2025年新高二数学人教A版中等生专题复习《一元二次函数、方程和不等式》

第29页（共29页）2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《一元二次函数、方程和不等式》一．选择题（共8小题）1．（2025春•朝阳月考）已知正数x，y满足3x+2yA．36 B．24 C．18 D．122．（2025春•滨湖区校级月考）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{xC．{x|x＜﹣3或x＞﹣1} D．{x|x＜﹣1或x3．（2025春•仓山区校级月考）设x∈R，则“x（x﹣4）＜0”是“0＜x＜2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2025春•鼓楼区校级月考）若x＞y，xy＝1，则x2A．22 B．42 C．176 5．（2025•枣庄校级模拟）当x＞0，y＞0，且满足2x+1y=3时，有2x+y＞k2+kA．﹣4＜k＜3 B．﹣4≤k≤3 C．﹣3＜k＜2 D．﹣3≤k≤26．（2024秋•湘潭期末）已知x∈（0，5），则165-A．5 B．4 C．3 D．27．（2025春•柳州月考）“a＞1”是“二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2025•盐山县校级二模）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值为（）A．33 B．63 C．23 二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•浙江月考）已知两个正实数a，b满足ab＝2a+b，则下列不等式一定成立的有（）A．ab的最小值是8 B．ab的最大值是8 C．a+b的最小值是3+22 D．a+b的最大值是（多选）10．（2025春•延吉市校级期中）在下列四个命题中，正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0” B．当x＞1时，x+4xC．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2 D．“a＞1”是“a2＞1”的必要不充分条件（多选）11．（2025春•柳州月考）已知a＜0＜b＜c＜1，下列不等关系正确的是（）A．ba＞ca B．logcb＞0 C．ba＜ca D．log（多选）12．（2025春•辽宁期中）已知a＞b＞0＞c，则下列结论正确的是（）A．a2+bc＞ac+ab B．baC．ab-c＞三．填空题（共4小题）13．（2025春•延吉市校级期中）设x＞0，y＞0，且x2+y=1，则1x+214．（2025春•辽宁期中）已知a＞b＞0，6a+b+2a-b=1，则2a15．（2025春•河北区校级月考）正数a，b满足1a+1b=1，则1a-16．（2025春•秦淮区校级月考）已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则2x+3+12y+1四．解答题（共4小题）17．（2025春•定海区校级期中）已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣3a+2（a∈R）．（1）若方程f（x）＝0有两个实根x1，x2，且满足x12+（2）若函数f（x）在[﹣2，0]上的最大值为1，求实数a的值．18．（2025春•宜兴市期中）已知虚数z＝﹣1+mi是关于x的方程x2﹣nx+4＝0的一个根（i是虚数单位，m＞0，n∈R）．（1）求m+n的值；（2）求证：z2=(z19．（2025春•潮州校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3．（1）已知f（x）在[3，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）求f（x）在[﹣1，2]上的最小值．20．（2025春•太原月考）已知a＞1，b＞0，且a+3b＝6．（1）求ab的最大值；（2）求1a

2025年新高二数学人教A版（2019）中等生专题复习《一元二次函数、方程和不等式》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBBACCAB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACABCABDACD一．选择题（共8小题）1．（2025春•朝阳月考）已知正数x，y满足3x+2yA．36 B．24 C．18 D．12【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】B【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数x，y满足3x则2x+3y=（2x+3当且仅当4xy=9xy，即y=14，故选：B．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．2．（2025春•滨湖区校级月考）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{xC．{x|x＜﹣3或x＞﹣1} D．{x|x＜﹣1或x【考点】解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】B【分析】由一元二次不等式的解集求出a、b，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集即可．【解答】解：由题设1，3是x2﹣ax﹣b＝0的两个根，则a＝4，b＝﹣3，所以bx2﹣ax﹣1＝﹣3x2﹣4x﹣1＝﹣（3x+1）（x+1）＞0，即﹣1＜x＜-1所以不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜-13故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．3．（2025春•仓山区校级月考）设x∈R，则“x（x﹣4）＜0”是“0＜x＜2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】解一元二次不等式；充分条件必要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法和充分必要条件的定义求解．【解答】解：由x（x﹣4）＜0解得，0＜x＜4，因为{x|0＜x＜2}⫋{x|0＜x＜4}，所以“x（x﹣4）＜0”是“0＜x＜2”的必要不充分的条件．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4．