四边形中的动点问题六大题型（60题）

专题18.9四边形中的动点问题六大题型（60题）

【人教版】

【题型1与平行四边形有关的动点问题】

（24-25八年级•安徽宿州•期末）

1.如图，在△/8C中，AB=AC=2,Z5=75°,尸为48边上的一动点，以P/、尸C为邻

边作。N0CP,则对角线尸0长度的最小值是（）

（24-25八年级•湖北武汉•期中）

2.如图，等腰△NBC中，4B=/C,点K是底边BC上的一动点（不与点8、C重合），过

点K分别作/C的平行线KH、KQ,交AC、AB于点H、Q,则下列数量关系一定正确

的是（）

C.KH+KQ=ACD.AC-AQ=BK

（24-25八年级•江苏盐城•期中）

3.如图，点。是a/BC的边的延长线上一点，点厂是边上的一个动点（不与点2

重合），以3,8尸为邻边作平行四边形8DE尸，又AP〃BE,AP=BE（点尸、£在直线

的同侧），如果那么△P8C的面积与△NBC面积之比为（）

试卷第1页，共27页

A

（24-25八年级•浙江温州•阶段练习）

4.如图，在口48co中，AB=5,BC=9,动点尸从A点出发，以1个单位长度的速度沿线

段4D向终点。运动，同时动点。从点3出发以3个单位长度的速度在8C间往返运动，当

点尸到达点。时，动点尸、。同时停止运动，连结尸。.设运动时间为/秒.当PQ平分口4BCD

的面积时，贝!]/=.

5.如图，在口/BCD中，48=5,BC=1，点、M、N分别是40、BC上的动点，

AM=CN,连结九W,作8关于血W的对称线段。力，当。力’与n48co的某边平行时,

AM=.

（24-25八年级•河南郑州•期末）

6.如图，四边形4&DC是平行四边形，AB=8cm,/C=6cm,点G在上，

CG=3cm,动点£从点3出发，沿折线8f。-Cf4f8的方向以2cm/s的速度运动，

动点F从点B出发,沿折线NfCf2的方向以lcm/s的速度运动，若动点E,F

同时出发，相遇时停止运动，在第s时，以点4E,F,G为顶点的四边形是平行四

边形.

试卷第2页，共27页

AFB

(24-25八年级•江苏无锡•期中)

7.如图1,在口/BC。中，AB=3,AD=6.动点P沿40边以每秒1■个单位长度的速度从

点/向点。运动.设点尸运动的时间为♦。＞0)秒.

(1)当CP平分/BCD时，求才的值.

(2)如图2,另一动点。以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在C3上往返运动.P、Q

两点同时出发.

①当点尸到达点。停止运动，点。也随之停止运动.若以P、D、。、3为顶点的四边形是

平行四边形，请求出/的值.

②若点尸在上往返运动，当以尸、D、。、8为顶点的四边形第2023次成为平行四边形

时，直接写出此时f的值为.

(24-25八年级•广西梧州•阶段练习)

8.如图，在平行四边形/BCD中，ZBAC=90°,CD=12cm,/C=16cm.动点尸从点N

出发沿AD以1cm/s速度向终点。运动，同时点。从点C出发，以4cm/s速度沿射线C2运

动，当点尸到达终点时，点。也随之停止运动，设点尸的运动时间为/秒。＞0).

(1)当点0在线段延长线上时，用含/的代数式表示线段80的长；

(2)连结尸。，是否存在f的值，使得尸。与42互相平分？若存在，求出f的值；若不存在,

请说明理由；

(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出/的值.

试卷第3页，共27页

(24-25八年级•河北石家庄•期中)

9.如图，在口48c。中，NBAC=90°,CD=6cm,/C=8cm.动点P从点A出发沿N。以

2cm/s速度向终点。运动，同时点。从点C出发，以8cm/s速度沿射线C8运动，当点P到

达终点时，点。也随之停止运动，设点P的运动时间为/秒«>0).

CBECBE

(备用图)(备用图)

(1)C5的长为cm.

(2)当时，用含I的代数式表示线段2。的长.

(3)连接尸。.是否存在f的值，使得尸。与N2互相平分？若存在，求出/的值；若不存在，请

说明理由.

