2025年广东省深圳市中考数学重难点练习《相似三角形》含答案解析

2025年广东省深圳市中考数学专题复习《相似三角形》部分重

难点专项练习

一、单选题

1.（2025・广东深圳•一模）已知a,b,c,d成比例线段.若a=5cm,b=10cm,d=8cm,

则c的长为（）

A.2.5cmB.4cmC.10cmD.16cm

2.（2024・广东深圳•模拟预测）如图，直线a〃/〃c,分别交直线相，〃于点A,B,C,D,E,

F.若AC:3c=5:2,EF=4,则DE的长为（）

A.4B.5C.6D.10

3.（2025・广东深圳•一模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验

的做法与成因，茗茗同学从中得到启发，在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光

在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利用数学知识解决隐藏在其中的问题.如

图，若O3=30cm,O8=20cm,蜡烛火焰倒立像A3=6cm,则下列说法中，错误的是（）

A.蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像AE可以看成是位似图形

B.AABO^AA'B'O

C.蜡烛火焰AB长9cm

D.线段48的中点与线段AE的中点的连线不一定经过点O

4.（2024.广东深圳.模拟预测）在矩形中，已知AB=4,AD=5,点E为上一点，连

接AE并延长交OC的延长线于点片连接DE,若NDEC=2NBAE,则跖的长为（）

A.3#>B.275C.3D.5

Ar4

5.（2024广东深圳•模拟预测）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,—=D为A2上一点,

BC3

H为AC上一点，若ZABC=/HDC,CB=CD,则空的值为（）

6.（2024・广东深圳•三模）如图，RtaACB中，ZACB=90°,AB=&,AC=2,以点C为

顶点在A4C3外部作ZA8=gzACB,连接AD,若/ZMB=45。，则CD长为（）

A.V2-1B.1C.立一1D.叵

423

7.（2024・广东深圳•三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例

子.不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割.其中爱国品牌

红旗汽车H9的设计中应用了白银分割（图1）；福州华林寺大殿一现存最古老木构建筑物中也

大量运用了白银比例.东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银

分割的身影，比如常用到的44纸，对折后得到两个全等的A5纸、A5纸折叠后得到两个全等的A6

纸等等（图2）,A4纸，A5纸、A6纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形.

如图3,若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌

图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为（）

C1

A

图1图2图3

A.72B.72+1C.6-1D.亚

8.（2024.广东深圳二模）如图，在菱形ABCD中，，^ABC=60°fE是对角线AC上一点，连接

Ap1DF

BE,作/BEF=120。交CD边于点F,若窃=”，则会的值为（）

EC2FC

/D

BC

A.垣B.®C.±D-i

333

3

9.（2024广东深圳•三模）如图，在等腰VABC中，/0=AC=1。，sinB=-,。为A5的中点，

AF1

E为AC上一点，且大g=:，F、G是3c上两动点,且尸G=2,则。厂+EG的最小值为（）

CE3

FGc

A.8B.9C.£D.10

10.（2024・广东深圳•二模）如图，在四边形ACDB中，AB//CD,AC^AD,P是线段AC上

一点（不与点A、C重合），ZC=ZPDB=60°,连接3尸，交4）于点Q,贝!]OQ：8P的最小值是

B

Q

CD

A.2月B.6C.立D.立

23

11.（2024广东深圳•三模）如图，VABC中，ZABC=45°,ABAC=15°,BC=&,点、P是BC

上一动点，PDJ_AC于。，PELAB于E,在点尸的运动过程中，线段DE的最小值为（）

A.373-3B."C.迪D.-

352

12.（2024•广东深圳•一模）如图，在正方形ABCD中，3PC是等边三角形，BP,CP的延长

线分别交4。于点E,F,连接8£）,DP,与C/相交于点H.给出下列结论：®AE=^FC-

②NPDE=15。；③学公=若；④段皿=：；⑤DE?=PF.PC.其中正确的结论有（）

3△PC。^^BHCL

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

13.（2025・广东深圳•一模）若==；=其中b+d=20,则a+c的值为_____.

ba2

14.（2024.广东深圳.中考真题）如图，在VA2C中，AB^BC,tanZB=D为BC上一点,

RDorp

且满足7万=£，过。作DE工AD交AC延长线于点E,则3=.

