2021-2022学年沪教版必修一数学暑假提升第13讲 对数函数对数函数的定义与图像对数函数的性质教师版

第13讲对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质)

【基础知识】

定义当。固定，且a>O,a#l时，才以a为底的对数

>=logu.r

确定了变量y随变量I变化的规律,称为底为。的对数函

数(logarithmicfunction).

对数函数的图像总是经过点(1*0).

因为y=logj是〃=z的解.所以说对数运算是指数运算的

一种逆运算.作为函数•称对数函数y=l。&才是指数函数y=a"

的反函数.

证明用反证法.如果工=1。&,、&0.由指数的性质.就可得

N=a，&l,与N>l矛盾.

定理当时，成立log“N>0.

对数函数单调性当时,对数函数y=bg"在

(0,+8)上严格递增；当0<aVl时.对数函数y=log”.r在

(0,+oo)上严格递减.

.v==lo&xa>l0<a<l

]y=logaX(a>l)^

—\--------'----•----•----•----►

图像(.................21

Ai.o)

^=logx(0<a<l)

11o

(1)图像都在y轴右侧.无限趋近于S轴,但永不相交.

图像特征(2)过点(1.0).

(3)自左至右图像上升.(3)自左至右图像下降.

(1)定义域为(0.+8).

函数性质(2)当/=1时・y=0.

(3)在(0，+8)上严格递增.(3)在(0.+8)上严格递减.

【考点剖析】

考点一：对数函数的概念与简单运用

gn求下列函数的定义域.

(1)y=log2(2,—1)；

(2)3=log0(―一4工-5)(。>0,。#1).

解(D当彳-1>0,即z>l时.该函数才有意义，所以该函

数的定义域是(1.+8).

(2)当小一4才一5>0时，该函数才有意义，而

41-5=(1+1)(1-5),

不等式一一4l一5>0的解是才〈一1或z>5,因此该函数的定

义域是

(—oo,—l)U(5»+℃>).

对2.求下列函数的定义域

⑴'=%(16—2')(2)y-----------

-lg(2+3x)

【难度】★★

【答案】解：(1)16—2、>0且％+2>0且X+2彳1=>16(—2,—1)。(一1,4)

,、/21、，1、

(2)X6(---,---)U(---,+00)

333

i］3.已知函数f(x)的定义域是［0,1］,求函数y=〃log1/2(x—3)］的定义域。

【难度】★★

【答案】解：由041081/2(*一3)41得1(呜/21<1081/21—3)41081/2%,

由于y=log“2X为定义域上的减函数，故得:

1/2<X-3<1.*.7/2<x<4,,

二所求函数的定义域为［7/2,4］。

注意：已知y=f(x)定义域［a,b］,求y=f［g(x)］定义域，只需agg(x)Wb,解x的取值范围即可。

列4.若log,,2>1,则〃的取值范围是

()

A.1＜"3

B.0＜。＜1或1＜。＜

2

c2,2、

C.—V6Z＜1D.0＜。＜一或a＞

3

【难度】★★

【答案】D

例5.函数y=/(2")的定义域为[1,2],则函数y=/(log2x)的定义域为)

A.[0,1]B.[1,2JC.[2,4JD.[4,16]

【难度】★★

【答案】D

例6.已知函数/。)=眩(女2+依+1)的定义域为R,求实数“的取值范围。

【难度】★★

【答案】解：依题意，av2+ox+l>0,xeR恒成立。

(1)当4=0时，不等式1>0恒成立。

fa>0

(2)当4加时，有<,得：0<a<4,

A=a--4a<0

综合⑴、(2),得ad[0,4).

注意：勿忘讨论二次项系数为零这一情况。

|例7.函数/(x)=log2|ar-l|(ao0)

(1)若其定义域包含一切负实数，求实数a的取值范围

(2)当x<—时，求y=f(x)的反函数

a

【难度】★★

【答案】解：(1)不等式|办一l|>0nxwL,xGR,所以a>0即可

(2)当〃>0时，y=log(-or+l),所以/“(%)=-----,xwR

2a

i+2X

当。＜0时，y=log2(ox-l),所以/T(x)=-----,XG7?

a

考点二：对数函数的性质与图像问题

分别描绘对数函数y=log2%及y=1嗨]的大致图像.

