高中数学必修一复习提纲1

第一章集合与函数概念

知识网络

第一讲集合

知识梳理

集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:龌性、无序性和互异性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；

3.集合中元素与集合的关系：

文字语言符号语言

属于e

不属于£

4.常见集合的符号表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号NZ

N•或N.QRC

二：集合间的基本关系文字语言符号语言

表示

关系

相等集合A与集合B中的所有元素AqB且3qAo

都相同A=B

子集A中任意一元素均为B中的元AqB或BnA

素

真子集A中任意一元素均为B中的元A^B

素，且B中至少有一元素不是

A的元素

空集空集是任何集合的子集，是任团,010(团)

何非空集合的真子集

三：集合的基本运算

①两个集合的交集:AR3={x|xeAKreB};

②两个集合的并集：=A必£3卜

③设全集是U,集合AQU，则CuA={中eU且X年4}

交并补

nu

Api8={x|AHJC£4}A\JB={x\xeeB]CvA={x|xGU且x史A}

(3D•o

方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破

重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合

的交、并、补三种运算。

重难点：

L集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，

在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；

2.集合的表示法

(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如

、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：

问题：已知集合()

A.；B.；C.；D.

［错解］误以为集合团表示椭圆胤集合团表示直线团由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选

B

［正解］C；显然团，团，故团

（3）Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的

运算时常用Venn图。

3.集合间的关系的几个重要结论

（1）空集是任何集合的子集，即

（2）任何集合都是它木身的子集，即

（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则

4.集合的运算性质

（1）交集：①；②；③；④，⑤；

（2）并集：①；②；③；④，⑤；

（3）交、并、补集的关系

①A\JCC!A=U

②。（An8）=（c"）u［c08）；。（40功=（。"）口（。"）

★热点考点题型探析

考点一：集合的定义及其关系

题型1:集合元素的基本特征

［例1］（2008年江西理）定义集合运算:®设

回，则集合国的所有元素之和为（）

A.0；B.2；C.3；D.6

［解题思路］根据回的定义，让回在回中逐•取值，让团在团中逐•取值,自在值就是团的元素

［解析］:正确解答本题，必需清楚集合13中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知网团，故应

选择D

【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点,

这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

题型2:集合间的基本关系

［例2］.数集团与（3之的关系是（）

A.；B.；C.；D.

［解题思路］可有两种思路：一是将团和团的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的

关系进行判断。

［解析］从题意看，数集团与13之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；

同样，B也不能成立；而如果D成立，则A.B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C

【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，

逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。

［新题导练］

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A=｛参加北京奥

运会比赛的运动员｝,集合B=｛参加北京奥运会比赛的男运动员｝,集合C=｛参加北京奥运会比赛

的女运动员｝,则下列关系正确的是（）

•A•・・・・C♦•♦・D•

［解析］5因为全集为回，而（3-全集

2.（2006•山东改编）定义集合运算:团,设集合团（3,则集合团的所有元素之和为

［解析］18,根据团的定义，得到以故回的所有元素之和为18

3.（2007•湖北改编）设团和团是两个集合，定义集合00,如果团，胤那么团等于

［解析曾;因为回，国所以

p-e=（u）

4.研究集合团，胤团之间的关系

［解析］团与团团与团都无包含关系，而回豳；因为例表示

团的定义域，故回；团表示函数团的值域,团；团表示曲线团上的点集，可见,00团，而团与（3,（3与团都无包

含关系

考点二：集合的基本运算

（1）［例3］设集合，

若同求实数国的值；

（2）若团,求实数团的取值范围若团

［解题思路］对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

［解析］因为团，

（1）由团知，团，从而得团，艮1

团，解得（3或12

当团时，团，满足条件；

当团时,团，满足条件

所以。=-1或。=一3

（2）对于集合也由国

因为13,所以团

①当团，即团时，团，满足条件;

②当团，即同时，团满足条件；

③当团即回时，回才能满足条件，

由根与系数的关系得比矛盾

故实数。的取值范围是〃工一3

【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注

意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.

［新题导练］

6.若集合国团，则团是〔）

A.团；BE：C.H；D.有限集

【解析1A；由题意知，集合叵表示函数（3的值域，故

集合（3；回表示函数回的值域，

r=［-i,+oo）,故snr=s

7.己知集合国，团，那么集合团为（）A.团；B.0；C.团：D区

［解析］D；团表示直线团与直线0的交点组成的集合,A.B、（:均不合题意。

8.集合团同且团，求实数团的值.