3■/VC

15.（2025•广东深圳•模拟预测）在等腰VA3C中，AB=AC,。是BC上一点，过点D作4）

交AC延长线于点E,若tan/MC：^,翳=）则言的值为一

16.（2022・广东深圳・中考真题）已知VABC是直角三角形，ZB=90°,AB=3,BC=5,AE=2^/5,

接CE以CE为底作直角三角形CZJE且CD=r）E,尸是AE边上的一点，连接网）和B尸，80且

NFBD=45°,则AF长为.

17.（2025•广东深圳•一模）在菱形ABCD中，ZABC=60,将"3CE沿8E翻折至△BFE,BF,

CT的延长线分别交4）于H,G两点，若名=”，则察的值为一.

DE3AD

18.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，在菱形ABCD中，点E为边上一点，连接BE,将线

段EB绕点E逆时针旋转120°得到EF,EF交CD于点、H,连接8尸，交CD于点G,已知/A=120°,

FG

AB=3,AE=1,贝!]==

BCJ

19.（2024・广东深圳•模拟预测）如图，菱形ABC。中，点E,尸分别在边8C,CO上，ZAEF=90,

则BE=

20.（2023广东深圳三模）如图，在RfABC中，ZACB=90°,边AC上有一点使CE>=3C,

点E是线段AB的延长线上的一点，连接8。，CE,且/AEC=45。，若AB=5,AD=E则CE

21.（2024•广东深圳・中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作

关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该

平行四边形是“垂中平行四边形”.

图1图2

图3备用图

⑴如图1所示，四边形A2CD为“垂中平行四边形"，AF=如,CE=2,贝=_________；=

⑵如图2,若四边形A3C£＞为“垂中平行四边形”，且=猜想AF与CD的关系，并说明理

由；

⑶①如图3所示，在VA2C中，BE=5,CE=2AE=12,班_14。交4。于点石，请画出以BC

为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；

②若VA3C关于直线AC对称得到VAB'C,连接CM,作射线C9交①中所画平行四边形的边于

点尸，连接PE,请直接写出PE的值.

22.（2023・广东深圳・中考真题）（1）如图，在矩形A3CD中，E为AD边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作CF_L3E交BE于点/，求证：△ABE四△FCB；

②若S矩衫.co=2。时，则BECF=.

0

A'-----------

（2）如图，在菱形ABCD中，cosA=g，过C作CE1AB交A8的延长线于点瓦过E作EF1AD

交A£＞于点尸，若S菱形5ACD=24时，求EF.BC的值.

（3）如图，在平行四边形A3CD中，ZA=60°,AB=6,AD=5,点E在CD上，且CE=2,

点尸为BC上一点，连接所，过E作EGLEF交平行四边形ABCD的边于点G,若

E尸.EG=7月时，请直接写出AG的长.

D.----------£----7cD,----------£----7c

ABAB

备用图

23.（2022・广东深圳•中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形A3CD中，E为AD边

上一点，将AEB沿BE翻折到△3EF处，延长交CD边于G点.求证：ABFG沿ABCG

图①

（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABC。中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6,将jlEB沿8E

翻折到ABEF处,延长EF交BC边于点G,延长BF交CD边于点"，且巧=C"，求AE的长.

（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABC。中，AB=6,E为CD边上的三等分点，/。=60。,将VADE

沿AE翻折得到AAFE,直线E尸交BC于点P,求CP的长.

