高考2023人教A版高中数学变式题85 空间直线、平面的平行

8.5空间直线、平面的平行

8.5.1直线与直线平行

例1如图8.5-3,空间四边形A8CQ中，E,F,G,〃分别是边AB,BC,CD,QA的

中点.求证：四边形是平行四边形.

分析：要证明四边形£7（汨是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而

FG分别是八ABD和©D的中位线，从而它们都与3。平行且等于33的一半.应用基

本事实4,即可证明尸G.

证明：连接

*/EH是△430的中位线，

:.EH//BD,且EHJBD.

同理FG//BD,且FG=：BD.

EH^FG

:.四边形EFGH为平行四边形.

练习

1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什

么？

【答案】互相平行，理由见解析

【解析】

【分析】

根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，形状还是全等的矩形，

即可得到结论.

【详解】互相平行，因为根据对折可知：每对折一次，把矩形纸片分成的部分翻倍，

形状还是全等的矩形，所有的折痕都与矩形的边平行，故打开后所有折痕是互相平

行.

【点睛】本题考查了图形的变化，解题的关键是：根据对折把矩形纸片分成的部分

翻倍，形状还是矩形，，属于基础题.

2.如图，在长方体中，与棱AA平行的棱共有几条？分别是什

么？

【答案】共3条，分别是

【解析】

【分析】

根据图形，4A是长方体的高的棱，找出其它的表示高的棱即可.

【详解】如图，与棱A4'平行的棱有共3条.

【点晴】本题考杳了对长方体的认识，明确表示长的棱，表示宽的棱，表示高的棱

是解题的关键，属于基础题.

3.如图，M近CC不共面，且BB,求证：^ABC=^ABC.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由已知条件推导出四边形是平行四边形，四边形ACCW为平行四边形，由

此能证明A/WC=AA'8'C'.

【详解】・.•"“一,,四边形ABMA是平行四边形,

/.AB=AB.

同理BC=8'C'.

•/AA//CC.

AA//CC'.

*/AA=BB,BB=CC'：,AA=CC.

・♦・四边形ACCW是平行四边形，

AC=AC，・•.MBC=AA'HC.

【点睛】本题考查三角形全等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培

养，属于基础题.

4.如图，在四面体4—BCO中，E,尸，G分别为AB,AC,A。上的点.若

EF//BC,FG//CD,贝ij-£FG和△8CQ有什么关系？为什么？

A

【答案】AEFG^：BCD,证明见解析

【解析】

【分析】

利用线线平行，再利用等角定理即可得到AEFGSABCO.

【详解】dEFGsBCD,证明如下：

AE_AF_EF

-EF//BC,~AB~~XC~~BC

AFAGFG

FG//CD,~AC~^D~~CD

AEAG

~AB~~ADs.EGHBD.

由等角定理可得4EFG=/BCD,ZFGE=NCDB,ZGEF=ZDBC,

EFGsBCD.

【点睛】本题考查线线平行，平行线分线段成比例，属于基础题.

8.5.2直线与平面平行

例2求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

已知：如图8.5-7,空间四边形A3CD中，E,尸分别是A8,AO的中点.

求证：EF〃平面BCD.

证明：连接80.

VAE=£B,AF=FD，

・•・EF//BD.

又平面8cO，BOu平面BCQ,

・・・斯〃平面BCD.

例3如图8.5-10(1)所示的一块木料中，棱平行于面A'C.

(1)要经过面4C内的一点尸和楂用。将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？

(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？

分析：要经过面AC内的一点。和棱3C将木料锯开，实际上是经过3c及3c外一点。

作截面.，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.我们可以依据直线与平面平行的性质

定理、基本事实4和推论I画出所需要的线段.

(1)(2)

图8.510

解：(1)如图8.5-10(2),在平面AC'内，过点P作直线EF，使EF〃8C,并分别交

棱Ab,DC于点、E,F,连接8£,C/，则敏，BE,C77就是应画的线.

(2)因为棱3C平行于平面AC,平面8C与平面AC相交于Ac',所以6C7/8'C.

由(1)知，EF//BC,所以及7/AC.而3c在平面AC内，石厂在平面4C外，所以

E/〃平面AC.

显然，BE,。尸都与平面AC相交.