解先取此图像上的一些特别的点.由bg21=0,log22=l,

log2y=-1.log24=2,log?；=—2,所以对数函数y=log2i

的图像必经过下面的点：

(；.一2),~.—1),(1,0),(2,1),(4»2).

再使用计算器多采集一些点.就可以粗略地绘出其图像.

因为log3t=-2,log3y=—1,Iog3l=0,log33=1,

Iog39=2,所以对数函数y=log3.r的图像必经过点：

代,一2),(y,-l),(1,0),(3,1),(9,2).

再多采集一些点,就可以粗略地绘出其图像.

我们把这两个图像放在同f图上以便观察比较，见图4-3-1.

描绘y=log”的大致图像.

解因为logg；=2,logi7=1»logil=0,logi2=-1,

log/4=一2.所以该函数的图像经过下面的点：

(j,2),(1,0),(2,-1),(4,-2).

类似地•可以粗略地描出其相应的图像.见图4-3-2.

例3.由函数y=lgx图像，画出下列各函数图像。

(1)y=lg(-x)(2)y=-lgx(3)y=|lgx|(4)y=lg|x|(5)y=lg|x-l|(6)y=lg(|x|+l)

【难咬】★★

y=igx

y=Tgx

(2)

注意：y=iglx-l|由y=igkl向右平移i个单位得到，而y=ig（|x|+D为偶函数，y轴左侧图像由y

轴右侧y=lg（x+1）（x2。）的图像关于y轴对称而得到。（图中实线为保留部分。虚线为擦除部分）

d14.右图是对数函数y=log"x的图像，已知a取则相应于GC2c3c4的a值依次

为_______

【难度】★★

【答案】解题策略：根据对数函数底数在第一象限由左向右.、从小到大分布规律解答。

注意：x=l时，左侧Ovavl,在x=l右侧a>l。

已知log,,,5>log,,5,试确定m和n的大小关系。

【难度】★★

【答案】解法一：分三种情况，令yi=k>gm5,y2=logn5,

⑴当log,”5>log”5>0时,如图(1)有1cmen。

(2)当0>log,”5>log”5时，如图(2)有0cm<n<l。

(3)当k>g,“5>0>log“5时,如图(3)有0<n<l<m

(1)当Iog5/n>0,log5〃>0时,则logsm<logs〃，所以

当〃时，则,所以。

(2)log5m<0,log5<0logs<log5n0<m<n<1

当〃时，则有

(3)log5m>0,log5<00</?<1<m

考点三：对数函数与指数函数的关系

'1例1.函数y=log”x的图像过点（9,2）,求广（loggZ）的值。

【难度】★★

【答案】解：log“x的图像过点（9,2）,得loga9=2^Ja=3。

y=log3xlog92=log3xlog3V2=log3x,x=6

注意:本题运用了结论了g，“夕=—log”用其中,。,6>0,4=1,见九£夫)

。m

［例2.将y=2x的图像：()再作关于y=x对称图像，可得到函数y=log2(x+l)的图像。

(A)先向左平行移动1个单位(B)先向右平行移动1个单位

(C)先向上平行移动1个单位(D)先向下平行移动1个单位

【难度】★★

【答案】解：y=log2(x+l)的反函数是y=2F,因此只要把y=2*的图像向下平移1个单位，就得到y=22的

图像，再作它关于直线y=x的对称图像，就可得到y=bg2(x+l)的图像，故选(D)

注意：两个函数图像若关于直线y=x对称，则它们互为反函数。

例3.

考点四：对数函数与函数性质的综合应用

(、一］例1.【例21】(1)求函数y=lg(x+l)的值域。

(2)求函数y=lg(x?-%)的值域。

(3)函数y=lg(G?+X+1)值域为R,求实数a范围。

【难度】★★

【答案】解：(1)定义域为(-1,+00),4X+1G(0,+00)TyGR。

(2)定义域为(-8,0)U(1,+oo),令/=一—%,则疙(0,+oo)-yWR。

fa>0

(3)依题意有a=0或《，则”00,1/4］。

A=l-4a>0

注意：y=k)g“(ax+6)(〃>0,"工1)值域为R的条件为

y=log„(ar2+hx+c)(〃〉0,〃H1)值域为R的条件为a>0,JiA>0或a-0且厚0.

