高考第三轮复习解三角形

高考数学三轮复习精选解三角形

©隹）卷®③

高考预测

“解三角形”是高考必考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会

出现在解答题中.

对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查两个定

理的综合应用，可能与三角变换、平面向量等知识综合命题.

以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考

查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者

的青睐，应给予关注.

在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题.

预测分值：5分〜12分

必考指数：★★★★★

1.“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略：

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是诙个

定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息.

（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

2.“边化角”或“角化边”的变换策略：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边

（2）若式子中含有。、〃、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角〉时，要用到三角形的内角和定

理.

3.三角形面积的最值问题的解题策略：

<1）找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

逮题回顾

1.（2022•甲卷）已知AA8C中，点。在边8C上，ZADB=120°,4）=2,

CD=2BD.当江取得最小值时，BD=

AB----

2.（2022•上海）已知在AA8C中，ZA=-,AB=2,AC=3,则的外接

3

圆半径为—.

3.（2023•上海）在AA8C中，角A、B、C所对应的边分别为“、8、c,其

中〃=2.

（1）若A+C=120。，a=2cf求边长c;

(2)若A-C=15。，a=y/2csinAf求AASC的面积.

d.（2022•仝国）记A48C的内角人，B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinA=3sin3,C=—>c=x/7.

3

（1）求a;

（2）求sinA.

5.（2022•上海）如图，在同一平面上，AD=BC=6,43=20,。为AA中点,

曲线6上任一点到。距离相等，角NA48=ZABC=I2O。，P,。关于0W对称,

（1）若点P与点。重合，求NPQA的大小；

（2）?在何位置，求五边形MQA4P面积S的最大值.

6.（2022•天津）在AA4C中，角A,B,。所对的边分别为a,〃，c.已知

a=瓜，b=2c,cos4=—.

4

（1）求c的值；

（2）求sin5的值;

（3）求sin（2A-4）的值.

7.（2022•浙江）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

3

4。=45c>cosC=—.

5

（I）求sinA的值；

（II）若〃=11,求AABC的面积.

8.（2022•北京）在AA8C中，sin2C=V3sinC.

（I）求NC;

（II）若〃=6,且AA8C的面积为6X/5,求AABC的周长.

9.（2022•乙卷）记AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(4-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C;

(2)证明：2a2=b2+c2.

10.(2022•新高考I)记A/WC的内角A,B,C的对边分别为a,〃，c,已

知cosAsin28

1+sinA1+cos25

(1)若。=空，求8;

3

(2)求之2的最小值.

c-

11.(2022•新高考H)记A43C的内角A,B,C的对边分别为〃，人c，分

别以4,b,C为边长的三个正三角形的面积依次为S,Sa,S3.已知

Cs■D1

S|-$2+演=，sin8=§•

(1)求AA8C的面积；

(2)若sinAsinC=四，求b.

3

12.(2022•乙卷)记AA3C的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)证明：〃2=从+。2;

(2)若a=5,cos/l=—,求AA3C的周长.

31

区域模拟

1.(2023•河北区一模)A48C中，角4,B,。所对的边分别为a,〃，c,

且y/3(a2+c2-b2)=2Z>csinA.

(I)求角8的大小；

(II)若COSA=L求sin(2A-8)的值.

3

2.(2023•杭州二模)在AABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b，c，

且cosB+sin"+0

(1)求角5的大小；

(2)若a:c=3:5,且4C边上的高为巨叵，求AABC的周长.

14

3.（2023•门头沟区一模）已知在AA3C中，内角A,B,。的对边分别为

b,c,且屉cos4-asin8=0.。是AB的中点，AC=2,CD=2&.

（I）求NA的大小；

（II）求4的值.

4.（2023•沈河区校级三模）在&WC中，三个内角4,B,。的对应边分别为

a,b,c,b2-a2=ac.

（1）证明：B=2Ai

（2）求cosC+cosC的取值范围.

5.（2023•岳阳模拟）在AA8C中，a,b,c分别为角A,B,。的对边，若

x/3sinC+cosC=Sing+SinC,且AA3c的内切圆半径r=2.求：

sinA

（1）角A的大小；

（2）A+c的最小值.

6.（2023•河南模拟）04c的内角A,B,C的对边分别为a,〃，c,已知

5〃sin4=%tanA,。是AC边上一点，AD=2DC,BD=2.

（1）求cos5；

（2）求BABC的最大值.

