2024-2025学年安徽省马鞍山市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省马鞍山市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足i⋅z=1−i，则|z|=(

)A.12 B.1 C.2 2.已知向量a，b满足|a|=1，丨b丨=2，a与b的夹角为120°，则a⋅A.2 B.4 C.−1 D.13.已知某圆锥的母线与底面所成的角为60°，且母线长为2，则该圆锥的表面积为(

)A.2π B.3π C.(23+3)π4.为庆祝中华全国总工会成立100周年，某单位举行工会知识竞赛，进入决赛的8名选手得分如下：82，85，80，91，87，80，88，90.则这组数据的80%分位数为(

)A.88 B.89 C.90 D.90.55.对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标}，B={两次都没击中目标}，C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是(

)A.A⊆D B.A∪C=B∪D C.A∪C=D D.B∩D=⌀6.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列结论正确的是(

)A.若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β B.若m//n，n//α，则m//α

C.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ D.若m//n，m⊂α，n⊂β，则α//β7.在2025年春晚的舞台设计中，工程师设计了一个三角形装饰灯架ABC用于悬挂灯光设备.已知灯架的两边AB=8米，AC=10米，且∠BAC=120°.为了加固结构，需从边BC的中点D到顶点A安装一条加固杆AD，则加固杆AD的长度为(

)A.21米 B.31米 C.51米 8.在△ABC中，CD=2DA，AE=3EB，直线BD与CE交于点M，则A.23AB+13AC B.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2为复数，下列命题为真命题的是(

)A.若z12∈R，则z1∈R B.若z1∈R，则z1−∈R

C.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，则B可以是(

)A.15° B.30° C.45° D.60°11.如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=2，AA1A.存在点P，使得BP//AC1

B.一质点从点B沿着该组合体表面运动到C1的最短路程为4π2+9

C.三棱锥P−ABB1体积的最大值为1+2

D.当PA⊥平面A1BC时，直线12.已知平面向量a=(t−1,2−t)，b=(3,−2)，若a//b，则13.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是12，13，则该密码被成功破译的概率为

．14.如图，等腰三角形ABC的底边BC=2，将△ABC绕顶点A旋转θ角后得到△ADE，且CD=2，分别沿着AC，AD将△ABC，△ADE折起，使得B，E重合于点P，得到三棱锥P−ACD，若三棱锥P−ACD外接球的半径为43，则△ABC的面积为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

某校对高一年级的学生进行了一次测试.整理参加此次测试的学生的分数得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值；

(2)从分数在[65,85)内的学生中抽取15人，求分数在[75,85)内被抽取到的学生人数；

(3)估计此次测试分数的平均值x−(同组数据以这组数据的中间值作为代表)16.(本小题12分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，DC⊥AD，且CD=2AB=2AD，点M为棱DD1的中点，点N为棱BC的中点．

17.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．

(1)求B；

(2)若b=3，且sinAsinC=15，求18.(本小题12分)

甲、乙、丙三人相约下围棋，共下4局，规则如下：每局由两人上场对弈，第三人轮空，一局结束后，原轮空者上场与胜者对弈下一局，败者轮空，按此规则循环下去.第一局由三人中随机选择两人进行对弈．

(1)求第一局由乙、丙两人进行对弈的概率；

(2)若甲、乙、丙三人每局对弈中战胜对手的概率均为12，每局对弈相互独立且没有平局，第一局由乙、丙两人进行对弈．

(ⅰ)丙提出用掷骰子来决定谁先落子：连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记骰子朝上的点数分别为a和b，若|a−b|≤1，则由乙先落子，否则由丙先落子.请你运用所学知识判断这个方法公平吗？说明理由；

(ⅱ)求在4局对弈中甲轮空2局的概率．19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB⊥AD，且PA=AC=2，E为棱PC的中点，F在棱PD上，且AF⊥PD．

(1)求证：AF⊥PC；

(2)记平面AEF∩底面ABCD=l，求二面角E−l−C的大小；

(3)当异面直线AB与EF所成角为30°时，求三棱锥P−AEF的体积．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：复数z=1−ii=(1−i)⋅ii⋅i=−1−i，

所以|z|=1+1=22.【答案】C

【解析】解：由题意可得a⋅b=|a|⋅|b|⋅cos<a，b3.【答案】B

【解析】解：由题意圆锥的母线与底面所成的角为60°，且母线长为2，

可设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线为l，

由圆锥的结构特征知：cos60o=rl，即l=2r，所以r=1，

所以圆锥的表面积S=πr2+πrl=π+2π=3π．

故选：B．

由给定条件列出关于圆锥底面圆半径4.【答案】C

【解析】解：进入决赛的8名选手得分如下：82，85，80，91，87，80，88，90，

进入决赛的8名选手得分按照从小到大排列如下：80，80，82，85，87，88，90，91，

因为8×80%=6.4，所以这组数据的80%分位数为90．

故选：C．

根据百分位数的定义求解．

本题考查百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了交集、并集和子集的定义以及集合间的包含关系，是基础题．

根据交集、并集和子集的定义判断即可．【解答】

解：至少一次击中目标包括两次都击中目标，A⊆D，A正确；

A∪C={至少一次击中目标}=D⊆B∪D，B错误，C正确；

”至少一次击中目标“与”两次都没击中目标“没有公共部分，B∩D=⌀，D正确．

故选：B．6.【答案】A

【解析】解：m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，

对于A，若m/​/n，α/​/β，m⊥α，则n⊥β，故A正确；

对于B，若m/​/n，n/​/α，则m/​/α或m⊂α，故B错误；

对于C，若α⊥β，β⊥γ，则α/​/β或α与β相交，故C错误；

对于D，若m/​/n，m⊂α，n⊂β，则α/​/β或α与β相交，故D错误．

故选：A．

根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项．

本题考查空间中线线，线面，面面的位置关系等基础知识，是中档题．7.【答案】A

【解析】解：由工程师设计了一个三角形装饰灯架ABC用于悬挂灯光设备．已知灯架的两边AB=8米，AC=10米，且∠BAC=120°.为了加固结构，需从边BC的中点D到顶点A安装一条加固杆AD，

