相似三角形压轴题的几种类型（解析版）

专题27相似三角形压轴题的几种类型（解析版）

第一部分典例割析+针对训练

类型一综合运用全等三角形与三角形的判定和性质求点的坐标

典例1（2022•建邺区二模）如图，矩形A2C0,点A、C在坐标轴上，点B的坐标为（-2,4）.将△ABC

沿AC翻折，得到△AOC,则点。的坐标是（）

6531235

(一，-)C.(一,——)D.(-,-)

55522522

思路引领：如图,过。作DFLAFF,根据折叠可以证明然后利用全等三角形的性

质得到OE=DE,。4=。=1,设。£=尤，那么CE=4-x,DE=x,利用勾股定理即可求出1的长度,

而利用已知条件可以证明而AO=A8=4,接着利用相似三角形的性质即可求出。F、

AF的长度，也就求出了。的坐标.

解：如图，过。作Z）P_LA尸于凡

二点8的坐标为（-2,4）,

"0=2,AB=4,

根据折叠可知：CD=OA,

而/。=/AOE=90°,ZDEC=ZAEO,

：./\CDE^/\AOE,

：.OE=DE,0A=CZ)=2,

设OE=x,那么CE=4-x,DE=x,

在RtADCE中，CE2=CE2+CD2,

(4-x)2—X2+22,

；.x=I，

又DFLAF,

J.DF//EO,

而AD=AB=4,

3

.\AE=CE=4-|=

：.DF=^-,AF=^-.

OF=AF-OA=竽-2=I，

612

二点£）的坐标为（->—

总结提升：此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐

含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题.

针对训练

1.（2012•鹿城区校级二模）已知：直角梯形。48c中，CB//OA,对角线和AC交于点。，OC=2,CB

=2,。4=4,点尸为对角线C4上的一点，过点P作Q//LOA于X,交的延长线于点。，连接2P,

如果△BPQ和△PH4相似，则点P的坐标为.

思路引领：先根据点4、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当以。在点B的左侧时和

Q8在点B的右侧时利用相似三角形的性质就可以求出点尸的坐标.

解：：OC=2,0A=4,

：.C(0,2),A(4,0).

设直线AC的解析式为由题意，得

2=b

0=4k+b'

b=2

解得

k=—

故直线AC的解析式为：尸-呆2.

如图2,在点2的右侧，当△BQPS/XAHP时,

则B上Q=—PQ,

AHPH

则BQ.PH=AH.PQ.

•・,点P在直线AC上，设点P的坐标为（X,-分+2）（0<x<4）,

1

:・CQ=x,0H=x,PH=—^x+2f

:CB=2,04=4,0H=2,

1

C.BQ—x-2,AH=4-x,尸0=>.

11

(x-2)(一5%+2)=(4-x)(一x),

22

解得x=4（舍去）.

当△BQPs^pHA时,

BQPQ

则一=—,即BQ.AH=PH.PQ,

PHAH

11

(x-2)(4-x)=(一g+2)(一x),

2

解得Xl=*X2=4（舍去）

贝y=w，

,82

贝Ijp(-,-).

33

82

**.P(一，一).

33

82

故答案为：P(-,

33

总结提升：本题是一道相似三角形的综合试题，考查了相似三角形的性质的运用，待定系数法求直线的

解析式的运用及分类讨论思想的运用.本题难度较大，涉及的情况较多，解答时不要漏解.

类型二综合运用相似三角形的判定和性质锐角三角函数求线段长的最值

1

典例2（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，ZABC=90",tan/A4C=分AD=2,BD=4,连接CO,

则CO长的最大值是（）

A.2*[B.2V5+1C.2V5D.2有+2

思路引领：如图，在的下方作Rt^ADT,使得NADT=90°,DT=1,连接CT,贝UAT=祈，证明

△D48s△JAC,推出"=­=2-t推出rC=2V5,再根据CD^DT+CT,可得COW1+26，由此

TCAT45

即可解决问题.

解：如图，在A£＞的下方作RtZXAOT,使得NAOT=90°,DT=\,连接CT,贝!]AT=展，

B

_AD__AB_°

DT-BC-'

ADDT

AB-BC

ZADT=ZABC=90°,

△A£>TS-BC,

ADAT

ZDAT=ZBAC—=—

fABAC

NDAB=NTAC,

ADAB

AT-AC

/\DAB^^\TAC,

DBAD2

TC~AT~何

TC=24,

CDWDT+CT,

CQWl+2b,

CD的最大值为1+2遍,

故选：B.