（2025春•鼓楼区校级月考）若x＞y，xy＝1，则x2A．22 B．42 C．176 【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】A【分析】将x2+y2x-y变形为x-y【解答】解：x＞y，xy＝1，设x﹣y＝t＞0，则x2+y2x此时xy＝1，x﹣y=2，解得x故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．5．（2025•枣庄校级模拟）当x＞0，y＞0，且满足2x+1y=3时，有2x+y＞k2+kA．﹣4＜k＜3 B．﹣4≤k≤3 C．﹣3＜k＜2 D．﹣3≤k≤2【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】由基本不等式求得2x+y的最小值，然后解相应不等式可得．【解答】解：由已知2x当且仅当x＝y＝1时等号成立，即2x+y的最小值是3，∴k2+k﹣3＜3，解得﹣3＜k＜2．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值及不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．6．（2024秋•湘潭期末）已知x∈（0，5），则165-A．5 B．4 C．3 D．2【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】C【分析】运用基本不等式计算即可．【解答】解：由题意得5﹣x＞0，则165-当且仅当165-x=5-x，即故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．7．（2025春•柳州月考）“a＞1”是“二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（1，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】二次函数的单调性与单调区间．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】A【分析】结合二次函数的性质和充分不必要条件判断即可．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1在区间（1，+∞）上单调递增可得a＞解得a≥1，a＞1是a≥1的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．8．（2025•盐山县校级二模）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值为（）A．33 B．63 C．23 【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【答案】B【分析】由已知条件a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，变形后，得到bc与b+c的值，利用完全平方式将变形后的式子代入推出b、c是二次方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．【解答】解：∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，∴bc=12•（2=12[（b+c）2﹣（b2+c2＝a2-∴b、c是方程：x2+ax+a2-12∴△≥0∴a2﹣4（a2-12即a2≤∴-63即a的最大值为6故选：B．【点评】本题考查了函数最值问题，函数与方程的综合应用，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•浙江月考）已知两个正实数a，b满足ab＝2a+b，则下列不等式一定成立的有（）A．ab的最小值是8 B．ab的最大值是8 C．a+b的最小值是3+22 D．a+b的最大值是【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】AC【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解．【解答】解：正实数a，b满足ab＝2a+b，由ab=2a+b≥当且仅当2a＝b＝4时等号成立，故A正确，B错误；又ab=2a+b⇒1a+2∴a+当且仅当ba=2ab，即a故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．（多选）10．（2025春•延吉市校级期中）在下列四个命题中，正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0” B．当x＞1时，x+4xC．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2 D．“a＞1”是“a2＞1”的必要不充分条件【考点】运用基本不等式求最值；解一元二次不等式；由一元二次不等式的解求参数；必要不充分条件的判断；求存在量词命题的否定．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；不等式；运算求解．【答案】ABC【分析】对于A，由特称命题的否定可判断选项正误；对于B，由基本不等式可判断选项正误；对于C，由二次不等式与二次方程关系结合韦达定理可判断选项正误；对于D，由必要，充分条件定义可判断选项正误．【解答】解：对于A，根据存在量词命题的否定可得，“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故A正确；对于B，当x＞1时，x﹣1＞0，由基本不等式，x-1+4x-1+1≥2(x-1)⋅4x对于C，若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a＜0，ax2+2x+c＝0的根为﹣1，2，故-2a=-1+2ca=-1×2，解得a＝﹣2，c＝4，则a+对于D，a＞1时，可得a2＞1，a2＞1，可得a＞1或a＜﹣1，则a＞1⇒a2＞1，a2＞1得不到a＞1，则“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查了存在量词命题的否定，基本不等式求解最值，二次不等式与二次方程转化关系的应用，充分必要条件的判断，属于中档题．（多选）11．（2025春•柳州月考）已知a＜0＜b＜c＜1，下列不等关系正确的是（）A．ba＞ca B．logcb＞0 C．ba＜ca D．log【考点】等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ABD【分析】由不等式性质可判断A；由对数函数的性质可判断BD；由幂函数性质可判断C．