意.

若a<—1,当巴口,+oo］时，/〃(x)<0,--<0,易得/(x)在［—竺士。］递

增，在(0,+8)上单调递减，不符合题意.

综上，a的取值范围是(-1,+8).

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列命题正确的是()

A.已知C>；=21,那么"=6.B.在(1—2x)”的展开式中，各项系数的和是-1;

C：55%+9能被8整除.D.("+X+A的展开式中丁丁的系数为30.

对A：因为。>；=21,所以C；+］=21,即(〃；)"=21,即〃2+〃—42=0,解得"=6或

n=—7(舍去)，故A正确；

对B:令x=l,则(1—2x)"=(1—2x1)"=(—1)",

即二项式(1-2x)n的展开式中各项系数的和是(-1)B.故B不正确；

对C：5555+9=(56-1)55+9

555415325455

=C°56+C^556(-1)+C^56(-1)+---+C^56'(-1)+Cff(-1)+9

55

=5655-45654+…+得56+8能被8整除.所以55+9能被8整除.故C正确；

对D：Q(旷+x+y)-=+x)+y]

设其展开式的通项公式为令尸=2，

得(必+X?的的通项公式为(f)3-.=C寸,0<m<3,meN,

再6—加=5,得加=1,.,.(Y+x+y)'的展开式中，Vy?的系数为cjc；=10x3=30.

即(一+》+了)5的展开式中，//的系数为30.故D正确。

10.下列结论中正确的有()

A.数据西/2，演，…，血的方差是0.1，则有数据10再-I』。々一1，1°》3一1，…的方

差为9.

B.若随机变量X服从正态分布N(2,cr2),p(X<3)=0.6,则P(X<l)=0.4

C.若相关指数尺2的值越接近于o,表示回归模型的拟合效果越好

D.若随机事件42满足尸(/)=!，P⑻尸(/+5)=：,则尸伊|/)=1

【答案】BD

【解析】对于A,(速解)由已知得，£)(X)=01，则对于10X—1,可得，

£>(10X-1)=102XD(X)=10'A错误；

对选项B,若X~N(2Q2),则p(X21)=P(X<3)=0.6,

所以P(X<1)=1—P(X21)=1—0.6=0.4,B正确.

对选项C,々的值越接近1,表示回归模型的拟合效果越好，故C错误.

对选项D,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以工+^一网/⑷=!，

633

j.

所以尸(48)=：,所以P(2|/)=T^=£=1,故D正确.选BD.

3产⑷1

6

11.设函数/(x)=(x—l)2(x_4),贝1)()

A.x=3是/⑴的极小值点B.当0<x<l时，

C.当l<x<2时，-4<f(2x-l)<0D.当-l<x<0时，/(2-x)>f(x)

【答案】AC

【解析】；［类比+特殊］

/z(x)=3(x-l)(x-3),r(x)<0ol<x<3,广(x)>0=x<1或x>3

画出示意图如图，可知A正确；当0<x<lO］

时，0</<1,/(x)>/(x2),B错误；当1<X<2时，

l<2x—1<3时，—4</(2x—1)<O,C正确；当—l<x<0

时，2<2—x<3,此时/(2-x),/(x)两者大小不确定，故D错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在(1—x)5+(l—X>+(1—x)7+(l—x)8的展开式中，含丁的项的系数是—

【答案】-121

【解析】因为在(1—X)5+(l—x)6+(l—x)7+(l—x)8,

所以含工3的项为：(禽+。；+q+。;)(―4,

所以含d的项的系数是的系数是-(僚+管+。+优)，

=-(10+20+35+56)=-121,

13.购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购

买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为

IO3,某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司

此项保险业务需要赔付的概率约为；一年度内盈利的期望为万元.(参考数据：

(1-10-5)1°5-0.37)

【答案】0.63150

【解析】每份保单不需要赔付的概率是1-10巧，则10万分保单不需要赔付的概率

IO5

/>=(1-10-5)«0.37;需赔付的概率是1-0.37=0.63

设10万份保单中需赔付的件数，设为X,则》~2(1。5,10-5),则需赔付的保险金为

500000X,则E(500000X)=500000xl05xW5=500000,

则一年内的盈利的期望是20x105-500000=1500000(元)=150(万元)

故答案为：0.63；150

14.已知函数/(X)={'-，若函数g(x)=/(x)-有3个零点，则实数a的取

-Inx,x>0

值范围是.

【答案】［0,2)

【解析】r(x)=3x2-2=3x+^-x-^-,当x<—型时，/%)>0,函数单调

递增，当—Y5<x<。时，r(x)<o,函数单调递减，所以当》=一如时，函数取得极大

33

值［c，函数g(x)=/(x)-x-a有3个零点，转化为方程/(x)=x+a有3个实数根，即

歹=/(力与V=x+a有3个交点，y=x+a表示斜率后=1的直线，如图，当直线过原点

时，两个函数有3个交点，此时。=0,当直线y=x+。与/(x),x<0相切时，设切点

3%Q—2=1

=

(尤0，Vo)<x；-2/xQ+a,解得：x0=—1,a=2,

x0<0

如图，满足条件的。的取值范围是［0,2)

故答案为：［0,2)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一

个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数

是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.

(1)完成下面的2X2列联表，并依据小概率值a=0.01的%2独立性检验，能否由此推断

游客的选择与所在的小组有关？

去峨眉山旅游去青城山旅游合计

东小组

西小组

合计

(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，

从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为X,求P(X=l)及X的数

学期望.

参考公式：片=7~—,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸心自)0.050.010.001

00

3.846.6310.82

158

【解析】(1)2X2列联表如下.