总结提升：本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

针对训练

1

1.（2021秋•亳州月考）如图，四边形ABCD中，A5=3,BC=4,AC±CZ）,若tanNCAZH多则对角线

长的最大值是（）

D.1+警

A.1+V10B.1+2V10c.T

思路引领：过点5作使得连接AE,DE,先求出AE,然后根据已知证得△A3E

ABACAB

^△ACD,得出NBAE=NCA。，一=—,从而证得NBAC=NEAD得出求出一=

AEADAE

Be

击代入数据解答即可.

解：如图，过点3作使得BE=1,连接AE,DE,

则在△ABE中，AE=y/AB2+BE2=V9TT=V10,

1

tanNCAZ)=可,

CD1BE

AC~3~AB"

ZABE=ZACD=90°,

△ABEs△ACC,

ABAC

ZBAE=ZCAD—=—,

fAEAD

ZBAC=ZEAD,

△BACS/\EAD,

ABBC

"AE~ED

r34

即亍==,

V10ED

4/10

：

.BD^BE+ED=1+3

即BD的最大值为1+生，

故选：D.

总结提升：本题考查了锐角三角形的应用，解题的关键是灵活运用锐角三角函数知识并根据题意正确添

加辅助线.

类型三综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求字母的值

典例3(2022•无锡二模)如图，已知A(0,3)、B(4,0),一次函数y=-亲+6的图象为直线/,点。关

于直线/的对称点。'恰好落在的平分线上，贝U：

(1)AB=：

(2)b的值为.

思路引领：(1)根据勾股定理即可求出A8；

(2)延长。。咬A3于点C,交直线/于点E,过点。作。'G,龙轴交于G,过点E作跖，无轴于点凡

求出的解析式，易得AB//Z,根据等积法求出OC的长，易证A。'GOS^BOA,根据相似三角形的

性质可得O'G：O'O=OB-.AB,分别求出。O',OG,O'G的长，再证明OG,根据

相似三角形的性质可得。尸和所的长，将点E坐标代入直线/解析式，即可求出6的值.

解：⑴VA(0,3)、B(4,0),

.\OA=3,OB=4,

在RtZXAOB中，根据勾股定理，得AB=5,

故答案为：5；

(2)延长。0咬于点C,交直线/于点E,过点。作O'G，x轴交于G,过点E作无轴于点R

二.直线AB的解析式为y=—qx+3,

•.•直线/解析式：y=—

：.AB//l,

,：OO,_L/,

AOO'LAB,

VOA=3,08=4,AB=5,

OA-OBAB-OC

根据S-OB

22

JOC=12

-5-,

VZCOB+ZAOC=90°,ZBAO+ZAOC=90°,

：.ZBOC=ZBAO,

•「NO'GO=ZAOB=90°,

二♦△O'GO^ABOA,

：.O'G：O'O=OB：AB,

•「BO是NA80的角平分线，O'C±AB,OfGLOB,

：.CO'=GO',

设O'G=m,

12

则O'C=m,OO'=可一如

・.・_哈田16

4

o0-

3

在RtZXOOG中，根据勾股定理，得0G二

•；EFLOB,O'GLOB,

：.ZOFE=ZOGO'=90°,

\9ZEOF=ZO,OG,

:•丛E0FsA(yOG,

.EFOFOE1

,•0，G-OG-OOt~2

“T，"J

-28

・••点E坐标为(［，-

515

Q

将点E坐标代入y=--rx+b,

z32,.8

得B—4x^+0=田

解得b=I,

故答案为：--

6

总结提升：本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质等，

本题综合性较强，难度较大.

针对训练

1.(2016•汉川市模拟)己知一次函数y=2x+2与x轴y轴分别交于A、B两点，另一直线y=fcv+3交x轴正

半轴于£、交y轴于尸点，如△AO8与E、F、。二点组成的二角形相似，那么上值为()

A.-0.5B.-2C.-0.5或-2D.以上都不对

思路引领：根据直线解析式求出点A、B、尸的坐标，再根据相似三角形对应边成比例分OE和OB

是对应边两种情况讨论求出OE的长，然后求出直线y=fcc+3的解析式，即可得解.

