2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春市汽开三中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是(

)A.若m⊥α，m⊥β，则α//β B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若α⊥β，m⊥β，则m//α2.若复数1+mii(m∈R)的实部与虚部相等，则m=(

)A.−2 B.2 C.−1 D.13.如表是某校120名学生假期阅读时间(单位：小时)的频率分布表，现按比例分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是(

)分组频数频率[10,15)120.10[15,20)30a[20,25)m0.60[25,30)n0.05合计1201.00A.2，5，8，5 B.2，5，12，1 C.4，6，8，2 D.3，6，10，14.在△ABC中，若满足sinA：sinB：sinC=2：3：7，则A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形5.有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则(

)A.P(A1)=P(A2) B.A1与A2为互斥事件

C.A16.如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN=60°，则山的高度MN为(

)A.1002m

B.150m

C.1507.如图，过圆锥PO的轴的截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O′作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为(

)A.11π+3π

B.11π+23π8.如图，矩形ABCD的长为3，宽为2，E是BC边的中点，F是AB边上靠近点A的三等分点，AE与DF交于点M，则∠EMF的余弦值为(

)

A.210 B.−2C.225 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9(单位：环)，则下列说法正确的是(

)A.这组数据的众数为9 B.这组数据的40%分位数是7：5

C.这组数据的极差是4 D.这组数据的标准差是10.在空间直角坐标系Oxyz中，A(1,0,0)，B(2,1,−2)，C(1,2,3)，则(

)A.AB⋅BC=−10B.|AC|=13

C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，则下列说法正确的是A.若c=1，则CA⋅AB=1B.当t∈R时，|AC−t⋅AB|最小值为3

C.当△ABC有两个解时，a的取值范围是[三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.单位向量a,b满足|a+b|=13.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，AB：BC：CD=1：2：3，且AD=3+314.如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c其中a=b+2,c=2b，且sinA=2sinC．

(1)求c的值；

16.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．

(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求点B到平面PAD的距离．17.(本小题15分)

象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决策、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图：

(1)根据直方图，求a的值；

(2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数；

(3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为23，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率．18.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且sinA−sinBsinC=c−ba+b

(1)求角A；

(2)若△ABC的面积为43，

①已知E为BC的中点，且b+c=8，求△ABC中线AE的长；

②求内角19.(本小题17分)

在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点(如图1)将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得平面D′AC⊥平面BAC(如图2)．

(1)求证：BC//平面POD′；

(2)求二面角A−BC−D′的大小；

(3)线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的余弦值为588

答案解析1.【答案】A

【解析】解：若m⊥α，m⊥β，则α//β，所以A选项正确；

若m//α，n//α，则m//n或m与n异面，所以B选项错误；

若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，所以C选项错误；

若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，所以D选项错误．

故选：A．

由线面，面面的位置关系逐项判断可得．

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．2.【答案】C

【解析】解：由1+mii=i+mi2i2=i−m−1=m−i，

复数1+mii(m∈R)3.【答案】B

【解析】解：根据题意，小组[15,20)的频率为a=30120=0.25，

则第一小组抽取的人数为20×0.10=2，

第二小组抽取的人数为20×0.25=5，

第三小组抽取的人数为20×0.60=12，

第四小组抽取的人数为20×0.05=1．

即4个小组依次抽取的人数是2，5，12，1；

故选：B．

根据题意，求出小组[15,20)的频率a4.【答案】B

【解析】解：根据sinA：sinB：sinC=2：3：7，

结合正弦定理得a：b：c=2：3：7，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=22+(3)25.【答案】C

【解析】解：样本空间Ω={11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44}，

A1={21,22,23,24,41,42,43,44}，A2={14,23,32,41}，

对于A，P(A1)=816=12≠P(A2)=416=14，故A选项错误；

对于BD，A1∩A2={23,41}≠⌀，故B选项，6.【答案】B

【解析】解：由题知，∠MAD=15°，∠CAD=45°，

在Rt△ACE中，因为∠CAE=45°，AE=100，

所以AEAC=cos∠CAE=22，AC=1002，

又因为∠CAM=∠CAD+∠MAD=45°+15°=60°，∠MCN=60°，

所以∠MCA=75°，∠CMA=45°，

在△ACM中，由正弦定理得：ACsin∠CMA=CMsin∠CAM，

即1002sin45°=CMsin60∘，所以CM=1003，7.【答案】D

【解析】解：由题意知，余下几何体的表面积为

S=S圆锥+S圆柱侧=(π×2×4+π×22)+2π×1×8.【答案】A

【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，

则A(0,0)，B(3,0)，C(3,2)，D(0,2)，E(3,1)，F(1,0)，

则直线AE的方程为y=13x，

直线DF的斜率为2−00−1=−2，直线方程为y=−2x+2，

联立y=−2x+2y=13x，解得x=67，y=27，

则MD=(−67,127)，9.【答案】ACD

【解析】解：已知某停车场一排有10个停车位，已经有一辆停在左边第二个位置，现又有3辆汽车需要停放，停放之后要求这3辆汽车的两边都有空位，

对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；

对于B，这组数据从小到大为6，6，7，8，9，9，9，10，

由8×40%=3.2知40%分位数为8，故B错误；

对于C，这组数据的极差是10−6=4，故C正确；

对于D，这组数据的平均数是18×(9+8+6+10+9+7+6+9)=8，

方差是s2=18×[(9−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(10−8)10.【答案】ABD

