湖北省黄冈市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷【含答案解析】

黄冈市2025年春季高一年级期末质量监测数学全卷满分：150分，用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的（）A.通过圆台侧面一点，有无数条母线B.棱柱底面一定是平行四边形C.圆锥的轴截面都是等腰三角形D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台【答案】C【解析】【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A错误；对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B错误；对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C正确；对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D错误.故选：C.2.如图所示为水平位置的正方形，在平面直角坐标系中，点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出直观图，由图计算点到轴的距离即可.【详解】画出直观图，对应，且，,故顶点到的距离为．故答案为：.3.已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（）A.1 B.9 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.【详解】由题意可知：，可得，所以向量对应的复数为，所以向量对应复数的虚部为.故选：B4.已知100个数据的上四分位数是93，则下列说法正确的是（）A.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93B.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据93C.将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93D.将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】上四分位数即分位数，根据百分数计算，，所以第75个数据和第76个数据的平均数为分位数.故选：D.5.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于【答案】D【解析】【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．6.已知为锐角，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角的正余弦的平方关系求得，，利用可求值.【详解】因为，，所以，又因为，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.7.已知正四棱台，，其侧面积为，则该棱台的体积为（）A.18 B.27 C. D.【答案】C【解析】【分析】过作于，过作交于，连接，过作于，可证平面，利用棱台的体积公式求解即可.【详解】过作于，过作交于，连接，过作于，因为，所以确定唯一平面，因为四棱台是正四棱台，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由正四棱台的侧面积为，所以，所以，又因为，所以，又，所以，所以该棱台的体积为.故选：C.8.已知，在函数与图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到两图象距离最短的两个交点坐标，计算即可.【详解】由题根据三角函数图象与性质可得距离最短的交点坐标可以为，，∴.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设是复数，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若，则D.【答案】AC【解析】【分析】由，可得或，可判定A正确；由，可判定B不正确；由，可判定C正确；取，根据复数的运算法则，得到，可判定D不正确.【详解】对于A中，若，可得，可得或，所以或，所以A正确；对于B中，例如，可得，此时不是实数，所以B不正确；对于C中，由复数的运算法则，可得，若，可得，所以C正确；对于D中，取，则，且，所以，此时，所以D不正确.故选：AC.10.关于平面向量，下列说法中正确的是（）A.若，，则存在，使得B.向量与不共线，则与都是非零向量C.若，则D若向量与同向，且，则【答案】AB【解析】【分析】对于A，根据向量共线的充要条件即可判断；对于B，由零向量与任何向量共线即可判断；对于C，取即可排除；对于D，根据向量有方向即可判断.【详解】对于A，根据向量共线的充要条件即可得到A正确；对于B，因为零向量与任何向量共线，所以由向量与不共线，可得与都是非零向量，故B正确；对于C，当时，恒成立，但的关系不确定，故C错误；对于D，因向量有方向，故不能比较大小，故D错误.故选：AB.11.如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（）A.平面B.C.直线与直线所成角的大小为90°D.设平面底面，则二面角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】连接，利用线线平行可判断A；利用勾股定理的逆定理可判断B；可得，进而得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，求解即可判断C；可证平面平面，进而二面角与二面角相等，求解可判断D.【详解】连接，因为为底面正主形的中心，所以是的中点，又为侧棱的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，又，所以，故B正确.由于分别为侧棱的中点，所以.又四边形为正方形，所以，所以，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即.又为等边三角形，所以，故C错误.又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，二面角与二面角相等，连接，取的中点，连接，因为，所以，因为四棱锥是正四棱锥，为底面正方形的中心，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，设正四棱锥的棱长为2，则，，所以，所以二面角的余弦值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________.【答案】3【解析】【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得.【详解】因是纯虚数，可得，解得.故答案为：3.13.在中，角的对边分别为，已知，的周长为7，则边长为______.【答案】3【解析】【分析】根据正弦定理得，由周长得，最后利用余弦定理列方程求得，即可得解.【详解】由及正弦定理得，由的周长为7得，故由及余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以.故答案为：314.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为____________.【答案】【解析】【分析】当平面，三棱锥的体积最大，据此计算即可.【详解】当平面时，三棱锥的体积最大，即，解得，所以球的表面积为..故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义可得答案；（2）利用余弦的二倍角公式、两角差的正弦展开式化简可得答案.【小问1详解】依题意，，，则，则；【小问2详解】.16.如图，在平面四边形中，已知，，，若.（1）当时，求的值；（2）求取得最小值时的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合已知根据向量运算得，根据数量积的运算律求解即可；（2）结合已知根据向量运算得，，根据数量积的运算律得，再利用二次函数性质求解即可.【小问1详解】当时，为线段的中点，则，，从而，又因为，则有，从而.【小问2详解】因为，则有，，，从而，当且仅当时，最小.17.在中，角对应的边分别为，已知，.（1）求角和边；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别表示出，然后代入计算即可；（2）依据题意得到，，然后得到，计算即可.【小问1详解】依题意，由知：，从而，代入化简得：，由余弦定理可知：从而.【小问2详解】，则有，由知，为锐角，则，由，，知，从而有.18.已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为.（1）证明：；（2）证明：；（3）现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）60kg，【解析】【分析】（1）利用定义求出总体平均数即可；（2）利用定义求出总体方差即可；（3）代入（1）、（2）公式可得答案.【小问1详解】设第一层有个数，分别为，平均数为，，第二层有个数，分别为，平均数为，方差为，则，所以总体平均数；【小问2详解】，由可得，同理，∴；【小问3详解】由（1）可知，，即该校所有学生体重的平均数为，由（2）可知.19.如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，.（1）证明：三棱柱是直三棱柱；（2）若，求平面截三棱柱所得截面的面积；（3）是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论；（2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可；（3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值.【小问1详解】如图：在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，由平面平面，平面平面，平面所以：平面，同理有平面，从而有，平面，平面，所以平面，又因为平面平面，平面，从而有，即平面.从而三棱柱是直三棱柱.