例2.求函数J'(x)=(k>go.25X)2-210go.25X+5,XG［2,4］的最值。

【难度】★★

【答案】解：令f=logo_25X,则有y=*—2f+5=(f—l)2+4

25

.♦.当d1,即44时，/(X)max=8；当片-1/2即42时，/0焉=j

注意：换元后，求出新变量范围。

：,］3.已知x满足不等式2(k>g2X)2-71og2X+3W0,求函数f(x)=log2±log「的最大值和最小值。

【难度】★★

【答案】最大值2：最小值-工

4

工例4.解不等式loga(2x+l)>2(a>0,LHl)

【难度】★★

【答案】

解：log“(2x+l)>k)g"2,2_

当a〉1时，该不等式哮价于2x+l>",解得*e(----,+oo)；

2\(T~\

当0<a<1时，，不等式等价于0<2尤+l<a2,解得xe(-一,-----)

22

注意：解：logJ(x)>b常转化为logJ(x)>log„a"求解

5.解不等式logx（2x+l）>log,2.

【难度】★★

【答案】解：原不等式等价于:

x>11>x>0

⑴4（2乂

[2x+l>2[2>2x+l>0

⑴的解集为：（l,+oo）,（2）的解集为（0,g）

综上：不等式的解集为(0,1/2)U(l,+8)。

注意：结论是求(1)、(2)两种情况的并集。

例6.已知函数y=log%(为2—以—a)在区间("』一6)上是增函数，求实数a的取值范围。

【难度】★★

【答案】解：该函数为丁=108%〃,〃=/—内—。复合而成，

外函数y=log,，u为定义域上减函数,

依题意，内函数在上应为减函数，又真数大于零,

得：!解得：2-2^<a<2

（1—V3）"—iz（l—-aN0

注意：(1)勿忘真数部分大于0。

(2)要使xG(一叫1-百)时,u(x)>0,只需〃(1一百)>0，勿忽略“=”，因区间为开区间!

【反思总结】

对数函数是在学习指数函数、对数基础上引入的。通过指数函数与对数的联系，掌握对数函数的概念、

图像、性质并能应用，同时能够灵活解决对数函数和函数性质的综合题目、对数函数应用题；在解决问题

中，通过数形结合，分类讨论等数学思想方法，发展逻辑思维能力，提高信息检查和整合能力

【真题演练】

一、单选题

1.（2021・上海高一期末）下列四组函数中，两个函数相同的是（）.

A.丁=正■和y=B.y=l和y=x°

C.y=x（xe{0,l}）和y=x2（xe{0,i}）D.y=log“/和y=210g.X

【答案】C

【分析】根据相同函数的定义，从定义域、值域、对应关系三方面进行判断即可.

【详解】A：函数y=的定义域为全体实数集，函数y=（、6）2的定义域为非负实数集，故两个函数不

相同，不符合题意；

B：函数y=l的定义域为全体实数集，函数y=x°的定义域为非零的实数集，故两个函数不相同，不符合

题意；

C：当xe{0,l）时，函数y=x的值域为ye{0,l},其中当x=0时，丁=0,当x=l时，y=l：当xe{0,l}

时，函数、=/的值域为丁6{0,1},其中当尤=0时,，y=0,当尤=1时，y=l,因此两个函数是相同函

数，符合题意；

D：函数y=log”/的定义域为非零的实数集，函数y=21og“x的定义域为正实数集，因此两个函数不相

同，不符合题意，

故选：C

2.（2020•上海市实验学校高一期末）“归―”<1”是“1。82%<1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】本题首先可求解不等式卜-1|<1以及10g2X<l,然后通过充要条件的判定即可得出结果.

【详解】|x—1|<L-1<X-1<1,解得0<x<2,

log2x<l,0cx<2、解得0cx<2,

则-<1”是“kgX<1”的充要条件，

故选：C.