(4)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出/的值.

(24-25八年级•河北邯郸•期末)

10.如图，在平行四边形/BCD中，对角线4C,8。相交于点。，M,N分别为射线08,

上的两个动点(点"，N始终在平行四边形4BCD的外面)，连接AN,CM,

CN.

⑴若。N=2OD,BM=WB,求证：四边形/MCN为平行四边形;

(2)若DN==OD,BM=-OB(n>Q],

nn

①四边形/MCW为平行四边形吗？请说明理由；

试卷第4页，共27页

②当〃=1时，S&MBC=2,直接写出四边形/MCN的面积.

【题型2与矩形有关的动点问题】

（24-25•河北唐山•八年级期末）

11.如图，在矩形中，动点、E,尸分别从点。，8同时出发，沿。/,8c向终点A,

C移动.要使四边形NEC尸为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是

（）

甲：点E,b的运动速度相同;

B.甲、乙都不可行

C.甲可行，乙不可行D.甲不可行，乙可行

（24-25八年级•广东潮州•期中）

12.如图，在矩形中，/8=10cm,点E在线段上，且ZE=6cm,动点P在线

段上，从点”出发以2cm/s的速度向点2运动，同时点0在线段上.以vcm/s的速

度由点2向点C运动，当△£4P与A%。全等时，v的值为（）

612

A.2B.4C.4或一D.2或—

55

（24-25八年级•江苏扬州•期中）

13.如图，点E是矩形/BCD边C。上一点，连接BE,将AC即沿BE翻折，点C落在点尸

处，N/8尸的角平分线与跖的延长线交于点M,若功=3,BC=6,当点E从点C运动到

点。时，则点M运动的路径长是（）

试卷第5页，共27页

M

八

（24-25八年级•全国・专题练习）

14.如图，在四边形中，AC,8。相交于点O,S.OA=OB=OC=OD,点£从点8

开始，沿四边形的边运动至点。停止，CE与8。相交于点N,点尸是线段CE的中

点.连接。尸，下列选项不正确的是（）

B.当点£是N8的中点时，OF=\CD

4

C.当AB=6,2c=8时，线段。尸长度的最大值为4

D.当点E在边48上，且/CO尸=60。时，△0N是等边三角形

（24-25八年级•浙江台州•期中）

15.如图，在矩形48。中，AB=4,乙4。8=30。.点P从点/出发沿以每秒1个单

位长度的速度向终点B运动，点。从点C出发沿C4以每秒2个单位长度的速度向终点A

运动.连接尸。，当时间是1秒时，尸。的长度是（）

A.741B.6C.VMD.4

（24-25•河南•模拟预测）

16.如图，在矩形48。中，AB=6,4D=4,点E是边延长线上一点，BE=8,点、M

从点£出发，先以每秒2个单位长的速度向点8运动，点到达点8后，再以每秒6个单位

长的速度沿射线BE方向运动，同时点N从点。出发，沿射线。C方向以每秒4个单位长的

试卷第6页，共27页

速度运动，设运动时间为:(s),若以E,M,C,N为顶点的四边形是平行四边形，贝卜的

值为()

^1*iC

A1~一77

A.1或3B.3或13C.1或13D.1或3或13

(24-25八年级•四川自贡・期末)

17.如图.在四边形/BCD中，AD//BC,zB=90°,AB=8cm,

4D=10cm.8c=12cm.点尸从点/出发，以Icm/s的速度向点。运动，点。从点C同

时出发，以4cm/s的速度在线段3C上来回运动，当点P当到达点。时，尸、。两点停止运

动.在此运动过程中，出现尸。〃。和的次数分别是()

A.3,6B.3,7C.4,6D.4,7

(24-25八年级•天津蓟州•期末)

18.如图，在四边形N8C。中，AD//BC,乙4=90。，4D=12,8C=18,点尸从点。出

发，以每秒1个单位长度的速度向点/运动，点Q从点2同时出发，以每秒2个单位长度

的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点P

(1)当点P运动停止时，/=,线段。尸的长为；

(2)①用含f的式子填空：DP=,BQ=,AP=；

②/为何值时，四边形尸为矩形，求出f的值；

(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻3使以尸，D,C,。为顶点的四边形为平行四边

试卷第7页，共27页

形？若存在，请求出/的值，若不存在，请说明理由.

