苏教版高二寒假作业：综合训练2

苏教版高二寒假作业7：综合训练2

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在等差数列｛%｝中，己知。8=6,%I=0,则％等于（）

A.18B.20C.22D.24

2.若双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为2x-y=0,则双曲线的离心率为（）

A.5或;B.5或gc.若或等D.4或当

3.已知数列｛%｝是等比数列，以下四个命题中正确命题的个数是（）

①｛4｝是等比数列；②｛%4+J是等比数列；

1、

③｛f一｝是等比数列；④｛Iglql｝是等比数列.

an

A.1B.2C.3D.4

22

4.已知双曲线C：土—匕=1的左焦点为耳，M为双曲线C右支上任意一点，点。的坐标为（3,1）,贝I]

45

眼研-M制的最大值为（）

A.3B.1C.-3D.-2

5.已知函数/（x）=alnx+x2,在区间（。,2）上任取两个不相等的实数百，马，若不等式

J、】"J'?/〉。恒成立,则实数〃的取值范围是（）

玉一九2

A.[—8,+oo）B.（―8,—8]C.[0,+oo）D.（^o,0]

6.曲线工+51=1与直线二+2=1的公共点的个数为（）

16943

A.3B.2C.1D.0

7.已知椭圆G与双曲线。2有共同的焦点耳，F],离心率分别为G，4点尸为椭圆G与双曲线。2在

第一象限的公共点，且/耳时=?.若e2G[省,+»），则q的取值范围为（）

8.设q=e应，6=2+0，c=ln(12+60),贝1()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数y=/(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.-1是函数于⑺的极小值点B.-4是函数/(尤)的极小值点

C.函数/(X)在区间(y>,T)上单调递减D.函数/(x)在区间(T,-1)上先增后减

10.已知直线/：+左一1=0和圆O：x2+y2=16,贝1]()

A.直线/恒过定点(—1,1)

B.若左=—1,则直线/被圆。截得的弦长为20

C.存在上使得直线/与直线x-2y+2=0垂直

D.直线/与圆。相交

11.己知函数/(刈=^一2月+》一6,其导函数为/'(x),下列命题中为真命题的是()

2

A./(x)的单调减区间是(§,2)

B./(元)的极小值是-6

c.过点(0,0)只能作一条直线与y=/(x)的图象相切

D."X)有且只有一个零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

22

12.设点尸是双曲线斗―与=l(a>0,b〉0)上的一点，K，居分别是双曲线的左、右焦点，已知

ab

3PB=90°,且I31=219I,则双曲线的离心率为.

13.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记知

为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列｛%｝的第"项，则。侬二.

I

11

I2.1

13/1

14/41

1516105I

14.已知函数/(幻=。/-^炉(4€7?),若函数/(x)有两个极值点不，X2且毛-3%，则实数。取值范围为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在等差数列｛%｝中，已知名=5,｛%｝的前6项和其=36.

(1)求数列｛七｝的通项a.；

(2)若,求数列｛2｝的前〃项和7；.

,2

在①々=-----,②么=(-1)"•%,③么=2。”.氏这三个中任选一个补充在第(2)问的横线上，并加以解

anan+l

答.

16.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，点4(2,4),直线/：y=2x—4,设圆C的半径为1,圆心在直线/上，圆心

也在直线y=》一1上.

⑴求圆c的方程；

(2)过点A作圆C的切线，求切线的方程.

17.(本小题15分)

X—n

已知函数/(x)=---------Inx(aGR)

x

(1)讨论/(x)的单调区间；

⑵求了(%)在：,e上的最大值g(q).

18.(本小题17分)

22

已知椭圆C:=+工=1(。>6>0)的左、右焦点分别为F],F,,椭圆与X轴正半轴的交点为A,与y

ab

轴正半轴的交点为8,M在C上，双耳垂直于无轴，O为坐标原点，且1GAi=2+2&.

⑴求椭圆C的标准方程.

(2)过F2的直线/与椭圆C交于P,Q两点，当直线/的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T,使

得NOTP=NOTQ.若存在，求出T点的坐标;若不存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

已知函数/(x)=flln(x+l)+^x2-x(a为非零常数)

(1)若/(》)在x=1处的切线经过点(2,In2),求实数。的值;

(2)y=F(x)有两个极值点石,”.

①求实数a的取值范围；

②若占<々，证明：2f(x2)-x1>0

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了等差数列的通项公式，解答本题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式.

根据题意，求出数列的公差d,从而根据为=«i+7d，即可得到q的值.

【解答】

解：an=%+(n—8)d,即o=6+3d,

d——2.a==%+(n—V)d,

:%+7d,即6=a1+7x(-2),ax-20.

故选B.

2.【答案】D

【解析】【分析】

先根据双曲线的渐近线求得。和b的关系，进而根据°=行万，求得。和人的关系，代入离心率公

式，答案可得.

