2024-2025学年新疆克拉玛依十三中高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年新疆克拉玛依十三中高一（下）期末数学试卷（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=(4−3i)i，则z−的虚部为(

)A.−4 B.4 C.−4i D.4i2.已知平面向量a=(3,2),b=(1,λ)，若a//bA.12 B.13 C.233.体育强则中国强，国运兴则体育兴.为备战2025年成都世运会，10名运动员进行特训，特训的成绩分别为8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的(

)A.众数为12 B.平均数为14

C.中位数为15 D.第85百分位数为164.如图几何体中，棱柱有(

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果，则试验的样本空间中样本点总个数为(

)A.3 B.4 C.5 D.66.已知|a|=1，|b|=2，其中a,b的夹角为π3，则A.12b B.3b C.7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2,c=3,B=π6，则A.3 B.3 C.328.已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是(

)A.若α⊥β，β⊥γ，则α//γ

B.若l⊆α，m⊆α，l//β，m//β，则α//β

C.若l//α，l//β，则α//β

D.若l//m，m⊆α，l⊄α，则l//α二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径.某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：3：2，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若抽到青年旅客40人，则(

)A.抽到老年旅客100人

B.抽到中年旅客20人

C.n=400

D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过20010.已知复数z满足z(1+i)=1，以下说法正确的是(

)A.复数z的虚部是−12 B.z=12−i211.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(

)

A.圆柱的侧面积为4πR2 B.圆锥的表面积为3πR2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知事件A和事件B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.3，则P(AB−)=13.已知平面向量a=(3,λ)，b=(−2,6)，若a⊥b，则|14.在△ABC中，若A=60°，BC=43，AC=42，的则角B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算：

(1)(2−i)−(2+3i)+4i；

(2)(1+2i)(2−3i)；

(3)AB−AD−DC；16.(本小题15分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的平均数和众数；

(3)样本成绩的第80百分位数17.(本小题15分)

现有5道题，其中3道甲类题a1，a2，a3，2道乙类题b1，b2．

(1)若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1道题是乙类题的概率；

(2)若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括18.(本小题17分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.求证：

(1)DE//平面PAC；

(2)AB⊥平面PBC．19.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且a2+c2−b2=3ac．

