2025年新高二数学人教A版学困生专题复习《立体几何初步》

第33页（共33页）2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《立体几何初步》一．选择题（共8小题）1．（2025春•云南期中）下列命题正确的是（）A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形2．（2025春•邢台期中）下列命题正确的是（）A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点3．（2025春•汕头校级期中）图中的左图为等大的3个灰色正方体和15个白色正方体所组成的多面体，其可以切割为①、②和③三个小多面体，则③代表的多面体可能是（）A． B． C． D．4．（2025•甘肃校级模拟）直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．12 B．3010 C．3015 5．（2025•天津模拟）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是AB、AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（左为V1，右为V2）两部分，则V1：V2＝（）A．7：5 B．4：3 C．3：1 D．2：16．（2025春•贵州期中）如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，则△ABC的边BC＝（）A．2 B．4 C．6 D．27．（2025春•浙江期中）若a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β B．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b C．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β D．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，α∥β，则a∥b8．（2025春•邯郸期中）如图，正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（）A．42 B．82 C．162 二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•永安市期中）下列命题正确的是（）A．零向量与任意向量共线 B．直平行六面体是长方体 C．虚轴上的点都表示纯虚数 D．正四面体是正三棱锥（多选）10．（2025春•沧州期中）下列关于空间几何体的叙述错误的是（）A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．一个棱柱至少有5个面（多选）11．（2025春•阜城县校级月考）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AB异面的棱有（）A．BC′ B．C′D′ C．DD′ D．A′D′（多选）12．（2025春•清远期中）下面关于空间几何体的表述，正确的是（）A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台三．填空题（共4小题）13．（2025春•浙江月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，若点P是棱DD1上的一个动点，则AP+PC1的最小值为．14．（2025春•邱县校级月考）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1，下底为2+1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为15．（2025春•邢台期中）已知某棱锥的顶点个数为m，棱的条数为k，则k＝．（用含m的式子表示）16．（2025•河北校级一模）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为．四．解答题（共4小题）17．（2025春•邯郸期中）如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：π≈3）（1）已知铁的密度为7.8g/cm3，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁；（2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆0.12g，求总共需要用油漆多少千克．18．（2025春•射洪市校级期中）如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，其体积为16．（1）求三棱锥D1﹣ADC的体积；（2）求三棱锥D1﹣ADC的表面积．19．（2025春•晋城期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且D1M＝3A1M．（1）求证：D，B，F，E四点共面；（2）求证：D1G∥平面DBFE；（3）已知点N是棱A1B1上的一点，且平面PMN∥平面DBFE，求A120．（2025春•福建期中）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求证：DC⊥平面PAD．

2025年新高二数学人教A版（2019）学困生专题复习《立体几何初步》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDABACDC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ADABCCDAC一．选择题（共8小题）1．（2025春•云南期中）下列命题正确的是（）A．正四棱柱是正方体 B．圆锥的截面是圆 C．一个棱柱至少有5个面 D．正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形【考点】棱锥的结构特征；棱柱的结构特征．【专题】对应思想；综合法；立体几何；空间想象．【答案】C【分析】根据柱体和锥体的定义与结构特征，逐一判断选项即可．【解答】解：选项A，正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，但侧棱与底面边长不一定相等，所以正四棱柱不一定是正方体，故选项A错误；选项B，圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故选项B错误；选项C，面数最少的棱柱是三棱柱，共有5个面，所以一个棱柱至少有5个面，故选项C正确；选项D，正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故选项D错误．故选：C．【点评】本题考查简单空间几何体的结构特征，熟练掌握柱体和锥体的结构特征是解题的关键，考查空间立体感，属于基础题．2．（2025春•邢台期中）下列命题正确的是（）A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 C．所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 D．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点【考点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．【专题】对应思想；综合法；立体几何；逻辑思维．【答案】D【分析】根据柱体，锥体，台体的定义和结构特征逐一判断即可．【解答】解：选项A，正六棱柱中两个互相平行的平面可能是侧面，所以A选项错误；选项B，正八面体的所有面都是三角形，所以B选项错误；选项C，底面是菱形的直四棱柱的所有侧面都是全等的矩形，所以C选项错误；选项D，由棱台的定义可知棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查棱柱、棱锥的结构特征，属于基础题．3．（2025春•汕头校级期中）图中的左图为等大的3个灰色正方体和15个白色正方体所组成的多面体，其可以切割为①、②和③三个小多面体，则③代表的多面体可能是（）A． B． C． D．