备用1备用2

24.（2025•广东深圳•一模）【问题背景】：如图1,在矩形ABCD中，AB=2®ZABD=30°,

点E是边A3的中点，过点E作即，AB交于点凡

【实验探究】：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现痣=将图1中的△3KF绕点8

按逆时针方向旋转90。，连接AE,DF,如图2所示，发现==_；

（2）小亮同学继续将谶环绕点2按逆时针方向旋转，连接AE,DF,旋转至如图3所示位置,

请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；

【拓展延伸］（3）在以上探究中，当△3EF旋转至。、E、尸三点共线时，AE的长为一

25.（2025・广东深圳•一模）为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安

装了太阳能路灯.如图（。）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图“）是该村村道上安装

的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为4.8m,电线杆CD的高度为

6.4m,AC的长为30m.身高1.6m的聪聪同学（EF）在两盏路灯之间走动，他在B,D两盏

路灯下形成的影长分别记作E"和EN.（A,E,C,M,N在同一直线上，电线杆和人均垂直于

地面）

（1）请在图“）中画出聪聪同学在路灯。照射下形成的影长EN；

（2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为AC的中点）时，请求出影长MV；

（3）若影长端点N处有一个竹竿NP,它在路灯8的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影

长端点M处也有一个竹竿,它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合.（竹竿NP,

均垂直于地面）请回答下列问题：

①设旌的长为am,则的长为rn（请用含有X的代数式来表示）；

②请判断，+焉的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

26.（2025•广东深圳•一模）如图，在菱形ABCD中，/ASC=60。，AB=8,点、E,尸分别在边

BC,CD±,连接AF.

⑴如图（。），若E,尸分别是边BC,CD的中点，连接砂，则£F=

（2）当BE=6时，请回答下列问题：

①如图"），求AE的值；

CF

②如图（6）,若4尸平分NIME■时，求大;的值；

③如图（C）,若，E4尸=60。时，求A尸的值.

27.（2025・广东深圳•一模）综合与探究

在正方形A3C£＞中，AB=4,点E是43边上的动点，连接CE.

（1）【探索发现】如图1,过点。作。尸LCE,求证:△CF3AEBC；

（2）【类比探究】如图2,过点B作3尸，CE于点尸，连接。尸，当△a刃是等腰三角形时，求此

时AE的长度与&CFD的面积;

（3）［拓展延伸】如图3,过点3作J_CE于点尸，连接DF,将△CTO沿CE翻折得到ACFG,

FG交BC于点请直接写出线段CH的最小值.

28.（2025・广东深圳•三模）【问题提出】

（1）如图1,在矩形ABCD中，点E,尸分别是边AD,A3上的点，连接CE与。尸交于点。,

CFAB

若？FOC90?,求证：——

DFAD

【迁移应用】

(2)如图2,在.ABCD中，AB=4,AD=I,点E,F分别是边AD,AB上的点，连接CE与。尸

CE

交于点。，且NC8+NR4D=180。，求v的值；

DF

【拓展提高】

(3)如图3,在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接与CE交于点。，

Z.BOC=/.BAD=Z.BCD=120°,——-=—,——-=—,请直接写出二^的值.

AD3CD3BD

29.(2025•广东深圳•一模)(1)如图1,在正方形A3CD中，E为CD边上一点，F为BC延

长线上一点，且CE=CF,

①BE与O歹之间的数量关系为_.

②G,H分别是BE,。尸中点，连接GH,请证明：GH=—BE.

2

(2)如图2,在矩形ABCD中，BC=4,AB=2,E为CD边上一点，尸为2C延长线上一点，

CE=2CF,G,X分别是BE,D尸中点，连接G8,已知叵，求BE的长.

4

(3)如图3,在平行四边形A3C£>中，BC=AC=5,AB=6,E为CD边上一点，尸为AC延长

线上一点，且，|=7,G,H分别是BE,。尸中点，连接G/f,当黑=：时，请直接写出CE

CF6BD5

30.(2023•广东深圳•三模)【问题】(1)如图1,四边形ABC。是正方形，点E是AD边上的一

个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连接DG、BE,则DG与8E的数量关系

是，£>G与8E的位置关系是；

【探究】①如图2,以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接£>G、BE,

求证：DGVBE-,

【拓展】②如图3,以CE为边在CE的右侧作正方形CE1尸G,连接。尸、DG,则一DFG面积的

最小值为

参考答案

题号12345678910

答案BCDABABDBC

题号1112

答案DC

1.B

【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段“，b,c,/成比例，则:=:

ba

（或，2=c:d）,是有顺序的，位置不能随意颠倒.据此列式解答即可.

【详解】解：:。，b,c,d成比例线段，且a=5cm,b=10cm,d=8cm,

c=4（cm）.

故选：B.

2.C

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式

解答即可.

【详解】解：a//b//c,

,ABDE

一正一寿’

■:AC:5c=5:2,

・•・AB:BC=3:2

•DE3

,,一，

EF2

.DE_3

••=一，

42

DE=6.

故选：C.

3.D

【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得"AB',从而可得/钻O=

然后证明从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.