【解析】解：选项A，由题意知，AB=(1,1,−2)，BC=(−1,1,5)，

所以AB⋅BC=−1+1−10=−10，故选项A正确；

选项B，AC=(0,2,3),|AC|=22+32=13，故选项B正确；

选项C，设异面直线OB与AC所成角为θ，

因为OB=(2,1,−2)，AC=(0,2,3)，

所以cosθ=|OB⋅AC|OB|⋅|AC||=411.【答案】BD

【解析】解：△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，

若c=1，则CA⋅AB=|CA|⋅|AB|cos(π−A)=−bccosA=−1，A选项错误；

当t∈R时，|AC−t⋅AB|2=AC2−2tAC⋅AB+t2⋅AB2=b2−2tbccosA+t2c2

=4−2tc+t2c2=3+(1−tc)2≥3，当tc=1时等号成立，

所以|AC−t⋅AB|最小值为3，B选项正确；

由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa=3a，

当△ABC有两个解时，a<b且3a12.【答案】92【解析】解：已知向量a,b为单位向量，

由|a+b|=11⇒13.【答案】2【解析】解：因为AB：BC：CD=1：2：3，且AD=3+3，

所以AB=1,BC=2,CD=3，

所以AB2+CA2=BC2=4，AB⊥CA，

所以底面三角形ABC外接圆的半径为R1=BC2=1，

设该三棱柱的外接球O的半径为R，

若该三棱柱的外接球O的表面积为4πR2=12π14.【答案】14【解析】解：设第一行第一列为x，设第一行第三列为y，第三行第一列为z，第三行第三列为w．

所以(x,y,z,w)有(2,4,6,8)，(2,4,8,6)，(2,6,8,4)，(2,6,4,8)，(2,8,4,6)，(2,8,6,4)，

(4,2,8,6)，(4,2,6,8)，(4,6,2,8)，(4,6,8,2)，(4,8,6,2)，(4,8,2,6)，

(6,2,4,8)，(6,2,8,4)，(6,4,2,8)，(6,4,8,2)，(6,8,2,4)，(6,8,4,2)，

(8,2,4,6)，(8,2,6,4)，(8,4,2,6)，(8,4,6,2)，(8,6,2,4)，(8,6,4,2)，共24种情况．

若第三行与第三列数字和相等，则z+9+w=y+7+w，所以y−z=2．

则满足y−z=2的有(2,6,4,8)，(2,8,6,4)，(4,8,6,2)，(6,4,2,8)，(8,4,2,6)，(8,6,4,2)，共6种情况，

则对应概率为：624=14．

故答案为：14．

设第一行第一列为x，设第一行第三列为y，第三行第一列为z，第三行第三列为w15.【答案】c=22；

−【解析】(1)因为sinA=2sinC，所以由正弦定理可得a=2c，

又c=2b，a=b+2，所以2c=c2+2，解得c=22；

(2)由(1)可得c=22，b=2，a=4，

所以16.【答案】证明见解析；

613【解析】(1)证明：因为PC⊥底面ABCD，

所以PC⊥AD，又CD⊥AD，且PC∩CD=C，

所以AD⊥平面PCD，又AD⊂平面PAD，

所以平面PCD⊥平面PAD；

(2)根据题意建系如图：

则B(0,2,0)，A(2,2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,3)，

所以BA=(2,0,0),AP=(−2,−2,3),AD=(0,−2,0)，

设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则AP⋅n=0AD⋅n=0，即−2x−2y+3z=0−2y=0，取n=(3,0,2)，

所以点B到平面PAD的距离为d=|BA⋅n||n|=17.【答案】a=0.03；

平均数78分，中位数80分；

2027．【解析】(1)由频率分布直方图，[50,60)的频率为0.08，[60,70)的频率为0.12，

[80,90)的频率为0.42，[90,100]的频率为0.08，

所以0.08+0.12+10a+0.42+0.08=1，解得a=0.03；

(2)由频率分布直方图，估计这次知识能力测评的平均数为：

x−=55×0.08+65×0.12+75×0.3+85×0.42+95×0.08=78分，

因为前三组[50,60)，[60,70)，[70,80)的频率之和为0.08+0.12+0.30=0.50，

所以估计这次知识能力测评的中位数为80分；

(3)因为甲最终获胜，比分可能是2：0，2：1，

设甲2：0获胜为事件A，2：1获胜为事件B，

所以P(A)=(23)2=49，

P(B)=13×(23)2+23×13×23=827，

又A，B18.【答案】A=π3；

①AE=21【解析】(1)因为sinA−sinBsinC=c−ba+b，

由正弦定理得a−bc=c−ba+b，

整理可得a2=b2+c2−bc，

由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，

可得cosA=12，

因为0<A<π，

所以A=π3；

(2)①因为S△ABC=12bcsinA=