解：：一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点,

：.A(-1,0),B(0,2),

：.OA=1,OB=2,

'：直线y=fcr+3交y轴于尸点，

：.F(0,3),

OF=3,

•.•△A08与E、F、。三点组成的三角形相似，

.OEOFOEOF

''OA~OB^OB~OA

口OE3OE3

即一=一或一=

1221

解得OE=5或OE=6,

当OE=［时,y=-2x+3,

1

或OE=6时，尸一扣+3,

所以，k--2或—

故选：C.

总结提升：本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，两直线相交的问题，难点是要分情况讨论.

类型四利用相似三角形的判定和性质求线段长的最值

典例4（2022•涟水县一模）如图，在正方形A8C。中，43=8,点H在AD上，且A〃=2,点E绕着点8

旋转，且BE=3,在AE的上方作正方形AEFG,则线段FH的最小值是

思路引领：连接ARAC,CH,利用正方形的性质得到一=一=，2,N54C=N妫E=45°,利用

ABAE

交点和差得到N8AE=/^C,利用相似三角形的判定与性质求出线段FC的长，可得点P的运动轨迹,

结合图形可得当点C,F,"三点在一条直线上时，切的值最小，最小值为C8-CR利用勾股定理求

得CH的长，则结论可求.

解：连接ARAC,CH,如图，

：.AC^V2AB,ZBAC=45",

:四边形AEFG是正方形，

：.AF=V2AE,ZME=45°,

ACAF

：.ZBAC=ZFAE,—=—=Vr2,

ABAE

：.ABAC-ZCAE=ZFAE-ACAE,

/BAE=ZFAC,

...△BAEs△CAR

.BEAB1

,•CF-AC—回

：.CF=A/2BE=3A/2,

.•.点尸在以点C为圆心，3位为半径的圆上，

由图形可知：当点C,F,H三点在一条直线上时，”的值最小，最小值为CH-CF,

VAH=2,A£)=AB=C£)=8,

：.DH=6,

：.CH=y/DH2+CD2=V62+82=10,

线段777的最小值=。〃-CF=10-3立,

故答案为：10-3近.

总结提升：本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，线段的极值，利用

相似二角形的判定与性质求得线段CF的长，从而得出点F的运动轨迹是解题的关键.

针对训练

1.在正方形A8CD中，AB=2,点尸是CD边上一动点(不与点。、C重合)，连接8P,过点C作

BP,垂足为E,点F在线段上，且满足EF=EC,连接AF则AF的最小值为-鱼_.

思路引领：不论P怎么运动，乙BPC=135°保持不变，则的外接圆中巨片所对的圆心角为90°,

从而OO的圆心与半径确定，于是可得当点/在OA与。。的交点位置时，AF就取最小值，求出此时的

AF值便可.

解：作△2CP的外接O。，连接。2、OC、。4、OF,在优弧船上取点连接M2、MC,过。作ON

±AB,与AB的延长线交于点N,

•：CELBP,CE=CF,

：.ZCFE=45°,

：.ZBMC=ZCFE=45°,

・・・N3OC=90°,

VAB=BC=2,

：.0B=0C=0F=5BC=五,ZOBC=45°

YONJLAB,ZABC=90°,

J.ON//BC,

：.ZONB=45°,

；.BN=ON=^OB=\,

：.04=7AN2+0N2=7（2+I）2+l2=VTo,

'：AF^OA-OF,

当A、F、O三点依次在同一直线上时，AF=OA-的值最小，

故A尸的最小值为：V10-V2,

故答案为：V10-V2.

总结提升：本题考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线

段最短，关键是构造圆与直角三角形.

类型五利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”（动点D在圆弧上）型的最值（阿氏圆）

典例5（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，ZA=90°,A8=AC=4,点E、F分别是边AB、AC的中

1

点，点尸是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，贝与PB+PC的最小值为.

11

思路引领：在A8上截取AQ=1,连接AP,PQ,CQ,证明可得尸。=9/，则一P8+PC

z2

=PC+PQ,当C、。、P三点共线时，PC+P。的值最小，求出C。即为所求.

解：如图，在AB上截取AQ=1,连接4尸，PQ,CQ,

・・,点昆厂分别是边A3、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，

#AP21

AB—4-2，

*：AP=2fAQ=lf

•丝一

"AP-2

'：ZPAQ=ZBAP,

：.Z\A尸。s/\A5P,

1

:.PQ=抻，

1

・•・-PB+PC=PC+PQ2CQ,

在Rt/XACQ中，AC=4,AQ=1,

：.QC=JAC2+AQ2=“6+1=V17.,

1

：.-PB+PC的最小值g.,

故答案为：V17.