去峨眉山旅游去青城山旅游合计

东小组402060

西小组253560

合计6555120

零假设〃o：游客的选择与所在的小组无关,

K?_120x(40x35-25x20/竺独〉7>6,635，所以根据小概率值1=0・°1的独立

60x60x65x55143

性检验，我们推断“。不成立，即认为游客的选择与所在的小组有关，此推断犯错误的概率

不大于0.01.

(2)在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，20=-1,

603

所以乙社区游客去青城山旅游的概率为:，所以X〜

则尸(X=l)=C；x；x［l-=：,E(X)=3x；=l.

16.(15分)已知函数/(x)=x3/+6(a,6为实数，且。>1),在区间上最大值

为1,最小值为-2.

(1)若函数8(H=/'(可-”在区间卜2,2］上为减函数，求实数机的取值范围；

(2)过点(L0)作函数>=f(x)图象的切线，求切线方程.

【答案】(1)/(X)=X3-2X2+1；(2)［20,+co)；(3)x+y-1=0或5x+4y-5=0.

【解析】(1)(x)=3x2-3ax=3x(x-a),Qa>1,xe［-l,l］,:.x-a<0；

.•.当xe［-l,0)时，f^x)>0;当尤e(O,l］时，/'(x)<0；

\/(x)在［-1,0)上单调递增，在(0,1］上单调递增，，［(X)M=/(O)=6=1,

===解得:

a=y,/(x)=x3-2x2+1；

g(x)=式3-2x2-mx+\,g'(x)=3尤°-4x-m；

•.•8(力在［-2,2］上为减函数，.一，(力40在［-2,2］上恒成豆，.”23公-4%,

又当x=-2时，(3^-4%)^^20,.-.m>20,即实数机的取值范围为［20,y).

(2)由(1)得：/'(尤)=3/-4无，

设切点为(%,X>2x；+1),则切线斜率左=3x；-4%,

切线方程为：y-x；+-1=(3x；-4%)(x-%,

又切线过点(1,0),，-x；+2x；-1=(3焉-4%)(1-%),解得：%=1或%=(；

当今=1时，切线方程为：了=-(x-l),即x+y-l=O；

当x°=；时，切线方程为：=即5x+4y-5=0.

17.(15分)某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及

的人数，得到下表：

时间X（天）123456789

每天普及的人数y8098129150203190258292310

（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天

数，求X的分布列和数学期望；

（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的

数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.

（参考数据：

19999

页=GE%=190，E（X,-于）2=60,£（上一22=55482,2（毛一可5-m=1800,

“z=li=li=lz=l

附：对于一组数据a,%）,（%,为），L,（x〃,几），其回归直线/=%+©的斜率和截

ZE一初（片一歹）E^-nx-y

距的最小二乘估计分别为：6------------=号-----------,a=y-bxy.

E（^-^）2力；-怖?

1=1Z=1

4307

【答案】⑴分布列见解析，£（X）=-（2）j）=30x+言

3o

【解析】（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0』,2,3,

P(x=o)=*gP(x=i)=^=(

L/9什/V-ZQNJ-

C2c25]

尸(x=2)=*=2,p(x=3)=^=-

\，C；14\，C；21

故X的分布列为

X0123

51051

P

42211421

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=—

、,422114213

（2）设原来数据的样本中心点为（黑耳），去掉第5天的数据后样本中心点为叵'，9'）

歹'=E(9Pf)=5(9x190-203)=竿

ooo

(E七%-X5.%)一双.了(EXiXf-y5)-Sx'9y”

故3=-f----------------7-----9-----------

22

£(x,.-r)-(x5-T)Ea-T>2

i=li=l

99

Z%J—%5•%—9K5+xy5一9元•少

二—......=---------=^-=30,

-封君260

Z=1Z=1

a=y-b^=^1-30x5=—,所以5)=30无+也.

-888

18.(17分)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机

摸出1个球，摸出的球不再放回.

(1)求第2次摸到红球的概率；

(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为耳；第1次摸到红球的概率为£；在第1次摸到红球的

条件下，第2次摸到红球的概率为A；在第1,2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球

的概率为尊求片用上；

⑶对于事件43,C,当尸(/5)>0时,写出尸(/),尸(例/),尸(Cl尸(N8C)的等量关系

式，并加以证明.

【解析】(1)记事件”第i次摸到红球”为4(，=L2,3,…,10),则第2次摸到红球的事件为4,

于是由全概率公式，

得尸(4)=尸⑷WJ+P闾网4闾=3|+»。

A377

(2)由已知得q=p(444)=g=五，£=P(4)=

7102

—x-二—

1573

尸(444)7155

月=尸(4144)=——X一

尸(44)2478

(3)由(2)可得:=鸟鸟鸟,即0(444)=尸(4)P(4I4)P(4MM)，

可猜想：P(ABC)=P(A)P(^A)P(^AB)f

证明如下：由条件概率及尸(4)>0,尸(4(>0,

得「(切")=*，P©/2)=霁备，

所以P(/)P(5肉尸(C|N2)=「(/)・(4BC).

X2V3x"

19.(17分)英国数学家泰勒发现了如下公式：e*=l+x+±+±+…+L+…其中

2!3!n\

疝=1X2X3X4X…x〃,e为自然对数的底数，e=2.71828…….以上公式称为泰勒公式.

设〃x)=e；e：g(x)=e；e工,根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决

如下问题.

(1)利用泰勒公式求e”的近似值；(精确到小数点后两位)

(2)设xe(O,+s),证明：Zfcl<g(x)；

(Q

(3)设尸(x)=g(x)—a1+—,若x=0是尸(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

乙)

2345n

【解析】(1)由泰勒公式知e'=l+x+土+土+土+土+…+匚+…，①

2!3!4!5!n\

工曰七os।八0.520.530.54一<

于TE有e=1+0.5H-------1-------1-------F,-1.65；

2!