【解答】解：对于A，因为a＜0＜b＜c＜1，结合不等式性质可知ba＞c对于B，由于0＜b＜c＜1，故logcb＞logcc＝1＞0，故B正确；对于C，a＜0＜b＜c＜1，则幂函数y＝xα在（0，+∞）上单调递减，故ba＞ca，故C错误；对于D，由于0＜b＜c＜1，故logbc＜logbb＝1，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了不等式性质，属于基础题．（多选）12．（2025春•辽宁期中）已知a＞b＞0＞c，则下列结论正确的是（）A．a2+bc＞ac+ab B．baC．ab-c＞【考点】等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ACD【分析】利用作差法可判断AB，利用不等式的性质判断C，根据作差法及基本不等式判断D．【解答】解：因为a＞b＞0＞c，选项A：因为a2+bc﹣（ac+ab）＝（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，所以a2+bc＞ac+ab，故A正确．选项B：因为a＞b＞c，则ba-b-c选项C：因为a＞b＞0＞c，所以0＜1a-c＜1b-c，又选项D：a+1b故选：ACD．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•延吉市校级期中）设x＞0，y＞0，且x2+y=1，则1x+2【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】92【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得．【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x2所以1x当且仅当yx=xy且x2故答案为：92【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．14．（2025春•辽宁期中）已知a＞b＞0，6a+b+2a-b=1，则2a【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】12．【分析】令x=2a+b，y=2a-b，把已知式用x【解答】解：令x=2a+b，y=2a-所以a=又3x+y＝1，所以2a当且仅当x=16，y=12，即故答案为：12．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．15．（2025春•河北区校级月考）正数a，b满足1a+1b=1，则1a-【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】4．【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：正数a，b满足1a所以1a=b1a-1+4b-1=ba+4a故答案为：4．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．16．（2025春•秦淮区校级月考）已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则2x+3+12y+1【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】1．【分析】2（x+3）+2y+1＝9，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为x≥0，y≥0且x+y＝1，所以2（x+3）+2y+1＝9，所以2=1当且仅当2(2y+1)x+3=2(x+3)2故答案为：1．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•定海区校级期中）已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣3a+2（a∈R）．（1）若方程f（x）＝0有两个实根x1，x2，且满足x12+（2）若函数f（x）在[﹣2，0]上的最大值为1，求实数a的值．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的最值．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）a＝0；（2）a＝3或a=【分析】（1）根据韦达定理可解；（2）根据二次函数单调性可解．【解答】解：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣3a+2（a∈R），（1）方程f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣3a+2＝0有两个实根x1，x2，由韦达定理可得x1+x2＝﹣2a，x1x2＝3a﹣2，又x1即（﹣2a）2﹣2（3a﹣2）＝4，化简可得4a2﹣6a＝0，解得a＝0或a=当a＝0时，原方程为﹣x2+2＝0，有两实根，满足题意；当a=32时，原方程为-x2-3x-5其中Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0，即方程无实根，故舍去；所以a＝0．（2）因为f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣3a+2＝﹣（x+a）2+a2﹣3a+2，其图像开口向下，对称轴为x＝﹣a，当﹣a≥0时，即a≤0时，函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，则f（x）max＝f（0）＝﹣3a+2＝1，即a=13，不满足a当﹣a≤﹣2时，即a≥2时，函数f（x）在[﹣2，0]上单调递减，则f(即a＝3，满足a≥2；当﹣2＜﹣a＜0时，即0＜a＜2时，函数f（x）在x＝﹣a处取得最大值，即f(即a2﹣3a+1＝0，解得a=且0＜a＜2，则a=综上所述，a＝3或a=【点评】本题考查二次函数单调性等相关性质，属于中档题．18．（2025春•宜兴市期中）已知虚数z＝﹣1+mi是关于x的方程x2﹣nx+4＝0的一个根（i是虚数单位，m＞0，n∈R）．（1）求m+n的值；（2）求证：z2=(z【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；复数的混合运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）m+（2）证明见解析；(z【分析】（1）由虚数z＝﹣1+mi是关于x的方程x2﹣nx+4＝0的一个根，代入由复数相等求解即可；（2）由（1）可知z=-1+3i，z【解答】解：（1）虚数z＝﹣1+mi是关于x的方程x2﹣nx+4＝0的一个根，m＞0，所以（﹣1+mi）2﹣n（﹣1+mi）+4＝0，整理得：（5﹣m2+n）﹣（2m+mn）i＝0，5-m2+n=02m+mn=0，由m＞0，所以m+（2）证明：由（1）可知z=(z所以z2(z所以(z【点评】本题主要考查了复数的概念及复数的运算，属于中档题．