【详解】解：蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像AE可以看成是位似图形，A选项正确；

由题意得：ABA!B',

・•・ZABO=ZAfBfO,

丁ZAOB=ZAOBf,

AZ\AOB^2\AOBr,B选项正确;

.AB_OB

**A^-OB7,

.AB30

••一，

620

解得：AB=9,

蜡烛火焰AB长9cm,C选项正确；

线段AB的中点与线段A?的中点的连线一定经过点O,D选项错误.

故选：D.

4.A

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作DNLA尸于N,则

ZADN=ZBAE,由平行可得NDEC=NAD£,结合/DEC=2NB4E可得

ZADN=ZBAE=ZEDN,则人。=。石=5,由勾股定理得到EC=3,再由平行得到

BEABAE

济代入计算即可.

CECF

【详解】,・,矩形ABCD中，已知AB=4,4)=5,

AAD=BC=5fAD//BC,AB//CD,ZBAD=ZB=90°fAB=DC=4

作ON_LA厂于N,

JZADN=/BAE=90°—/DAN,

9：AD//BC,

：.ZDEC=ZADE,

•・•ZDEC=2/BAE,

:.ZADN=ZBAE=ZEDN,

■:DN1AF,

：.ZAND=ZEND=90°f

又DN=DN,

:._ADN"LEDN,

••DE=AD=5,

:・CE=NDE2-CD2=3'

:.BE=BC-CE=2,

・•・AE=VAB2+CE2=2石，

■:AB〃CD,

：.AABEs&CE,

.BEAB_AE

^~CE~~CF~^F，

・2_2A/5

"I一百’

解得环=36，

故选：A.

5.B

【分析】本题考查了相似的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.过点。作CE，CD

交。H的延长线于点E,过点。作CFLAB于点/，证明-ABCGJ即。(ASA)推出Z4=N£,

CE=AC,得到ADHsEC”和△ABCsaCBF,据此求解即可.

【详解】解：如图，过点。作CELCD交的延长线于点过点C作CFLAB于点尸，

...NDCE=ZBCA=90°.

NABC=NHDC,CB=CD,

£DC（ASA）,

:.ZA=ZE,CE=AC.

ZAHD=/EHC,

/.ADHsECH,

PHAD_AH

,HC~EC~EH'

设4C=CE=4%,

AC4

——=—，ZACB=90°,

BC3

BC=3x,AB=5x.

ABCs.CBF,

.BC_BF_3

'AB-BC-5?

39

:.BF=-BC=-x.

55

.CB=CD,

9

/.DF=BF=-x,

997

/.AD=5x—x—x=­x,

555

7

PHAD_sx_7.

"HC-EC_-20

故选：B.

6.A

【分析】本题主要考查判断圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定和性质，根据已知求得

ZACD=45°,即可判定A、B、C和。四点共圆，且以A3中点为圆心，连接2。，求得BC=y^，

AD=BD=43,进一步可证明：CEBscO；弘，有"^AF=x,BF=y,贝lj

CF=2—x,DF=y/3—y,求得x和y,再证明CFDsBFA,有---=---，即可求得CD.

BAFA

【详解】解：・・・NACB=90。，ZACD=^ZACB,

：.ZACD=45°,

：.ZACB=135°,

・.・NDAB=45。，

・・・A、B、。和。四点共圆，且以A5中点为圆心，

连接30,如图，

:・BC=gAD=BD=6,

・.・ZCBF=ZFAD,ZCFB=ZDFA,

JCFB^.DFA,

.CFFBCB

••而一诟一五’

^AF=x,BF=y,贝!JCb=2—羽。/二6一y,

则云十台宗x=6-3\[2

解得＜

y=2而-2c

・.・ZFAB=ZCDF,ZCFD=ZBFA,

CFDsBFA,

.CDFD

*BA--E4?

（2庭-26）

即,解得8=0—1，

^66-372

故选：A.

7.B

【详解】解:由题意得,白银矩形四边形白银矩形四边形ADCB,

ABAE

AD-AB?

