苏教版高一暑假作业：高一综合（四）

苏教版高一暑假作业12：高一综合（4）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（2024•浙江省台州市・单元测试）已知向量五=（2,m）,b=（-1,2）,若刃/床则同=（）

A.2<5B.20C.-4D.石

2.（2024湖北省武汉市.期末考试）已知扇形的面积为5,周长为9,则该扇形的圆心角为（）

585854

-B-C-或---

A.252525

3.（2024•江西省九江市.阶段测试）设a,06（0,力，sina=g,sin0=罂，则a+£的大小是（）

33131

BC或

兀

兀

--兀---

44444

4.（2024•河北省唐山市•月考试卷）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知6=4,c=

2,C=60。则此三角形的解的情况是（）

A.有一解B.有两解

C.无解D.有解但解的个数不确定

5.（2024・湖南省・单元测试）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中

的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则给出下列结论：

SI图2

①嬴•丽=-苧；@OB+OH=-72OE；③而在丽向量上的投影向量的模为苧.

其中正确结论的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

6.（2023・广东省・单元测试）奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、

红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲I.在手工课上，老师将这5个环发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学

制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”（）

QpO

A,是对立事件B.互斥且对立C.互斥但不对立D,不是互斥事件

7.（2024.重庆市市辖区.月考试卷）已知某19个数据的平均数为5,方差为2,现加入一个数5,此时这20个

数据的平均数为礼方差为s2,则（）

A.x=5,s2=2B,x=5,s2>2C.x=5,s2<2D.x>5,s2<2

8.（2024.全国・专项测试）托勒密是古希腊天文学家、地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指

出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积,如图四边形4BCD为圆。的内接凸四边

形，BD=6,BC=2AB,且△ACD为等边三角形，则圆。的直径为（）

A,.—<3CB.<21cC.—2/21nD.—4^G―

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2024.陕西省西安市•月考试卷）设meR,i是虚数单位，复数z=（m+2）+（m-2）i,则下列说法正确

的是（）

A.若z为实数，则m=2

B.若z为纯虚数，则m=-2

C.当m=1时，在复平面内z对应的点为Z（3,l）

D.|z|的最小值为

10.（2024•云南省昆明市•月考试卷）已知Z,爪是平面a外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若m//a,贝”〃mB.若11a,m//a,贝!R1m

C.若1_La,I1m,则m〃aD.若11m//a,则/1a

11.（2024•河北省石家庄市・期末考试）下列选项中，与sin（-号兀）的值相等的是（）

O

A.2cos2150—1B.cosl80cos420—sinl80sin420

C.2sinl50sin750Dtan300+tanl50

1—tan300tanl5°

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2022•江西省萍乡市•联考题）已知角。（苫<9<0）的终边上有一点叭1,-3/7）,贝Ucosg=

13.（2022.江西省萍乡市•联考题）如图所示，扇形B4c中，ABAC咨，点M在京上运动（包括端点B,C）,

且满足前=mAB+nAC，则爪+几的最大值是.

14.（2024.山东省烟台市・期末测试）已知一个高为门的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2质的等

边三角形，则三棱锥的表面积为,若三棱锥内有一个体积为了的球，贝加的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（2024•江苏省苏州市・单元测试）（本小题13分）

已知sin2a=|,a6（苧,竽）.

（1）求cosa的值：

（2）求tanG-仇）的值.

4

16.（2024•陕西省・单元测试）（本小题15分）

如图，已知在AOCB中，4是CB的中点，D是线段0B的靠近点B的三等分点，DC和。4交于点E,设成=

a,OB=b.

（1）用2和石表示向量能，比.

（2）若凉=4位，求实数2的值.

17.（2024•山西省临汾市•期中考试）（本小题15分）

如图，圆柱。1。2的底面半径为1,侧面积为2兀，AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的一条直径，且点力在

下底面的投影点4平分圆弧CD.

(1)若圆柱上下底面的圆周均在球。的表面上，求球。的表面积;

⑵求四面体ABCD的体积.

18.(2023•江西省宜春市•期中考试)(本小题17分)

我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次化学竞赛，从参加竞

赛的同学中，选取50名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组［40,50),第2组［50,60),第3

组［60,70),第4组［70,80),第5组［80,90),第6组［90,100］,得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中

的信息，回答下列问题：

(1)求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；

(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5

组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.

19.(2023•河南省・模拟题)(本小题17分)

如图，四边形4BCD是平行四边形，平面4ED1平面ABC。，EF//AB,4B=2,DE=3,BC=EF=1,

AE=<6,4BAD=60°,G为BC的中点.

(1)求证：FG〃平面BED；

(2)求证：平面BED1平面4ED；

(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查向量平行(共线)关系的坐标表示，向量模的坐标表示，属于基础题.

先根据向量的平行求得小的值，再求模即可.

【解答】

解:因为孙/比

故2x2=-1Xm,

解得m=-4,

■■lai=J22+(-4)2=2/5.