练习

5.如图，在长方体ABCD-A'EC'D的六个面所在的平面中，

（1）与A8平行的平面是

（2）与A4'平行的平面是______

（3）与AO平行的平面是______

【答案】①.平面AEC。'，平面DCCD9②.平面BCC”'，平面DCCD

③平面平面3CC%'

【解析】

【分析】

（1）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.

（2）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.

（3）根据线面平行的判定定理填写出正确结论.

【详解】（1）由于A吐平面ABC。'，A2u平面ABC'。'，所以

A8//平面A'3C。’.同理证得A8//平面DCCD.

（2）由于A47/88,AA/平面BCC3,83匚平面以口78,所以A4//平面

BCC’8.同理证得AA//平面DCCD.

（3）由于AO//A万,AON平面A'8'C力,A万u平面ABC。'，所以A。//

平面ABC.同理证得AD//平面BCCB.

故答案为：（1）.平面A*C7X,平面"VD：（2）.平面8CC%'，平面DCC'D；

（3）.平面ATT。'。，平面BCC'B'.

【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.

6.如图，在正方体A5CO-A4G。中，E为。。的中点，判断8R与平面AEC的

位置关系，并说明理由.

【答案】瓦4//平面A£C.见解析

【解析】

【分析】

通过三角形的中位线以及线面平行的判定定理，证得80//平面AKC.

【详解】瓦］//平面A£C理由如下：

如图，在正方体ABCD-ABIGR中，

连接8。交4c于点F,则〃为8。中点.

连接放，

又・・・E为。2的中点，E/是ABD。的中位线，/.E尸//8".

•••BRa平面A£C,EFu平面A£C,

82〃平面4瓦\

【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属

于基础题.

7.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“十，错误的画“x”.

（1）如果直线〃//〃，那么。平行于经过6的任何平面.（）

（2）如果直线。与平面。满足a//a,那么。与。内的任何直线平行.（）

（3）如果直线。，h和平面a满足a//a,blla,那么a//。.（）

（4）如果直线q,〃和平面。满足。//力，alia,baa,那么〃//a.（）

【答案】①.x②.x③.x④Z

【解析】

【分析】

（1）根据在以。力确定的平面内”，由此判断（I）错误.

（2）根据。与《内直线可能异面，判断（2）错误.

（3）根据可能平行、相交或异面，判断（3）错误.

（4）根据线面平行的性质定理和判定定理，以及平行公理，证得〃//a,由此判

断（4）正确.

【详解】（1）。不平行于同时过a,〃这两条直线的平面.

（2）。与。内的直线有平行和异面两种位置关系.

（3）。与匕可能出现三种位置关系：平行、相交、异面.

（4）已知a//。，a//b,baa、过。作平面夕交a于直线c,则a//c,所以

bile,所以。//a.

故答案为：（1）x（2）x（3）x（4）4

【点睛】本小题主要考查线线、线面平行的有关命题真假性的判断，属于基础题.

8.如图，ccc0=a,bua,CJ/?,bile,求证4〃Z?//c.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

首先根据线面平行的判定定理,证得人〃〃；再根据线面平行的性质定理证得8/3,

由平行公理证得。//c,从而证得a//〃//c.

【详解】•:bua,acB=a,:.baB.

t:b!/c,cc/3,:.b1/0,

bua、acp=a,

:.h/lay:.al/c,

：.a/Ibl/c.

【点睛】本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查平行公理，属于基

础题.

8.5.3平面与平面平行

例4已知正方体ABCO-AgG。（图8.5-16）,求证：平面4与。“平面

证明：:ABC。-A4GQ为正方体，

4”线.

・・・DC[AB.

・•・四边形O,C,BA为平行四边形.

・•・D\AgB.

又。A（Z平面6CQ,。3匚平面8。1。,

・・・。4〃平面8。1。.

同理。4〃平面8G。.

又=。…

・•・平面人与。〃平面3G。.

例5求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

如图8.5-19,a〃/,ABHCD,且Awa,Cea,BG/3,De/7,求证AB=CO.

证明：过平行线A8,CD作平面/,与平面a和夕分别相交于AC和30.

•・•allp,

・•・BD//AC

乂AI3//CD，

・•・四边形A3OC是平行四边形.

AB—CD.

练习

9.判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由；若错误，则举出反例.

(1)已知平面a,/和直线"2，〃，若mua,〃ua,mlipf〃//＞则a//夕.