(1)求角B的大小；

(2)答案解析1.【答案】A

【解析】解：因为z=(4−3i)i=3+4i，所以z−=3−4i，

故z−的虚部为−4．

故选：A．

2.【答案】C

【解析】解：因为a/​/b，所以13=λ2，

解得λ=23．3.【答案】B

【解析】解：由题意可知，成绩从小到大排列为：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，

对于选项A，出现次数最多的数为16，所以众数为12，故A错误；

对于选项B，平均数为8+9+12+12+13+16+16+16+18+2010=14，故B正确；

对于选项C，中位数为13+162=14.5，故C错误；

对于选项D，因为10×0.85=8.5，

所以第85百分位数为18，故D错误．

故选：B．4.【答案】B

【解析】解：根据棱柱的定义知，有两个面互相平行，其余的面是平行四边形的几何体是棱柱；

对于①，两个三角形平面互相平行，另外三个面是平行四边形，∴①是棱柱；

对于②，不满足棱柱的定义，不是棱柱；

对于③，任意两个相对的平面平行，其余的面是平行四边形，∴③是棱柱；

对于④、⑤，不满足棱柱的定义，不是棱柱．

综上，①③是棱柱．

故选：B．

根据棱柱的定义，对题目中的5个图形进行分析、判断，即可得出哪些是棱柱．

本题考查了棱柱的定义与性质的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．5.【答案】D

【解析】解：试验的样本空间中样本点为：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)共6个．

故选：D．

由列举法写出样本空间即可．

本题考查样本空间和样本点，属于基础题．6.【答案】D

【解析】解：|a|=1，|b|=2，其中a,b的夹角为π3，

则a在b上的投影向量为|a|7.【答案】C

【解析】解：∵在△ABC中，a=2，c=3，B=π6，

∴S△ABC=12acsinB=18.【答案】D

【解析】解：A选项，若α⊥β，β⊥γ，则α，γ两平面可能相交，A选项不正确；

B选项，若l⊆α，m⊆α，l/​/β，m//β，因为直线l，m不一定相交，

根据面面平行的判定定理知两平面平行不一定成立，B选项不正确；

C选项，若l/​/α，l/​/β，则α与β有可能相交，C选项不正确；

D选项，若l/​/m，m⊆α，l⊄α，由线面平行的判定定理可知l/​/α，D正确．

故选：D．

指出结论不成立的情况，可判断ABC；根据线面平行的判定定理可判断D．

本题考查了线面平行的判定定理，属于中档题．9.【答案】AD

【解析】解：由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：3：2，

现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，抽到青年旅客40人，

设抽到老年旅客、中年旅客的人数分别为a、b，

则a：b：40=5：3：2，

解得a=100，b=60，故n=a+b+40=200，

被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和为a+b=160<200，

故AD正确，BC错误．

故选：AD．

利用分层抽样求出设抽到老年旅客、中年旅客的人数，逐项判断即可．

本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】ABCD

【解析】解：由复数z满足z(1+i)=1，

可得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，B对；

复数z的虚部是−12，A对；

复数z−=12+i11.【答案】ACD

【解析】解：对于A：球半径为R，所以圆柱侧面积为2πR⋅2R=4πR2，故A正确；

对于B：圆锥侧面积为πR⋅5R=5πR2，表面积为πR2+5πR2，故B错误；

对于C：球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等．故C正确；

对于D：V圆柱=πR2⋅2R=2πR3，V圆锥=13πR12.【答案】0.35

【解析】解：根据题意，因为事件A和事件B相互独立，所以事件A和事件B−相互独立，

P(B)=0.3，则P(B−)=1−0.3=0.7，

则P(AB−)=P(A)P(B−)=0.5×0.7=0.35．

故答案为：13.【答案】10【解析】解：因为a=(3,λ)，b=(−2,6)，

若a⊥b，则a⋅b=−6+6λ=0，解得λ=1，

所以|a|=9+114.【答案】45°

【解析】解：∵在△ABC中，A=60°，BC=a=43，AC=b=42，

∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=42×3243=22，

∵b<a15.【答案】0.

8+i．

CB．

AB．

【解析】(1)(2−i)−(2+3i)+4i=(2−2)−i−3i+4i=0；

(2)(1+2i)(2−3i)=2−3i+4i−6i2=8+i；

(3)AB−AD−DC=AB−−(AD+DC)=AB−AC=CB；16.【答案】0.030；

平均数为74，众数为75；

86．

【解析】(1)根据题意可知，(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)×10=1，

解得a=0.030；

(2)平均数为x−=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74，

∴样本成绩的平均数为74，

由频率分布直方图可知样本成绩的众数为75；

(3)成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65<0.8，

落在[40,90)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9>0.8，

设第80百分位数为m，则m∈(80,90)，

由0.65+(m−80)×0.025=0.8，解得m=86，

∴第75百分位数为86．

(1)根据频率之和为1列出方程，求出a=0.030；

(2)利用中间数作代表求出平均数；

(3)判断出m∈(80,90)，设出第80百分位数为m，得到方程，求出m=86，得到答案．17.【答案】解：(1)将3道甲类题依次编号为a1，a2，a3，

2道乙类题依次编号为b1，b2，任取2道题，基本事件为：

{a1,b1}，{a1,b2}，{a2,b1}，{a2,b2}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a1,a2}，{a1,a3}，{a2,a3}，{b1,b【解析】(1)求出从这5道题中任选2道的基本事件总数和这2道题至少有1道题是乙类题的基本事件总数，代入概率公式即可；

(2)求出从甲类题、乙类题中各选1道题的基本事件总数和这2道题包括b1但不包括a1基本事件总数，代入概率公式即可．18.【答案】证明过程见解析；

证明过程见解析．

【解析】证明：(1)因为由题意，在三棱锥P−ABC中，点D、E分别是棱AB、PB的中点，

所以DE/​/PA，

又因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以DE/​/平面PAC，得证；

(2)因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，

所以PC⊥AB，

因为AB⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平