总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造

相似三角形是解题的关键.

针对训练

1.（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心，3为半径

做OC,分别交AC,BC于D,E两点，点P是OC上一个动点，贝的最小值为.

思路引领：在AC上截取CQ=1,连接CP,证明SPCQ可得PQ=%p,当、Q、

PQ,BQ,△ACP/X,B

P三点共线时，1出+PB的值最小，求出8。即为所求.

解：在AC上截取CQ=1,连接CP,PQ,BQ,

'：AC=9,CP=3,

.CP1

"AC一3，

,:CP=3,CQ=1,

.£Q_1

"CP-3，

△ACPs2\pcQ,

：.PQ=^AP,

1

：.-FA+PB=PQ+PB^BQ,

1

...当8、Q、P三点共线时，-R4+P8的值最小，

3

在RtZXBCQ中，BC=4,CQ=1,

/.QB=V17,

1

•,.-E4+PB的最小值g,

故答案为：V17.

A

1

总结提升：本题考查阿氏圆求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将[出转

化为PQ是解题的关键.

类型七相似三角形与多边形的综合题

CG]

典例6（2022•惠山区一模）（1）【操作发现】如图1,四边形ABC。、CEG尸都是矩形，一=-，AB=9,

AG2

AZ）=12,小明将矩形C£GF绕点C顺时针转a°（0WaW360）,如图2所示.

ZGAG

①若二的值不变，请求出丁的值，若变化，请说明理由.

BEBE

②在旋转过程中，当点8、E、E在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度.

-1

⑵【类比探究】如图3,△ABC中，AB=AC=2近，ZBAC^a,tanZABC=G为BC中点，D

为平面内一个动点，且。G=恪，将线段8。绕点。逆时针旋转a°得到。V,则四边形BAC8'面积

的最大值为.（直接写出结果）

图1图2图3

思路引领：（1）①利用勾股定理求出AC,再利用相似三角形的性质求解即可；

②分两种情形：如图2-1中，当点E在线段8尸上时，如图2-2中，当点£在3尸的延长线上时，分

别求出R7,EJ,可得结论;

（2）如图3中，连接AO,AG,过点G作GHLA8于点H.解直角三角形求出G”,证明，

推出；△力BD=（翌）2=（乌三2=余，由题意0G=*推出点G的运动轨迹是以G为圆心，"为半

14A/5A/5

径的圆，当点。在"G的延长线上时，△ARD的面积最大，最大值=x2而X（---+—）=5,由此

/55

可得结论.

解：（1）①丝的值不变，理由如下:

BE

如图2中，连接CG.

图2

・・•四边形A5CD是矩形，

ZABC=90°,AD=BC=12,

9：AB=9,

：.AC=y/AB2+BC2=<92+122=15,

•.*/ACB=/ECG,

：.ZBCE=ZACG,

••竺_££_15_5

*BC~CE~12~4

：.AACG^ABCE,

#AGAC5

9,BE~BC~4；

②如图2-1中，当点E在线段8尸上时，连接CG,过点C作/于J.

D

B

图2・1

11

SACEF=a・EC・CF=宁EF・CJ,

m3x412

CJ=~=^

EJ=JEC2-CJ2=第2=容BJ=JBL-c/=J122-(^)2

BE=BJ-EJ=-善

NACB=/GCE,

ZBCE=ZACG,

ACCG5

CB~EC~4’

△ACGS^BCE,

AGAC5

BE~BC~4’

524V616「

AG=7x(-------——)=6近一4.

455

如图2-2中，当点E在B尸的延长线上时，同法可得BE=BJ+E7=笠四+善,

综上所述，AG的长为6A后一4或6份+4.

(2)如图3中，连接A。，AG,过点G作G〃_LA8于点

•・・A5=AC=2遥，BG=GC,

：.AG±BC,

VtanZABC=箧=2，

AAG=2,3G=4,

VsinZABG=sinZGBHf

.GHAG

•・BG~AB"

.GH2

=标

；.GH=警，

'：AB=AC,DB=DB',ZBAC=ZBDB',

,ABBD

ZABC=ZDBB',—=—,

BCBBi

：.ZABD=ZCBBf,

:AABDs^CBB',

,LABD2_2正＞25

S^CBBiBC816

V5

.•.点G的运动轨迹是以G为圆心，w为半径的圆,

1__4V5V5

当点。在HG的延长线上时，△A3。的面积最大，最大值=/x2而x(―+—)=5,

/55

：./\BCB'的面积的最大值为16,

/.四边形ABB'C的面积的最大值=|1X8X2+16=24.

