中考数学冲刺抢押秘籍(福建专用)猜押04以旋转为前提的几何问题(三年两考)(解析版)

猜押04以旋转为前提的几何问题（三年两考）猜押考点3年福建真题考情分析押题依据在旋转的前提下探究角2022年第24题旋转、平移、轴对称在初中数学都是重要的图形变化。除了23年和23年，2020年也曾在第24题考过，可见旋转在解答题的考查中基本属于压轴考点。它可结合其他几何图形，综合性强。无论是三角形、四边形或是线段，都可以进行旋转，考题中所给的旋转角度也通常是特殊角，因此旋转能够结合的几何性质很多；比如全等三角形或者勾股定理来探究线段数量关系、用相似三角形来求角度等等。根据三年两考的频率，在2025年备考时可关注此考点。旋转背景下的三角形相似2023年第25题旋转与全等三角形题型一在旋转的前提下探究角1．（2022·福建泉州·二模）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．(1)求证：AE平分；(2)连接BD，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．【详解】（1）证明：由旋转性质可知：，，平分．（2）证明：如图所示：由旋转性质可知：，，，，即，，，，∵在中，，，，即．【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．2．（2024·福建厦门·模拟预测）在中，，将绕点B旋转一定的角度得到．(1)如图1，当边恰好经过点C时，边的延长线交于点，连接．求证：；(2)如图2，当点D恰好在中线的延长线上，且时，的延长线交于点G，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）解法一：根据旋转的性质得，，则，根据三角形内角和定理可推出，即，再利用即可求解；解法二：根据旋转的性质得，，根据三角形内角和定理可推出，即，取得中点，连接，根据等腰三角形的性质得，，由同角的余角相等得，以此即可求解；解法三：过点作，垂足为，交于点，由旋转的性质得，，，，则平分，根据角平分线的性质可得，以此可根据证明，得到，由三角形外角性质得，再根据三角形内角和定理可推出，以此即可求解；（2）解法一：根据旋转的性质得，，，则，由直角三角形斜边上的中线性质得，进而得到，因此，易证明，得到，，，设，则，，，易证，根据相似三角形的性质即可求解．解法二：过点作交于点，根据平行线的性质得，，由旋转的性质得，，则，根据直角三角形斜边上的中线得性质得，进而得到，由平行线分线段成比例得，设，则，，在证，得，求得，，，由得，则，得到，即，解得，以此即可求解．【详解】（1）证明：解法一：由旋转的性质得，，，，，又，，即，，，，，即；解法二：由旋转的性质得，，，，又，，即，取得中点，连接，如图，，，平分，即，，，，，，，，即；解法三：过点作，垂足为，交于点，如图，由旋转的性质得，，，，平分，，，，在和中，，，，，，，又，，，即；（2）解：解法一：由旋转的性质得，，，，为斜边上的中线，，，即，，，，，，，，，即，，，，设，则，，，，，，，即，，．解法二：过点作交于点，如图，，，由旋转的性质得，，，为斜边上的中线，，，，，，设，则，，，，，，即，，，，，，，，即，解得：，，．【点睛】本题主要考查旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质．灵活运用所学知识，并熟练掌握相似三角形的判定方法以及性质是解题关键．题型二旋转背景下的三角形相似1．（2024·福州台江·一轮模拟）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为．【答案】【分析】设交于,由,由旋转可得,而,即可得,故,因,即有,,设,则,求出,证明,即可得,进而即可得解．【详解】解：设交于,如图，,,将绕点按逆时针方向旋转得到,,,,,,,,,,,,,,设,则,,,,,,,,,故答案为：.【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，平行线性质及应用，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理.2．（2023·福建福州·模拟预测）如图，中的平分线交外接圆于点D，点M为边的中点．

(1)求证：．(2)若，，．求的值；(3)作的平分线交于点P，连接，若将线段绕点M旋转后，点P的对应点恰好落在的外接圆上，求的正切值．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据平分线线的定义可得，再根据圆周角定理可得，，可得，再根据等腰三角形的判定即可得出结论；（2）证明，可得，即，同理证明，可得，即，即可求解；（3）如图，连接、、，根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，可得，再由四边形外接圆的性质可得，再由三角形角平分线的性质可得平分，再根据三角形内角和和角平分线可得，再根据四边形外接圆的性质可得，，从而求得，再利用锐角三角函数即可求解．【详解】（1）证明：证明：∵平分，∴，∵，，∴，∴，又∵M是的中点，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，同理，，∴，∵，，∴，∵，∴∴；（3）解：如图，连接、、，∵M是的中点，点P与点关于点M对称，∴四边形是平行四边形，∴，∵点在圆上，∴，∵点P是两个内角与的角平分线交点，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴．

