山东省淄博市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

山东省淄博市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题1．已知复数z=2−5ii，则A．2 B．−2 C．5 D．−52．已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3c，sinC=15A．15 B．25 C．354．向量a=(6，2)A．(2，−1) B．(1，−125．若sinα−π6A．12 B．0 C．1 D．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为AD上一点，BE⋅AC=0．若BEA．107 B．98 C．25167．已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形A'B'C'O'，且A'BA．15π B．18π C．25π D．28π8．已知函数fx=sinωx+π6(ω>0)在0,2π上有且仅有4个零点，直线A．12 B．−12 C．−9．下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2B．已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4，则m的值为5C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17D．若样本数据x1,x10．如图，在四边形ABCD中，AB=3DC，点M满足CM=2MD，N是BC的中点.设A．BD=a−C．BM=−8911．已知函数fxA．fx的最小正周期是B．fx的图象关于点−C．fx+D．fx在−12．平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AC交BD于O，则AO⋅BD等于13．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，①N，P，B，M四点共面；②AD1//平面NMP；③PN与B14．已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为15．设两个向量a,b满足（1）求a+（2）若向量2ta+7b与向量a16．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，（1）求证：AC1//（2）若侧面AA1C1C17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为（1）求A；（2）若a=33，c=2b，求△ABC的面积S18．如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC,AD⊥DC，BC=CD=12AD=1,E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD，二面角P−CD−A（1）求证：平面PAB⊥平面PBD；（2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值；（3）求点C到平面PAB的距离．19．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量（单位：度）都在50,350内，进行适当分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）请结合频率分布直方图，估计本小区月用电量落在50,200内的用户月用电量的平均数；（3）抽取的100户居民月用电量落在50,200内的用户月用电量的方差为1600，所有这100户的月用电量的平均数为188度，方差为5200，且小区月用电量落在50,200内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，估计本小区月用电量在200,350内的用户月用电量的标准差．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为z=2−5i所以z的实部为−5.故答案为：D.【分析】先利用复数的乘除法运算法则化简复数z，再利用复数的实部的定义，从而得出复数z的实部.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为数据从小到大排序得到1，2，3，4，5，上四分位数即为75%分位数，

又因为75%×5=3.75故答案为：D.【分析】从小到大排序后结合百分位数求解公式，从而得出这组数据的上四分位数.3．【答案】C【解析】【解答】解：由a=3c和正弦定理，

可得sinA=3因为sinC=15，

故答案为：C.【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出角A的正弦值.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量a=(6，2)在向量b=(2，−1)上的投影向量为a→·b→5．【答案】B【解析】【解答】解：因为sinα−所以sinπ所以cosπ故答案为：B.【分析】由已知条件结合诱导公式求出sinπ6−α6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意建立如图所示直角坐标系，

因为AB=3，BC=4，

则B(0,0)，A(0,3)，C(4,0)，所以BA=(0,3)，AC=(4,−3)，

设BE=(a,3)，因为AC⋅BE=0，因为BE=λBA+μBC，所以94=4μ3λ=3，解得λ=1μ=9故答案为：C．【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，设BE=(a,3)，利用数量积的坐标表示和AC⋅BE=0，从而得出a的值，再由BE=λ7．【答案】C【解析】【解答】解：根据斜二测画法可知：梯形A'B'C'其中AB=1,OA=4,OC=4，BC=(4−1)将梯形ABCO绕OA㯀转一周得到一个几何体为圆台，

圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，则该几何体的侧面积为π(1+4)×5=25π.故答案为：C.【分析】根据斜二测画法可知：梯形A'B'8．【答案】A【解析】【解答】解：当x∈0,2π时，ωx+因为函数fx=sinωx+π6(ω>0)在0,2π上有且仅有4个零点，又因为直线x=π6为函数所以π6ω+π当k=0,ω=2时，f(x)=sin则fπ故答案为：A.【分析】以ωx+π6为整体，由题意结合零点可得2312≤ω<299．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、由简单随机抽样可知：某个个体被抽到的概率为1050B、数据1，2，m，6，7的平均数是4，则m=4×5−1−2−6−7=4，故B错误；C、数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，中位数为17+192D、方差为Dx=82，则D2x−1故答案为：AD.【分析】利用概率即可判断A；根据平均数求得m的值即可判断B；根据中位数的求法即可判断C；利用方差性质即可判断D.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，因为BD=对于B，因为AC=对于C，因为BM=对于D，由选项B知：AN=故答案为：BC.【分析】根据已知条件和平面向量基本定理，从而找出等式正确的选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：fx对于A，因为fx的最小正周期是2π对于B，因为f−所以fx的图像关于点−对于C，因为fx+令g(x)=fx+则g(−x)=2sin所以fx+对于D，由fx=2sin所以2x+π6=−得x=−π6+kπ,k∈Z因为x∈−π6,3π2，

所以x=−π所以fx在−故答案为：ABD.

【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，从而得出fx12．【答案】−6【解析】【解答】解：如图所示：则AO=1故答案为：−6.【分析】将AO,BD都用基底{AB13．【答案】②③【解析】【解答】解：对于①：在平面BCC1B1中，BM⊂平面BCC又因为P∉MB，则NP，BM为异面直线，

因此N，P，B，M四点不共面，故对于②：连结BC1在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//C因为M,P分别为B1所以MP//BC1，AD1//MP，

又因为MP⊂平面NMP故AD1//平面NMP对于③：在正方体ABCD−A1B因为N,P分别为DD1和BB1的中点，所以四边形BDNP为平行四边形，所以PN=BD,因为BD=C1D=BC1所以BD与BC1成角60°，

则PN与BC1所成角为故答案为：②③.

【分析】用异面直线判定定理判断①；利用线面平行的判定定理判断②；利用△BDC1为正三角形可得BD与BC1所成角，从而求出PN与14．【答案】283【解析】【解答】解：作出正四棱台的轴截面，如图所示：设上底面边长为2x，则下底面边长为4x，

则CM=CF=x,BM=BE=2x，故∠CIB=∠CIM+∠BIM=1在Rt△CIB中，IM⊥CB，则由射影定理IM2=CM⋅BM，可得2则棱台的上底面面积为(2x)2故该正四棱台的体积为：V=1故答案为：283【分析】由题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即可.15．【答案】（1）解：因为a+b=2,0+因为a+b方向的单位向量为a+ba所以a+b方向的单位向量为（2）解：解法1：设2ta+7b则2t=k7=kt，所以t=±142解法2：因为2ta+7由向量平行关系，令3t24t+由向量反向，得t=−14【解析】【分析】（1）先计算出向量a+b的坐标，再结合向量的模的坐标表示得出向量a+（2）利用两种方法求解.

解法一：根据向量2ta+7b与向量a（1）由已知a+b=由a+b方向的单位向量为a即a+b方向的单位向量为（2）解法1：设2ta+7b则2t=k7=kt，得t=±14解法2：2ta+7由平行，令3t24t+由反向，t=−1416．【答案】（1）证明：连接BC1交CB1于由ABC−A1B1C所以E是BC1中点，