(24-25八年级•云南昭通•阶段练习)

19.如图，在矩形A8CD中，AB=6,8c=11,延长8c到点使CE=8.连接DE.动

点尸从点3出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC-CD向终点。运动，设点尸运动的时间

为/秒9>0).

(备用图)

(1)求。E的长；

(2)连接ZP,当四边形/尸暇)是平行四边形时，求f的值；

⑶连接2尸、PD,设四边形的面积为S,求S与/之间的函数关系式.

(24-25八年级•浙江温州•期中)

20.如图，在四边形/BCD中，AD//BC,ZB=45°,AB=6也刖=CD=10cm.

⑴求8c的长；

(2)点P从点A开始沿着边向点。以1cm/s的速度移动，点。从点C开始沿着C8边向点

8以2cm/s的速度移动，如果尸，。分别从A,C同时出发，当点尸运动到点。时，点。也

随之停止运动.若设运动的时间为/秒，当尸。与四边形/BCD的其中一边平行时，求此时/

的值.

(3)如图，点、E,G分别在边AB,AD上，将A/EG沿EG折叠，点A恰好落在2C边上的

点尸处.若5BE=AE,则/G长度为

【题型3与菱形形有关的动点问题】

(24-25八年级•北京•期中)

21.在菱形48co中，ABAD=120°,动点尸在直线BC上运动，作/4PM=60。，且直线PM

与直线CD相交于点G,G点到直线BC的距离为GH.

试卷第8页，共27页

M

(2)若尸在线段8c上运动，求证：CP=DG；

(3)若P在线段5c上运动，探求线段NC,CP,C〃的一个数量关系，并证明你的结论.

(24-25八年级•江苏苏州•期中)

22.如图，在菱形中，对角线/C与8。相交于点。，4B=16,NBAD=60。,点、E

从点/出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点2运动，当点E与点/不重合时，

过点£作£尸上40于点尸，作EG〃4D交/C于点G,过点G作射线ND垂线段G”,垂

(1)当点〃与点。重合时，/=

(2)设矩形EF/7G与菱形N2CD重叠部分图形的面积为S,求S与f之间的函数关系式；

⑶设矩形跳HG的对角线E"与FG相交于点O',

①当时，/的值为；

②当。时，求出f的值.

(24-25八年级•广西柳州•期中)

23.如图，在四边形中，AB//CD,ZADC=90°,AD=12cm,^5=18cm,

CD=23cm,动点尸从点A出发，以lcm/s的速度向终点8运动，同时动点。从点8出发，

以2cm/s的速度沿折线B-C-D向终点。运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随

之停止运动，设运动时间为/秒.

(1)当t为何值时，直线尸。把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形?

试卷第9页，共27页

(2)只改变点。的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形尸8C。为菱形，则点。的运动速度

应为多少？

(24-25八年级•江苏无锡•期中)

24.如图1,在菱形/BCD中，UBC=60。,对角线/C、AD交于点。，尸从2点出发，

沿BfD—C方向匀速运动，P点运动速度为1cm/s.图2是点尸运动时，AAPC的面积y

(cm2)随尸点运动时间x(s)变化的函数图像.

(1)/3=_cm,a=_；

(2)尸点在AD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为?百；

(3)在尸点运动过程中，是否存在某一时刻使得△/依为直角三角形，若存在，求x的值;

若不存在，请说明理由.

(24-25八年级•全国•课后作业)

25.已知点尸，。分别在菱形/BCD的边BC，CO上运动(点p不与8,C重合)，且

ZPAQ=AB.

图①

(1)如图①，若AP工BC,求证:

(2)如图②，若NP与不垂直,(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请

说明理由.

(24-25八年级•广东广州•期中)

26.已知菱形中，/ABC=60。，点P为菱形内部或边上一点.

试卷第10页，共27页

图1图2图3

(1)如图1,若点P在对角线2D上运动，以4P为边向右侧作等边点£在菱形

内部或边上，连接CE,求证：BP=CE.