［解析］0,1,-；先化简B得，8={1,2}.由于4UB=B=Aq8,故IGA或2EA.

2

因此。一1二0或2。-1二0,解得。=1或。二

9

容易漏掉的一种情况是：4=0的情形,此时。=0.

故所求实数。的值为0,1,』.

2

备选例题1：已知口，口，则口中的元素个数是（）

A.0；B.0；C.0；D.无穷多个

［解析］选A；集合M表示函数y=x+\的值域，是数集，并且M=R,而集合N表示满足

团的有序实数对的集合，即表示圆团上的点，是点集。所以，集合团与集合团中的元素均不相同，因

而田，故其中元素的个数为0

［误区分析］在解答过程中易出现直线团与圆团有两个交点误选C;或者误认为团中团，而回中必从而

团有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集

合运算的前提和关键。

备选例题2:已知集合□和集合口各有12个元素，□含有4个元素，试求同时满足下面

两个条件的集合□的个数：

（I），且中含有3个元素；

（IDCClAw。（。表示空集）

［解法一］因为、各有12个元素，含有4个元素，

因此，回的元素个数是团

故满足条件（I）的集合C的个数是《0

上面集合中，还满足0的集合团的个数是回

因此，所求集合团的个数是削

［解法二］由题目条件可知，属于而不属于的元素个数是

因此在田中只含有田中1个元素的所要求的集合用的个数为团

含有4中2个元素的所要求的集合C的个数为G；C；

含有A中3个元素的所要求的集合。的个数为

所以，所求集合的个数是

★抢分频道

1.基础巩固训练：

2.（09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集

U=RyA={x\x（x+3）<0}.B={x\x<-1},则右图中阴

影部分表示的集合为（）

A.；B.；C.；D.

［解析］C；图中阴影部分表示的集合是回而回故

人03=,3<x<1）

2.（韶关09届高三摸底考）已知.则=

A.；B.；C.；D.

［解析］A；因为瓦勒所以回

3.（苏州09届高三调研考）集合的所有子集个数.....

［解析］8；集合{-1,0,1}的所有子集个数为23=8

4.（09年无锡市高三第一次月考）集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为，

若且，则与的关系是

［解析］或AcBwO；由子集和交集的定义即可得到结论

5.（2008年天津）设集合，则的取值范围是（）

A.；B.

C.或；D.或

［解析］A；0,0,13

所以，从而得

综合提高训练：

6.,

则下列关系中立的是()

A.;B.;C.;D.

［解析］A；当时，有，即

；当时，也恒成立，故

,所以

7.设，，，记

,,则=()

A..B..C..D.

［解析］A；依题意得，，所以，

,故应选A

8.(09届惠州第一次调研考)设A.B是非空集合，定义

,已知A=,B=,

则AXB等于()

A.；B.；C.；D.

［解析］D；团，・・・A=［0,2L。・・.B=(1,+8),

AAUB=［O/+8),APB=(1,2］,则AXB=Z

第2讲函数与映射的概念

★知识梳理

1.函数的概念

(1)函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集

合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为

(2)函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值

叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

2.映射的概念

设是两个集合，如果按照某种灼应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯

一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为

★重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域

难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域

重难点：1.关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误

问题1:已知函数的定义域为，求的定义域

［误解］因为函数的定义域为，所以，从而

故y=/(x+2)的定义域是5+22+2］

［正解］因为的定义域为，所以在函数中，，

从而，故的定义域是

即木题的实质是求aVx+2Mb中x的范围

问题2:已知的定义域是，求函数的定义域

［误解］因为函数的定义域是，所以得到，从而

,所以函数的定义域是

［正解］因为函数的定义域是，则，从而

所以函数y=f(x)的定义域是m+2/+2］

即本题的实质是由。求大+2的范围

即与f(x+2)中x含义不同

3.求值域的几种常用方法

(1)配方法：对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解

决

(2)基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

就是利用函数和的值域来求。

(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域

由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域

是

(4)分离常数法：常用来求“分式型”困数的值域。如求函数的值域，因为

，而，所以，故

ye(-00--］

(5)利用基本不等式求值域：如求函数的值域

当时，；当时，，若，则

若，则，从而得所求值域是

(6)利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域

因回，故函数包在回上递减、在回上递增、在回上递减、在回上递胤从而可得所求值域为回

(7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些

分段函数的值域常用此法)。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

［例1］试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1),;

(2),

(3),(n£N*)：

(4)

（5）,

［解题思路］要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。

［解析］（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.