(2)若一个平面。内两条不平行的直线都平行于另一个平面夕，则

(3)平行于同一条直线的两个平面平行.

(4)平行于同一个平面的两个平面平行.

(5)一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.

【答案】(1)x(2)4(3)x(4)Y(5)Y

【解析】

【分析】

(1)缺少条件：mV\n=P；(2)符合判定定理；(3)两个平面也可以相交；(4)(5)

均符合.

【详解】解：(1)已知立面。，夕和直线加，〃，若mua,〃ua,mllp,〃//〃则

allp,缺少条件：加n〃=p,故错误;

（2）若一个平面a内两条不平行的直线都平行于另一个平面夕，则。//6，符合

平面与平面平行的判定定理，故正确；

（3）平行于同一条直线的两个平面平行，次两个平面也可以相交，故错误；

（4）平行于同一个平面的两个平面平行，正确；

（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交；正确.

【点睛】本题主要考查百:线与平面平行的判定与性质、平面与平面平行的判定与性

质，注意灵活运用定理进行判断.

10.平面。与平面£平行的充分条件可以是（）

A.。内有无穷多条直线都与月平行

B,直线〃//£,且直线a不在。内，也不在夕内

C.直线auc,直线忆0,且bf/a

D.a内的任何一条直线都与万平行

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面与平面平行的判定定理一一进行判断，可得正确答案.

【详解】解：A选项，。内有无穷多条直线都与月平行，并不能保证平面。内有两

条相交直线与平面£平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；

B选项，直线a//a,alIp,且直线a不在a内，也不在△内，直线a可以是平行平

面a与平面夕的相交直线，故不能保证平面a与平面P平行，故B错误；

C选项，直线。ua,直线bu0,且。//夕，A//a,当直线。〃〃，同样不能保证

平面a与平面夕平行，故C错误；

D选项，a内的任何一条直线都与£平行，则。内至少有两条相交直线与平面夕平

行，故平面。与平面£平行；

故诜:D.

【点睛】本题主要考查平面与平面平行的判断，解题时要认真审题，熟练掌握面与

平面平行的判定定理，注意空间思维能力的培养.

11.如图所示，正方体ABCO-AUGP中，M、N、E、产分别是棱力内、

4R、BC、的中点.求证：平面AW〃平面EED3.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

连接MF,由线面平行的判定可得AM//平面EFDB,同理可得AN//平面EFDB,

再由面面平行的判定即可得证.

【详解】证明：连接M”，如图，

•・・M、/是4片、GA的中点，四边形AgG。为正方形,

.•・加///42且=,

又A。//八。且A。=A。，・・・MFHAD目.MF=AD,

・•・四功形/U/W）是平行四边形.

・•・AM/IDF.

•：DFu平面EFDB,AMa平面硝

：・AM//平面EFDB,同理4V//平面瓦7)8,

r

又AWu平面4VM,ANu平面AVM,AM\AN=At

/.平面AMN//平面EFDB.

12.如图，平面口///7,7门。=亿产门/?二力,。(-/?,6//〃.判断。与2,c与。的位置关

【解析】

【分析】

由题意、a//。，7ca=a,yc0=b,cu0,,由平面与平面平行的性质定理可得a//〃,

由。〃力可得c//a,由直线与平面平行的判定定理可得c//a.

【详解】解：c//o,c//a.理由如下：

・・•平面a〃A，/ca=a,/c/?=b,a///?.

又c/c//〃.又aua,caa,c//a.

【点睛】本题主要考查平面与平面平行的性质定理及直线与平面平行的判定定理，

需注意定理的灵活运用.

习题8.5

复习巩固

选择题

13.若直线a不平行于平面a,则下列结论成立的是

A.。内的所有直线都与直线a异面

B.。内不存在与a平行的直线

C.）内的直线都与a相交

D.直线a与平面a有公共点

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：直线。不平行于a,包括两种情况：aca或。Qa=尸，当aua

时，c内的所有直线都与直线a共面，A错；当oua时，a内必然有直线与直线a

平行，B错；从而C也错；当aua,直线和平面有无数个公共点，当=尸，

直线a与平面a有唯一公共点，D正确.

考点：直线和平面的位置关系.

