高中数学讲义（人教A版必修二）：第23讲 立体图形的直观图

第23课立体图形的直观图

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课程标准课标解读

1、通过阅读课本在认识柱锥台体的图形的基础上，理

1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图解立体图形的直观图的画法。

形的直观图.2、熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图

会.用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球

2形的斜二测画法要领.

以及简单组合体的直观图.3、在认真学习的基础上，提升学生空间向量能力和数

学分析能力，抽象思维能力.

取知识精讲

知识点01水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

【即学即练1】下列结论正确的是

A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等

C.水平放置的三角形的直观图是三角形D.水平放置的菱形的直观图是菱形

【答案】C

【详解】对于A,相等的角在直观图中不•定相等，如•个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三

角形，故错误；

对于B,相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误；

对于C,三角形的直观图仍然是三角形，正确.

对于D,菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误.

综上，正确的命题是C,

故选C.

反思感悟

在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能

多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作

出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点6勺位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点

顺次连接即可.

知识点02空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

(1)回轴：与平曲图形的直观图回法相比多了一个工轴，直观图中与之对应的是轴.

(2)画底面：平面TO'v'表示水平平面,平面#0,平和7O'z'表示竖直平面,按照平面图形的画

法，画底面的直观图.

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

【即学即练2】如图所示，为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列选项中的()

V

A.A.B.□

口

c.D.D.

【答案】C

【分析】根据直观图和原图的关系分析得解.

【详解】由直观图知，该梯形中一边与丁轴平行,即为直角梯形.故答案为C

B能力拓展

考法01水平放置的平面图形的直观图的画法

【典例。如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（）

A.B.

【答案】A

【详解】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为&,

所以在原图形中其中一条对角线必在），轴上，且长度为2夜,

故选：A.

【变式训练】已知水平放置的^ABC按“斜二测画法"得到如右图所示的直观图,

V3

其中Hcr=ccy=LAxy=2,那么原^ABC是一个

A.等边三角形B.直角三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形

【答案】A

【详解】原△ABC中，BO=OC=1,BC=2.A0_LBC,且A0=2A'0'=4•在直角△ABO和AACO中

AB={BO+AOZ==2.AC=2.故△ABC等边三角形

考法02空间几何体的直观图的画法

【典例2].下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（）

【详解】由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面,

由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A.

反思感悟空间几何体的直观图的画法

(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.

(2)西空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.

(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.

考法03直观图的还原与计算

【典例3】已知等边三角形ABC的边长为“，那么△ABC的平面直观图△A9。的面积为()

I.正/B.正"C.&D.&

48816

【答案】D

【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.

24

在图②中作CO~LA'9于则C7T=OCsin45=

所以S,"="A,B,C,D'=-ax^-a=—a2.

△许22816

故选:D.

【变式训练】已知正方形A8CO的面积为4,其直观图是四边形AB'C'D,则四边形A'8'CZ)'的面积是

【答案】0

【详解】按照斜二测画法，边长为2的正方形的直观图是邻边分别为2和1,一个内角为45。的平行四边形,

其面积为2xlx立=&.

2

故答案为：五

【变式训练】如图，正方形的边长为1,它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长

为________

【答案】8

【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案.

【详解】根据直观图，还原原图可得0ABe如图所示：

根据原图与直观图的关系可得，|Q4|=|OW|=1，|。回=2|。0=2应，W0AL0B,

所以|A8|二晒「而『=3,

所以原图形0A8C的周长为3+1+3+1=8,

故答案为：8

反思感悟

由宜观图还原为平面图形的关键是我与X,轴、）/轴平行的直线或线段，且平行于P轴的线段还原时长度

不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接

即可.由此可得：直观图面积是原图形而积的左倍.

4

fii分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（）

A.五棱锥B.三棱柱C.三棱台D.四棱台

【答案】D

【解析】根据几何体的结构判断.

【详解】四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点.

故选：D.

2.若水平放置的四边形AOOC按“斜二测画法〃得到如图所示的直观图，其中C±BC,

AC=\,05=2,则原四边形中A。的长度为（）

A.41B.2夜C.2D.

2

【答案】B

【分析】过点A'作A'COb,垂足为。内求出直观图中的长度即得解.

【详解】解：过点4作AD'-L。^,垂足为

因为AC//07T,AC±BC,AC=1,05=2；

;.0W=肝齐:&，所以原四边形中4。的长度为2OW=2近.

故选：B

3.已知边长为1的菱形ABC。中，ZA=p则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（）

A.9B.亚C.&D.如

2389

【答案】C

【解析】根据直观图和原图面积关系，求得这个菱形的直观图的面积.