本题考查双曲线的离心率的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和分类讨论.

【解答】

解：①当双曲线的焦点在x轴上时，

由渐近线方程2x—y=。，可令a=k,b=2k(k>0),

则c=出k>e=6；

②当双曲线的焦点在y轴上时，

由渐近线方程2x—y=。，可令a=2k,b=k*>0),则0=瓜，e=—；

2

故选：D.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了等比数列的判断，属于基础题.

由已知结合等比数列的定义分别检验各选项即可判断.

【解答】

解：由题意得，7-=4,4#。，

«n-i

2

①学=(上-)2=/,故｛/｝是等比数列;

an-l

②如丑=%±=q2,故但刈｝是等比数歹人

4%%-

1

aa.1,1、

③3=q=一,故｛一｝是等比数列；

J_4q4

an-i

④当lg|%|=0时，显然不符合等比数列.

故选：C.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查双曲线性质，属基础题.

\MD\-\MFX|=|MD|-(IMF?\+2a)=(|MD|—|MF21)—2④|DF2\-2a,计算可求得结果.

【解答】

22

解：双曲线C:?—3=1的实半轴长为。=2,右焦点为6(3,0)，

所以|MD|—|其4|=|MD|—(|MF]\+2a)=(\MD\-\MF2\)-2a,,\DF2\-2a

=7(3-3)2+(l-0)2—4=—3，

当且仅当M,F],。三点共线时取等号.

故选C.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，属于中档题.

问题转化为/(x)=f+2x..O在(0,2)上恒成立，即在(0,2)内恒成立，即可得解.

【解答】

解：不妨设玉＞%2,则J~~八二＞。等价于/（%）＞/（%2），

玉~X2

即f（x）在（0,2）上单调递增，也即八尤）=£+2x..0在（0,2）上恒成立.

即a...-2x2在（0,2）内恒成立，

因为xe（0,2）,贝！|-2/e（-8,0）,a..O,即ae[0,+oo）.

故选：C.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、双曲线的渐近线等知识，属于中档题.

22

对y..O,y＜。讨论曲线的形状，可得椭圆土+匕=1的上半部分（含与无轴的交点）与直线二+二=1

16943

的公共点即为所求.

【解答】

2II22

解：当九。时，曲线工+以2=1的方程为土+匕=1,表示椭圆的上半部分（含与X轴的交点），

169169

2II22

当y＜0时，曲线上+2121=1的方程为±—2L=i,表示双曲线在无轴下方的部分，

169169

其一条渐近线方程为：-+2-0,

43

二.曲线三+也d=i与直线二+2=i的公共点，

16943

22

即为椭圆土+匕=1的上半部分（含与X轴的交点）与直线二+2=1的公共点，

16943

且公共点为（4,0）和（0,3）,

二.曲线三+Hzl=1与直线二+2=1的公共点的个数为2.

16943

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和离心率，涉及余弦定理等知识，属于中档题.

13,

由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2a,双曲线实轴长为2加，由定义及余弦定理得，—+—=4,由

e\e2

Lc14

e2e[v3,+oo),解得3,,「＜4,求出q的取值范围.

e\

【解答】

解：由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2e双曲线实轴长为2处

尸在双曲线的右支上，

由双曲线的定义|尸周一「周=2加，

由椭圆定义|PK|+|P段=2。，

可得|PF1\=m+a,|PF2\=a—m,

又/片时=!\由余弦定理得，|尸片「+1尸周2T尸国,归国=4/,

可得(m+a)~+(a—my—(m+a)•(a—=4c2,

a23m213,13

得“2+3m2=402,即g+号=4,可得一r+「=4,即r=44--

c2c2始e；G%

又e2e[后,+co)时，可得3”4一金＜4,即3“二＜4,亦即;＜始,，：，

4G43

彳”/6

待二＜Cp，---

23

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了利用导数比较大小，属于中档题.

构造函数/(x)=/-1,利用导数研究函数的单调性比较。与b的大小；构造函数

g(x)^x-lnx-ln6,利用导数研究函数的单调性比较6与c的大小.

【解答】

X2

解：设/(x)=/—/―x—l(xeR),所以r(x)=/—x—1,

利用基本结论e\.x+l,所以/(x)在R上单调递增,

又因为/(0)=。，所以/(&)=e0—2-夜>0，

所以e0〉2+J5，所以。>>；

设g(x)=x-lnx-ln6,gr(x)=,

X

当0<x<l时，g'O)<0,g(x)单调递减；

当x>l时，g'(x)>0,g")单调递增.

因为g(3)=3-ln3-ln6=3-Inl8=lne3-Inl8>ln2.73-lnl8>0,

所以g(2+四)〉g(3)〉0,即有2+0—ln(2+应)—ln6〉0,2+0〉ln(12+60),

所以b>c,

故选C.