19．（2025春•潮州校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3．（1）已知f（x）在[3，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）求f（x）在[﹣1，2]上的最小值．【考点】二次函数的最值；二次函数的单调性与单调区间．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）（﹣∞，3]；（2）f（x）=2【分析】（1）根据二次函数的图象特点，可得a≤3；（2）讨论二次函数的对称轴x＝a和区间[﹣1，2]的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得．【解答】解：已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3，（1）f（x）的图象开口向上，且对称轴为x＝a，要使得f（x）在[3，+∞）上单调递增，则满足a≤3，所以a的取值范围为（﹣∞，3]．（2）由函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3，可得f（x）的图象开口向上，且对称轴为x＝a，当﹣1≤a≤2时，函数f（x）在[﹣1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（a）＝﹣a2﹣3；当a＜﹣1时，函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（﹣1）＝2a﹣2；当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，2]上单调递减，所以f（x）的最小值为f（2）＝1﹣4a，综上可得，f（x）在[﹣1，2]上的最小值为f（x）=2【点评】本题考查二次函数的图象与性质，属于中档题．20．（2025春•太原月考）已知a＞1，b＞0，且a+3b＝6．（1）求ab的最大值；（2）求1a【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）3；（2）165【分析】（1）利用基本不等式即可求解；（2）将已知关系式化为a﹣1+3b＝5，然后利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解．【解答】解：（1）因为a＞1，b＞0，则a+3b＝6≥2a⋅解得ab≤3，当且仅当a＝3b，即a＝3，b＝1时ab取得最大值3；（2）因为a+3b＝6，则a﹣1+3b＝5，所以1=1当且仅当3ba-1=3(【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．

考点卡片1．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．必要不充分条件的判断【知识点的认识】必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件．【命题方向】必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等．已知x∈R，设p：x2﹣x＜0，则p的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜0B.-C.-D.0＜x＜1解：因为x2﹣x＜0，所以0＜x＜1，所以p的一个必要不充分条件是-1故选：B．3．求存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几何中关于图形性质的存在性命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出下列存在量词命题的否定：（1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数；（3）∃x∈R，使x2+x+1≤0．解：（1）某箱产品中都是正品；（2）方程x2﹣8x+15＝0每一个根都不是偶数；（3）∀x∈R，使x2+x+1＞0．4．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且5．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．6．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．7．二次函数的单调性与单调区间【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．二次函数在顶点左右的区间上具有不同的单调性．对于f（x）＝ax2+bx+c，顶点为x=-b2a处，左侧单调递减，右侧单调递增（当【命题方向】涉及二次函数单调区间的判断与证明题，结合实际应用问题解答．判断函数y＝x2﹣2x，x∈[﹣2，2]的单调性，并求出它的单调区间．解：二次函数y＝x2﹣2x，开口向上，对称轴x＝1，所以x∈[﹣2，1]时，函数单调递减；x∈（1，2]时，函数单调递增．即函数的单调递增区间为（1，2]，单调递减区间为[﹣2，1）．8．二次函数的最值【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．二次函数的最值出现在顶点处．对于f（x）＝ax2+bx+c，最值为f(-b2a﹣计算顶点x坐标x=﹣计算顶点处的函数值f(﹣根据a的正负判断最值类型（最大值或最小值）．【命题方向】主要考查二次函数最值的计算与应用题．设a为实数，若函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为154，则a的值为_____解：函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，对称轴为x＝﹣1，当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数取得最大值为4，不满足题意；当﹣1＜a≤2时，则x＝a时，函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为154即﹣a2﹣2a+3=154，解得a=-1综上，a的值为-1故选：C．9．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}10．由一元二次不等式的解求参数【知识