【点睛】本题考查垂径定理、角平分线的定义、圆周角定理、三角形内心、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2023·福建宁德·一模）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，．将绕点C旋转，使得点E落在内部，连接，．(1)求证：；(2)当时，求的值；(3)延长，交直线于点F，连接．写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）证明，，从而可得结论；（2）解法一：当时，，证明．由（1）得，．即B，E，D三点共线．（如图2），再利用勾股定理可得答案；解法二：过点C作，交延长线于点H．如图3，当时，，证明．求解．可得．由（1）得，从而可得答案；解法三：过点A作，交延长线于点I．当时，证明，．设，则．再建立方程求解x，可得．由（1）得，从而可得答案；（3）设交于点H，作交BF于点G．由（1）得，证明．．可得．从而可得结论．【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形，．．即，，∴．．（2）解法一：当时，，又，．由（1）得，，．即B，E，D三点共线．（如图2）在中，，，，．

．解法二：过点C作，交延长线于点H．如图3，、当时，，又，．．，．在中，，．．由（1）得，．．解法三：过点A作，交延长线于点I．当时，，又，．．．设，则．在中，，．．，（舍去）．．由（1）得，．．（3）．理由：设交于点H，作交于点G．由（1）得，．，．．．．，即．，，．．．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用运算知识解题是关键．题型三旋转与全等三角形1．（2024·福建福州·二模）如图，在中，D是上一点．(1)在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题主要考查作线段垂直平分线，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质：（1）连接，作的垂直平分线交于点，此时则点即为所求；（2）由旋转得，得，，．再证明得，从而得到，故可得结论【详解】（1）解：如图，O为所求作的点．（2）证明：∵D是的中点，∴．∵绕点O旋转得到，D，E分别是点A，B的对应点，∴，，，∴，，．在与中∴，∴，∴，即，∴G是中点2．（24-25九年级上·福建厦门·期末）图是某产品电子组件的平面示意图．该组件包含一个边长为的正方形电子板和一个矩形感应带．该组件的工作方式是：电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，且电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域．(1)为尽可能节省材料，应如何设计矩形感应带的尺寸？（直接写出尺寸即可）(2)该产品用户要求加装指示灯，在产品工作过程中指示灯能按一定时间间隔闪烁，以起到提醒、警示的作用．研发团队拟在（1）的基础上采取如下方案：在点处、的延长线与的交点处、正方形电子板的边上分别加装一个传感器，电子板旋转时，当边上的传感器捕捉到与，两处传感器的距离相等时，指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒．该方案是否可行？若可行，求的长；若不可行，请说明理由．【答案】(1)应设计矩形感应带的边长为和(2)可行，【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关的知识点，学会利用正方形和旋转的性质求线段长度是解题的关键．（1）由旋转的性质可知，绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上，则有，连接，则有，电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域，则有，结合题意即可求出矩形感应带的尺寸；（2）由题意“两次闪烁间隔3秒”，分析可得当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置，结合（1）中的结论可得，设与的交点为，进而推出，得到，当边上的传感器装在点处，则符合题意，所以方案可行，再利用正方形的性质求出的长即可解答．【详解】（1）解：电子板在起始位置时，有，绕点从起始位置顺时针旋转后，恰好落在边上，如图，连接，则有，又电子板在旋转过程中不能超出感应带所围区域，，，，，的最小值为，的最小值为，尽可能节省材料，应设计矩形感应带的边长为和．（2）解：方案可行，理由如下：因为电子板绕点从起始位置顺时针旋转后，再绕点逆时针旋转，保持每秒的旋转速度循环往复转动，并且指示灯两次闪烁间隔3秒，根据该方案，当指示灯闪烁时，电子板应处于相对初始位置旋转角为的位置．此时，在（1）的条件下，在正方形的对角线上，点与点重合，，设与的交点为．，，，．在正方形与中，、是对角线，，，，，，即，．又，．，，即．若边上的传感器装在点处，当电子版处于相对于初始位置旋转角为的位置时，则指示灯闪烁，且两次闪烁间隔3秒，因此该方案可行．在正方形中，，，，在中，，．．3．（23-24九年级上·厦门思明·期中）综合与实践问题情境：数学课上，老师带领同学们“玩转直角三角形”的探究活动，老师将全等的两张直角三角形纸片按如图1所示在同一平面内摆放，点A与点F重合，点C与点E重合．已知：，，．初步探究：(1)“勤思小组”进行了如下操作:保持不动，将绕点A顺时针方向旋转，如图2所示，旋转角度为，直线DE与直线交于点G，在旋转过程中，发现始终有，请你帮他们写出证明过程．深入探究：(2)“敏学小组”在“勤思小组”的操作方式下继续探究，提出问题：①如图2，若连接，请判断线段与的关系，并说明理由．②如图3，当旋转角度时，的边与边重合，则的面积为______．

【答案】(1)证明见