故答案为:24.

总结提升:本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性

质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

针对训练

1.（2022•内江）如图，在矩形ABC。中，AB=6,8c=4,点M、N分别在AB、AO上，且MN_LMC,点

E为CZ）的中点，连接BE交MC于点£

(1)当P为8E的中点时，求证：AM=CE；

EFAN

(2)若而=2,求而的值;

的值.

思路引领：（1）根据矩形的性质，利用AAS证明会△£（2,得BM=CE,再利用点E为CD的中

点，即可证明结论;

BFBM1ANAM

（2）利用△氏!/尸得一=一二一,从而求出BM的长,再利用得一=—,

EFCE2BMBC

求出⑷V的长，可得答案;

CEBC

（3）首先利用同角的余角相等得NCM=NCMB,则tanNCM=tanNCMB,得一二—,可得5M的

BCBM

长，由（2）同理可得答案.

（1）证明：为2E的中点,

：.BF=EF,

•••四边形ABC。是矩形,

：.AB//CD,AB=CD

：.ZBMF=ZECF,

NBFM=NEFC,

；・4BMFQdECF(A4S),

：.BM=CE,

・・,点E为CO的中点，

：.CE=DE,

：・BM=CE=DE,

VAB=C£>,

：.AM=CE；

(2)解：VZBMF=ZECF,ZBFM=ZEFC,

：,4BMFsAECF,

.BFBM1

9，EF-CE-2’

•；CE=3,

3

2-

9

A-

2-

CMLMN,

：.ZCMN=90°,

:・/AMN+/BMC=90°,

VZAMN+ZANM=9Q°,

/ANM=/BMC,

•・・ZA=ZMBCf

：.丛ANMsABMC,

.ANAM

"BM~BC'

9

・AN2

二I，

2

77

•MN-，

2737

：.DN=AD-AN=4-履=的

27

27

••一Q7-；

DN—37

16

(3)解：■:MN〃BE,

：.ZBFC=ZCMN,

：.ZFBC+ZBCM=90°,

•：/BCM+/BMC=90°,

：.ZCBF=ZCMB,

tanZCBF=tanZCMB,

.CEBC

••BC~BM'

・34

**4—BM'

=学，

：.AM=28-8用=6-竽=

二

二

由

⑵得

BM-

]s2

3-

萼,

•4

一

：T一

8

或

旌

解

叫

OTO

：.DN=AD-AN=4-^=答，

8

.ANg2

…DN--7,

9

总结提升：本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，三角函数等知识，求出的长是解决（2）和（3）的关键.

类型八相似中的“一线三等角”模型

典例8（2022•扬州）如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,ZC=60°，点。在边上由点。向点8运

动（不与点5、。重合），过点。作OELA。，交射线A3于点2

（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；

①点E在线段AB的延长线上且BE=BD；

②点E在线段A3上且EB=ED.

(2)若AB=6.

①当7；；=时，求AE的长；

②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.

思路引领：(1)①由DE±AD,BE=BD,ZEAD^ZBDA,有AB=BD,即可得AE=2BE；

②由Nft4c=90°,NC=60°,EB=ED,可得/EDB=NB=30°,即得NEZ)B+/B=60°,

根据。E_LA£>,可得AE=2即，故AE=2E&

力F/DFN3

(2)①过D作DF1AB于F,证明由一=—,可得一=—，设DF=V3m,则AF

AD2AF2

=2m,在RtABDF中,BF=WDF=3m,而AB=6,可得m=:有AF=芋DF=誓,AD=y/AF2+DF2=

空’又笫=祭’即可得4£=日；

②作AE的中点G,连接。G,根据NAOE=90°,OG是斜边上的中线，得AE=2DG,即知当AE最小

时，OG最小，Jit时。G_LBC,可证AG=EG=BE,从而得线段AE长度的最小值为4.

解：（1）①AE=2BE,理由如下:

VDEXAD,

・•・ZAED+ZEAD=90°=ZADE=NBDE+NBDA,

•;BE=BD,

：.ZAED=/BDE,

；・NEAD=NBDA,

：.AB=BD.