【详解】若原图的面积为S,直观图的面积为S',则S=2&£，

原图为菱形，面积为lxlxsin^=更，

32

所以直观图的面积为三二6二限.

272~4x/2~8

故选：C

【点睛】本小题主要考查斜二测面法面积的有关计算.

4.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2

的正方形，则原平面图形的面枳为（）

A.V2B.4&C.8D.872

【答案】D

【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原何原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应

的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可.

【详解】还原直观图为原图形如图所示，

因为。A=2,所以00=2血，还原回原图形后，

04=04=2,08=200=46；

所以原图形的面积为2x4&=8&.

故选：D

5.如图，一A9C是水平放置的的斜二测直观图，.A'夕C为等腰直角三角形，其中。'与/V重合,

4*=4,则M8C的面积是（）

【答案】B

【分析】利用勾股定理可求得OC'=2&，可还原.ABC,由此可求得结果.

【详解】A£=4,aCLBC,0c=8'C,,oe=2&,

则ABC如图所示，

其中AB1AC,AB=4,AC=4上，:.SABC=^ABAC=3>/2.

故选：B.

6.如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。的等腰梯形，已知直观图QA'8'C的面枳

为4,则该平面图形的面积为（）

A.B.4X/2c.8&D.2五

【答案】C

【解析】由原图的面积是直观图面积的2夜倍即可求解.

【详解】已知直观图OA5C的面积为4,

所以原图的面积为2&x4=8&，

故选:C

【力、睛】本题主要考查了斜二测面法，切要掌握原图的面积是直观图面积的2&倍，属于基础题.

二、多选题

7.利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（）

A.三角形的宜观图是三角形B.正方形的宜观图是正方形

C.菱形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图是平行四边形

【答案】AD

【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.

【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行

于¥轴的线段长度减半.

对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为45或135,长度减少为原来的一半，依然是三

角形，所以A正确；

对干B中，正方形的直角，在直观图中变为45或135,不是正方形，所以B错误；

对干C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45，所以菱形的直观组不是菱形，

所以C错误；

对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.

故选：AD.

8.如图，AA厅（7是水平放置的4AC的直观图，■石，则在原平面图形4AC中，有

()

A.AC=BCB.AB=2

C.AC=2>/5D.Sgsc=4五

【答案】BD

【分析】将直观图.A'FC还原为原平面图形A8c即可求解.

【详解】解：在直观图A8C中，过C作CD_LA'6‘于N

4'Zr=2,A'C'=4'C'=6，

•••A!D'=1CD=4A!C2-AfD,2=2，

又NC'OD'=45,所以077=2,OfA=\,0C=2叵,

所以利用斜二测画法将直观图..A8c还原为原平面图形ABC,如图

0C=4夜,OA=1,A8=2,故选项8正确;

又AC=JOA2+OC2=版AC=JOB2+OC2=向，故选项小C错误;

SMC=JXA8XOC=；X2X4a=4/，故选项。正确;

故选：BD.

三、填空题

9.如图，AOE是用斜二测画法得到的》。8的直观图，其中。4'=2,。8'=3,则AB的长度为

【分析】在原图形中作出A5,然后由勾股定理计算.

【详解】如图，在原图形中，04=2,08=6,

"=@+62=2厢,

故答案为：2M.

10.一个腰长为5,底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为

B'

【答案】3拒

【分析】根据直观图与原图形的面积关系直接求得.

【详解】一个腰长为5,底边长为8的等腰三角形的面积为：lx8x

即原图形的面积为12.

由箸曳=［得：直观图的面积为i2xl2=3及.

'原图形44

故答案为：3后.

11.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是

【答案】2夜

【详解】由直观图可知，在直观图中，正方形的对角线长为《，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观

所以原图图形为平行四边形，底面边长为1,位于y轴的对角线长为2加,

所以原来图形的面积为S=lx2&=2&.

故答案为：2叵.

12.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），ZABC=45°,AB=AD=2,DC1BC,

【答案】8+272##2X（4+X/2）

【分析】根据所给的直观图中直隹梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的2万

倍，求出平面图形的面积.

【详解】因为直角梯形2A8C=45。，AB=AD=2,/.BC=2+>/2

所以直观图的面积是（诋亚=]+2近

2

因为原来的平面图形面积是直观图面积的2夜倍，

所以平面图形的面积是2夜x（2&+l）=8+2应

故答案为：8+2及

四、解答题

13.如图的长方体ABC。—A4GA.

（i）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

（2）用平面8CFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何为还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与

侧棱.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】（1）根据棱柱的定义判断；

（2）根据棱柱的定义判断.

【详解】⑴这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义.