9.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查导函数图象与原函数图象的关系、利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数求已知函数

的极值或极值点(不含参)，属于中档题.

根据导函数值符号正负与函数单调性的关系求出函数的单调区间，进而求出函数的极值点，由此判断各

选项即可得到答案.

【解答】

解：对于A,因为广(-1)=0,当-4<x<—1和x>—1时，f'(x)>0,所以-1不是函数/(元)的极值

点，故A错误；

对于8,因为/'(Y)=。，当x<-4时，m<0,当x>-4时，/V)..O,所以T是函数/(x)的极

小值点，故8正确；

对于C,因为当x<T时，/。)<。，所以函数在区间(f,Y)上单调递减，故C正确；

对于。，因为当T<x<—1,/'。)>。，所以函数/(无)在区间(—4,—1)上单调递增，故。错误.

故选：BC.

10.【答案】CD

【解析】【分析】

本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆位置关系，考查利用垂径定理求弦长，是中档题.

利用直线系方程求得直线/所过定点判断A；由垂径定理求弦长判断3;举例说明C正确;由直线所过定点

在圆内部判断D

【解答】

解：直线/：依一y+"l=O,即依x+D—(y+l)=O,则直线恒过定点(T—1),故A错误；

当上=—1时，直线/化为—％—y—2=0,即％+y+2=0,

圆心。到直线/的距离d=*=形，直线/被圆。截得的弦长为2而二=2g，故B错误.

当左=—2时，直线/：—2x—y—3=0与直线：x—2y+2=0垂直，故C正确；

「定点(―L—1)在圆0：必+/=16内部，，直线/与圆。相交，故O正确；

故选：CD.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题以及不等式恒成立问题，属于拔高题.

由/(幻=三一2Y+x—6,直接求导，分别求出函数的极大值和极小值，知A错误，8。正确；由

a>2,x>2且xwa,令=/-片+3,求出导数，研究其单调性可以分析出C正确.

【解答】

解：/(x)=x3-2x2+x-6,其导函数为了'(%)=3%2-4%+1.

令f'(%)=0,解得％=g，x=1，

当/'(x)>0时，即x<g,或x>l时，函数/(%)单调递增，

当/'(x)<0时，即g<x<l时，函数/(%)单调递减，故A错误；

当％=1时，函数有极小值，极小值为/(D=-6,故8正确；

过点(。,0)作直线与y=/(x)的图象相切，设切点为(a,b),

k—36—4〃+1

b

则代=—,整理为_〃2+3=0，

a

b=a?-2a2+CL—6

令g(“)=Q3_Q2+3,贝|Jg〈Q)=3〃2_2Q,

则g(a)在(-8,0),。+=°］上为增函数，在［o,1J上为减函数，

又•§［■!)=：-2+3>0,贝I方程口3_口2+3=0只有一个角轧

故C正确；

因为/(')=工—2+'-6<0,所以Ax)有且只有一个零点.故。正确.

32793

故选BCD.

12.【答案】75

【解析】【分析】

设|「鸟|=加，可得|3|=2根，运用勾股定理和双曲线的定义，可得°,。的关系，由离心率公式可得

所求值.

本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题.

【解答】

解：在直角三角形尸百鸟中，

设|尸鸟|=加，可得|期|=2加，

则由勾股定理得4m2+〃/=402,所以加=乂C,

5

c=C=C=后

而由双曲线定义知，2m—m=2a,即zn=2a,可得a小

——c

5

故答案为：下.

13.【答案】5050

【解析】【分析】

本题考查数列的递推公式，等差数列前〃项和公式，属基础题.

【解答】

解：因为数列｛q｝的递推公式为q+i—%=〃+1,q=l,

所以(囚。。一々99)+(a99—“98)++(出一％)=1。。+99++2,

所以^oo~a\=100+99++2,

故@00=100+99++2+1=10°义；0°+1)=5050.

14.【答案】(0,无吧］

6

【解析】【分析】

本题考查利用导数研究函数单调性、极值问题以及函数零点问题，属于较难题.

-V

若函数7(4)有两个极值点，则相当于/'")=m'-尤=0有2个解，则等价于。==有2个解，然后利

e

用导数结合函数单调性再利用数形结合求出答案.