【考点】棱柱的结构特征．【专题】对应思想；综合法；立体几何；逻辑思维．【答案】A【分析】根据原图中灰色正方体周边白色正方体的位置情况依次判断各项，结合排除法确定答案．【解答】解：对于选项B，灰色正方体与两个白色正方体相邻，而原图灰色正方体均与一个白色正方体相邻，显然与原图形不符；对于选项C，灰色正方体与一个白色正方体相邻且与另一个白色正方体共一条棱，显然与原图形不符；对于选项D，灰色正方体有三个白色正方体相邻，显然与原图形不符；对于选项A，保留原图中两个相邻灰色正方体中的一个，再作合理切割即可得．故选：A．【点评】本题主要考查组合体的分割，属于基础题．4．（2025•甘肃校级模拟）直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．12 B．3010 C．3015 【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离．【答案】B【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD1与AF1所成角的余弦值．【解答】解：∵直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA＝90°，∴以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，∴设BC＝CA＝CC1＝2，则B（2，0，0），D1（1，1，2），A（0，2，0），F1（0，1，2），BD1→=（﹣1，1，2），AF1→设BD1与AF1所成角为θ，则cosθ=|∴BD1与AF1所成角的余弦值为3010故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．5．（2025•天津模拟）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是AB、AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（左为V1，右为V2）两部分，则V1：V2＝（）A．7：5 B．4：3 C．3：1 D．2：1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【答案】A【分析】设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1＝V1；VBCFE﹣B1C1＝V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2＝V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．【解答】解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1＝V1；VBCFE﹣B1C1＝V2；总体积为：V计算体积：V1=13h（s1+s+V＝sh②V2＝V﹣V1③由题意可知，s1=s根据①②③④解方程可得：V1=712sh，V2=512故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱台的体积，组合体的体积，其中分析出面EB'C'F将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），是解答本题的关键．6．（2025春•贵州期中）如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，则△ABC的边BC＝（）A．2 B．4 C．6 D．2【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，在直观图中求出A′C′的值，进而由斜二测画法分析原图中的数据，计算可得答案．【解答】解：根据题意，直观图△A′B′C′中，A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A′B′＝B′C′＝2，则A′C′=4+4=2原图中，AC∥y轴，AB∥x轴，AC＝42，AB＝2，且∠CAB＝90°，故BC=32+4=故选：C．【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法的步骤，属于基础题．7．（2025春•浙江期中）若a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β B．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b C．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β D．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，α∥β，则a∥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间想象．【答案】D【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．【解答】解：若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，所以A选项错误；若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b或a与b异面，所以B选项错误；若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β或α与β相交，所以C选项错误；若α∩γ＝a，β∩γ＝b，α∥β，则a∥b，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．8．（2025春•邯郸期中）如图，正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长的平方与面积的比值为（）A．42 B．82 C．162 【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，由斜二测画法，还原原图，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，原图形的直观图为正方形O′A′B′C′的边长为2，则O′B′＝22，将直观图复原为原图，如图所示，则OA＝BC＝2，OB＝2O′B′＝42，则AB=4+32=则原图的面积S＝OB×OA＝82，其周长l＝2（OA+AB）＝16，故原平面图形的周长的平方与面积的比值为1628故选：C．【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及利用斜二测画法还原原图形，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•永安市期中）下列命题正确的是（）A．零向量与任意向量共线 B．直平行六面体是长方体 C．虚轴上的点都表示纯虚数 D．正四面体是正三棱锥【考点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】AD【分析】根据零向量的概念判断出A项的正误；根据长方体与直平行六面体的关系判断出B项的正误；根据复平面的概念判断出C项的正误；根据正四面体与三棱锥的关系判断出D项的正误．【解答】解：对于A，零向量是长度为0，方向任意的向量，因此零向量与任意向量共线，可知A项正确；对于B，长方体是底面为矩形的直平行六面体，直平行六面体的底面是平行四边形，但不一定是矩形，可知B项不正确；对于C，在复平面中，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，故C项不正确；对于D，正四面体是各个面都是等边三角形的几何体，所以正四面体必定是正三棱锥，可知D项正确．故选：AD．【点评】本题主要考查零向量的概念、长方体与正四面体的结构特征、复平面的概念等知识，属于基础题．（多选）10．（2025春•沧州期中）下列关于空间几何体的叙述错误的是（）A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．一个棱柱至少有5个面【考点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征．