⑵截面BC在右侧部分是三棱柱，它的底面是-8E片与ACFG,

侧棱是石/、B£、BC,截面左侧部分是四棱柱,

它的底面是四边形A83与四边形。CFA，侧棱是A。、BC、EF.AR.

14.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图.

【答案】见解析

【分析】由题意，得到该几何体是底面为正方形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，根据题中数据，结合

由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，

其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.

【点睛】本题主要考查由几何体的平面展开图画出几何体的直观图，熟记简单几何体的结构特征，以及斜

二测画法的原则即可，属于常考题型.

15.画图中水平放置的直角三角形的直观图.

【答案】作图见解析

【分析】根据斜二测画法作图即可.

【详解】如图所示.

去掉作图痕迹,如图,

题组B能力提升练

一、单选题

1.如果•个正方形的边长为4,那么用斜二测画法画出其直观图的面积是（）

A.2&B.4&C.8D.16

【答案】B

【解析】由斜二测画法的原则：横等纵半，即得直观图面积为原几何图形的写出直观图面积即可.

4

【详解】若斜二测画法所得正方形如下图A8O,根据横等纵半知：A9=C77=4,AD'="C=2且

47yC=45。，

「•直观图的面积S=AFSD'-sin45°=472，

故选:B.

2.如图，平行四边形0W9C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OW=5,O'C=2,/A'Or'=30,

则原图形的面枳是（）

RA

A.4B.10x/2C.4x/2D,5&

【答案】B

【分析】求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为2a:1,计算即可.

【详解】解：平行四边形。'A&C中,OW=5,0'C'=2,NAOC=30,

所以平行四边形。4'8'C的面积为S'=O'AO'C'-sin30=5x2xl=5,

所以原平面图形的面积是S=2后，=2&x5=10上.

故选：B

3.如图，是斜二测画法画出的水平放置的A8C的直观图，。是"。的中点，且A。'//），轴，夕C/"

轴，A77=2,8c=2,那么（）

A.AD的长度大于AC的长度B.8c的长度等于A。的长度

C.M5c的面积为1D.的面积为人

【答案】D

【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.

【详解】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，

据此分析选项:

对千A,AD1BC,则有AC>/1D,A错误；

对于B,BC=B'C=2,AD=2A,U=4,B错误:

对干C,ABCmiS=-^C.AD=4fC错误;

对千D,..A后。的面积S=包S=&,D正确.

故选：D.

4.用斜二测画法画水平放置的A8C的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形二A'8'C.已知点0'是斜边

*C'的中点，且4©=1，则4BC的边8c边上的高为（）

B'O'\Cx

c.&D.2拉

【答案】D

【分析】在直观图中A'C//）/轴，可知原图形中AC〃y轴，故人。13。,八七二；4。,求直观图中4仁的

长即可求解.

【详解】•••直观图是等腰直角三角形4'8'C,?8%C90,1。=1,.•.人七=正,根据直观图中平行于

）轴的长度变为原来的一半，

£A8C的边8c上的高AC=2At=2应.故选D.

【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.

5.若水平放置的四边形A08C按“斜二测画法〃得到如图所示的直观图，其中/TC'_LB'C,

4C'=I,OB）=2,则原四边形A08C的面枳（）

C.3拒

【答案】C

【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积.

【详解】解：由斜二测画法的直观图知，

所以原图形。八。8中，ACHOB,0A10B,AC=1,08=2,AO=2NO=2义丘=2丘,

所以梯形。AC3的面积为S=：x(l+2)x2上=3夜.

故选：C.

6.已知某儿何体的一条棱的长为钝，该棱在正视图中的投影长为迷，在侧视图与俯视图中的及影长为〃与

〃，且。+人=4,则机的最小值为()

A.石B.—C.yflD.2

2

【答案】C

【分析】根据三视图的定义，构造•个长方体，利用长方体的边长关系，求得m的表达式，利用基本不等

式，即可求得答案.

【详解】如图：构造长方体

设AE=〃?，在长方体中，0E为正视图中投影，8E为侧视图中投影，AC为俯视图的投影,

则。七=太，BE=a,AC=b,

设AB=x,BC=y,CE=z,

则W+jF+zZ="/,x2+z2=6,x:+y2=h2,y2+z2=a2,

所以2(/+)，2+z2)=/+〃2+6,即2〃/=/+〃+6,

由于2(/+/)2(4+初2,

所以加2=6+彳+叭3+(竽］=7,解得胆之力,

当且仅当a=8时等号成立，

故选：C.

【点睛】解题的关键是构造长方体，利用三视图的定义，得到对应的投影，再根据边长的关系求解，考查

利用基本不等式求最值问题，综合性较强，属中档题.