(2)如图2,若点尸在对角线AD上运动，以/P为边向右侧作等边点£在菱形/8O

的外部，若/8=4,DP=1,求CE；

(3)如图3,若N4PB=60°,点E,尸分别在4尸，BP上,且/£=8尸，连接/尸，EF,

N4FE=30。，求证：AF2+FE2=AB2.

(24-25八年级•江苏徐州•期中)

27.如图，四边形4BCZ1为平行四边形，延长/。到点E,使DE=4D,且BELDC.

⑴求证：四边形OBCE为菱形；

(2)若△OBC是边长为1的等边三角形，点尸、M、N分别在线段。C、DE、CE上运动，

求PM+PN的最小值.

(24-25八年级•河北廊坊•期中)

28.如图，在菱形N8CD中，44=60。，E,尸分别是边42、8C上的点，且/瓦才'=60。.

(1)若点£是的中点，则。E与DF之间的数量关系为；

(2)若点£不是的中点，判断DE与DF之间的数量关系并说明理由;

(3)若48=4,直接写出AE。尸周长的最小值；

试卷第11页，共27页

(4)当点E在42边上运动时，小亮发现，四边形。£8厂的面积保持不变，请你帮助小亮验证

他的发现.

(24-25八年级•辽宁沈阳・期末)

29.如图1,已知△4BD当△CBD,AB=4D,CB=CD,点、E仄点、A出发,沿的方

向以lcm/s的速度匀速运动到点B.图2是点E运动时AEBC的面积Men?)随时间x(s)变

化的关系图象.

图1图2

(1)BD=；

⑵求。的值.

(24-25八年级•重庆北硝•期中)

30.如图，在菱形N8C。中，AB=6,N/=60。.点、P,。分别以每秒2个单位长度的速度

同时从点/出发，点P沿折线/—C方向匀速运动，点0沿折线/fB-»C方向匀速

运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为x秒，点尸，。的距离为外

⑴请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质;

⑶结合函数图象，直接写出当y«4时％的取值范围.

【题型4与正方形有关的动点问题】

(24-25•山东临沂•八年级期末)

试卷第12页，共27页

31.在正方形中，E是5c边上一点(点£不与点8,C重合)，AELEF,垂足为点

E,EF与正方形的外角ZDCG的平分线交于点F.

图1图2

(1)如图1,若点£是8c的中点，猜想/£与斯的数量关系是；证明此猜想时，

可取的中点尸，连接EP,根据此图形易证A/E尸丝△£人?,则判断的依

据是.

(2)点E在3c边上运动，如图2,(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由.

(24-25八年级•广东广州•期中)

32.如图，在正方形/BCD中，点/在CD边上，点N在正方形/BCD外部，且满足

ZCMN=90°,CM=MN,连接NN,CN,取NN的中点E,连接BE,AC,交于下点.

(1)依题意补全图形;

(2)求N/5E的度数；

⑶设48=2,若点〃沿着线段从点C运动到点。，则在该运动过程中，线段所扫

过的面积为多少？

(24-25八年级•河南周口・期末)

33.正方形的边长为4,点£从点8出发，以每秒3个单位长度的速度沿5c向点C

运动.AE交BD于点、F,OGLNE于点G,/DGE的平分线GH分别交8D,CD于点尸,

H,连接FH,FC.设点E的运动时间为J

(1)在点E的运动过程中，/D//G与NDPC有什么数量关系？请证明你的结论；

(2)当NE把正方形/BCD的面积分成1:2两部分时，请直接写出f的值.

试卷第13页，共27页

D

H

BEC

（24-25八年级•山西太原•期中）

34.综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图

1,现有一个边长为6cm的正方形/BCD,点E从对角线/C的点A出发向点C运动，连接旗

并延长至点尸，使EF>4B,以E尸为边在跖右侧作正方形EFGH,边E"与射线DC交

于点〃.

图1备用图1

操作发现

（1）点E在运动过程中，判断线段8E与线段EN之间的数量关系，并说明理由；

实践探究

（2）在点£的运动过程中，某时刻正方形/BCD与正方形EFG"重叠的四边形的面

积是16cm2,求此时AE的长；

探究拓广

（3）请借助备用图2,探究当点E不与点A,C重合时，线段EC与之间存在的

数量关系，请直接写出.