即AB2=ADAE，

AD=2AE,

AB2=-AD2,

2

2

.AD_0

AB2

ADL

=V2（负值舍去）

AB

即白银矩形的长与宽的比为a-

如下图，作EI八HG于点、I,GJ八PQ于J,F。QM于K,在上截取QS=QH,连接组,

\sin?EHG—,

EH2

\1EHI45?,

EF=FL,

\EK=LK,FK=QH,

同理可得QH=HJ=JR=RP,QE=EK=KL=LM,

ZQHE=ZRHG=:(180°-45°)=67.5°,

\?QEH90?67.5?22.5?,

QH=QS,

\?QHS?QSH45?,

\?SHE?QEH22.5?,

\SH=SE,

设QH=QS=m.

\PQ=4m,SH=&m,

QE=(血+1)加，

:.QM=4^+l^m,

，"小

PQ4m

故选：B.

【点睛】本题考查的时候相似多边形的性质、平面镶嵌（密铺）、菱形的判定与性质、翻折变换

（折叠问题）、比例的性质、黄金分割，解决本题的关键是理解白银矩形的定义.

8.D

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形

的性质推出AB=8C=CD=4）,ZD=ZABC=60°,判定VABC,ACD是等边三角形，得到

ZBCE=ZACD=60°,BC=AC,求出/。£+/3£。=180。-60。=120。，而

NCEF+/BEC=120°,得到NCEF=NCBE,即可证明△CEFs^cBE,推出CF：CE=CE:BC,

445

令\E=x,贝！j£C=2x,得出尤，得至！JO产=3x—即可求出答案.

【详解】解：•・,四边形A5CD是菱形，

AAB=BC=CD=AD,ZD=ZABC=60°,

：.NABC,ACD是等边三角形，

ZBCE=ZACD=60°,BC=AC,

：.Z.CBE^ZBEC=180°-60°=120°,

VZBEF=120°,

・•・NCEF+/BEC=120。,

:.Z.CEF=ZCBE,

・・•NECF=NBCE,

/\CEF^/\CBE,

：.CF:CE=CE:BC,

..AE_1

・EC~29

：.^AE=x,则EC=2x,

AC=x+2x=3x,

***BC=AC—3x,

CF:2x=2x:3x,

4

CF=-x,

3

45

DF=3%——x=—x,

33

.DF_5

••=.

FC4

故选：D.

9.B

【分析】过点A作AH，5c于点H,过点E作EM〃5C交AH于M,连接MF,首先解得AH=6,

Ap11Afj11

BH=CH=8,结合受=：,可得41=；,根据平行线分线段成比例定理，可解得ME=2,进

而证明四边形EMFG为平行四边形，可得EG=MR；作点”关于直线BC的对称点N,连接FN,

过点。作DK13C于点K,由对称的性质可得FN=MR=EG,故当点。、F、N在同一直线上

时，。尸+EG取最小值，最小值等于DN的长度，结合三角函数和勾股定理分别解得DK,HK,

AM,MH的值，由轴对称的性质可得而的值，证明DKFsNHF,由相似三角形的性质解

Q12

得KF=M，进而可得切=不，理由勾股定理分别解得。尸，Nb的值，即可获得答案.

【详解】解：如下图，过点A作AHLBC于点打，过点E作交于连接叱，

AB=AC=10,

:・BH=CH,

.3

sinB=—,

3

AH=ABxsinB—10x—=6,

•**BH=CH=VAB2-AH2=8，

..AE_1

・CE~39

.AE1_1

**AC-3+i-4?

9：EM//BC,

.MEAE_1

**CH-AC-4J

・・・ME=-CH=2,

4

:.ME=FG=2,

・••四边形EMFG为平行四边形，

・・・EG=MF,

作点”关于直线3c的对称点N,连接5N,过点。作OK13C于点K,如图,

由对称的性质可得引V=MF=EG,

:.DF+EG=DF+NF,

・・・当点。、F、N在同一直线上时，。尸+EG取最小值，最小值等于。N的长度,

;。为的中点，

・・・BD=-AB=5

2

DK1BC,

3

DK=BDxsinB=5x—=3,

•*-BK=YIBD2-DK2=752-32=4,

:.HK=BH-BK=8-4=4,

..AE1

*就7，

・・・AE=-AC=2.5

4f

VAH1BC,EM//BC,

，ME.LAH,

・••在RtZXAME中，AM=^AE2-ME2=V2.52-22=1.5，

MH=AH-AM=6-1.5=4.5,

由轴对称的性质可得NH=MH=4.5,

9：ZDFK=ZNFH,ZDKF=ZNHF=90。，

・・・DKF^NHF,

.DKKF3KFKF

••NH~'HF'4.5~HK-KF~4-KF

Q

解得"=丁

812

FH=HK-KF=4——=—,

55

・••在RtOXF和RtNHF中,

DF=YJDK2+KF2

：.DN=DF+NF=——+5.1=——

52

17

DF+EG的最小值为不.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、

轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键.