（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R,所以它们不是同一函数.

（3）由于当nWN*时,2n±l为奇数，・・・,，它们的定义域、值域及对应法则都相司，所

以它们是同一函数.

（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同

一函数.

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

［答案］⑴、（2）、（4）不是;（3）、（5）是同一函数

【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关

系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。

第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域

及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如团胤必都可视为同

一函数.

［新题导练］

1.（2009•佛山）下列函数中与函数国相同的是（）

....仅1）..B…团.C..=..D.y=0

［解析］B；因为y=E0,所以应选择B

2.（09年重庆南开中学）与函数团的图象相同的函数是（）

A.y=2x-\（x>~）；B.），=—；C.y=—-（［>!）；D.y=|-——-1

22x-\2x-122x-1

［解析］C；根据对数恒等式得同，且函数团的定义域为团，故应选择C

考点二：求函数的定义域、值域

题型1：求有解析式的函数的定义域

［例2］.（08年湖北）函数/（x）=,叭，'-3X+2+J-%。-3X+4）的定义域为（;

x

A.;B.；C.;D.

［解题思路］函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围，

［解析］欲使函数有意义，必须并且只需

□故应选择口

【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，

实际操作时要注意：①分用•不能为0；②对数的直数必须为正；③偶次根式中被开方数应为

非负数；④零指数哥中，底数不等于0;⑤负分数指数累中，底数应大于0：⑥若解析式由几

个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问

题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域

不要漏写。

题型2:求抽象函数的定义域

［例3］（2006・湖北）设，则的定义域为（）

A.；B.；C.；D.

［解题思路］要求复合函数团的定义域，应先求回的定义域。

［解析］由得，的定义域为，故

解得X£（TT）U（1,4）。故/信J+.O的定义域为（―4,T）U（1,4）.选B.

【名师指引】求复合函数定义域，即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式

的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时

的值域。

题型3；求函数的值域

［例4］已知函数团若团恒成立，求团的值域

［解题思路］应先由已知条件确定回取值范围，然后再将团中的绝对值化去之后求值域

［解析］依题意，团恒成立，则团，解得回，

所以团从而团，团，所以团的值域是团

【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。

［新题导练］

3.（2008安徽文、理）函数团的定义域为.

Ix-2l-l>0

［解析］［3,4>00）；由叶1■解得xN3

x-1>0,工一1w1

4.定义在向上的函数（3的值域为团，则函数（3的值域为（）

A.0；B.0；C.0；D,无法确定

［解析］B；函数（3的图象可以视为函数（3的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一

样的

5.（2008江西改）若函数回的定义域是团，则函数国的定义域是

［解析］比因为伺的定义域为团，所以对团，团但酎姐

6.（2008江西理改）若函数0的值域是团，则函数团的值域

是___________

［解析］吐田可以视为以团为变量的函数，令团则团

团，所以,团在团上是减函数，在向上是增函数，故（3的最大值是团最小值是2

考点三：映射的概念

［例5］（06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文团密文（加密），接收方由

密文回明文（解密），已知加密规则为：明文回对应密文回例如，明文回对应密文团当接收方收到密

文团时，则解密得到的明文为（）

A.：B.：C.：D.

［解题思路］密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。

［解析］当接收方收到密文14,9,23,28时，

有，解得，解密得到的明文为C.

【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：

（1）集合A.H及对应法则f是确定的，是一个整体系统：

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A

的对应关系一般是不同的；

（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般

对应的本质特征；

（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（5）不要求集合8中的每一个元素在集合A中都有原象.

［新题导练］

7.集合A:{3,4）,B={5,6,7）,那么可建立从A到B的映射个数是,从B到A

的映射个数是__________.

［解析］9,8；从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6

或7),第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1=3X3=

9.反之从B到A,道理相同，有N2=2X2X2=8种不同映射.

8.若f:y=3x+l是从集合A二{1,2,3,k}到集合B二{4,7,a4,a2+3a}的一个映射，求自然

数a、k的值及集合A、B.

［解析］a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,10,16)；

Vf(1)=3Xl+l=4,f(2)=3X2+l=7,f(3)=3X3+1=10,f(k)=3k+l,由映射的定义知

(1)或(2)

•・・a£N,・••方程组(1)无解.

解方程组(2),得a=2或a=-5(舍)，3k+l=16,3k=15,k=5.