7.（2023•常德模拟）如图，在&妨C中，已知角A,B,。所对的边分别为a,

b,c,角A的平分线交8C于点。，且4）=1,1+1=V3.

bc

（1）求的大小；

（2）若BDCD=L,求AABC的面积.

3

8.（2023•广西模拟）在AA4C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已

知42+02―/片+02—从

sinBsinA

（1）证明：A=13.

（2）若。为叱的中点，从①4）=4,②cosC=L③CO=2这三个条件中选

取两个作为条件证明另外一个成立.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

9.（2023•河东区一模）在三角形人AC中，角4,B,。所对的边分别为”,

b,c.已知sin4=sin2笈，a=4,0=6.

（1）求cosB的值；

（2）求c的值；

（3）求sin（28+C）的值.

10.（2023•西宁二模）在AA8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且x/3/;sinC=ccosB+c.

（1）求角8的大小;

（2）若b=3,。是边AC上的一点，且CD=2AD,求线段的最大值.

11.（2023•亭湖区校级一模）已知锐角A46c中，角A,B,C所对的边分别

11sin(A-B)_sin(A-C)

为a，h>

cosBcosC

⑴若角A等求角"

(2)若asinC=l，求卜和勺最大值

12.（2023•海淀区校级模拟）在中，现有下列四个条件：①cos2A+cos4=0;

②/+c2-〃2=-ac;③a=2G;®b=2.

（I）①②两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

（2）请选择上述四个条件中的三个，使AA8C有解，并求AABC的面积.

13.（2023•古冶区校级一模）已知锐角A48c中，AR3,且______.请从

下列个条件中任选两个填充在横线上，并求匹的值.

sinC

①的面积为36；

②tan3=3x/5;

③AC=3反

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

14.（2023•郑州模拟）在AABO中，角A,B,C的对切分别为a,/小c，若

〃sin(A)=asin(A+C)•

3

(I)求角4的值；

(II)若3a=2c+劝，求9的值以及sin3.

c

15.(2023•海安市校级模拟)在AA8C中，。是8c上的点，AD平分44C,

AA3D面积是AAPC面积的2倍.

(1)求包巴

sinC

(2)若AD=1,£>C=—,求AA8C的面积.

2

16.(2023•西城区校级模拟)在中，内角A,B,。所对的边分别是a,

b,c.已矢口Z?sinA=GacosB.

(1)求角8的大小；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得A43c

存在且唯一确定，求AV3C的面积.

条件①：a=4,Z?=3;

条件②：c-a=l,b=出；

条件③：c=3,cosC=—.

14

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.(2023•濮阳模拟)在AA8C中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,

a2cosB+abcosA-c2=a2-b2.

(1)求8;

(2)若a=2,c>l,延长AB到。，使得8O=2c,当且取得最大值时，求c.

AC

18.(2023•天津一模)在AABC中，内角4、B、C的对边分别为a、〃、c,

已知2sinC=sinA+cosAttuiB.

(1)求角8的大小；

(2)设〃=2,c=3,求人和sin(2A-B)的值.

考前押题

1.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是"中国

十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼其地处岳阳古城西门城墙之上,

紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年（215年），历代

屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年（1880年）重建时的形制与格局.因北宋

滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古

有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部

水平的直线AC,如图，测得ZZMC=30。，NO8c=45。，AB=14米，则岳阳楼

的高度OT约为（）（x/2«1.414,右。1.732）

A.18米B.19米C.20米D.21米

2.在AA8C中，Z?sin2A=>/3«sinB.

（I）求Z4;

（H）若A48c的面积为3百，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选

择一个作为己知，使存在且唯一确定，求。的值.

条件①：sinC=冬且；条件②：2=21叵；条件③：cosC=

7c47

注：如果选择的条件不符合要求，第（〃）问得0分：如果选择多个符合要求的

条件分别解答，按第一个解答计分.

3.如图，在AABC中，4C=4>/2,。=工，点。在边8c上，cosZADB=~.

63

（I）求4）的长；

（n）若AA3。的面积为2&，求的长.

A

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为4,b,c,且alan5=2/?sinA.

(D求角8的大小；

(2)若8c=4)=二，求AABC的面积.

4

5.如图，在AABC中，D,E在BC上,质)=2,DE=EC=\,ZBAD=ZCAE.

(1)求――的值;

sinNABC

(2)求AABC面积的取值范围.

1.【答案】x/3-l.