3.（2020.上海格致中学高一期末）已知函数y=k）g式x+a）+A的图象不经过第四象限，则实数。、力满

足

A.a>l,b>0B,a>0,b>l

b

C.b+log2a>0D.a+2>0

【答案】C

【分析】因为函数y=log2（x+a）+人的图象不经过第四象限，所以当x=0时，y'O,所以log2a+bN0.

【详解】因为函数y=log2*+a）+b的图象不经过第四象限，所以当x=0时，,-.log2«+^>0.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题.

4.（2021•上海高一期末）已知正数a,b均不为不贝！］“3a>3">3”是"log”3<l0gz,3"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数对数函数的概念,分析“3〃>3&>3”与“log“3<log,3”的推出关系即可.

【详解】由题意知，3">3">3=a>Z?>l，

当a>6>l时，log“3=3=$1成立，

Igalgb

反之不成立，例如a=；,6=3满足logfl3<logfc3，推不H；a>b>\.

故"3“<3*”是“log3a<log3b”的充分不必要条件.

故选：A

5.（2020•上海）已知。>0,且awl,函数y=a'与y=log〃（-x）的图象只能是下图中的（)

【分析】根据函数y=10g“（r）的图象与y=log”％的图象关于y轴对称，函数y=ax的图象与y=log。x

的图象关于直线y=x对称，即可判断.

【详解】

根据题意，所以正确的是B.

故选：B.

【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象的理解和应用，属于容易题.

6.（202。上海市第二中学高一月考）已知函数/（x）=lgx,对任意两个不相等的正数为、/，给出以下

三个结论：

⑴/（中2）=/（石）+/（工2）；(2)八",5)>0；(3)>|[/(^)+/(^)]；

%一工2I，J2

其中正确结论的个数（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据对数运算法则知（1）正确；根据对数函数单调性知（2）正确；利用作差法可知（3）正确.

【详解】对于（1）,/（中2）=怆（中2），/（%）+/（9）=怆％+怆々=怆（％9），

，/（玉工2）=/（玉）+/（工2），（1）正确:

对于⑵，若J\"_八2/>0,则/（6为（0,+纥）上的增函数,

%—%2

又/(x)=lgx为(0,+8)上的增函数,(2)正确;

对于(3),yf|[/(xl)+/(x2)]=|lg(x1x2),

\LJzzz

%+%2-gig（玉%）=怆与玉

1g2lgl=0（当且仅当％=超时取等号），又

2

X产乙,尼土产一:馆（七々）>°，即/[”^1>；[/&）+/（工2）],⑶正确:

乙乙\，乙）乙

综上所述：正确结论的个数为3个.

故选：D.

2

7.（2021.上海市第二中学高一期末）若log“]>l,则。的取值范围是：（）

3

A.1<a<一B.0<4<1或1<4<一

22

22

C.—<a<1D.0<a<一或

33

【答案】C

【分析】讨论a的范围再利用时数函数的单调性可求解.

27

【详解】logrt->1,即log,1>log.a,

22

当0<。<1时，解得a>—,即一

33

2

当。>1时，解得。<一，此时无解，

3

2

综上，一

3

故选：C.

二、填空题

8.（2021.上海市西南位育中学高一期末）函数>=logo_5（4-x）的定义域是.

【答案】（YO,4）

【分析】由对数的性质可得：4—x>0即可求解.

【详解】由对数的性质可得：4一%>0,

解得：x<4,

所以原函数的定义域为：（…,4）,

故答案为：（一8,4）

9.（2021・上海高一期末）设函数y=log“x+l（a>0且awl）,则该函数的图象恒过定点的坐标是一.

【答案】（1,1）

【分析】将x=i代入函数解析式，求出y的值，即可得出原函数图象所过定点的坐标.

【详解】在函数y=log“x+l（a>0且的解析式中，令X=l,则y=log〃l+l=l.

因此，函数y=log“x+l（a>0且awl）的图象恒过定点的坐标是（1,1）.

故答案为：（1,1）.

10.（2021・上海高一期末）log2a的小数表示为15..（包括1,5在内），则实数a的取值范围为.