试卷第14页，共27页

备用图2

（24-25八年级•山东烟台•期中）

35.如图，正方形ABCD中，对角线/C=8（™.射线NEUC,垂足为4.动点P从点C出

发在◎上运动，动点。从点/出发在射线/尸上运动，两点的运动速度都是2c/„/s.若两

点同时出发，多少时间后，四边形尸是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由.

（24-25八年级•河南安阳・期末）

36.【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形/BCD中，E是边2c

上一动点（点E与点B,。不重合），连接4E,作£尸与正方形的外角乙DCG

的平分线交于尸点.

图1图2图3备用图

【思考尝试】（1）如图1,当E是边8c的中点时,观察并猜想AE与EP的数量关系:；

【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2,在正方形/BCD

中，若E是边上一动点（点£与点8,C不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成

立？请说明理由；

【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点:

如图3,在正方形ABCD中，当E在边上运动时（点£与点B,C不重合），连接。尸，

AP.若知道正方形的边长，则可以求出△ADP周长的最小值.当月2=4时，请你直接写出

△40尸周长的最小值：.（说明：备用图中C/是外角ZDCG的平分线）

试卷第15页，共27页

(24-25八年级•吉林四平•期中)

37.如图1,在△4BC中，Z5=9O°,AB=BC=2.动点尸从点A出发，以每秒1个单位

的速度沿线段向终点8运动，过点P作PEL48交NC于点E.以PE为一边向右作正方

形PEFG.设点尸的运动时间为/秒.正方形尸母'G与△NBC重叠部分图形的面积为S.

图1图2

⑴当t时，5=；

(2)当点尸落在8c上时，t=；

3一

⑶当f=5时，在图2中画出图形，并求出S的值；

(4)连接CF,当4CE尸是等腰三角形时，直接写出/的值.

(24-25八年级•山东济南•期末)

38.已知四边形4BCD是边长为8cm的正方形，P,0是正方形边上的两个动点，点P从点

A出发，以2cm/s的速度沿8fC方向运动，点0同时从点。出发以lcm/s速度沿DfC

方向运动.设点尸运动的时间为《。</<8).

(1)如图1,点尸在A8边上，PQ，4C相交于点。，当PQ,NC互相平分时，求才的值;

(2)如图2,点尸在边上，AP,80相交于点，，当4PL30时，求才的值.

(24-25八年级•吉林•阶段练习)

39.如图，已知正方形/8CZ)的边长为16,

===点尸为正方形边上的动点，动点尸

试卷第16页，共27页

从点A出发，沿着运动到。点时停止，设点P经过的路程为范^/尸。的面

积为九

备用图

(1)当x=4时，y=；

⑵当点尸在边8c上运动时，夕=；

⑶若点£是边8c上一点且CE=6,连接。£,是否存在一点P,使得△DCE与ABCP全

等？若存在，求出此时无的值；若不存在，请说明理由.

(24-25八年级•吉林•期中)

40.如图，AC为正方形4BCD的对角线，AB=4.动点尸、0分别从点/、C同时出发,

均以每秒2个单位长度的速度分别沿42、CD向终点8、。运动.连接尸。交NC于点O,

过点。作OE，尸。交边AD于点E.设点P运动的时间为f秒.

(1)当点P运动到边43的中点时，四边形。石。0的面积为；

⑵连接PC,求证：四边形/PC。是平行四边形；

⑶求四边形APOE的面积；

(4)当。4将四边形/尸OE分成面积比为2:3两部分时，直接写出/的值.

【题型5与梯形形有关的动点问题】

(24-25八年级•吉林・期中)

41.如图，在四边形/8C。中，AD//BC,

ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,3C=26cm.点P从点/出发，以Icm/s的速度向点。

运动；点。从点C同时出发，以3cm/s的速度向点8运动.规定其中一个动点到达端点时,

另一个动点也随之停止运动.设点Q的运动时间为t(s).