故选：A.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

设出扇形的半径，扇形的弧长，利用扇形的周长公式，面积公式求出半径，然后利用弧长公式求出该扇

形的圆心角.

【解答】

解：设扇形的半径为R,扇形的弧长为3

所以2R+L=9,扛R=5,

联立可得：2R2—9R+10=0,

解得：R=:或2

则L=4或5

可得该扇形的圆心角为=［或5=I.

KoKL.

故答案选：C.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查两角和与差的三角函数公式及同角三角函数的基本关系，属于基础题.

由同角三角函数的基本关系分别求得cosa,cos0,再由两角和与差的三角函数公式求cos(a+0),结合

a+0的范围即可求得结果.

【解答】解：因为a,Be(0,1)，且sina=得，sinR=

所以cosa=A/1—sin2a=cos0=1—sin2/?=

所以cos(a+/?)=cosacosfi—sinasin^

2…/5一3/10-/一5V，T…O/2

-----X-----------X—=—

5105102

又a,S均为锐角,

所以a+SE(0,TT),

所以a+S=[.

故选C.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数，属于基础题.

根据正弦定理求解出sinB的值，根据sin86(0,1],解出B角，可判断出选项.

【解答】

解：由正弦定理可得，'即工

sinBsinCsinBsin60

解得sinB=/3>1,

由sinBe(0,1]可知，无解.

故选：C.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题以数学文化为背景，考查向量数量积的定义、投影向量的模，考查运算求解能力，属于中档题.

求解过程中要充分利用图形信息，结合向量的有关概念及运算逐项求解判断即可.

【解答】

解：对①，瓦?，函的夹角为135。，

所以祝彷=|西|彷|cos135。=一苧，故①正确；

对②，(OB+OH)2=OB2+OH2+2OB-OH=2,

所以|南+而|=/1,|一匠|=/1,

利用向量的加法法则，由图可发现丽+丽的方向与度症方向相反，

所以4+而=一，24，故②正确；

对③，设与荏同向的单位向量为落由京，前的夹角为135。，

则而在通向量上的投影向量为|而|cos1350-e,

因为|而|不1,所以投影向量的模||而|cos135。|=争而|故③错误.

故选8.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了互斥事件和对立事件，是基础题.

对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立

事件的概念得答案.

【解答】

解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；

又甲、乙可能都得不到红色，

即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.

事件"甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件.

故选C.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题.

由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解.

【解答】

解：•••某19个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5,

此时这9个数的平均数为元，方差为s2,

219X2+(5-5)219,'

s=―初—=而＜2，

故选C.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查托勒密定理和正余弦定理的应用，属中档题.

利用托勒密定理知，AB-a+BC-a^BD-a,求出4B,BC,然后余弦定理求出"，再利用正弦定理求

解即可得.

【解答】

解：设4D=DC——AC=a,

由托勒密定理知，AB-a+BC-a=BD-a,

所以AB+BC=BD=6.又BC=2AB,

所以34B=6,

故A3=2,BC=4,

又因为=^ACD=pZCBD=^CAD=?

故/ABC=y,

所以AC=J22+42-2x2x4xCOS|TT=>^28=2«,

所以圆。的直径2R=—%=等=华

s\nz.ABCV33

2

故选D

9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数模的求法，是基础题.

【解答】

解：若z为实数，则虚部为0,即爪=2,故A正确；

若z为纯虚数，则实部为0,虚部不为0,即爪=-2,故8正确；

当根=1时，z=3-i,则在复平面内z对应的点为Z(3,—1),故C错误；

|z|=J(m+2)+(m-2)=72m2+822，2(当且仅当n?=0时取等号),故£>正确.

10.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能

力，属于基础题.

由平行于同一平面的两直线的位置关系判断4由直线与平面的位置关系分析两直线的位置关系判断

BCD.

【解答】

解:若〃/a,m//a,贝〃〃巾或/与rn相交或/与rn异面，故A错误；

若I1a,则2垂直平行于a的所有直线，而zn〃a,则/1m,故B正确；

若E1a,11且mCa,则m〃a,故C正确；

^rl1m,mlla,且已知/Ca,贝〃〃a或1与a相交，故£)错误.

故选：BC.

11.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题.

先计算已知正弦值，再逐一计算选项，判断是否相等即可.

【解答】

解：首先sin(-U?r)=sin，=:，下面计算选项：

6o2

Z选项中，2cos215。—1=cos30。=苧，不相等；

1

8选项中，cosl80cos420—sinl80sin420=cos(180+42°)=cos600=相等;

-1

C选项中，2sinl50sin750=2sinl50cosl50=sin300=相等；

。选项中’器;常％>。=tan45。=1，不相等；

故选：BC.

12.【答案】I

【解析】【分析】

本题考查三角函数的定义，属于基础题.