【答案】"5,2埠

【分析】由题意得L5Slog?a<1.6,解不等式可得答案

【详解】解：由题意得1.5<log2a<1.6,

所以2“<«<216,

所以实数«的取值范围为［2",升6）,

故答案为：［2”,2「6）

11.（2021.上海曹杨二中高一期末）已知/（力=1082（1-"2）在［3,4］上是严格减函数，则实数。的取值

范围是.

【答案】［0,总

【分析】根据f（x）的单调性可得〃满足的不等式组，从而可求实数。的取值范围.

【详解】〃x）=log2（1-62）在［3,4］上是严格减函数，

故f=l一方2在［3,4］为减函数，且，>0恒成立，

tz>0,故总.

所以《

l-16a>0

故答案为：

【点睛】易错点睛：与对数有关的复合函数的单调性，要利用同增异减的原则来进行判断，注意真数大于

的要求.

12.(2021.上海市杨浦高级中学高一期末)aicy=log3x-log33x,xe[3,9]的最小值是.

【答案】2

C1V1

【分析】令f=10g3X,可得y=f(l+0=t+-即可求出最小值.

<2/4

【详解】•/y=log3x-log33x=log3x-(1+log3x),

令f=log3%，•.•xe[3,9],/.re[1,2],

2

则y=/(1+/)=t+-

4

当/=1时，Win=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查与对数函数复合的：次函数的最值，解题的关键是换元令，=lOg3X，得出二次函数求最

代

13.(2021•上海位育中学高一期末)不等式log?x+2*<2的解集为

【答案】(0,1)

【分析】构造函数F(x)=log2X+2'，xe(O,*»),利用/⑴=2和函数单调性，即得不等式的解集.

【详解】构造函数f(x)=log2X+2)XG(O,4W),则/'(l)=log21+2i=2,故不等式即/(幻</(1).

由指数函数y=2,和对数函数y=log2x的单调性可知，函数f(x)=log2x+2'在(0,+a))上单调递增，

故不等式即得0<x<1,故不等式的解集为(0,1).

故答案为：(0,1).

14.（2021・上海复旦附中高一期末）函数/（司=-^1=+1（唱2（%—2）的定义域为一.

，4-x

【答案】（2,4）

【分析】根据解析式有意义可得出关于实数x的不等式组，进而可求得函数/（x）的定义域.

/、1/\4-x>0

【详解】对于函数/（》）=）=+1〃2（》一2）,有{C，解得2Vx<4.

\/4-x[x-2>0

因此，函数/（》）=号\+1。82（%一2）的定义域为（2,4）.

故答案为：（2,4）.

三、解答题

15.（2020•上海市复兴高级中学高一期中）已知函数y=/（x）,其中/（x）=S—2a—2）d是指数函数.

（1）求f（x）的表达式；

（2）解不等式：log“（l+x）<log“（2-x）.

【答案】（1）f（x）=3x；（2）{x|-l<%<1}

【分析】（1）根据指数函数的定义，有/一2。一2=1，结合。求。，写出f（x）；

（2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可.

【详解】（I）y=/（x）是指数函数，所以"一2a-2=1，解得。=3或〃=一1（舍），

/（x）=3'.

（2）由⑴知：Iog3（l+x）<log3（2—x）,

l+x>0

2—x>0,解得—l<x<—,解集为{x|—l<x<—}.

2-x>l+x22

（1+2*+

16.（2021・上海高一）设f（x）=lg-----------其中aeR,如果xe（3,l）时，/（x）恒有意义，求a

\^）

的取值范围.

3

【答案】[---,+8）.

【分析】根据题意转化为。>一(27+2a)对XG(r。/)恒成立，令/=2,得到g«)=-Q+产)，其中

/eg,+8),结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】当》€(-8,1)时，“幻恒有意义，即1+2*+小4'>0,对Xe(-oo,1)恒成立,

1+2,

即a>-----=一(2-*+2々，)，对xe(T»,l)恒成立,

4,

令£=2一"，可得g(f)=-(f+〃)，

因为xe(—8,l),可得teg,+oo),所以a>g(f)对，e(g,+oo)恒成立,

又因为g«)在£eg,+00)上为减函数,可得gQ)max=g(g)=-j,

33

所以aN—士，即实数。的取范围是［―巳,+8).