【解答】解：若函数/(%)有两个极值点百八

X

则相当于/'(盼有两个变号零点，〃x)=a/-x=0有2个解，等价于。=不有2个解，

e

令g(x)=贝得至U%,1,

1—Y

8(x)=一。得到X..1,

所以g(力在xe(-00,1)上单调递增，

g(x)在xe(l,+co)上单调递减,

当x-TO时，g(x)f-«);当工=1时，有g(x)1mx=J;当龙f+oo时，g(x)-O,

且x<0时，g(x)<0,x>0时，g(x)>0,

若。=g(尤)有2个解，则°的取值范围时0<a〈!，

e

又因为a=g(x)的2个解为％,x2,

X

函数g(x)=F的图像如下图所示

15.【答案】解：⑴由题意，等差数列｛%｝中%=5且&=36,

%+2d=5

可得解得d=2,4=1,

6%+15d=36

所以q=1+(〃一l)x2=2〃一1.

11

(2)选条件①:

(2n-l)(2n+l)2n—l2n+l

11

=1———

2n-l2n+l2n+l

选条件②：由—可得么=(一1)"(2n-l),

n

当”为偶数时，北=(-1+3)+(-5+7)++[-(2/：-3)+(2n-l)]=2x-=,I;

当〃为奇数时，1为偶数，

7；,=(77-1)-(2«-1)=-«,

故7,=(T)0"，

选条件③：由4=2〃—1,可得包=2"”q=(2"-l)・22"T,

所以7；=1x2+3x23+5x2,++(2zz-l)x22"-1,

47；=1X23+3X25+5X27++(2n-3)x22"-1+(2n-l)x22n+1,

两式相减，可得：-37；,=1X21+2(23+25++22"-1)-(2n-1)X22n+1

8(1-227)

2+2--^----------L-(2/7-1)X22,,+1>

1-4

所以7；=£+笠2-22用

【解析】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，裂项相消法、错位相减法、分组求和

法的运用，属于中档题.

(1)由｛%｝中为=5且Se=36,列出方程组，求得的值，即可求解；

(2)选条件①得到6“=二二-二二，结合裂项法，即可求解；

选条件②：由。“=2〃-1,可得么=(-1)"(2n-l),结合分组求和法，即可求解；

选条件③：由。“=2〃-1,可得勿=2"q=(2〃-1)""上结合乘公比错位相减法，即可求解.

16.【答案】解：⑴由题设知，点C(a,2a—4),又C也在直线y=x—1上，

：.2a-4=a-l,二。=3,••.圆C的方程为(无一3)2+(y-2)2=l

(2)当直线垂直于x轴时，与圆C相切，此时直线方程为x=2

当直线与x轴不垂直时，设过A点的切线方程为y—4=伙％—2),

\3k-2-2k+4\,3

即版一y—2左+4=0,则-----尸一=1,解得左=――,

A/1+K4

此时切线方程为3x+4y-22=0,

综上所述，所求切线为x=2或3x+4y—22=0

【解析】本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

(1)设出C(q,2a—4),通过C也在直线y=x—1上，求解°,推出圆的方程.

(2)当直线垂直于x轴时，与圆C相切，此时直线方程为x=2.当直线与x轴不垂直时，设过A点的切线

方程为V-4=左(％-2),利用圆心到直线的距离等于半径，求解切线方程.

17.【答案】解：⑴定义域(0,+⑹，(")=亨，

①④0,/，(%)<0,/(%)的单调递减区间为(0,+s)；

@a>0,令/'(x)>0,解得x<。，所以/(%)单调递增区间为(0,。)，

令/。)<0,解得X>。，所以，/(%)的单调递减区间为(。,+8)单减；

⑵由⑴知：①,时，/(%)在-,e单减，〃"皿*=/口］=2-.；

②a.e时，/(%)在4,e单增，/⑺侬=/,)=—/；

③1<a<e时,/(%)在~,a单增，(a,e］单减,f(x)nm=f(a)=-kia,

oe

综合g(〃)=\-lna,一<a<e.

2—ea,a,,一

【解析】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调区间的求法，利用导数求解函数的最大值的方

法，考查转化思想，分类讨论思想的应用.

⑴求出函数的导数，讨论④0、〃>0时导函数的正负，即可求函数/(%)的单调区间；

⑵通过心工，a..e,，<a<e判断导函数的单调性，然后求“幻在xe[±e]上的最大值.

eee

b2

18.【答案】解：⑴由题意可知点M的坐标为(-c,幺)，

a

2b

因为所以左卅。=左的，即A一幺得b=c.

aca

因为优=。2+02,所以a=缶.

因为1KAi=2+2及=a+c,所以a=20，b=2,

22

故椭圆C的标准方程为—+^-=1.

84

(2)假设X轴上存在点ra,0),使得Z.OTP=NOTQ,则kTP+kTQ=0.

设直线/的方程为x=〃少+2(〃zw。)，「(石，％),Q(x2,y2),

x=my+2,

联立方程组《x2y2消去尤整理得("A+2)y2+47町;—4=0,

——+—=1,

I84

4m4

则%+%=_-^—7'%%=-T—T

m+2m+2

XI%21___+____2〃少1%+(2-。(必+%)

、kTp+'~kTQ