【解答】解：设BD=x,CD=2x,

2222

在三角形AC。中，&=4X+4-2-2X-2COS60°,可得：b=4x-4x+4t

在二角形旗/)中，色=/+4-2・x・2-cosl20。，可得：c~=x2+2x+4,

要使得如最小，即今最小，

ABC

222

b_4t-4x+4_4(A+2x+4)-12x12_49工+1

c2x2+2x+4x1+2x+4x1+2x+4

其中x+14—--..2石,止匕时!.4—26，

x+1小

当且仅当(x+l)2=3时，即x=G-l或x=-G-H舍去)，即久=6一1时取等号,

故答案为：6-1.

2.【答案】叵.

3

【解答】解：在AA3C中，ZA=-,AB=2,AC=3,

3

利用余弦定理8C?=AC?+一2AB•AC•cosA,整理得8C=万，

所以其=2R,解得△=叵.

sinA3

故答案为：叵.

3

3.【答案】(1)空;(2)3-75

3

【解答】解：(1)*.A+C=120°,且a=2c

sinA=2sinC=2sin(l20°-A)=百cosA+sinA,

「.cosA=0,

/.A=90°,C=30°,4=60。，

•.b=2,

273

c=-----;

3

(2)a=\/2csinA,

则sinA=\/2sinCsinA,

sinA>0,

..sinC=—,

2

•.A-C=15°,

.•・C为锐角，

/.C=45°,A=60。，4=75。，

,67—-2I8

sin60°sin75°6+巫)

.•“二目二3夜g

x/2+V6

•Q=3-.

22V2+V62

4.【答案】(1)3.(2)通.

14

【解答】解:(1)sinA=3sinB,

由正弦定理可得，〃=勖，

222

••・由余弦定理可得，c=a+b-2abcosCt即7=96+6一3必，解得人=1,

(2)*a=3,C=^,c=,

.73

..asinCxo

sinA=--------=——芳-=-----.

cV714

5.【答案】(1)NP08的大小为arcsin*;

(2)P点在劣弧CM中点或劣弧OM的中点位置时，S的最大值为28g.

【解答】解：(1)点尸与点C重合，由题意可得08=10,BC=6,ZABC=120°,

OP2=OB2+BC2-2OB-BCcosZAZ^C=36+100-2x6x10x(——)=196,

所以―在△曲中，由正弦定理得缶二缶

所以身解得sinZ.POB

sin/POB

所以ZPOB的大小为arcsin—;

(2)如图，连结Q\,PB,OQ,OP,

曲线CMD上任意一点到。距离相等，

■tOP=OQ=OM=OC=\4,

Q关于OW对称，

・•.P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，5语=5"。『”

贝|JZAOQ=/8O尸,

则五边形面积S=2。必做+Sw)

=*OQ(Msi呜-a)+goQOMsina|

=196sina+140cosa

=28A/74sin(cr+^>),其中ianp=；,

当sin(a+0)=1时，S五边形MQABP取最大值28^/74,

••・五边形MQABP面积S的最大值为28>/74.

6.【答案】(1)c=l;

(2)sinB=;

4

(3)sin(2A—B)的值.

8

【解答】解(1)因为。=几,b=2c,cosA=--,

4

b1+c2-a'4c2+c2-61

由余弦定理可得cosA

2bc4

解得：c=I;

(2)cosA=--,AE(0,7T),所以sinA=Jl-,

44

由人=2c,可得sin4=2sinC,

由正弦定理可得，L=上，即第=',

sinAsinC,15sinC

4

可得sinC=*

所以sin3=2sinC=2x^^=^^；

84

(3)因为cosA=」，sinA=^^~,

44

所以sin2A=2sinAcosA=2x(」)x^^=-^^>cos2A=2cos2A-\=2x--1=--,

448168

sinB=，可得cos8=，

44

所以sin(2A_8)=sin2AcosA-cos24sinB=4一(一令乂^^=^^,

所以sin(2A—4)的值为回

8

7.【答案】(I)4；

(II)22.

【解答】解：(I)因为cosC=—>0>所以CG(0,—),sinC=Jl-cos2c=—,

525

由正弦定理可得：=上，

sinAsinC

即有sinA-竺妊，sinC-五g

cc455

(II)因为==,

4

所以AvC,故Ae(0，)，

2

又因为sinA=—,所以cosA=H色，

55

所以sinB=sin[不一(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC-cosAsinC="";

25

由正弦定理可得：—=5>/5,

sinAsinCsinB

所以〃=5\[5sinA=5.

