相似（题型归纳）（原卷版）

专题17相似

题型分析

庖题型演练

题型一比例的性质

,,x3

1.若一=则下列式子正确的是（）

y4

尤+y7x+y7x+1_3

AA.=/B.c.上=4D.

yy4%一yy+14

2.已知历=cd,则把它改写成比例式后，正确的是（）

、acadd_cb_c

A.—=一B.—=一c.D.

bdcbabad

b

3.若3〃=4Z?,则2的值是（）

a

A.124

B.-c.D.

4377

Aib2

4.已知一=一,且a+多=14,则6的值为_—

a3

__.,cic4/7,_.\fici-2c

5-已知5=，=M（""二°），则0r——

r■MI।।।

题型二成比例线段

I___________________________________I

6.下列各组线段中，成比例的是（）

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.1cm,2cm,3cm,5cmD.lcm,2cm,5cm,10cm

7.已知线段〃=9,b=l,如果线段。是线段。、b的比例中项，那么（）

A.±3B.3C.4.5D.5

8.若四条线段〃，b,c,d成比例，其中Z?=4cm,c=2cm,d=8cm,则线段〃的长为（）

A.1cmB.4cmC.8cmD.16cm

9.已知线段a=3cm,线段b=12cm,线段c是线段a,6的比例中项，则线段c的长为cm.

10.在比例尺为1:m的某市地图上，规划出长。厘米，宽6厘米的矩形工业园区，则该园区的实际面积是

平方米.

题型三黄金分割

!____________________________________।

11.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB,则下列等式成立的是（）

A.AC2=ACABB.AB2=ACABC.BC2=CBABD.AC2=ABBC

12.下列说法正确的是（）

A.A3两地在地图上的距离为7cm,地图上的比例尺为1:5000,则A3两地实际距离为35m

B.若AB=1cm,点C是线段AB的黄金分割点，S.AC>CB,则AC=^^cm

2

C.任意两个菱形都相似

D.有一个角相等的两个等腰三角形相似

13.若线段AB=2cm,C是A3的黄金分割点，且BC>AC,则BC的长为（）

A.旧卡।cmB.^\/5—ijcmC.--cmD.{y[^>+ijcm

14.已知线段AB=10,尸是线段A3的黄金分割点（AP>尸台），则AP=.

15.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是叵。，著名的“断臂

2

维纳斯”便是如此.若某人满足上述黄金分割比例，且身高为178cm,则其肚脐至足底的长度可能是cm

（保留根号）.

题型四相似多边形及性质

16.下列叙述正确的是（）

A.任意两个等腰三角形相似B.任意两个平行四边形相似

C.任意两个矩形相似D.任意两个正方形相似

17.如图所示的两个五边形相似，则以下b,c,d的值错误的是（（）

18.一个面积为20cm2的四边形ABCD,它的位似图形为四边形AB'C'D,位似中心为0,若CM："=1：2,

则四边形A'B'C'D的面积为（）

A.180cm2B.20cm2

C.180cm2或20cm2D.以上都不对

19.一个六边形的六边长分别为3,4,5,6,7,8,另一个与其相似的六边形的周长为66,则与其相似的

六边形的最短边为.

20.如图，在矩形ABCD中，AD>AB,AB=2.点E在矩形ABCD的边上，连接AE,将矩形ABCD

沿AE翻折，翻折后的点8落在边AD上的点尸处，得到矩形CDEE.若矩形CD用与原矩形ABCD相似，

则AD的长为

D

题型五平行线分线段成比例定理的应用

21.如图，已知AB〃CD〃EF,AD:DF=2:3,BE=15,那么BC的长为（）

AB

A.5B.6C.7D.8

ATJ5

22.如图，在44BC中，D,E分别是AB,AC上的点.且DE〃BC.若\=彳，CE=9cm,则AE的长

BD3

是（）.