如图：

所以AD=12(AB+AC)，

所以|AD|2=AD2=18.【答案】B

【解析】解：根据题意，设AM=xAE+(1−x)AC，

结合AC=3AD，AE=34AB，可得AM=34xAB+3(1−x)AD，

因为B、M、D三点共线，所以9.【答案】BC

【解析】解：∵i2=−1∈R，此时z1=i∉R，故A错误；

若z1∈R，由共轭复数的定义可得z1−=z1∈R，故B正确；

设z2=a+bi(a,b∈R)，由z1=z2−，则z1=a−bi，

所以z1z2=(a−bi)(a+bi)=a2+b210.【答案】ABC

【解析】解：由b<a，可得B<A，即B为锐角，

根据正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa=22sinA，

结合sinA∈(0,1]，可得sinB∈(0,22]，所以0°<B≤45°，

对照各个选项，可知A、B、C三项符合题意．

11.【答案】ACD

【解析】解：对于选项A，取B1C1的中点O1，连接A1O1并延长交B1C1于P，连接B1P.

∵AB⊥AC，且AB=AC=2，∴A1O1=12B1C1=O1P，

∴四边形A1B1PC1是平行四边形，∴C1P//A1B1，C1P=A1B1，

由直三棱柱A1B1C1−ABC知，AB/​/A1B1，AB=A1B1，

∴C1P//AB，C1P=AB，

∴四边形ABPC1是平行四边形，

∴BP//AC1，故选项A正确；

对于B，如图，将侧面ABB1A1展开与底面A1B1C1在同一平面，BC1=AC12+AB2=(2+3)2+22=29，

即质点沿着面ABB1A1和底面A1B1C1运动从点B到C1的最短路程29，而29<4π2+9，故选项B不正确；

对于选项C，如图，过C1作C1D1//A1B1，交B1C1于D1，

当点P是D1C1中点时，点P到A1B1的距离d最大，dmax=1+2，

又∵S△ABB1=12AB×B12.【答案】4

【解析】解：平面向量a=(t−1,2−t)，b=(3,−2)，a/​/b，

则−2(t−1)−3(2−t)=0，解得t=4．

故答案为：4．13.【答案】23【解析】【分析】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意互斥事件与对立事件的区别联系，属于基础题．

根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【解答】

解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是12，13，

则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率P1=(1−12)×(1−1314.【答案】393或【解析】解：由题意得，AC=AP=AD，PC=PD=CD=2，则三棱锥P−ACD即三棱锥A−PCD为正三棱锥，

如图，作AH⊥平面PCD，垂足为H，则三棱锥P−ACD外接球的球心O在AH上，

H是△PCD的中心，CH=233，又外接球的半径R=43，则OH=R2−CH2=23，

又OH2=(AH−R)2，即49=(AH−43)2，解得AH=2或23，

若AH=2，则在Rt△AHC中，AC2=AH2+HC2，由此可得AC2=163，

设△ABC边BC上的高为ℎ，则ℎ=393，

所以S△ABC=12×2×393=15.【答案】m=0.024；

9；

75．

【解析】(1)由(0.006+0.014+0.020+m+0.036)×10=1，解得m=0.024．

(2)分数在[65,75)与[75,85)内的频率之比为2：3，

故[75,85)被抽到的人数为15×35=9．

(3)估计此次测试分数的平均值为x−=(50×0.006+60×0.014+70×0.024+80×0.036+90×0.020)×10=75．

(1)利用各组的频率和为1，求出m；

(2)根据分层抽样确定抽样比计算；16.【答案】证明见解析．

证明见解析．

【解析】证明：(1)在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB/​/CD，DC⊥AD，且CD=2AB=2AD，

点M为棱DD1的中点，点N为棱BC的中点，

取B1C中点为P，连接MP和PN，

则PN=12BB1，PN//BB1，

∵点M为DD1的中点，∴MD=12BB1，MD//BB1，

∴MD//PN，MD=PN，∴四边形MDNP为平行四边形，

∴DN//PM，∵DN⊄平面MB1C，PM⊂平面MB1C，

∴DN//平面MB1C.

(2)连接DB，由AB/​/CD，DC⊥AD，得AB⊥AD，

又CD=2AB=2AD，则DB=DC，

∵点N为BC的中点，∴DN⊥BC，

又BB1⊥平面ABCD，DN⊂平面ABCD，∴BB1⊥DN，

又BB1∩BC=B，BC，BB1⊂17.【答案】π3；

3【解析】(1)由2bcosC=2a−c，根据正弦定理得2sinBcosC=2sinA−sinC，

在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，化简得2cosBsinC−sinC=0，

因为在△ABC中，sinC>0，

所以2cosB−1=0，即cosB=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3；

(2)由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=332=2，可得sinA=a2，sinC=c2，

所以sinAsinC=ac4=15，解得ac=45，

由余弦定理得b18.【答案】13；

(ⅰ)这个方法不公平，理由见解析；

(ⅱ)3【解析】(1)首局所有对弈情况为：

(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，

所以由乙、丙两人进行对弈的概率为13；

(2)(i)由已知样本空间Ω={(m,n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}共有36个样本点，

设A={(a,b)||a−b|≤1}，则A中所有的样本点为：

(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(2,1)，

(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)(5,5)，(6,6)，

共有16个样本点，故乙先落子的概率为：P(A)=n(A