所以SSHC=—«/?sinC=—x5xllx—=22.

"伙225

8.【答案】(I)工；(II)6+6>/3.

6

【解答】解：(I)1.sin2C=>/3sinC,

/.2sinCcosC=A/3sinC,

又sinC/O,/.2cosC=\/3»

cosC=—,'.•()<Cv万,

2

/.C=-;

6

(II)・.・A$C的面积为6G,

—tzZ?sinC=6\/3,

2

乂〃=6,C=—,

6

:.—x«x6x-=6\/3,

22

a=4G,

又8SC=T^

73^(4X/3)2+62-C2

2-2x4>/3x6

c=2>/3,

:.a+b+c=6+6\/3,

.•.AA6C的周长为6+66.

9.【答案】(1)2；(2)证明过程见解析.

8

【解答】解：(1)lilsinCsin(A-B)=sin£?sin(C-A),

又A=28,sinCsinB=sinBsin(C-A),

「sinAHO,/.sinC=sin(C-A)»BPC=C-/A(舍去)或C+C-A=/r,

A=2B

联立“2C-A=i，解得C=L;

g

A+B+C=乃

证明：(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

得sinCsinAcos8-sinCssAsin8=sinBsinCcosA-sin8coscsinA，

由正弦定理可得accos8-Z?ccosA=Z?ccosA-出?cosC，

I+T人,q*Tfri77r40#+c*—-,力+-G.6C+3

由余弦JE理可得：ac----------------=2bc-------------------ab-----------------,

2ac2bc2ab

整理可得：〃2=//+/.

10.【答案】⑴13=-.

6

(2)4x/2-5.

【解答】解：(1)•/c°"=‘in28,।+cos2A=2cos2B工0,cos8Ho.

1+sinA1+cos2/3

cosA2sinBcosBsinB

・・=~―，

1+sinA2cos-BcosB

化为：cos4cosB=sinAsinB+sinB»

;.cos(BIA)=sinli，

/.-cosC=sinB,C=——

3

.1.sinB=—,

2

\0<B<—,B=—.

36

(2)由(1)可得：—cosC=sinB>0,.\cosC<0,Ce(—,开)，

2

「.C为钝角，B,A都为锐角，B=C--.

2

九

sinA=sin(B+C)=sin(2C--)=-cos2C»

a2+Ifsin2A+sin2Hcos22C+a>s2C(\-2sin2C)2+(\-sin2C)4

2+4.vmC-5.y//rC2+4sin:C-5..2V274-5=4V2-5

wrC.W/J'Csin’CshrC

，当且仅当sinC=J=时取等号・

的最小值为4a-5.

11.【答案】(1)立；(2)

82

【解答】解：(1)S)=—d2sin60°=—

24

S,="sin60。=旦-

~24

—c2sin600=-c2♦

24

,/S「S,+S广与2一鸟2

'-4442

222

解得:a-b+c=2t

•.,sin£?=-,t72-Z>2+c2=2>0>BPcosB>0,

3

2V2

..cosBD=-----，

3

a2+c2-b22V2

cosBD=--------------=------,

2ac3

解得：ac=^^->

4

c1.z,V2

Zo

.•.AAHC的面积为也.

8

（2）由正弦定理得：

sin8sinAsinC

/?sinAhsinC

a=----->c=------,

sinBsinB

由(1)得,

4

bs\nA/?sinC3\[2

ac=------------=----

sinBsinB4

已知，sinB=-,sinAsinC=—»

33

解得：b=-.

2

12.【答案】(1)见解析.

(2)14.

【解答】(1)证明：AA8C中，sinCs\n(A-B)=sin«sin(C-A),

所以sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sin伏sinCeosA-cosCsinA),

所以sinAsinBcosC+sinAcosAsinC=2cosAsinAsinC,

即sinA(sin4cosC+cosBsinC)=2cosAsinZ^sinC，

所以sinAsin(8+C)=2cosAsinBsinC,

由正弦定理得片=2bccosA,

由余弦定理得〃=b-+c2-2bccosA,

所以以=3lc2.

(2)当a=5,cosA="时，/?2+c2=2x52=50,2bc=——=m=31,

31cos425

5T

所以(8+c)2=从+°2+2^=50+31=81,解得力+c=9,

所以AA8C的周长为a+Z?+c=5+9=14.

区域模拟

1.【答案】（I）f；

(II)4夜懑.

