青海省湟川中学2020-2021学年高二第一学期期末考试数学（理）试卷含答案

青海湟川中学2020-2021学年第一学期高二年级数学（理科）期末考试试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）时间:120分钟满分:150分第Ⅰ卷（60分）选择题（每小题5分，共60分）1．已知,则是的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为()A．8 B.eq\f(8,π) C.eq\f(4,π) D.eq\f(2,π)3.设且，则椭圆和椭圆具有相同的()A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．长轴和短轴4．高三（1）、（2）班各进行了场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为()A. B. C. D.5.函数对于，都有，则的最小值为()A． B．C．D．6．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A．eq\r(2)B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)7.已知椭圆的左、右焦点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为()A. B. C. D.8．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为()A．里 B．里 C．里 D．里9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE10.已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．11．在三棱柱,面，，，，则三棱柱的外接球的表面积为()A． B． C． D．12．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为()A． B． C． D．第Ⅱ卷（90分）填空题（每小题5分，总计20分）13.若命题，则命题的否定是.14．已知抛物线C的方程为，一条长度为4p的线段AB的两个端点A，B在抛物线C上运动，则线段AB的中点M到y轴距离的最小值为.15.设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.16．一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，给出如下3个命题：①；②与是异面直线且夹角为60°；③与平面所成的角为45°.其中真命题的序号是.三、解答题(17题10分，18-22每小题12分，总计70分)17．设的内角所对的边分别为且.(1)求角的大小;(2)若,求的周长的取值范围.18．已知双曲线E：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,5)＝1.(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．19.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACE；(2)设PA＝1，∠ABC＝60˚，三棱锥E­ACD的体积为eq\f(\r(3),8)，求二面角D­AE­C的余弦值．20．已知A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上不同的两点,点D在抛物线C的准线上,且焦点F到直线x-y+2=0的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线AB过焦点F,且直线AD过原点O,求证:直线BD平行x轴.21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．22.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，平面平面.（1）为三角形内（含边界）的一个动点，且，求的轨迹的长度；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

答案选择：ABCDCDDCCBCB13. 14．15.16．①②17．解(Ⅰ)由得又又(Ⅱ)由正弦定理得:,,故的周长的取值范围为18．解：(1)m＝4时，双曲线方程化为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，所以a＝2，b＝eq\r(5)，c＝3，所以焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),2)x.(2)因为e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(m＋5,m)＝1＋eq\f(5,m)，e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))，所以eq\f(3,2)<1＋eq\f(5,m)<2，解得5<m<10，所以实数m的取值范围是(5，10)．19.解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE(图略)．在△PBD中，PE＝DE，BO＝DO，所以PB∥OE.又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE.(2)由题易知VP­ABCD＝2VP­ACD＝4VE­ACD＝eq\f(\r(3),2)，设菱形ABCD的边长为a，则VP­ABCD＝eq\f(1,3)S▱ABCD·PA＝eq\f(1,3)×(2×eq\f(\r(3),4)a2)×1＝eq\f(\r(3),2)，则a＝eq\r(3).取BC的中点为M，连接AM，则AM⊥AD.以点A为坐标原点，分别以eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0，eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，C(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2)，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2)，0)，设n1＝(x，y，)为平面AEC的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，,\f(3,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0，))取x＝1，则n1＝(1，－eq\r(3)，3)为平面AEC的一个法向量．又易知平面AED的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(1,\r(1＋3＋9))＝eq\f(\r(13),13)，由图易知二面角D­AE­C为锐二面角，所以二面角D­AE­C的余弦值为eq\f(\r(13),13).20.(1)解:抛物线C:y2=2px的焦点F(,0),由题意可得d==,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)证明:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.设直线AB:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立抛物线方程,可得y2-4ty-4=0,即有y1y2=-4,直线AD:y=x,则有D(-1,-),由于-=-=-=y2,故直线BD平行x轴.21.解：QUOTEⅠQUOTE因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为QUOTE，

所以QUOTE，

又椭圆的离心率为QUOTE，

即QUOTE，所以QUOTE，

所以QUOTE，QUOTE．所以QUOTE，

椭圆M的方程为QUOTE

QUOTEⅡQUOTE由QUOTE消去x得QUOTE，

设QUOTE，QUOTE，

则有QUOTE，QUOTE

因为以AB为直径的圆过点C，所以QUOTE．

由QUOTE，

得QUO