14.已知直线/和平面如若/〃a,Pea,则过点P且平行于/的直线（）

A.只有一条，不在平面〃内

B.只有一条，且在平面a内

C.有无数条，一定在平面。内

D.有无数条，不一定在平面a内

【答案】B

【解析】

【分析】通过假设过点。且平行于/的直线有两条〃?与〃，由平行公理可得，〃〃〃，这

与mr矛盾.

【详解】假设过点「且平行于/的直线有两条加与〃，，加〃/且〃〃/,

由平行公理得〃?〃〃,这与两条直线机与〃相交与点夕相矛盾.

故选：B.

15.已知平面冬夕和直线a,b,c,al/bI/c,aua,bup、cu/3,则。与《的位置

关系是_________.

【答案】平行或相交

【解析】

【分析】

可通过对两平面。，夕位置关系分类讨论，研究符合题意的位置关系.

【详解】若a//人可以保证存在直线C且a//"/c,aua,b,cup,故平行关系

有可能；

若“A斤/，且〃//6//67",此种情况下也能保证存在直线c且allbllc,6/C6：,

b,cua故两面相交也有可能，

由上讨论知，在题设条件下，。与尸的关系是平行或相交，

故答案为：平行或相交.

【点睛】本题主要考查平面与平面的位置关系的判断，考查了分类讨论思想与空间

想象能力，属于基础题，

16.如图，在长方体木块A8C。-中，面4G上有一点P，怎样过点尸画

一条直线与楂C。平行？

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据平行公理，只需在面AG内，过点p作直线EF//G。即可.

【详解】在面AG内，过点尸作直线后尸，

使EF//CR,分别交校于点区F,

因为CO//GA,

所以CD//EF,

即EF就是过点P与棱CD平行的直线.

【点睛】本题主要考查平行公理的应用，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用

所学知识解答问题的能力，属于基础题.

17.如图，在长方体A3CO-A'夕C'。'中，E,尸分别是A8,3c的中点，求证

EFUA'C'.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质证明A'C'//AC，根据三角形中位线证明后产//AC,再由平行

公理可得结论.

【详解】

连接AC

•・•在长方体48CD-ARC'D中，AA/JCC.

・•・四边形ACCAr为平行四边形.

A'C/ZAC.

又•・・£：,尸分别是AB,BC的中点，••.M//AC,.・.EF〃A'C.

【点睹】本题主要考查长方体的性质，考查了平行公理的应用，意在考查对基础知

识的掌握情况，属于基础题.

18.如图，在四面体。-ABC中，E,F,G分别是A8,BC,C。的中点，求证：

⑴B。//平面EFG；

⑵AC〃平面EFG.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由三角形中位线的性质可得RJ//BD,再由线面平行的判定定理可得结论；

（2）由三角形中位线的性质可得所〃AC,再由线面平行的判定定理可得结论.

【详解】（1）RG分别是8C,C。的中点，.•/G//EZ

•••3OU平面由G,PGu平面E/C

.•.阴）〃平面EFG.

（2）EF分别是AB,3C的中点，/.E尸//AC,

・・・AC（Z在平面EFG,即匚平面所6,「.47//平面"6

【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的

关键是设法在平面内找到一条与己知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理

利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平

行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平

面.

19.如图，a,是异面直线，画出平面。，使〃ua,且8//。，并说明理由.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

在直线〃上取一点。过点。作b//b,则由〃与5确定的平面。即为所求，利用线

面平行的判定定理可证明结论.

【详解】在直线a上取一点。，过点0作〃'//,则由。与//确定的平面。即为所求.

理由：如答图，aua；6ua,b〃b昱baa,所以〃//a.

a

【点睛】本题主要考查作图能力，考查r线面平行的判定定理，意在考查灵活应用

所学知识解答问题的能力，属于基础题.

20.如图，acp=CD、acy=EF,pcy=AB,AB/la,求证CD//EF.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

直接利用线面平行的性质定理证明A8〃CZ),AB//EF.再利用平行公理可得结论.

【详解】证明：•.0cy=AB、;.ABu0.

•・•AB//a」3ca=CD,:.AB//CD.

同理AB//E/,于是CD//EF.

【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理以及平行公理的应用，意在考查对基本

定理掌握的熟练程度，属于中档题.