18

【解答】解：(I)由余弦定理/=/+/-勿“。08,贝1」/+。2-6=2〃CCOSB,

又6(a?+d-/)=23csinA,所以2\/5accos3=2/>c、sinA,BP>/3t/cosB=bsinA»

由正弦定理可得V5$inAcosB=sinBsinA,因为sinA>0,

所以V5ccsA=sinR,则lanA=>/5,又0v区v”，所以△=工：

3

(II)因为cosA=’,0vA<生，所以sin4=J1-cos2A=冬区，

333

所以sin2A=2sinAcosA=2x』xa^.=3Zcos2A=2cos?A-l=--,

3399

•m•一O—•R4&1764&+7右

/TT以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=----x-+—x——=----------.

929218

2.【答案】(1)至；

3

(2)15.

【解答】解：(1)因为sinA+C=sin江~~—=sin(---)=cos—,

22222

所以由cos13+sin4+C=0得cosB+cos—=0»

22

所以2cos20+cosg-1=0,解得cos0=1或cosO=-l,

22222

因为0v3v24，

所以oU,

22

W11cos—>0,ttcos—=—,

222

贝心力，解得八包；

233

(2)因为c:a=5:3,令c=5m(m>0),

则a=3m，

由三角形面积公式可得Lesin4=，则15〃=7ac=7x15〃P，故Z?=7〃/,

2214

由余弦定理可得从=片+。2_为℃0$8,则49"J=49"/，解得切=],

从而a=3,c=5,b=l,

故AABC的周长为a+〃+c=15.

3.【答案】(I)A，；

3

(II)2>/13.

【解答】解：(I)因为6/?cos人-“sin4=0,

由正弦定理得：\/3sinBcosA—sinAsinB=0，

因为sinB>0,所以\/5cosA-sinA=0,得tanA=G，

因为Ae(0,;r),所以A=1;

(H)在AACO中，由余弦定理得：\2=4+AD1-2ADx2cos-,

3

2

BPAD-2AD-S=0f解得：AD=4(负值舍去)，则A/3=8,

在AAAC中，由余弦定理得：BC2=4+64-2x2x8cos-=52,

3

所以BC=2a，所以a=2而.

4.【答案】(1)证明见解析；

⑵(0呼).

【解答】证明：(1)依题意b2-a2=ac,由余弦定理得

a2+c2-2«ccosB-a2=c2-2tzecosB=ac,

c-2ctcosB=a»由正弦定理得sinC-2sinAcos4=sinA,

sin(A4-13)-2sinAcosB=sinA,sinAcosB+cosAsinB-2sinAcos=sinA,

sin(B-A)=sinA,由于0vAv；r,所以sinA>0,贝ljsin(5—A)>0,

由于，所以_万<“_人<乃，则0<A-Av乃，

<-A<0

所以8-4=4或A-A+A=;r(舍去)，

所以B=2A;

解：(2)由于8=2A,所以4为锐角，即OvAv工，

2

而0<A+8v4,B|JO<3A<^-,O<A<-,

3

cosC+cosA=-cos(A+B)+cosA=sinAsincosAcosB+cosA=sinAsin2A-cosAcos2A+cosA

=2sin2AcosA-cosA。-2sin2A)+cosA=4sin2AcosA=4(1—cos?A)cosA=^cos3A+4cosA

令E=cosAed,l)J(E)=-4t3+4/(—„r<1)»

ra)=-i2/+4,

所以/(/)在区间(1,y)±/”)>0,/(/)递增;

在区间(g,i)上r(n<o,/⑺递减，

1113

/(2)=-4X8+4X2=2，/(，)="4+4=()，

所以0</(/),,,

所以cosC+cosA的取值范围是(0,^^).

5.【答案】(1)A=上；

3

(2)8G.

【解答】解：(1)在AABC中，"，〃，c分别为角A,B,。的对边，已知

GsinC+cosC=sin心底

sinA

则\/3sinCsinA+sin4cosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

又sinC>0,

贝II\/3sin4-cosA=l,

即sin(A--)=—,

62

666

则人一工=三，

66

即A=

3

(2)已知AABC的内切圆半径尸=2,

则山叱=—x2x(a+Z?+c)=—bcs\nA，

22

即a=^-bc-b-ct

4

由余弦定理a2=b2+c2-2/JCCOSA可得：［—be-ib+c)F=(b+c)2-3bc,

4

贝lj—bc=—S+c)—3,

162

又反,,(Q,

2

当且仅当b=c•时取等号，

即*3+0)-3,,53+。尸,

即瓜b+c)2-32(Z?+0+64x/3..0，

、2

即b+c..8\/3属tb+q,—j=>

V3

又「AAAC的内切圆半径r=2,A=-

3

2L

：.b+c>---x2=4\/5,

Jt

tan—

6

h+c..8>/3，

即〃+c的最小值为8百.