二、多选题

7.如图，四边形ABC。的斜二测直观图为等腰梯形AB'C。，已知A'8'=2CZ7=4,则()

A.A£>'=也

B.BC=2&

C.四边形A8c。的周长为6+2&+

D.四边形ABC。的面积为6夜

【答案】ACD

【分析】利用斜二测画法的规则，逐个求解边长，根据选项可得答案.

【详解】由已知等腰梯形中，/"4'9=45。，49=267)'=4,所以46=拒,

由斜二测画法得，在原图直角梯形A8C。中，AB=2CD=4,AD=2瓜ZBAD=^,易得4c=2后,

2+4

所以四边形A8CQ的周长为6+2贬+26,面积为x2&=6夜.

2

故选：ACD.

8.长方体ABC。一的长、宽、高分别为3,2,1,则（）

A.长方体的表面积为20

B.长方体的体积为6

C.沿长方体的表面从4到G的最短距离为3亚

D.沿长方体的表面从八到G的最短距离为2石

【答案】BC

【解析】由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧

面展开图去计算，即可求解正确答案.

【详解】长方体的表面积为2x（3x2+3xl+2xl）=22,A错误.长方体的体积为3x2xl=6,8正确.如图（1）

所示，长方体中，A8=3,BC=2,.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平

面图形，如图（2）所示，将侧面从网4和侧面8CGq展开，

则有AG=7FTF=而，即经过侧面人叫A和侧面BCGM时的最短距离是后；如图门）所示，将侧

面A网A和底面A展开，则有4G=,32+32=375，即经过侧面ABHA和底面A4CQ时的最短距

离是3&：如图（4）所示，将侧面AOAA和底面AMGQ展开，

则有AC{="2+22=2后，即经过侧面ADRA和底面A4CQ时的最短距离是2万.因为3&<2后〈后,

所以沿长方体表面由4到G的最通距离是3亚，C正确，。不正确.

故选：BC.

【点睛】本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考杳空间想象能力，属于基础题.

三、填空题

9.已知一个正方形的边长为2,则它的直观图的面积为.

【答案】72

【分析】根据直观图面积是原图形面积的走倍即可得出结果.

4

【详解】由题意可知，原图形面积为S=2?=4,

又直观图面积是原图形面积的正倍，所以直观图的面枳为4x店=人.

44

故答案为：y/2

10.已知四棱锥的底面是边长为、伤的正方形，侧棱长均为逐.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧

棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.

【答案】一

4

【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.

【详解】由题意四棱锥的底面是边长为友的正方形，侧棱长均为石，借助勾股定理，可知四棱锥的高为

G=2,.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为g,一个底面的圆心

为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1,故圆柱的体积为乃

【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.

11.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体

的长、宽、高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8m,若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观

图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为.

【答案】4cm,Q.Scm,2cm,1.6cm.

【解析】通过1：500的比例以及画直观图的规则，可得解.

【详解】由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm,1cm.2cm和1.6cm,再结合直观图,

与：《,z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原图的;，则图形的尺寸应为4cm,0.5cm,2cm,

1.6cm.

【点睛】本题考查了立体图形的直观图，考查了学生直观想象，数学运算的能力，属于基础题.

12.如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是△OWZT,其中OF=48'=4,则该直观图所表示的平

面图形的面积为.

【答案】1672

【分析】根据斜二测直观图的作图方法还原平面图，即可求出其平面图形的面积.

【详解】由题：在直观图中OE=A'8'=4,=f,所以/OW*=f,N4EO'=£,

442

所以OW=4＞回，

还原平面图：

08=4,04=200=8夜，

所以直观图面积S=，4x8&=16夜.

故答案为：16人

题组C培优拔尖练

1.画出图中水平放置的四边形A8C。的直观图

3

2

一肥；广・/匚7二丁・丁二才・・・・・•…-

【答案】图见解析.

【分析】在四边形A8CO中，过A作出x轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.

【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知4C在南应点A'(3,1),C'(O,；),而8、。对应点工。

位置不变，如下图示：

14.画长、宽、高分别为4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.

【答案】画图见解析

【分析】可根据斜二测画法的规则，画出底面长方形的直观图，并计算出各边长长度，然后分别作出相应

平行与垂直等线段再连接即可.

【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形，

I3

其中00=04=4,0'。'=［。。==,N4(7C=45',

22

作Oz'_L底面AO'C,在Oz'轴上截取OE=2,

过C作CB'。欠，使C7T=4,过A'、

B'、C分别作ARkG、CH平行于OE且等于。石，

连接EF,FG,EH,HG可得长、钳、高分别为4cm