23.如图，AC与8£＞相交于点。，DC//AB,若要=±,CO=8,则AC的长为（）

24.如图，直线/]〃4〃/3，若AC=16,BC=10,EF=9,则OE=

25.如图，。是AABC的边BC延长线上一点，且CD=3C,直线0E分别交AB,AC于点E、R若EA=EB,

则如

A

E

题型六证明两三角形相似

26.如图，在AABC中，DE//BC,GF//AC,GF,DE相交于M点，则图中与AABC相似的三角形有

A.1个B.2个C.3个D.0个

27.下列四组条件中，能识别从山。与相似的是（）

A.ZA=45°,ZB=55°；ZD=45°,N尸=75°

B.AB=5,BC=4,ZA=45°,DE=5,EF=4,ZD=45°

C.AB=6,BC=5,4=40°,DE=5,EF=6,ZE=40°

D.AB=BC,ZA=50°；DE=EF,ZE=50°

28.如图，已知“IBC与ADEF,下列条件一定能推得它们相似的是（）

"且喘=BC

A.ZA=ND,ZB=ZEB.ZA=

~EF

小”口ABAC

C.ZA=ZB,ZD=ZED.=且---二

DEDF

29.如图，AB//EF,AE//BC,E尸与AC交于点G,则图中相似三角形共有对.

c

---------------

30.如图，AB.OE是。。的直径，点C在。。上，NA8C=20。，点。从点C出发沿顺时针方向绕圆心。

旋转a。(0<a<180),当a=时，直径。E在△ABC中截得的三角形与△A3C相似.

31.如图，点C,尸均在。。上，且分布在直径AB的两侧，BELCP于点、E.

一

(1)求证：△EPBs/\CAB.

(2)若BP=5,8E=4,AB=10,求CE的长

32.如图，已知点。在△ABC的外部，AD//BC,点E在边上，ZBAC=ZAED.

D,_________

一

Bc

(1)求证：ABAD=BCAE；

/\r)Ar

(2)在边AC取一点P,如果，能=芸,求证：ZAFE=ZD.

33.如图，在44BC和VADE中，ZBAD=NCAE,ZABC^ZADE.

（1）AABC和AABC相似吗？为什么？

40人「

⑵如果△MCS.M贝喘=而=而成立，据此你能说明和AACE相似吗?

题型七利用相似三角形的性质求解

34.若两个相似三角形的对应高的比是1:4,则它们的周长比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

35.如图，OE分别是AABC的边AB3c上的点，旦DE"AC,若AD：DB=2：3,则DE：AC的值是（）

A.2：5B.3：5C.2：3D.3：2

36.已知AABC中，AB=12,AC=9,D,E分别为直线AB,AC上的点，且AD=4,若以点A,D,E

为顶点的三角形与融C相似，则CE=.

37.如图，电灯尸在横杆A3的正上方，AB在灯光下的影子为C£>,ABHCD,

AB=2m,CD=6m,横杆AB与CD的距离是3m,则P到AB的距离是__________m.

△

/X

/✓\、

/X

/s

//X、

/X

C----------------------------D

38.如图，△ABCsgCD,AD=2,BD=3.

BC

（1）求AC的长.

⑵若CD平分/ACB,求。C的长.

39.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE=*D,连接BE与AC,AD,FE

分别交于点。，F.

（1）若ADEF的面积为3,求平行四边形A5CD的面积;

(2)求证O32=OE.O尸.

题型八利用相似三角形求坐标

二

40.如图，在△A5C中，ZACB=90°,边5C在x轴上，顶点A,B的坐标分别为（一2,6）和（7,0）.将

正方形OCI出沿X轴向右平移，当点E落在A3边上时，平移的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

b

41.如图，已知点A(1,0),点5Qb,0)(/?>1),点P是第一象限内的动点且点尸的纵坐标为了,若

△?。4和^巩8相似，则符合条件的尸点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

42.如图，在直角坐标系xOy中，A（-4,0）,B（0,2）,连接A3并延长到点C,连接CO,若

则点C的坐标为

43.如图，URC在平面直角坐标系中，与>轴交于点O,已知点4(1,4),C(3,0),D(0,3),M是线

段BC上一点，连接DM,若△ODM与AC4D相似，则CM的长为.