6.【答案】(1)(2)—.

58

【解答】解:(1)由正弦定理及5bsinA=%tan8知,5sinBsinA=3sinAtanB>

因为sinA>0,所以5sin4=3tan4,

sinB3

所以cosB=一

tanB5

(2)因为AD=2DC所以

…+”。=由沁叫

又BD=2,

所以BD=(-RA+-BC)2=-BA+-BABC+-BC=-c2+-ca-+-az=4整理

339999959

t#5c2+12flr+20fl2=180,

所以Ilac=180-(5?+20a2)„180-2瓜.回i=180-20ac,

所以生，竺，当且仅当=,即c=2〃=士&时，等号成立,

82

~334597

所以,BC=accosB=_ac,、—x—=——»

5588

故BAIC的最大值为幺.

8

7.【答案】（1）Z.BAD=—;

6

（2）近.

3

【解答】解：（1）设ZBAE>=，，则ZZi4C=，，则N84C=2〃,

由SgAD+SASD=^AAtfC,

所以-csin<9+-Z?sin0=-cb-2sinOcos夕，化简得c+〃=2Z?ccos<9，

222

2cos6^=—+—=>/3,解得：cosO=^->

bc2

又。€（o,C）,e=£,即NBAO=2.

266

（2）在AAa）中，由余弦定理有也）2=/+1_疯.，①

在AAZX?中，由余弦定理有a>2=〃+i-G》,②

在AA3C中，由余弦定理有（80+8）2=/=加+°2-反，③

①②③联立得2BDCD=瓜b+c）-hc-2f

又BDCD=L,43（b+c）-bc=-,

33

又l+_L=b，即（力+0=疯3代入上式可解得讥・=W,

bc3

.c1,..14V3

L4D乙J

8.【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解答】（1）证明：因为=/+~2,

sinBsinA

由余弦定理可得竺—=2金,

sinBsinA

^bcosA=acosBf又由正弦定理上=，_,得cos人=cosA,

sinBsinAsinBsinA

角A,8为AA4C中内角，所以A=3.

（2）AA8C中，A=B,。为4c的中点，如图所示，

①②n③，

已知4)=4,cosC=-,求证8=2.

4

工叫一小-AC2+CD2-AD24CD2+CD2-161

证明：AC=2CD,AAC。中，cosC=----------------------=---------------------=一，

2ACCD4CD24

解得CD=2.

①③=②，

已知4)=4,CD=2,求证cosC='.

4

ACCA

证明：AC=2CD=4,所以A4CO中，cosC=^^~^=16+4-16=J

2ACCD2x4x24

②③n①，

已知cosC=L,8=2,求证：4)=4.

4

证明：AC=2CD=4,

在AACQ中，由余弓玄定理，yAD2=AC2+CD2-2ACCDCOSC=16+4-2X4X2X-=16,

4

所以4)=4.

(2)c=6;

⑶一述.

27

【解答】解：(1)在AA5C中,由已知得sin八=2sin8cos4,

由正弦定理得a=2/?cos8,而a=4,b=6,

所以cosB=-.

3

(2)在AA8C中，由余弦定理得804="、。2-'=2.,

2ac3

即3c*-8c-60=0,而c>(),解得c=6,

所以c=6.

(3)在A4BC中,Be(0,TT),cosB=->0,

3

:.Be(0,^)>有sinB=,

贝ljsin2A=2sin/3cos4=^^，cos2B=cos2B-sin2B=--,

99

由(2)知，l?=c=6,即ZB=NC,

所以sin(24+C)—sin28cosR+sinBcos2B——x-+乂(——)—

933927

1°.【答案】⑴8g

(2)l+x/3.

【解答】解：(1)因为43bsinC=ccosB+c，由正弦定理得

\/3sinBsinC=sinCeosB+sinC,

又CeQ、兀),所以sinCwO,

所以Gsin8=cosB+l,BP-73sinB-cosB=1,sin(B——)=—,

62

又Bw(O,乃)，

所以崂;

ABAC

(2)在AA3C中，山正弦定理得=2>/3,

.冗

sinCsinZ.ABCsin-

3

所以A8=2GsinC=2x/5sin(