【专题】方程思想；综合法；立体几何；数学抽象．【答案】ABC【分析】根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误；对于B，球没有顶点和棱，B错误；对于C，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误；对于D，棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确．故选：ABC．【点评】本题考查棱锥、棱台、棱柱的结构特征，注意棱锥、棱台、棱柱的定义，属于基础题．（多选）11．（2025春•阜城县校级月考）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AB异面的棱有（）A．BC′ B．C′D′ C．DD′ D．A′D′【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线的判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；数学抽象．【答案】CD【分析】先作出符合题意的正方体，再利用正方体的性质求解即可．【解答】解：根据题意，如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，在其12条棱中，与棱AB异面的棱有DD′，A′D′，CC′，B′C′，共4条，分析选项，C、D符合．故选：CD．【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及异面直线的定义，属于基础题．（多选）12．（2025春•清远期中）下面关于空间几何体的表述，正确的是（）A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．【专题】对应思想；综合法；立体几何；逻辑思维．【答案】AC【分析】用简单几何体的定义及特征去逐个判断即可．【解答】解：对于A：棱柱的所有侧面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，故A正确；对于B：只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥，以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体，故B错误；对于C：正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是长方体，故C正确；对于D：只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•浙江月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，若点P是棱DD1上的一个动点，则AP+PC1的最小值为25【考点】棱柱的结构特征．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】25【分析】根据题意可得AP+PC1的最小值为正方形ADD1A1与正方形DD1C1C沿D1D展开再同一平面内的矩形的对角线长，从而可求解．【解答】解：根据题意可得AP+PC1的最小值为正方形ADD1A1与正方形DD1C1C沿D1D展开再同一平面内的矩形的对角线长，故所求为22故答案为：25【点评】本题考查空间中距离和的最值的求解，属基础题．14．（2025春•邱县校级月考）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1，下底为2+1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为2+2【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】2+2【分析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算即可．【解答】解：根据题意，平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，由斜二测画法，原图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，则梯形的下底边长为1+2，高为2故原图的面积S=故答案为：2+2【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．15．（2025春•邢台期中）已知某棱锥的顶点个数为m，棱的条数为k，则k＝2m﹣2．（用含m的式子表示）【考点】棱锥的结构特征．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】2m﹣2．【分析】根据棱锥的性质建立m、k关于底面边数n的关系式，化简即可得到答案．【解答】解：设该棱锥底面为n边形，可得m＝n+1，k＝2n，两式消去n，可得k＝2m﹣2．故答案为：2m﹣2．【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，属于基础题．16．（2025•河北校级一模）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为22【考点】棱台的结构特征．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】22【分析】构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：根据题意，如图：正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝1，上底面中心为O1，下底面中心为O，连接OO1，过点A1作A1M⊥AO，且交AO于点M，易得OO1⊥面ABCD，A1M∥OO1且A1M＝OO1，正四棱台的上、下底面正方形的对角线的一半分别为22，2即AO=2，A1O所以该正四棱台的高为AA故答案为：22【点评】本题考查正四棱台的结构特征，属基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•邯郸期中）如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：π≈3）（1）已知铁的密度为7.8g/cm3，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁；（2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆0.12g，求总共需要用油漆多少千克．【考点】棱柱的体积；圆柱的体积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】（1）4992g；（2）72000g．【分析】（1）根据题意，求出组合体的体积，结合铁的密度，计算可得答案；（2）根据题意，求出一个组合体的表面积，进而计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，该正四棱柱的底边边长为10cm，高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，高为20cm，该零件的体积V＝10×10×4+π×22×20≈640cm3，又由铁的密度为7.8g/cm3，则生产一件这样的铸铁零件需要640×7.8＝4992g铁；（2）根据题意，该零件的体积表面积S＝2×10×10+4×10×4+2π×2×20≈600cm2，该零件每平方厘米要用油漆0.12g，则生产一件这样的铸铁零件需要油漆600×0.12＝72g，要给一批共1000个零件的表面涂层油漆，总共需要用油漆1000×72＝72000g．【点评】本题考查组合体的体积、表面积计算，注意圆柱、棱柱的体积、表面积公式，属于基础题．18．（2025春•射洪市校级期中）如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，其体积为16．（1）求三棱锥D1﹣ADC的体积；（2）求三棱锥D1﹣ADC的表面积．【考点】棱锥的体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；空间想象．【答案】（1）83（2）16．