又因为D是所以，在△BAC1中DE//AC1，DE⊂面CDB所以AC1//（2）证明：由BC⊥AC,BC⊥CC1，

因为AC∩CC1=C所以BC⊥面ACC1A1，

又因为AC由侧面AA1C又因为BC∩A1C=C，BC,A1C⊂面A1【解析】【分析】（1）连接BC1交CB1于E，连接ED，再利用中位线定理得出DE//AC（2）利用线面垂直的判定得出直线BC⊥面ACC1A1，再根据线面垂直的性质定理、菱形的性质，从而可得BC⊥AC1、（1）连接BC1交CB1于由ABC−A1B所以E是BC1中点，又D是故在△BAC1中DE//AC1，DE⊂面CDB所以AC1//（2）由BC⊥AC,BC⊥CC1，而AC∩CC1=C所以BC⊥面ACC1A1，又AC由侧面AA1C又BC∩A1C=C，BC,A1C⊂面17．【答案】（1）因为b=2c−2acos由正弦定理可得sinB=2而sinC=则sin即sinB=2因为sinB>0，所以cosA=12，因为（2）由余弦定理得a2因为a=33，c=2b所以27=b2+4因为b>0，所以b=3，c=6，所以△ABC的面积为12【解析】【分析】（1）利用正弦定理可进行边角互化，再根据三角恒等变换计算即可；（2）根据余弦定理计算边b,（1）因为△ABC中，b=2c−2acos由正弦定理可得sinB=2得sinB=2因为sinB>0，所以cosA=12，因为（2）由余弦定理得a2因为a=33，c=2b，所以27=b2因为b>0，所以b=3，c=6，所以△ABC的面积为1218．【答案】（1）证明：连接BE,∵E为AD中点，∴ED=1,

∵BC=1,∴ED//BC,ED=BC，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE=CD=1，

在△ABD中，BE=1又∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD,PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，又因为AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB，

∴BD⊥平面PAB，又∵BD⊂平面PBD,

所以，平面PAB⊥平面PBD.（2）解：由PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，因为CD⊥AD，PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，

所以CD⊥PD，故∠PDA为二面角P−CD−A的平面角∠PDA=45°,PA=AD=2，在Rt△PAB中，作AM⊥PB，垂足为M，由（1）知，平面PBD⊥平面PAB，

平面PBD∩平面PAB=PB,AM⊂平面PAB，所以AM⊥平面PBD，

则直线PM为直线AP在平面PBD上的射影，所以∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，∵BC=AE=1,∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB=CE=2在Rt△PAB中，AB=2sin∠APB=AB（3）解：在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∴PA为三棱锥P−ABC底面ABC上的高，又∵S∴V在三棱锥C−PAB中，设C到平面PAB的距离为d，∵S∴V又∵V【解析】【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）先由线线垂直、线面垂直的推导关系得出∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，再结合（1）知平面PBD⊥平面PAB，从而得出AM⊥平面PBD，则直线PM为直线AP在平面PBD上的射影，从而得出∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，解三角形可得；（3）利用三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，从而得出PA为三棱锥P−ABC底面ABC上的高，再利用三角形的面积公式和三棱锥的体积公式以及等体积法，从而得出点C到平面PAB的距离．（1）连接BE,∵E为AD中点，∴ED=1,∵BC=1,∴ED//BC,ED=BC，∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE=CD=1，在△ABD中BE=1又∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD,PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB，∴BD⊥平面PAB，又∵BD⊂平面PBD,∴平面PAB⊥平面PBD.（2）由PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，故∠PDA为二面角P−CD−A的平面角∠PDA=45°,PA=AD=2，在Rt△PAB中，作AM⊥PB，垂足为M，由（1）知，平面PBD⊥平面PAB，平面PBD∩平面PAB=PB,AM⊂平面PAB，所以AM⊥平面PBD，则直线PM为直线AP在平面PBD上的射影，所以∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，∵BC=AE=1,∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB=CE=2在Rt△PAB中，AB=2sin∠APB=AB（3）在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∴PA为三棱锥P−ABC底面ABC上的高，又∵S∴V在三棱锥C−PAB中，设C到平面PAB的距离为d，∵S∴V又∵V19．【答案】（1）解：由频率分布直方图，

可得0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012×50=1所以x=0.0044．（2）解：因为月用电量落在50,100、100,1500.0024×50×100=12,0.0036×50×100=18,0.0060×50×100=30，所以估计本小区月用电量落在50,200内的用户月用电量的平均数为：75×12+125×18+175×30÷（3）解：由（2）知月用电量落在50,200的户数为60，

用户的月用电量的平均数为140，

则月用电量落在200,350内的户数为100−60=40，设前60户的月用电量分别为xii=1,2,⋯,60，

平均数x=140后40户的月用电量分别为ynn=1,2,⋯,40，

平均数为y，方差为