.'.A={lz2,3,5},B={4,7,10,16}.

备选例题：(03年上海)已知集合团是满足下列性质的函数团的全体：存在非零常数国

对任意团，有回成立。

(1)函数是否属于集合？说明理由；

(2)设函数的图象与的图象有公共点，证明：

［解析］(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T.Tf(x)=Tx.因为对任意x0R,x+T.Tx不能恒成立，所以

f(x)=a

(2)因为函数f(x)=ax(a>0且aWl)的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组:回有解，消去y得ax=x,

显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T,使aT=T.

于是对于/(x)=ax有f(x+T)=ax+,=a1-ax=T-ax=77(x)故/(x)=a*eM.

★抢分频道

基础巩固训练：

L(2007•广东改编)己知函数团的定义域为(3,13的定义域为13,贝岫

［解析］(oo,+co)；因为M=(-I,+OO),N=(-CO,1)35(MUN=R

2.函数的定义域是

［解析］(t,1］；由0<3”—2<1得到

3.函数团的值域是

［解析间由同知国从而得闻而外所以此即(3

4.(广东从化中学09届月考)从集合A到B的映射中，下列说法正确的是()

A.B中某一元素的原象可能不只一个；B.A中某一元素的象可能不只一个

C.A中两个不同元素的象必不相同；D.B中两个不同元素的原象可能相同

［解析］A；根据映射的定义知可排除BCD

5.(深圳中学09届高三第一学段考试)下列对应法则(3中，构成从集合A到集合国的映射是

()

A.A={x\x>0］,B=RJ:x^\y\=x2

B.A={-2,0,2},B={4},fix-^y=x2

C.A=R,B={y\y>0}J-.x^y=-^

x

D./4={0,2},B={0.1},/：x-^y=-

［解析］D；根据映射的定义知，构成从集合A到集合⑦的映射是D

6.（09年执信中学）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）

A.：B.：C.；D.

［解析］B；因为函数团即为团，其图象的对称轴为直线团，

其最小值为，并且当及时，，若定义域为，值域为，则

综合提高训练：

8.（05天津改）设函数，则函数的定义域是

［解析］团；由田得，团的定义域为风故团

解得一4Vx<一！或,<x<4o

22

9.设函数的定义域是（是正整数），那么的值域中共有个整数

［解析咽；因为&可见，团在日但是正整数）上是增函数，又团

所以，在的值域中共有个整数

第3讲函数的表示方法

★知识梳理

一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

2.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

3.解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破

重点：掌握函数的三种表示法--图象法、列表法、解析法，分段函数的概念

难点：分段函数的概念，求函数的解析式

重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则月待定系数法；

（2）若已知复合函数0的解析式，则可用换元法或配凑法；

问题1.已知二次函数团满足团求团

方法一：换元法

令，则，从而

所以/（天）=/―5%+9（工6/?）

方法二：配凑法

因为f（2x+1）=4工2_6/+5=（2x+—10x+4=］2x+1尸—5（2x+1）+9

所以5X+9（XER）

方法三：待定系数法

因为回是二次函数，故可设同从而由团可求出团，所以回

（3）若一知抽象困数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出团

问题2：已知函数向满足团求团

因为/（X）+2/（』）=3X……①

x

以，代X得/d）+2/（x）=3-L……②

XXX

12

由①©联立消去/（-）得/（X）=--A-（XW0）

XX

★热点考点题型探析

考点1:用图像法表示函数

［例1］（09年广东南海中学）i水池有回个进水口，包个出水口，一个口的进、出水的速度如

图甲、乙所示.某天团点到团点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下团个论断：

进水量出水量蓄水量

甲乙丙

（1）点到点只进水不出水；（2）点到点不进水只出水；（3）点到点不进水不出

水.

则一定不正确的论断.....（把你认为是符合题意的论断序号都填上..