10.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数，垂线段

最短，作。石，依于点E,证明.ADR.CDP,得到博=省=1,即得比＞=尸。，推导出上加

是等边三角形，得到踮=50,"80=60。，由。Q2OE得或＞1,即可求解，正确作出辅

BP2

助线是解题的关键.

【详解】解：作DE上PB于点E,则NPED=90。,

VAC=AD,ZC=60°,

・・・3ACD是等边三角形，

AAD=CD,ZC=ZADC=60°,

9：AB//CD,

：.ZBAD=ZADC=6Q°f

ZBAD=ZC,

：ZPDB=60°,

,・ZADB=ZCDP=6Q°-ZADPf

•・ADB^CDP,

.BDAD

.而=而j

•・BD=PD,

••△PDB是等边三角形，

\BP=BD,NPBD=60。,

.DEDE,”

•-----=----=sin60OJ1

BPBD=

：DQ>DE,

.DQ>DE

•BP一BP'

.DQ、上

BP2

故选：c.

11.D

【分析】根据BD_LAGPE_LAB可以确定A,D,P,E四点共圆，根据三角形内角和定理确定

44c=60。，进而确定当AP_LBC时，线段取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定

理的推论确定ZAT>E=45。，根据相似三角形的判定定理和性质可黑=笠，设AE=2x,根据

ADnC

等角对等边和勾股定理表示出48和相，根据30。所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾

股定理表示出AD,最后代入比例式中计算即可.

【详解】解：：于，于E,

ZADP=ZAEP=90°,

ZADP+ZAEP=180°,

；.A、D、P、E四点共圆，且直径为AP,

VABAC=15°,是定值，所以直径针最小时，—ZME所对的弦OE最小，此时

在RtZkPBE中，/B=45°

是等腰直角三角形，ZAPE=45°,

二VAPE也是等腰直角三角形，

ZPAE=45°,

：./PBE=NPAE=45°,

・•・ZADE=45°,

:・ZADE=ZB,

9

：ZEAD=ZCABf

：.AADE^AABC,

.ADDE

••瓦一法’

设AE=2x,则PE=EB=2x，AP=2枝x，

则人0=0。=0尸二缶，

•・•ZDAP=ZBAC-ZPAE=30°,

ZDOP=2ZDAO=60°,

过。作。M_LAP于M,

AZOOM=30°,OM=—x,

2

/•DM=y]OD2-OM2=—x,

2

••AAf=-----x，

2

由勾股定理得：AD=ylAM2^DM2=V6x，

.瓜x_DE

4x76'

・e372+76

4

3

则线段OE的最小值为5

故选：D.

【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和

性质，含30。的直角三角形，正确确定何时。石取得最小值是解题关键.

12.C

【分析】由,BPC是等边三角形，得AE=〈BE,而BE=FC,故①正确；由尸C=8C=CD,

ZPCJD=90°-60°=30°,可判定②正确；过点。作刀加，。于知,过点尸作PNJ_BC于N,

则NOCM=30。，NCPN=3。,可推出。河=」。，PN=—PC=—CD,则导也=义一=6,

222、PCD。3©口

~2

…DHFDS”DH

判定③正确；由FE〃BC可得一FDHs-CBH,进而得到^?二七，得至！又因

BHBC、BHC

S]pFPD

为尸不是AD中点，故可判定④错误；由PED^DEB,^--=---,^ED2=PEBE,

、BHC2EDBE

可判定⑤错误.