试卷第17页，共27页

（1）当I=5时，P,。两点之间的距离为cm；

（2）线段尸C与。0互相平分时，求f的值；

3

（3»为何值时，四边形么尸。8的面积为梯形/BCD面积的历？

（24-25八年级•山东济宁•阶段练习）

42.如图，在梯形4BC。中，AD//BC,AD=9cm,BC=24cm,E是3c的中点.动点

产从点/出发沿AD向终点。运动，动点尸平均每秒运动1cm；同时动点。从点C出发沿

C8向终点3运动，动点。平均每秒运动2cm,当动点尸停止运动时，动点。也随之停止

（1）当动点尸运动《0</<9）秒时，则PO=；（用含f的代数式直接表示）

（2）当动点。运动，秒时，

①若0</<6,则石。=；（用含f的代数式直接表示）

②若6</<9,则£。=；（用含，的代数式直接表示）

⑶当运动时间f为多少秒时，以点尸，Q,D,E为顶点的四边形是平行四边形？

（24-25八年级•广东广州•期中）

43.如图①，在必AABC中，已知//=90。,48=工。,6,户分别是48、NC上的两点，且

GF//BC.AF=2,BG=4.

（1）求梯形3CFG的面积；

（2）如图②，有一梯形。斯G与梯形8CFG重合，固定△48C,将梯形DMG向右运动,

当点D与点C重合时梯形。斯G停止运动；

试卷第18页，共27页

①若某时段运动后形成的四边形中，DG1BG',求运动路程2。的长，并求此时

GR2的值；

②设运动中BD的长度为x,试用含x的代数式表示梯形。斯G与重合部分面积S.

（24-25八年级•广东广州•期末）

44.如图，在梯形ABCD+,N/=90。，AD//BC,AD=20cm,AB=8cm,

BC=26cm，动点尸从A点开始沿边向。以1cm/秒的速度运动，动点。从C点开始沿CB

边向8以3cm/秒的速度运动，尸、0分别从4C同时出发，当其中一点到端点时，另一点

也随之停止运动，设运动时间为/秒.问：

/—>PD

BQ<——C

（1）月产的长度为_cm,尸〃的长度为_cm,（用t的式子表示），其中/的取值范围为

⑵当/为何值时，四边形尸2。。是平行四边形，请说明理由；

（3）朱华同学研究发现：按以上变化，四边形尸80。在变化过程中不可能为菱形，除非改变

动点的运动速度.请探究如何改变。点的速度（匀速运动），使四边形尸2。。在某一时刻为

菱形，求此时点。的速度.

（24-25八年级•上海虹口•期末）

45.如图，已知N/8尸=90。，/8=8,点C、E在射线8P上（点C、E不与点B重合且点

C在点E的左侧），连接/C、AE,。为/C的中点，过点C作。尸〃交的延长线

（1）求证：四边形48CF是梯形;

试卷第19页，共27页

(2)如果CE=5,当为等腰三角形时，求2C的长.

(24-25八年级•广东惠州・期中)

46.如图，梯形/BCD中，AD//BC,ABLCB,AB=6cm,5C=14cm,AD=8cm,点、E

为上一点，且4E=2cm,点尸为40上一动点，以彷为边作菱形EFGH,且点〃落

在边8c上，点G在梯形的内部或边CD上，设/尸=xcm.

⑴直接写出CD的长与ZDCB的度数.

(2)在点尸运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求

出x的值；若不存在，请说明理由.

⑶若菱形EFG”的顶点G恰好在边CD上，则求出此时x的值.

(24-25八年级•上海・专题练习)

47.如图1,梯形/3CZ)中，AD//BC,zB=9Q0,4)=18,8c=21.点尸从点N出发

沿以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点。从点C沿CB以每秒2个单位的速度向

点8匀速运动.点P、。同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为

f秒.

图1备用图

⑴当48=10时，设/、B、0、尸四点构成的图形的面积为S,求S关于/的函数关系式,

并写出定义域；

试卷第20页，共27页

（2）设£、F为4B、CO的中点，求四边形尸尸是平行四边形时/的值.