［解题思路］根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。

［解析］由图中知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单

位,3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知,3点到4点应该是有一个进水口

进水，出水口出水，故②错误：由图丙知,4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水

II都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）

【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要

求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”

和“知图选式二

［新题号练］

1.（05辽宁改）一给定函数巾的图象在下列图中，并且:年、由等系式团得到的数列由

湖足酉一则该函数的图象是（

C

［解胆；今团"川国笠；价千比用县由

成，威漏团，所马晦啥点都在y箓a上累时间346时间

2.（2005•湖北）函数回的图象大致是（）

ABCD

［解析］D；当团时，团可以排除A和C；又当团时，间可以排除B

考点2：用列表法表示函数

［例2］（07年北京）已知函数团回分别由下表给出

X123X123

fM131ga)321

则/［g⑴］的值为：满足>g［f（X）］的X的值是

［解题思路］这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。

［解析］由表中对应值知=/（3）=1；

当团时，团不满足条件

当历时，团满足条件，

当团时，团不满足条件，

，满足/［g（x）］>g"（x）］的x的值是x=2

［名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系,

用好对应关系即可。

［新题导练］

3.（09年山东梁山）设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：

映射了的对应法则是表1

原象1234

象3421

映射g的对应法则是表2

原象1234

象4312

则与/［g⑴］相同的是（）

A.（3；B.0；C.Q；D.0

［解析］A：根据表中的对应关系得,团团

4.

（04

年江

苏改-3-2-101234

编）

二次

函数

（

WR）

的部

分对

应值

如下

表：

X

y60-4-6-6-406

则不等式a?+/?x+cvO的解集是

［解析］回；由表中的二次函数对应值可得，二次方程国的两根为一2和3,又根据团且团可知团所

以不等式

ax2+法+。＜0的解集是（-2,3）

考点3:用解析法表示函数

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

［例3］（04湖北改编）已知=,则的解析式可取为

［解题思路］这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法

［解析］令，则，.・♦..

故应填2y

【名师指引】求函数解析式的常用方法有：①换元法（注意新元的取值范围）；②待定

系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构

造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。

题型2:求二次函数的解析式

［例4］（普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数团满足回，且跳

⑴求/（X）的解析式；

⑵在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。

［解题思路］（1）由于已知是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可

得求对于恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。

［解析］⑴设,则

与已知条件比较得：解之得，又，

/.f（x）=x1-x+1

⑵由题意得:团即团对团恒成立，

易得"?＜（1-3x4-1）.=-1

【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来

获得参数的取值范围是一种常用方法。

[新题导练]

5.(06全国卷二改编)若，则

[解析]3+cos2，r；/[sin(y-x)]=f(sinx)=3-cos2x=3-<1-2sin2x)=2sin2x+2

所以=2x2+2,因此f(cosx)=2cos2x+2=(2cos2x-l)+3=3+coslx

6.(09年潮州金山中学)设目是一次函数，若回且回成

等比数列，则团；

[解析间设胤由回得团，从而回

又由成等比数列得，解得

所以/(x)=2x+l,

/(2)+/(4)+・・・+/(2〃)=[2x2+1]+[2x4+l]+・・・+[2x〃+l]=〃(2〃+3)

7.(华侨中学09届第3次月考(09年中山))设，又记

Z(力=/⑺,九(力=f(人(x))M=12…,则篇8(力=<)

A.；B.；C.；D.；

[解析]C；由已知条件得到0,

团,0,0

可见，是以4为周期的函数，而，所以，

8.设二次函数满足，且其图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为，求的解析

式。

[解析]；设£>6)=a*2+上/+3

由f(x)满足f(x—2)=f(—x—2),可得困数y=f(x)的对称轴为x=-2,所以

由y=f(x)图象在y轴上的截距为1,可得，即c=l

由y=f(x)图象在x轴上截得的线段长为,可得

\x}-x,|=](.+.2)2_4芭工2==>/2

'〜vaa

所以联立方程组，可解得

所以0>)=亍/+-X+1.

考点4:分段函数

题型1：根据分段函数的图象写解析式

[例5](07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药

物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y(亳克)与时间t(小

时)成正比；药物释放完毕后,y与t的函数关系式为闭(a为常数)，如图所示，根据图中提供

的信息，回答下列问题：

(I)从药物释放开妈,每立方米空气中的含药量y(亳克)与时间t(小时)之间的函数关

系式为；

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25亳克以下时，学生方可进教室，那么从

药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室。

［思路点拨］根据题意，药物释放过程的含药量y（亳克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后,

y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决

（II）

［解析］（I）观察图象，当团时是直线，故回；当（3时，图象过团

所以比即同所以回

（I）&所以至少需要经过回小时

【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理,

题型2:由分段函数的解析式画出它的图象

例6］（2006•上海）设函数回，在区间团上画出函数团的图像。

［思路点

拨］需将

来绝对

值符号打开，即先解胤然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。

x2-4x-5-2<x<-V^5<x<6

［解析］/(X)=|X2-4X-5，如右上图.