44

17.(2021•上海市西南位育中学高一期末)解下列方程或不等式.

/］、*T(1、2x-3

(1)月七)；

(2)log2(^-1)>log4(2x-3).

【答案】⑴x=|；⑵6,23(2,+8).

【分析】(1)根据指数的运算性质将等号左右两边化成同底的，令指数相等即可求解;

(2)根据对数的运算性质即可求解.

/［、xTz］、2x-3z［\A-1/［、4x-6

【详解】⑴由士=LW-=-,

⑴⑷⑶⑴

所以x-l=4x-6,解得：X=—,

3

所以原方程的解为：x=|

2

(2)^log2(x-l)>log4(2x-3)nj^：log4(x-l)>log4(2x-3),

因为y=log4%在(0,+。)单调递增，

\-1>0X>1X>1

53

所以■2x-3>0即，x>—可得《X>一

222

(x—1)>2x-3x2-4x+4>0"2

所以原不等式的解集为：f1,2)U(2,+oo)

18.(2021•上海市第二中学高一期末)己知函数y=/(x)=log“(2—2x)—log“(x+4),其中a>i.

(1)求函数y=/(x)的定义域;

(2)解不等式/(x)>0.

【答案】(1)(-4,1)；(2)1—4,一：］

2—2x>0

【分析】(1)根据对数的性质，解不等式〈x+4〉。即可求解;

(2)由可得y=loga%在(0,+8)单调递增，根据单调性可得2—2x>x+4,结合定义域即可求解.

2-2x>0

【详解】(1)由题意可得：《“八，解得T<X<1,

x+4>0

所以函数y=/(x)的定义域为(-4,1)：

(2)/(%)>0等价于。“(2-2幻>108“(％+4),

当时，y=log”％单调递增,

2

所以2-2x>x+4，解得：x<—,

3

又因为T<x<l，

所以一4cx<——，

3

所以不等式/(x)>0的解集为1-4,-g]

【过关检测】

一、单选题

1.(2020・上海高一单元测试)若1幅,(。2+1)<108“2。<0,则。的取值范围是()

A.0<«<1B.-<a<\C.0<av—D.a>1

22

【答案】B

fO<a<l

【分析】由对数函数的性质可得<c,，即可得解.

2a>1

【详解】由题意，。>()且所以〃+1-2。=(。-1)2>0即/+i>2a，

因为log/a?+1)<log"2a<0=log“1,

0<«<1

所以《,解得

2a>12

故选：B.

(3a-2)x+a,x<l

2.(2020•上海高一单元测试)已知函数/")=<1।、1是R上的增函数，则实数。的取值范

l+10g(4-3“)X，XZl

围是()

23

A.B.C.D.

3544

【答案】C

【分析】根据分段函数是H上的增函数，则每一段都为增函数，且x=l右侧的函数值不小于左侧的函数值

求解.

(3。-2)x+a,x<1

【详解】因为函数f(x)={17、［是/?上的增函数,

l+10g(4-3a)X,XZl

2

a>—

3a—2>03

23

所以《，即《

4-3a>la<l9解得

34

(3a-2)x1+aW1+log_13

(43a)a<—

4

r23

所以实数。的取值范围是n

故选：C.

【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点

处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.

3.（2020・上海高一单元测试）已知。=（：）,6=[4）,c=bg：2,则.，,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】A

【分析】将。和b化为同底，利用指数函数的单调性比较，然后再判断。的正负，得出。，b,。的大小关

系.

【详解】则根据指数函数的单调性可知。<力，又0<。<从而c=l°g£2<°,故c<a<"

5

故选：A.

【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般地比较指数式与对数式的大小可从以下几点判断：

（1）先观察所给式子是否有同底数的，或可化为同底，若同底根据指数函数、对数函数的单调性判断即可;

（2）和“0”，“1”作比较，或者和最接近的整数比价，可判断某些式子之间的大小关系；

（3）可利用指数函数、对数函数的图象，画图分析比较.