:・BE=BD=AB,

；・AE=2BE；

②AE=2EB,理由如下:

如图:

E

D=

VZBAC=90°,ZC=60°,

・・・NB=30°,

■:EB=ED,

；・/EDB=NB=30°,

:・/AED=NEDB+NB=6U0,

DEVAD,

：.ZEDA=90°,ZEAD=30°,

：.AE=2ED,

：.AE=2EB；

(2)①过。作ORLAB于F，如图:

:.AAFD^AADE,

DEDF

4D1

DEAD-AF

2EV3-

2

-一

aD一

V3T

DF

-=

F

-I

没DF=贝！JA尸=2m,

在Rt/XBO/中，BF=V3DF=3m,

VAB=6,

/.BF+AF=6f即3m+2m=6,

,6

..m=引

12DF=^

：.AF=亏'

：.AD=>JAF2+DF2=警,

,ZAAFD^AADE,

126y/7

AFADVM

•pn_2———2—

^AD~AEf即也_AE1

：.AE=红

②作AE的中点G,连接0G,如图:

VZADE=90°，0G是斜边上的中线,

:.AE=2DG,DG=AG=EG,

当AE最小时，OG最小，此时。G_L5C,

VZB=30°，

：・BG=2DG,

:・AE=2DG=BG,

：.BE=AG,

:・AG=EG=BE,

9

・•・此时AE=*13=4,

答:线段AE长度的最小值为4,

法2：作AE的中点G,连接OG,过G作GH,3c于H,如图:

VZADE=90°，QG是斜边上的中线,

:・AE=2DG,DG=AG=EG,

设。G=AG=EG=加，贝i」BG=6-相，

11

：.GH=^BG=^(6-m),

r1

YGHWDG,即一(6-相)Wm,

2

・••加22,

・・・当加=2,即G”与0G重合时，AE取最小值，最小值为2m=4,

・・・答：线段AE长度的最小值为4.

法3：

过A做AGJ_3C于G,过E做EHLBC于H,如图：

VZADE=90°,

:.NEDH=90°-ZADG=ZDAG,

VZEHD=ZAGD=90°,

.AGDG

••—,

DHEH

:・AG・EH=DH・DG,

・・・NA4C=90°,ZC=60°,

：.ZB=30°,

1Ii

：.AG=^AB=3,EH=诞=(6-AE),

:・DH・DG=3EH,

AE1=AD2+DE1=AG2+DG1+DH\EH1=9+DG2+DH2+EH2,

•:DC^+Dlfi三2DH,DG,

：.AE29+2DH-DG-^EH2,BPAE2^9+6EH+EH2,

2

•••AFN(3+EH),

VAE>0,EH>3

：.AE^3+EH,

1

■:EH=^(6-A£),

i

：.AE^3+^（6-A£）,

"EX

答：线段AE长度的最小值为4.

总结提升：本题考查三角形综合应用，涉及相似三角形性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半，含30°的直角三角形三边关系等知识，解题的关键时作辅助线，构造直角三角形解决问题.

针对训练

1.（2022秋•虹口区期中）如图，在矩形A8CD中，AB=4,BC=5,尸是射线BC上的一个动点，作尸E_L

AP,PE交射线。C于点E,射线AE交射线BC于点F,设CF=y.

（1）当sinZAPB=*时，求CE的长；

（2）如图，当点尸在边BC上时（点尸与点8、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定

义域；

PE1

（3）当——=一时，求CF的长.

AP2

思路引领：（1）由矩形的性质和垂直的性质即可证明再由相似三角形对应边成比例即

可求得CE的长；

（2）根据EC//AB,求得△ECFS^ABF,得出FC：FB=EC：AB,再利用（1）中相似三角形的性质

即可证明CE：BP=PC：AB,从而求得y关于龙的函数关系式.

pcCEPE1

（3）根据△PCES^ABP,得出丁=-=—=求得PC=2,然后再份情况讨论，从而求得CF

ABBPAP2

的长.