-U2-4X-5)-i<x<5

【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号

将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。

［新题导练］

9.（09年潮州金山中学）已知函数，则

［解析］2；由己知得到/［f（l）］二f（2x1-3）=/（—1）=（—1-+1=2

10.（06山东改编）设则不等式的解集为

［解析］团：当田时，由回得团得团

当团时，由团得见得团

备选例题1:（2005•江西）已知函数口（a,b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个尖根为

x1=3,x2=4.

（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k>l,解关于x的不等式；团

V-2

［解析］⑴将2=3,4=4分别代入方程---------x+12=0得

ax+b

上71

.刃b解得:二，所以/（幻=

16°b=22-x

-----=-X

Aa+b

（2）不等式即为上一<出+1"—1,可化为"—'+1卜+】<0

2—x2—x2—x

即(x-2)(x-l)(x一外>0.

①当1<A<2,解集为xG(1,k)u(2,-FW).

②当左=2时,不等式为。一2)2(x-l)>0解集为xe(1,2)u(2,+(x));

③当%>2时,解集为xG(1,2)5攵,出).

备选例题2：(06重庆)已知定义域为R的函数口满足

f(/(X)-x2+x)=/(x)-x2+X

(I)若，求；又若，求；

(II)设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式

解：(I)因为对任意xwR,有f(f(x)-x?+x)=,f(x)-f+X

所以f(f(2)-22+2)=/(2)4+2

又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-2?+2,即/(I)=1

若f(0)=a,贝肝(。一。2+o)=。一。2+0,即/(幻二a

(II)因为对任意xGR,Wf(/(x)-x2+x)=/*)一f+兀

又因为有且只有一个实数知使得/(与)=%

2

所以对任意xeR,W/(x)-x+x=x0

在上式中令x=%,有了(X。)一x；+/=%

又因为/'(马)=/，所以%)一片=0,故为=0或Xo=1

若/=0，则/(x)-W+x=0,W/(x)=x2-x

但方程=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故％工0

若犷1，则有/*)-犬+X=1,即/3)=/_]+]易验证该函数满足题设条隼

综上，所求函数为/*(•¥)=/一工+1(xe/?)

★抢分频道

基础巩固训练:

1.(09年广州高三年级第一学期中段考)函数团的图象如图2所示.观察图象可知

Q!

函数y=/(x)的定义域、值域分别是(

A.[-5,0]D[2,6),[0,5]；B.[-5,6),[0,-KX))

C.[-5用32,6),[0什)；D.[-5,转),[2,5]

[解析]c；由图象可以看出，应选择c

2.(09年惠州第一次调研考)某工厂从2000年开始，近八年以来辞产某种产品的情况是：

前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的

产量y与时间，的函数图像可能是()

ABCD

［解析］B：前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随x的变大而变小，后四年年产量

的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，，选B.

3.（2004•湖南改编）设函数团若因思则关于团的方程团的解的个数为

［解析］3:由回国可得以从而方程团等价于

□或口，解口得到口或口，从而得方程口的解的个数为3

4.（05江苏）已知为常数，若，

,则=

［解析］2；因为团，所以

f（ax+b）=（ax+b）2+4（or+b）+3=a2x2（2ab+4a）x+（b2+46+3）

又,所以，

解得或，所以

5.对记，函数

的最小值是（）

A.；B.；C.；0.

［解析］C；作出/Cr）=sinx和g（x）=cosx的图象即可得到函数

f(x)=mar{sinx,cosx}(xGR)的最小值是-----

2

6.（中山市09届高三统测）已知函数回而其中

团0O作出函数用的图象；

［解析］函数例图象如下：

说明：图象过团、团、团点：在区间回上的图象为上凸的曲线段；在区间回上的图象为直线段回

综合提高训练：

7.（09年惠州第二次调研考）如图，动点回在正方体团的衣角线回匕过点回作垂直于平面团的直

线，与正方体表面相交于回.设团，团则函数国的图象大致是（）

［解析］B;过点（3作垂直于平面团的直线，当点团运动时，线与正方体表面相交于团两点形成的轨

迹为平行四边形，可以看出国与团的变化趋势是先递增再递减，并且在团的中点值时回取最大

8.（06重庆）如图所示，单位圆中口的长为口，□口与弦AB所围成的弓照面积的2倍，则

函数□的图像是（）

［解析.D；如图所示，单位圆中团的长为画