（24-25八年级•山东淄博•期末）

48.如图，在直角梯形中，AD//BC,Z5=9O°,AB=8cm,AD=24cm,

BC=26cm,动点尸从点/开始沿4D边向点。以Icm/s速度运动，动点0从点C开始沿

C8边向点8以3cm/s的速度运动.点P、。分别从点/、C同时出发，当其中一点到达端点

时，另一点随之停止运动.设运动时间为/秒.求：

（1W为何值时，四边形尸。CD为平行四边形？

（2）f为何值时，四边形/2QP为矩形？

（3）是否存在f,使梯形N80P的面积为24cm2?若存在请求出，若不存在请说明理由.

（24-25八年级•广东惠州•期中）

49.如图，梯形/8CD中，AD//BC,ABLCB,AB=6cm,BC=14cm,AD=8cm,点、E

为上一点，且NE=2cm；点厂为4D上一动点，以所为边作菱形EFG8,且点反落在

边8c上，点G在梯形的内部或边。上，设4/=xcm.

（1）直接写出CD的长与/DC8的度数：CD=,ZDCB=；

（2）在点尸运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFG"为正方形？若存在，请

求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）若菱形E/G”的顶点G恰好在边CZ）上，则求出点G在CA上的位置和此时x的值.

（24-25八年级•海南海口•期中）

50.如图，在直角梯形ABCD中，ADIIBC,N8=90。，AD=6,BC=8,/嬲后礴，点M

试卷第21页，共27页

是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B

后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速

运动.在点P,Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线

BC的同侧.点P,Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止.

设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).

(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式

(不必写t的取值范围).

(2)当BP=1时，求4EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.

(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被aEPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时

刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若

不能，请说明理由.

【题型6平面直角坐标系中与特殊四边形有关的动点问题】

(24-25八年级•甘肃定西•阶段练习)

51.如图，平行四边形0/3C的顶点O为坐标原点，/点在x轴正半轴上，ZCOA=60°,

OA=10cm,OC=4cm,点P从C点出发沿C8方向，以lcm/s的速度向点8运动；点0

从/点同时出发沿方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一

⑵从运动开始，经过多少时间，四边形。CP0是平行四边形；

⑶在点P、0运动过程中，四边形0cp。有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能,

试卷第22页，共27页

请说明理由.

（24-25八年级•浙江金华•期中）

52.如图，在平面直角坐标系中，矩形043c的顶点43的坐标分别为4（0,4）,8（8,4）,

点。为对角线08中点，点£在x轴上运动，连接。E,把AOAE沿翻折，点。的对应

点为点尸，连接B尸.

⑵当点尸落在矩形的某条边上时，求取的长.

⑶是否存在点E,使得以DE,F,8为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐

标；若不存在，请说明理由.

（24-25八年级•江苏扬州•阶段练习）

53.已知，如图，。为坐标原点，四边形O/8C为矩形，^（10,0）,。（0,3）,点。是。/的

中点，动点尸在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点尸的运动时间

⑵在直线C8上是否存在一点。，使得。、D、°、尸四点为顶点的四边形是菱形？若存在,

求/的值，并求出。点的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶在线段尸B上有一点M且尸M=5,直接写出四边形。尸的周长的最小值并在图上画

图标出点河的位置，

（24-25八年级•安徽阜阳•期中）

试卷第23页，共27页

54.如图，在菱形CM3C中，。为坐标原点，点/的坐标为（6,0）,ZCOA=60°.动点尸

从点/出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点。从点C出发，沿着射

线C2以每秒1个单位长度的速度运动.点尸，。同时出发，设运动时间为f«>0）秒.

（1）求点C的坐标.

⑵当”1时，求△尸。。的面积.

⑶试探究在点P,。运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C,O,P,0四点为顶点

的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时/的值与点。的坐标；若不存在，请说明理由.

（24-25八年级•江苏无锡•期中）

55.如图，正方形CMBC的顶点。在坐标原点，定点/的坐标为（4,3）.

（1）求正方形。48c顶点C的坐标为（_,_）顶点3的坐标为（_,_）；

（2）现有一动点尸从C点出发，沿线段C3向终点8运动，尸的速度为每秒1个单位长度，同

时另一动点0从点/出发沿N—O-C向终点C运动，速度为每秒左个单位长度.设运动时

间为2秒时，将三角形。尸。沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱

形，求人的值.