解：（1）•••四边形ABC。是矩形，

.\ZB=90°,

在中，A3=4,sinZAPB=1

sinXAPB=第=

二•A尸=5,

PB=y]AP2—AB2=V52-42=3,

：.PC=BC-PB=5-3=2,

9：PELAP,

：.ZAPE=90°,

：.ZCPE+ZAPB=90°,

VZBAP+ZAPB=90°,

；・/CPE=NBAP,

•：NECP=/B=90°,

AAPCE^AABP,

CEPC

BP~AB"

CE2

即一二一,

34

解得:CE=g；

(2)•・,四边形ABC。是矩形,

：.CD//AB,

.,.△ECF^AABF,

CFCE

BF-AB"

yCE

即An---二

5+y4

解得：CE=5^^,

■:APCEsdABP,

CEPC

BP~AB"

Cfi15—%

即—=——

x4

解得：CE=^^-,

.4yx(5-x)

••—•,

5+y4

整理得：尸(<x<5).

95x4-160

即y关于x的函数关系式为尸%笠受(°«5).

(3)①当点尸在线段BC上时，E在线段CD上，

△PCEs^ABP,

PCCEPE1

AB~BP~AP~2

11

尸C=.A5=2,CE=^BP,

BP=BC-PC=5-2=3,

3

CEf

AB//CD,

△CEFs^BAF,

CFCE

BF~ABf

解得：CF=3；

②当P在8C的延长线上时，如图:

u：ZEPC+ZBPA=90°,ZBB4+ZBAP=90°,

:・/EPC=/BAP,

•；NB=/PCE,

：.AABPspcE,

ePCCEPE1

a，AB~BP~AP~2

11

：.PC=^AB=2,CE=¥P,

17

・•・BP=BC+PC=7,CE=^BP=M,

•；/AFB=/CFE,/B=/FCE,

：.△ABFs^ECF,

・ABBF

••=,

ECCF

.45-CF

••7—,

-CF

2

解得：CF=g；

7

综上所述，C尸的长为3或

3

总结提升：本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、

勾股定理以及分类讨论等知识.本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键，

属于中考常考题型.

第二部分专题提优训练

1.（2022♦如皋市一模）在矩形ABC。中，2ctan/A8D=2.如图，分别以点A,。为圆心，以4

和6为半径作弧，两弧交于点E,连接8E,则BE的最大值为（）

A.9B.2V5+3C.15D.2百+3

思路引领：作/E'££>=90°,且EE'=3,连接BE',DE',证明△ADE's△^。石'，求出8〃=

2V5,说明点8是在以E'为圆心，2代为半径的圆上运动，而点E在圆E'内，进而可以解决问题.

解：如图，作/E'ED=90°,且EE'=3,连接BE',DE',

E

：.tmZEDE'=

VtanZABD=2,

AD

/.—=2,

AB

AB1

AD~2

1

/.tanZA£)B=于

EErAB,

—,ZEDE'=ZADB.

DEAD

：.ZEDA=ZEfDB,

:•丛ADEs丛BDE',

.BEiBD

••—,

AEAD

.BEiV5

••=,

42

:.BE'=2V5,

.•.点8是在以E'为圆心，26为半径的圆上运动，而点E在圆E'内,

则BE的最大值为2V5+3.

故选：B.

总结提升：本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到

△ADEsABDE'.

2.（2022秋•定海区校级月考）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,点D在BC上，且。=2,

点P是线段AC上一个动点，以尸。为直径作OO,点。为直径尸。上方半圆的中点，连接A。，则A。

的最小值为（）

B

A.2V10B.2V2C.4D.4V2

思路引领：连接。。，CQ,过点A作ATLC。交CQ的延长线于T,根据圆周角定义知NAC0=45°,

确定点。的运动路径，从而解决问题.

解：如图，连接。。，CQ,过点A作A7UC。交CQ的延长线于T,

---PQ=DQ,

：.OQVPD,

：.ZQ0D=9Qa,

1

:./QCD="QOD=45°,

VZACB=90°,

ZACT=45°,

"：AT±CT,

：.ZATC=90°,

VAC=8,

，AT=AUsin45°=4近，

\'AQ^AT,

.•.A。的最小值为：4VL

故选：D.

总结提升：本题主要考查了圆周角定理，垂线段最短，三角函数等知识，根据圆周角定理确定点。的运

动路径是解题的关键.

3.（2021秋•宜兴市校级月考）如图，矩形A8CD中，AB=V3,AD=4,点E在边上，且AE：£0=1：

3.动点尸从点A出发，沿AB运动到点8停止.过点E作交射线8c于点F,联结PF.设M

是线段尸尸的中点，则在点尸运动的整个过程中，线段。M长的最小值是（）

A.V5B.V7C.2.5D.V3

思路引领：由四边形A8CO为矩形以及AE：£0=1：3得/A8E=30°