【分析】（1）先由长方体的体积公式求出D1D，再由棱锥的体积公式求解即可；（2）由三棱锥的表面积公式求解即可．【解答】解：（1）因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V＝22×D1D＝16，解得D1D＝4．所以VD（2）记三棱锥D1﹣ADC的表面积为S，则S=因为几何体ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以△D1DA，△D1DC，△ADC均为直角三角形，△D1AC为等腰三角形，因为AD＝DC＝2，D1D＝4，所以D1所以S△S△所以S=【点评】本题考查三棱锥的体积公式与表面积公式，属于基础题．19．（2025春•晋城期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且D1M＝3A1M．（1）求证：D，B，F，E四点共面；（2）求证：D1G∥平面DBFE；（3）已知点N是棱A1B1上的一点，且平面PMN∥平面DBFE，求A1【考点】平面与平面平行；共面直线及四点共面；直线与平面平行．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）14【分析】（1）连接D1B1，即可证明EF∥D1B1，DB∥B1D1，从而得证；（2）连接D1C、GC分别交DE、DB于点H、O，连接HO，即可证明D1HCH=GOCO，从而得到（3）根据面面平行的性质得到MN∥EF，即可得到MN∥D1B1，从而得解．【解答】（1）证明：如图，连接D1B1，因为点E，F分别为棱D1C1，B1C1的中点，所以EF∥D1B1，又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中DD1∥BB1且DD1＝BB1，所以四边形DBB1D1为平行四边形，所以DB∥B1D1，所以EF∥BD，所以D，B，F，E四点共面；（2）证明：如图，连接D1C交DE于点H，连接GC交DB于点O，连接HO，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1E∥DC且D1所以△HED1∽△HDC，则D1同理可得GOCO所以D1HCH=GOCO，所以又HO⊂平面DBFE，D1G⊄平面DBFE，所以D1G∥平面DBFE；（3）因为平面PMN∥平面DBFE，平面PMN∩平面A1B1C1D1＝MN，平面DBFE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以MN∥EF，又EF∥D1B1，所以MN∥D1B1，因为D1M＝3A1M，所以A1【点评】本题主要考查四点共面、线面平行的判定、平面与平面平行的判定，属于中档题．20．（2025春•福建期中）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求证：DC⊥平面PAD．【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】（1）根据中位线可得EF∥CD，进而可得EF∥AB，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可得PA⊥CD，AD⊥CD，结合线面垂直的判定定理分析证明．【解答】证明：（1）因为，E、F分别是PC、PD的中点，则EF∥CD，又因为底面ABCD是矩形，即AB∥CD，所以EF∥AB，而EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB；（2）因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，则PA⊥CD，又因为ABCD为矩形，则AD⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD．【点评】本题考查线面垂直的性质定理的应用及判定定理的应用，属于基础题．

考点卡片1．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．2．棱锥的结构特征【知识点的认识】1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．2．认识棱锥棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．3．棱锥的结构特征棱锥1根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．4．棱锥的分类棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．5．棱锥的体积公式设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥=133．棱台的结构特征【知识点的认识】1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．2．认识棱台棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．3．棱台的结构特征棱台1正棱台的性质：（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．4．棱台的分类由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．5．棱台的体积公式设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，V棱台=14．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥=135．棱柱的体积【知识点的认识】棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱柱的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱柱的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱柱体积计算．6．棱锥的体积【知识点的认识】棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．7．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱1圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：V圆柱2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质圆锥1与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：V圆锥3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质圆台1平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：V圆台8．圆柱的体积【知识点的认识】圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．【命题方向】﹣圆柱的体积计算：考查如何根据底面圆的半径和高度计算圆柱的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆柱的体积计算．9．平面图形的直观图【知识点的认识】1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．10．由斜二测直观图还原图形【知识点的认识】斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．【解题方法点拨】﹣解析图形：通过观察斜二测图的长度和角度信息，恢复图形的空间关系．﹣几何知识：利用几何知识推断图形的真实尺寸和结构．【命题方向】﹣图形还原：考查如何从斜二测图还原图形．﹣空间想象：如何应用空间想象能力解决图形还原问题．11．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，π2]．当θ＝902、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：12．异面直线的判定【知识点的认识