2024-2025学年广东省湛江市高二下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省湛江市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写，对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误；对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误；对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；故选：B.2.已知数列为等比数列，其中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据，a，可得：，；解得，故.故选：B.3.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率,则（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，在时的瞬时变化率为，所以．故选：C4.若数列满足，则，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】，，，，故为周期数列，一个周期为4，故.故选：D5.从1，2，5，7中任取3个数字，从4，6，9中任取2个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为（）A.720 B.1200 C.1440 D.1728【答案】C【解析】从1，2，5，7中任取3个数字有种方法，从4，6，9中任取2个数字有种方法，再把取出的5个数全排列共有，故一共可以组成1440个没有重复数字的五位数．故选：C．6.已知函数在处取得极大值，则（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因为，由题意，所以或，经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.故选：A.7.某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A.15种 B.28种 C.31种 D.63种【答案】C【解析】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件的去法有种；故该宿舍同学的去法共有种．故选：C．8.函数在上的零点和极值点个数之和为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在区间有5个零点，，令，解得或，又，所以在区间上有2个解，设为，且，在区间上有2个解，设为，且，当时，，，故在上单调递减，当时，，故在单调递增，故在[0，上有4个变号零点，即在上有4个极值点，所以在上的零点和极值点个数之和为9.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（）A.若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序C.若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式D.若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式【答案】BD【解析】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，故共有种观看顺序，故B正确；若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，故分组方式为，故C错误；若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，所以共有31种分组方式，故D正确.故选：BD.10.设函数，直线与曲线相切于点,则（）A.对于给定的，任意的恒过定点 B.对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点C.与的交点的横坐标存在最小值 D.与的交点的纵坐标存在最大值【答案】ABD【解析】对于A，，因此切线方程为，也即，恒过定点），故A正确；对于B，由A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；对于CD，根据定义域知，设，下面研究值域，因为，当单调递增，当单调递减，所以存在极大值（也就是最大值），且当，所以的值域为，也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确，C错误．故选：ABD．11.已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（）A. B.C.和均为等比数列 D.【答案】AC【解析】对于A，令可得，令可得，故A正确；对于B，因为，所以，所以．故，故B错误；对于C，由题意可得，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，①，同理可得，所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；对于D，①－②得．所以，故D错误.故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____.【答案】11【解析】由等差数列的定义可得，则，所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.故答案为：11.13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有_______种（用数字表示）.【答案】12【解析】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案；（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案.综上：共有12种分配方案.故答案为：1214.已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为_________．【答案】【解析】，因为在上，且，可知与在处的切线平行或重合，又因为，即，解得，故在处的切线方程为，分别整理得切线方程为，直线为0，由平行直线间距离公式知，两直线间距离为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．（1）共有多少种不同的情况；（2）求甲做工作的概率．解：（1）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作，故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，共有种情况．（2）甲做工作的情况有2种：①甲只做工作，共有种情况；②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，所以甲做工作的情况有种，故所求概率为．16.已知为数列的前n项和，，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值.解：（1）当时，，因为，两式相减，可得，所以，可得，又因为，，…，，累乘得，所以.（2）由（1）知，可得，所以，所以，解得，故的最小值为24.17.已知函数．（1）当时，求在上的最值；（2）求的单调区间．解：（1）当时，，则，则在上单调递减，所以，无最小值．（2），（i）若，则，所以在单调递减；（ii）若，则由得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间．当时，的单调减区间为，单调增区间为．18.已知函数，点均为曲线图象上的点，且,，.（1）当时，证明：是等比数列；（2）求的取值范围；（3）证明：直线的斜率随的增大而增大.解：（1）由，得，又，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由，得，则，因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，，由，，得，.等价于对于任意成立，即，即，即，解得，由点均为图象上的点，且，得，所以的取值范围是.（3）直线的斜率.任取，设函数，求导得令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，，，函数在和上都单调递增，而数列单调递增，取，而，则，取，而，则，所以，即直线的斜率随单调递增．19.设函数．（1）时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有两个极值点且，证明：．解：（1）的定义域为．所以，，因此曲线在点处的切线方程为，取得．（2）．（i）时，在单调递增．（ii）时，令，则，，．则单调递增．单调递减．综上所得，当时，上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得.等价于．其中．因此待证式等价于，两侧同时加，得，即证，等价于，由且得，记，则，记，则，所以单调递减，所以，则，所以单调递减，所以，证毕．广东省湛江市2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写，对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误；对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误；对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；故选：B.2.已知数列为等比数列，其中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据，a，可得：，；解得，故.故选：B.3.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率,则（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，在时的瞬时变化率为，所以．故选：C4.若数列满足，则，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】，，，，故为周期数列，一个周期为4，故.故选：D5.从1，2，5，7中任取3个数字，从4，6，9中任取2个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为（）A.720 B.1200 C.1440 D.1728【答案】C【解析】从1，2，5，7中任取3个数字有种方法，从4，6，9中任取2个数字有种方法，再把取出的5个数全排列共有，故一共可以组成1440个没有重复数字的五位数．故选：C．6.已知函数在处取得极大值，则（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因为，由题意，所以或，经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.故选：A.7.某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A.15种 B.28种 C.31种 D.63种【答案】C【解析】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件的去法有种；故该宿舍同学的去法共有种．故选：C．8.函数在上的零点和极值点个数之和为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在区间有5个零点，，令，解得或，又，所以在区间上有2个解，设为，且，在区间上有2个解，设为，且，当时，，，故在上单调递减，当时，，故在单调递增，故在[0，上有4个变号零点，即在上有4个极值点，所以在上的零点和极值点个数之和为9.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（）A.若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序C.若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式D.若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式【答案】BD【解析】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，故共有种观看顺序，故B正确；若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，故分组方式为，故C错误；若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，按1和5，有种分组方式；按2和4，有种分组方式；按3和3，有种分组方式，所以共有31种分组方式，故D正确.故选：BD.10.设函数，直线与曲线相切于点,则（）A.对于给定的，任意的恒过定点 B.对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点C.与的交点的横坐标存在最小值 D.与的交点的纵坐标存在最大值【答案】ABD【解析】对于A，，因此切线方程为，也即，恒过定点），故A正确；对于B，由A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；对于CD，根据定义域知，设，下面研究值域，因为，当单调递增，当单调递减，所以存在极大值（也就是最大值），且当，所以的值域为，也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确，C错误．故选：ABD．11.已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（）A. B.C.和均为等比数列 D.【答案】AC【解析】对于A，令可得，令可得，故A正确；对于B，因为，所以，所以．故，故B错误；对于C，由题意可得，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，①，同理可得，所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；对于D，①－②得．所以，故D错误.故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____.【答案】11【解析】由等差数列的定义可得，则，所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.故答案为：11.13.在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有_______种（用数字表示）.【答案】12【解析】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案；（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案.综上：共有12种分配方案.故答案为：1214.已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为_________．【答案】【解析】，因为在上，且，可知与在处的切线平行或重合，又因为，即，解得，故在处的切线方程为，分别整理得切线方程为，直线为0，由平行直线间距离公式知，两直线间距离为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．（1）共有多少种不同的情况；（2）求甲做工作的概率．解：（1）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作，故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，共有种情况．（2）甲做工作的情况有2种：①甲只做工作，共有种情况；②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，所以甲做工作的情况有种，故所求概率为．16.已知为数列的前n项