44.如图，一次函数、=丘+6与反比例函数>=?(x>0)的图像交于点A。，a)和点以2,3),与y轴，无轴

分别交于C,。两点,

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

IVJ

⑵点E为反比例函数>=一(x>0)上一点(不与点A,3重合)，过点£作EF_Lx轴，垂足为点「当

x

△EFD〜AOCD时,求点E坐标.

45.如图，在平面直角坐标系中，与与〉轴相切，且点C坐标为(1,0),直线/过点A(-1,0),与

(DC相切于点D

(1)求直线/的解析式.

(2)是否存在。P,使圆心尸在无轴上,且与直线/相切，与。C外切？如果存在，请直接写出圆心尸的

坐标；如果不存在，请说明理由.

46.如图，E为YABCD的边延长线上的一点，且BE:AB=2:3,△3EF的面积为4,则YABCD的面

积为()

AAOE的周长

47.如图，在AABC中，点。、E分别在AC、上，连接。E,若NAED=NC,且8c=2Z)E,则

△ABC的周长

的值为().

D.~2

48.如图，交于点C,AB//DE,若AC=4,BC=2,DC=1,则EC=

49.如图，在矩形OAHC中，0c=8括，04=16,B为CH中点、,连接A3.动点M从点。出发沿。4边

向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点8运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，

连接CM,CN,MN,设运动时间为秒.贝1"=时，ACMN为直角三角形.

50.如图，在矩形ABCD中，E,E分别是AB,AD的中点，连接CE,CF,若ECLEF,

⑴求证：AAEFSABCE；

(2)若AB=2,求BC的长.

51.如图，四边形ABCD是正方形，点E是3C边上动点(不与BC重合).连接AE,过点E作所，AE,交。C

于点F.

(1)求证：AABEs^ECF；

(2)连接AF,试探究当点E在2C什么位置时，ZBAE=Z£AF,请证明你的结论.

(3)若3C=2,求2尸的最大值.

52.如图1,AABC和△£)口都是等腰直角三角形，AB=AC,DC=DE,且点A是OE上的点(点A不与

点。，E重合)，过点B作3”〃AC交CE的延长线于点”，DE的延长线交3”于点G.过点A作A尸〃CE

交8于点尸，连接8E.

H

图1图2

(1)求证：AABG^ACZM；

(2)若CH.CF=8，求BC的长；

(3)如图2,若AHEG沿ACEA,求口〃NC4尸的值.

53.如图，已知AASCSAAEF,若B、E、歹三点共线，线段E尸与AC交于点0.

(1)求证：AABES^ACF；

⑵若AF=5,3c=10,AAO歹的面积为8,求ABOC的面积.

54.如图，在AABC中，DE//BC,EF//AB,

(1)求证：△ADEs△EFC；

⑵若AE=2EC,DE=4,求线段FC的长；

⑶若AE=2EC,SAEFC=4时，四边形DEEB的面积是

55.在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点。在

的延长线上，ZBAC=ZAED=90°,AB=AE=2也.

(1)图1中阴影部分的面积与AADE的面积比为.

(2)若将AABC固定不动，把AADE绕点A逆时针旋转a(0°<a<90。)，此时线段AD,射线AE分别与射线3C

交于点M,N.

①当AADE旋转到如图2所示的位置时，求证：^ABN^NMAN■,

②如图2,若3Af=l,求BN的长；

③在旋转过程中，若BM=d,请直接写出CN的长(用含d的式子表示).

56.如图，A,8两点的坐标分别为4(10,0),3(4,3),点尸，。同时出发作匀速运动，其中点尸从A出发

沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位；点。从。出发沿03向终点8运动，速度为每秒2个单位，

当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动.

(1)坐标平面内是否存在点C,使以。，A,C为顶点的三角形与全等？请直接写出点C的坐标;

(2)设从出发起，运动了f秒，以。，P,。为顶点的三角形与相似，求出此时/的值；

(3)是否存在使△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动的时间f；若不存在，请说明理由.

题型十位似图形

57.如图，在平面直角坐标系中，“103与△COD是以点。为位似