【解答】

解：由题意可得COS。=1又COS®=2cos2?11,

|0M|J心+㈠⑺282

所以cos21=cos'+l=1而一^<0<0,所以一曰<与<0,所以cos5=岛=；.

221624ZZ\164

13.【答案】平

【解析】【分析】

本题考查平面向量基本定理及其应用，属于中档题.

【解答】

解：当点M与点B或C重合时，易得小+几=1,当点M与点B,C都不重合时，分别作MD〃4C,ME/

/AB,如图所示，设NM4C=e(0<8<9,设扇形的半径为r,贝〜。=婴$皿。▽，AE=

。333

2i/jsin0

人：川三俏痂,2/3r._,..Tt0、]273.,

8)",所以利;J___.J](T'改m+n=[sin。+sin(--9)]=sin(0+

AS3

》当。=，时，m+n取得最大值婴，综上，m+n的最大值是第.

33

14.【答案】973；穿

【解析】【分析】

本题考查三棱锥的表面积及其内切球的体积.考查空间思维能力.

根据题意，先求侧面斜高，即可得表面积，再确定出满足条件的球为该三棱锥的内切球，对应的等量关

系式为一个大三棱锥的体积等于若干个小三棱锥的体积和，从而建立其内切球半径所满足的条件.

【解答】

解：该三棱锥侧面的斜高为J(3*()2+(6)2=2,

贝US硼=3xgx20x2=643,

S底=3x2<3X3=30,

所以三棱锥的表面积S表=+3，5=9，2

由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大.

设三棱锥的内切球的半径为r,

则三棱锥的体积嗫=拈表-T=三S底

所以r=苧，

所以三棱锥的内切球的体积最大为&ax=［兀丁3=噜.

4<3TT

故答案为90;

27

15.【答案】解：(l)s出2a=2要c*=卫"+=|,戊6自，韵，

sin'a+cos2a1+tan%5'42，

1y/~2

•••tana=3或tana=-(舍去)，cosa6(———,0).

由陋=3,可得匕孕=9,

cosacosza

解得cosa=一答.

(2)tana=3,

,7i、1—tana1—31

••.tanQ—的二^^二言二一亍

【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的正切公式，三角函数在各

个象限中的符号，属于基础题.

(1)由题意，利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，先求得tana的值，结合a的范围求得cosa的

值.

(2)由题意，利用两角和与差的正切公式，求得结果.

16.【答案】解：(1~)---OC=0B+BC=0B+2BA=0B+2(OA-OB)=2OA-OB,

已知TTA=a,TIB=b,

OC=2a—b,

・・・DC=OC-OD=OC-^OB,

•.DC=2a-b-1b=2a-1K.

(2)设砺=〃比(〃>0),

OE=OD+DE—OD+[iDC=OD+〃(0C—。。)=(1—/z)OD+〃OC,

-OD=^0B=^btOC=2a-b,

OE=2林a+(———〃)b.

又人=46？=4落且乙3不共线.

所以由平面向量基本定理知：4=24且：一学=0,

4

•••A=-.

【解析】本题考查的知识要点：向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的加法和减法运算，主要考

查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

(1)直接利用向量的线性运算的应用和加减法的应用求出结果.

(2)直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件的应用求出结果.

17.【答案】解：(1)设圆柱的高为九，由圆柱。1。2的侧面积为2兀，底面圆半径丁=1,得2nr•h=27T,解

得h=1,

设球。的半径为R,由对称性知，球心。为线段。1。2的中点，

则R2=厂2+。?

44

所以球。的表面积为4兀旌=5兀.

(2)连接QCOR

则四面体力BCD的体积等于四面体4-。也。和B-。也。的体积之和，

由CD为圆柱下底面圆的直径，得平面。1CD截圆柱所得的截面是圆柱的轴截面,

又2B为圆柱上底面圆的直径，且点4在下底面的投影点4平分圆弧CD,

因此点4B到平面O]CD的距离相等，均为1,

111

则四面体力-OiCD的体积N=ix1x2xlxl=i,

所以四面体ABCD的体积为|.

【解析】本题考查圆柱的侧面积和表面积，球的切、接问题，属于中档题.

(1)由圆柱的侧面积求出圆柱的高，再利用球面的性质求出圆柱外接球半径即可得解.

(2)连接。iC,01。，将四面体4BCD的体积转化为两个三棱锥体积和求解.

18.【答案】解：(1)第五组数据频率为

1-(0.010+0.026+0.020+0.030+0.006)x10=0.08,

•••对应纵轴数值为0.008,补全这个频率分布直方图如下：

本次考试成绩的平均数为45X0.1+55x0.26+65x0.20+75X0.30+85X0.08+95x0.06=66.8；

(2)第65百分位数是70+若产x10=73；

(3)第五组与第六组学生总人数为0.14x50=7,

其中第五组有4人记为a、b、c、d,第六组有3人记为4、B、C,

从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、be、bd、bA、b