21.如图，直线相交于点o,AO=AO,BO=BO,CO=CO,求证：平

面A8C〃平面A3'。'.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

利用全等三角形的性质以及平行线的判定定理可得AC〃4C，，从而由线面平行的

判定定理可得AC//平面A'8'C,同理可证A8〃平面A'8'C,进而由面面平行的

判定定理可得结论.

【详解】•.A4'与CC’相于点ZAOC=ZAOC.

又AO=A0X0=C“OAC^OAC.

NCAO=NC40,「.AC//AC'.

又AC(Z平面ABC，ACu平面ABC.

/.AC//平面AAC;同理可证A8〃平面A'3'C.

又ABi平面ABC,ACu平面48C,ABcAC=H,

・♦•平面ABC//平面

【点睛】本题主要考查线面平行的判断、面面平行的判断，解答过程中一定要注意

线面平行的判定定理与面面平行的判定定理的应用条件•，本题属于中档题.

综合运用

22.如图，E?分别为长方体4BCD-A夕C7X的棱AO,AD的中点，求证

ZBEC=ZBEC.

AB

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

分别利用平行四边形的性质可证明BE//B'E,CE//CZ',结合N3EC=N3Z'C'方向

相同，从而可得结论.

【详解】证明：连接EE'

•・•E,E分别是AD,4万的中点,

:.EE//AA.

又在长方体ABC。—A8CQ中，AAHBBHCC.

..EE//BB,EE//CC.

・・・四边形BEEB与CEE'C都是平行四边形.

/.BE//BE\CE//CE.

又因为NBEC=NB'E'C'方向相同,

/./BEC=/BEC.

【点睛】本题主要考查长方体的结构特征，考查了等角定埋的应用，同时考查了空

间想象能力，属于基础题.

23.如图A3//a,AC//B£),Cwa,O£a,求证4c=30.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

连接C。，则平面48OCca=CQ,由线面平行的性质定理可得A8//CD,从而得

四边形A8OC是平行四边形，进而可得结果.

【详解】如图，连接CD

AB

c

-AC//BDyAB,C,D共面，

/.CeffiABDC,平面八BQC,CDu平面ABOC

,/Cea,Dea,CDua,

・•・平面AZ?£>Cca=CQ.

•・•AB//a,:.AB//CDt

・・・四边形ABDC是平行四边形.AC=BD

【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.应用线面平行的

性质定理时，一定要注意线面平行与线线平行的转换.

24.如果平面外的两条平行直线中的一条直线平行于这个平面，那么另一条直线也

平行于这个平面.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】根据题意，利用线面平行的性质，得到线线平行，再利用线面平行的判定，

可得线面平行.

【详解】过两条平行直线中的一条直线。作平面夕，与平面。交于直线c.

alia,:.al!c.•.allb>:.b!!c.

•：baa,cua,:.b//a

【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，解决相关问题时，我们常利

用辅助平面把空间问题转化为平面问题.

25.一木块如图所示，点P在平面出。内，过点P将木块锯开，使截面平行于直

线和AC,应该怎样画线？

V

【答案】画线见解析.

【解析】

【详解】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定.

试题解析：过平面I2C内一点P作直线DE力交12于D，交IZ?于E：过

平面IRT内一点。作直线OF"T3,交AB于F,则DE,OF所确定的截面为

所求.

考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用.

26.如图，allplly,直线。与b分别交以/〃于点A,B,C和点。，E,F,求

、丁ABDE

I止TT：=-T-•

BCEF

b

【答案】见解析

【解析】

【分析】

连接A尸交4于点连接MB,CF,ME,AD,由面面平行的性质定理可得BM//CF,

所以建二黑'同理可得爱二等’从而可得结果.

【详解】证明：如图，连接A”交夕于点连接CF,ME,AD.

因为尸〃7,尸C平面Ab=BM,/I平面ACr二C『,

“—,,,ABAM

所以BM〃CF,所以=：二6•

BCMF

同理加£7/82口组DE

=

MF~EF

…ABDE

所以力；=

BC~EF

【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理的应用，考查了空间想象能力，证明过

程要注意线面平行的性质定理应用的条件、本题属于中档题.

拓广探索

27.如图，a,Z?是异面直线，aua,a//B，bu0,b1/a,求证；a/10.

y

b

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

如图，过直线h作平面7,平面/与。相交于直线C,C与。交于点P.先证明c//〃,

又

alip且〃cc=P，所以a///7得证.