【详解】解：.一5PC为等边三角形，

:.PB=PC,ZPBC=ZPCB=60°,

四边形A3CD是正方形

FE//BC,ZABC=90°,

:ZEPsACPB,

又PB=PC,

:.PE=PF,

:.FC=EB,

ZP5C=60。，ZABC=90°,

:.ZABE=30°,

在Rt_ABE中,ZABE=30°,

AE=-BE,

2

又BE=FC,

AE=^FC,故①正确；

PC=BC=CD,ZPCD=90°-60°=30°,

1800-30°

ZDPC=ZPDC==75°

2

.\ZPDE=ZADC-ZPDC=90°-75°=15°,故②正确;

过点。作DMLCP于过点尸作PN,3c于N,

由题意可得NDCM=30。，ZCPN=30,

DM=CD-sin30°=^CD,PN=PC-cos30°=—PC=—C£>,

222

-CD

»PBC

q故③正确;

2PCD—CD

2

FE//BC,

:.NDHSMBH,

.PH_FD

,,而一疏

又ABHC与DHC同高,

uDHCPH

°BHC

PHFD

尸不是AD中点,

DHFD1

-----------w-,

BHBC2

qi

—二5,故④错误;

»BHC/

ZEPD=1800-ZEPF-ZDPC=180°-60°-75°=45°=ZADB,ZPED=ZPED,

.-.^PED^ADEB,

,PEED

,,而一版’

:.ED-=PEBE,

又，PE=PF,BE=FC,

;.DE2=PFFC^PFPC,故⑤错误，

综上所述：正确的结论有3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性

质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键.

13.10

【分析】本题考查了比例的性质，根据合比的性质得==:，进而可得。+c=!e+d)=io.

b+a22

【详解】解：••一=5=4，

ba2

.a+c_1

b+d~2，

"+d=20,

***a+c=耳｛b+d)—10.

故答案为：10.

20

14.

21

【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设==根

^tanZB=^,AHLCB,得出AH=5x,=12x,再分别用勾股定理求出

AD=y/41x,4。=0^,故85乙4*=里=回，再运用解直角三角形得出。知=生叵尤，

AD4141

A"=生亘x,代入胃=普，化简即可作答.

41ACAM

【详解】解：如图，过点A作AHLCB垂足为H,

设Afi=3C=13x,

BD=8x,DC=5x,

VtanZB=—,AH1CB,

12

.AH_5

…而一五’

AB=BC=13x,

AH2+BH2=AB2=169X2,

解得AH=5x,BH=12x,

DH=12x—8x=4x,HC=5x—4x=x,

AD=y/AH2+DH2=闻x，AC=^AH2+CH2=届x，

DH4A/41

cosZADC=——

AD41

过点C作CM，AD垂足为M,

/•DM=CDcosZADC=2°^x,AM=AD-DM=21^x,

4141

'：DE±AD,CMLAD,

：.MC//DE,

20741

.CEDM41尤_20

"AC-~AM~21V41-21，

---------X

41

故答案为：子20.

15.竺

4

【分析】过点A作AP，3c于点尸，过点3作于点”，过点E作交的延

RH94

长线于点R由正切函数得tan/BAC=］万=亍，设9=24*AH=7a,利用勾股定理分别

求出AB=AC=25a,CH=18a,BC=30a,则BP=CP=15a,再求出3Z)=10a,则CD=20a,

AP4EF

DP=5a,AP=20a,进而得tanNACP=—=—,tanZECF=—,根据NACP=NEB得

PC3CF

EF4DP1

—=-,设EF=4左，CF=3k,贝！!CE=53DF=20a+3k,由正切函数tanZDAP=—=—,

CF3AP4

pp4k

tanNEDF=—=---------,即可求解.

DF20+3左

【详解】解：过点A作"，3C于点尸，过点8作3HLAC于点”，过点E作EF13C交BC的

延长线于点忆如图所示：

A

.•.设BH=24a,AH=la,

AB=ylBH2+AH2

=J(24a)2+(7a)2

=25a,

AB=AC=25a,

:.CH=AC-AH

=25a—7a

=18。，

:.BC^\IBH2+CH2

=“244+(18a)2

=30〃，

APLBC,

BP—CP—15〃，

BD_2

BD=[AB=10a,

:.CD=BC-BD

二30a—10a

=20a,

DP=BP-BD

=15a—10a

—5a,

:.AP=^AC2—CP2

=J(25a)2—(15a)z

=20〃，

..…AP20〃4

fan/ACP-------

PC15a3

FF

tanZECH=——

CF

ZACP=ZECF,

EF_4

~CF~39

设斯=4左，CF=3k,

CF=4EF2+CF2

=«4kY+(3k)。

=5k,

:.DF=CD+CF

=20a+