4.（2020•上海高一单元测试）以下关于函数y=lg（l—x）的说法正确的是

A.定义域是（0,+8）B.值域是（0,+8）

C.在定义域上单调递增D.在定义域上单调递减

【答案】D

【分析】根据定义域为｛x|x<l｝，值域为R,排除A,B,再根据单调性得到答案.

【详解】函数y=lg（l-％）的定义域为：｛x|x<l｝故A错误；值域为R,B错误；

易知I：y=l-x单调递减，y=lgx单调递增

故y=lg（l-x）在定义域上单调递减，C错误，D正确

故选D

【点睛】本题考查了函数的定义域，值域，单调性，意在考查对数函数的基本性质.

二、填空题

5.（2021.上海格致中学高一期末）函数/*）=l°g2（=D的定义域为.

x-2

【答案】（1,2）D（2,4W）

x—1>0

【分析】由解析式得出｛c八，解出即可.

［x-2^Q

【详解】.."（X）=皿1）,

x-2

x—1>0

二•〈一八，解得x>l且％工2,

x—2w0

..・/（X）的定义域为（1,2）口（2,+8）.

故答案为:（1,2）D（2,+8）.

6.（2021.上海高一期末）函数y=log“（x+3）-4（a>0,且arl）图象恒过定点P,点P的坐标为

【答案】（-2,-4）

【分析】令x+3=l可得，计算可得.

【详解】令x+3=l,即x=-2,则'=7,

二函数过定点（-2,-4）.

故答案为:（-2,-4）.

7.（2021・上海高一期末）若log2（x-l）>0,则x的取值范围是.

【答案】x>2

【分析】由题意利用数函数的单调性和定义域，求得》的范围.

【详解】解：由log2（x—l）>0,可得x—；.x>2,

故答案为：x>2.

8.（2020•上海市松江二中高一期中）已知不等式log2。—x）<l,则x的解集是—.

【答案】［3,5）

【分析】利用时数函数的单调性即可求解.

【详解】因为y=k）g2X在（0,+8）单调递增，Iog2（5-x）41=k»g22,

所以0<5—xW2,解得：3Wx<5,

故答案为：［3,5）

9.(2020•上海南汇中学高一期末)对数函数〃x)=log“x(。>0且。。1)的图象经过点(4,2),则此

函数的解析式/(%)=.

【答案】log2x

【分析】将点(4,2)的坐标代入函数解析式，求出4的值，由此可得出所求函数的解析式.

【详解】由已知条件可得log“4=2,可得/=4，因为。>0且所以，。=2.

因此，所求函数解析式为〃x)=log2X.

故答案为：log2》.

10.(2020•上海市杨浦高级中学高一期中)log2(2x-l)有意义的x的取值范围是.

【答案】I*00)

【分析】由真数大于0可得.

【详解】由题意2x-1>0,x>-.

2

故答案为：

11.(2021.上海市行知中学)函数/(x)=lg(4x-x2)的严格减区间是

【答案】［2,4)

【分析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.

【详解】由J.(x)=lg(4无一丁)可得>。，解得o<%<4,即/(x)=lg(4x-x2)的定义域为(0,4),

令”©-J,则/=4彳一/是开口向下，对称轴为x=2的二次函数，

所以，=4x-炉在(0,2］上单调递增，在［2,4)上单调递减，

又y=igf是增函数，

所以函数/(x)=lg(4x—x2)的严格减区间是［2,4).

故答案为：［2,4)

2X

12.（2021・上海高一期末）函数1。）=]——+log3（2x—l）的定义域是

>/1-x

【答案】（pl

【分析】根据函数的形式，直接求函数的定义域.

1-x>0

【详解】根据函数的形式可知函数的定义域需满足1c|八

2x-l>0

解得：所以函数的定义域是

故答案为：（"I

13.（2021.上海市建平中学高一期末）函数y=Jln（2021-X）的定义域为

【答案】（F,2020]

【分析】由题意得到]：£°21一,2°求解可得出结果.

2021-x>0

ln（2021-x）>0

【详解】根据题意得到

2021-x>0

2021-x>l

即《解得xV2020,

2021-x>0

即所求函数定义为（v