【详解】

如图，过直线〃作平面了,平面/与。相交于直线c,C・与。交于点尸.

■:acy=c，Bcy=b，b/1c.

又人u平面民CZ平面产，，。//夕.

又。//?且ace二P,「.a///?.

【点睛】本题主要考查空间直线平面平行位置关系，意在考查学生对这些知识的理

解掌握水平.

28.如图，透明塑料制成的长方体ABCD-ABCD内灌进一些水,固定容器底面一

边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：

①有水的部分始终呈棱柱形：

②没有水的部分始终呈棱柱形；

③水面EFGH所在四边形的面积为定值；

④梭AD始终与水面所在平面平行；

⑤当容器倾斜如图⑶所示时，BE・BF是定值.

其中所有正确命题的序号是一.

(I)(2)W

【答案】①②④⑤

【解析】

【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.

【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行FL是全等的多边形，其余每相邻

两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确：

因为水面EFGH所在四边形，从图2,图3可以看出，有两条对边边长不变而另外

两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，③不

对；

因为棱A。始终与8c平行，8C与水面始终平行，所以④正确;

因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即BE・BF

是定值，

所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，

故填①②④⑤.

【点睛】本题主要考查了棱柱，棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积，属于中档

题.

变式练习题

29.如图，E,尸分别是长方体/IBCQ-ASGQi的楂AM,GC的中点.求证：四边

形3EQF为平行四边形.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】结合线线平行以及平行四边形的知识来证得结论成立.

【详解】由于瓦尸分别是长方体A3c。-的中点，

设G是。。的中点，连接CQ,

根据长方体的性质可知==且B\E〃GG〃DF,

所以四边形B.EDF是平行四边形.

\-----------------------------------*C、

二

E<^二二________________

kL

AB

30.如图所示，04OB,OC为不共面的三条线段,点A1，B|,G分别是。4

次"上的点,且巡脸嚷成立.求证:，

.iAjBjCj~A.ABC.

息

B

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据第=绦=第，可得4与〃"，4。/4。*©〃区。进而通过平行线得两

OAOBOC

个角ZC,A^,=/CAB和44G=/ABC对应相等，即可证明AA8c〜MBC.

OA.OB

【详解】证明；在中,因为奇'二方X，

OAOB1

所以

同理可证AG〃AC,4G〃BC.

所以NGA4=NCA8/A4G=/A8C.

所以M旦G〜AABC.

【点睛】本题考查了通过线段成比例，证明线线平行，根据空间中角的两边分别平行

判断两个角的关系,属于基础题.

31.如图，在正方体人6CQ-4SG。】中，E,F,G分别是BC,CG,的中

点，求证：£/〃平面AUG.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

连接BG,由四边形A8GQ是平行四边形，可得进而E/〃BG,利用

线面平行的判定定理证得命题成立.

【详解】连接BG,则由E,厂分别是BCCG的中点，知足尸〃3G.

又AB&AiBi&DCi,所以四边形4BGQ是平行四边形，

DyCi

所以BG〃人£>i,所以斯〃AOi.

又E/C平面AD\GfAOiU平面AD\Gt

所以EF〃平面AOiG.

【点睛】本题考查线面平行的判定定理，考查学生的直观想象能力与逻辑思维能力,

属于基础题.

32.如图所示，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，

在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：AP//GH.

【答案】见解析

【解析】

【分析】连接AC交BD与0,可证PA〃平面BDM,再利用线面平行的性质定理即可

证得GH〃AR

【详解】证明：如图，连接AC交BD于点O,连接MO.

p

在^APC中，MO是aAPC的中位线，

，MOZ/PA

XPA2平面MBD,M0U平面MBD,

/.PA//平面MBD

又平面GAPn平面BDM=GH.PAu平面GAP

・•.PA//GH

33.如图所示，已知正方体力腼一46£〃.

⑵若反尸分别是44,CG的中点，求证：平面旗〃〃平面侬Z

【答案】（1）见解析；12）见解析

【解析】

【详解】试题分析：（1）由BBJ/DR,得BQJ/BD,进而证得平面48。//平面

B.CD,

（2）由4E//4G,得8g//AG,再由AG//OF,则与石//。尸，进而证得。/〃

平面,即可得到结论.

试题解析：

⑴因为BB1〃DD1,所以四边形BBiDiD是平行四边形,

所以BiDi〃B