（24-25八年级•江苏扬州•期末）

56.如图，在平面直角坐标系xQy中，矩形043c的顶点2坐标为（12,5）,点。在C8边上

从点C运动到点8,以为边作正方形/OE产，连BE、BF,在点。运动过程中，请探

究以下问题：

试卷第24页，共27页

(1)若48跖为直角三角形，求此时正方形NDE尸的边长；

(2)的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由；

(3)设E(xj),直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围.

(24-25八年级•江苏无锡•期中)

57.如图，正方形0N3C的顶点8的坐标为(2,-2),。(刃,0)为x轴上的一个动点(">2),

以80为边作正方形8DEF,点E在第四象限.

(1)线段CD的长为(用m的代数式表示).

(2)试判断线段与CF的数量关系，并说明理由；

⑶设正方形ADE尸的对称中心为M,直线CM交y轴于点G.随着点。的运动，点G的位

置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由.

(24-25八年级•福建福州•期中)

58.如图①所示，以正方形N8CO的点。为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段。4

在y轴上，线段OC在x轴上，其中正方形/8C。的周长为16.

图①图②图③

试卷第25页，共27页

⑴直接写出3、C两点坐标；

(2)如图②，连接。2,若点P在y轴上，且国88=25〃。”,求尸点坐标.

(3)如图③，若02//L区点尸从点。出发，沿x轴正方向运动，连接尸贝Ij/OAP,

NDEP,—APE三个角之间具有怎样的数量关系(不考虑点尸与点。，D,C重合的情

况)？并说明理由.

(24-25八年级•江苏宿迁•期中)

59.)如图，正方形O48C的边0/,0c在坐标轴上，点B的坐标为(-3,3).点尸从点A出

发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动；点。从点。同时出发，以相同的速度

沿x轴的正方向运动，连接过尸点作的垂线，与过点。平行于了轴的直线/相交于

点、D.3。与了轴交于点E,连接尸£,设点尸运动的时间为Ms).

(D/E8P的度数为，点D的坐标为(用含t的代数式表示)；

(2)当f=l时，平面内是否存在点使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形,

若存在，请直接写出点”的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在整个运动过程中，判断线段尸E、NP与CE之间的数量关系，并证明你的结论.

(24-25八年级•吉林四平•期末)

60.如图1,四边形N8CD为菱形，ZABC=120°.S(-V3,0),C(V3,0),£>(0,3).

(1)点/坐标为四边形/8OD的面积为」

(2)如图2,点E在线段/C上运动，力EF为等边三角形.

①求证：AF=BE,并求4月的最小值；

试卷第26页，共27页

②点£在线段NC上运动时，点尸的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点尸的横坐

标.若变化，请说明理由.

试卷第27页，共27页

1.c

【分析】记/c、尸。相交于点。，过点。做于点P,以尸N,尸C为邻边作平行

四边形，由平行四边形的性质可知。是中点，P。最短也就是PO最短，当尸0^/8时P。最

短，即尸与P重合，然后根据等腰三角形和含30。角的直角三角形的性质即可求出尸。的最

小值.

【详解】解：记NC、尸。相交于点。，过点。做。于点P,

•••四边形/0C尸是平行四边形,

，要尸。最短就是尸。最短，当尸。_L48时尸。最短,

即P与P'重合,

AB=AC=2,ZB=75°,

：.^ABC是等腰三角形,

...N胡C=180°-2N5=30°,

AO=CO=-AC=1,

2

根据直角三角形中30。角对应的边等于斜边的一半,

:.OP'=-AO=~,

22

尸。最小值=20尸'=1,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30。角的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线

段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含30。角的直角三角形.

2.C

【分析】本题考查了平行线的性质,平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质,

由等腰三角形的性质可得=ZC,由平行线的性质可得=NCHK=NB,进

而得到ZBKQ=ZB,ZCHK=ZC,即得3Q=K0,KH=CH,由平行四边形的性质可得

KQ=AH,即可得到陋+爪2=。//+///=/。，AQ+QK=AQ+BQ,

AC-AQ=AB-AQ=BQ,据此可判断求解，掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题

答案第1页，共101页

的关键.

【详解】解：•••4B=ZC,

:"B=NC,

■:KQ//AC,KH〃AB,

.-.ZB