2025年新高二数学暑假衔接(人教A版)【01-暑假复习】第12讲 概率与统计重点题型全归纳（思维导图+知识串讲+8大考点+复习提升）（教师版）

PAGE1第12讲概率与统计重点题型全归纳内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺举一反三：核心考点能举一反三，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点01分层随机抽样1、分层随机抽样的必要性简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的偏差，这时候我们可以考虑采用一种新的抽样方法——分层随机抽样。2、分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．3、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配，即：（1）（2）4、分层随机抽样使用的原则（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；（2）分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．5、分层随机抽样的步骤（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；（2）求比：抽样比k=????（3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数；（4）抽样：每层分贝按简单随机抽样的方法抽取样本（5）成样：综合各层抽样，组成样本。知识点02分层随机抽样的平均数计算1、总体平均数和样本平均数的计算在分层随机抽样中，如果层数为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽样的样本容量分别为和，第1层、第2层的总体平均数分别为和，第1层、第2层的样本平均数分别为和，总体平均数为，样本平均数为，则（1）（2）2、用样本平均数估计总体平均数由于第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数.在比例分配的分层随机抽样中，，所以因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数为.知识点03频率分布直方图1、频率分布直方图（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且；③将数据分组：通常对组内数值所在左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组．④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。（2）频率分布直方图的特点：①，②个小长方形的面积等于1，③．（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．2、根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数（1）频率分布直方图中的“平均数”：因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．（2）频率分布直方图中的“中位数”：根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也就有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值。（3）频率分布直方图中的“众数”：根据众数的意义，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数。一般用中点近似值代替。知识点04总体百分位数的估计1、第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．知识点05总体集中、离散趋势的估计1、相关概念（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。（3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为；2、众数、中位数和平均数的比较名称优点缺点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感3、平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是；②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为4、用样本的标准差估计总体的标准差（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；（3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，定义样本方差为；简化公式：=（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）（4）样本的标准差是方差的算术平方根．样本标准差．标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围．（5）方差相关结论：①如果一组数的方差为，则一组数的方差为；②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。知识点06事件的关系和运算1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－))3、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，即B⊇A(或A⊆B)，特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B4、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)5、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)知识点07古典概型1、古典概型的定义

我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

2、古典概型的判断标准

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.3、古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.知识点08概率的基本性质1、概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P（A）≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）=1，P()=0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）.推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A），P(A)=1P(B).性质5如果，那么P（A）≤P（B）.性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）P（）.2、复杂事件概率的求解策略(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.注：概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.知识点09事件的相互独立性1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．概念理解：（1）事件A与B相互独立式事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率；（2）由连个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生。2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件与事件相互独立，则4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率知识点10判断事件是否相互独立的方法1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断。2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：（1）用恰当的字母表示题中有关事件；（2）根据题设条件，分析事件间的关系；（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；（4）利用乘法公式计算概率．知识点11相互独立事件的概率计算公式已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有事件表示概率A，B同时发生P(A)P(B)A，B都不发生A，B恰有一个发生A，B中至少有一个发生A，B中至多有一个发生【考点一：分层随机抽样】一、单选题1．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）一个公司共有名210员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本．已知某部门有70名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（

）A．9 B．6 C．10 D．8【答案】C【分析】由题意列出比例式即可求解.【详解】设所求为，则，解得.故选：C.2．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）某学校有教师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据女学生的抽样比与总体的抽样比相等列方程即可求解．【详解】由题得，，解得，故选：B．3．（24-25高一下·河南周口·月考）某校高一年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（

）A．20 B．30 C．40 D．48【答案】C【分析】利用分层抽样的性质直接求解.【详解】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：，样本中女生人数为：，由题意，所以，所以.故选：C4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）某中学高一学生500人，其中男生300人，女生200人﹐现获得全体学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层抽样方法，抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为，下列说法中不正确的是（

）A．男生样本容量为30 B．每个男生被抽入到样本的概率均为C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为【答案】D【分析】根据分层抽样的抽样比公式，以及均值和方差公式，即可求解.【详解】A.由题意可知，男生应抽取人，故A正确；B.每个男生被抽入到样本的概率均为，故B正确；C.所有样本的均值为，故C正确；D.所有样本的方差为，故D错误.故选：D二、填空题5．（23-24高一下·福建福州·期末）某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为.【答案】25.1【分析】结合分层随机抽样的方差公式可得答案【详解】学校高一年级男生共有人，所占比例为，女生个，所占比例为，故该校高一年级全体学生的年龄方差为：，当时，，，故答案为：25.1.【考点二：频率分布直方图】一、多选题1．（24-25高一下·浙江金华·期中）饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（

）A．班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41B．班5月产生饮料瓶数的第75百分位数C．已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间D．【答案】ABD【分析】由频率分布直方图的性质可求得，通过计算频率、频数、平均值、百分位数即可得到正确选项．【详解】班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为，故A正确；由，解得，故D正确；∵，，故班5月产生饮料瓶数的第75百分位数位于中，所以，解得，故B正确；A班和B班5月份产生饮料瓶数在的频率均为，故该校学生5月份产生饮料瓶数在的频率也为，因为，所以该校约有200人5月份产生饮料瓶数在之间，故C错误．故选：ABD．2．（2025·四川自贡·三模）为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（

）.A．且. B．且.C．且. D．.【答案】ABD【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差.【详解】中位数的计算与比较：由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内，第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35，则，解得​，由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内，则，解得，所以<​.平均数的计算与比较：甲组平均数​：.乙组平均数​：.所以​.众数的计算与比较：由图甲可得甲组众数​；由图乙可得乙组众数，所以​.标准差的比较：因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以.对于A，由前面计算可知<且​​，故A正确；对于B，因​​且，故B正确；对于C，由前分析得，，，，，，故C错误；对于D，因，，，则，故D正确.故答案选ABD.二、解答题3．（24-25高一下·吉林长春·月考）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：分组（单位：岁）频数频率50.05①0.2035②300.30100.10总计1001.00(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；(3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值．【答案】(1)①应填，②应填；(2)直方图见解析，人数为175；(3)15【分析】（1）结合抽取的总人数，结合表格中数据，计算出结果；（2）计算出区间的频率/组距，绘制直方图，并利用年龄在岁的频率得到答案；（3）计算出三个区间的比例，从而计算出从、中分别抽取的人数，得到答案.【详解】（1）①应填，②应填；（2）区间的频率为0.20，故频率/组距为，故补全频率分布直方图，如下：这500名志愿者中年龄在岁的人数为；（3）、、的人数比例为，从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人，故.4．（24-25高一下·广西贵港·月考）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为100的样本，测量它们的尺寸（单位：），并将数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中的x值；(2)根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出7个产品，则每个区间分别应抽取多少个产品；(3)记产品尺寸在内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产2000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到10000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．【答案】(1)(2)在内抽取2个产品，在内抽取5个产品(3)需要对该工厂设备实施升级改造【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；（2）根据频率分布直方图中的求出两个区间的频数，然后结合分层抽样定义即可得解；（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出月利润，最后比较大小即可.【详解】（1）由，解得（2）100件样本中，尺寸在内的样本数为；尺寸在内的样本数为．由分层随机抽样可知，在内抽取产品数为：个产品，在内抽取产品数为：个产品.即在内抽取2个产品，在内抽取5个产品.（3）由题意可得，这批产品中A等品有(件)，这批产品中不合格品有(件)，这批产品中合格品有(件)，(元)．所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为元，因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造．5．（24-25高一下·云南昆明·期中）云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．(1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；(2)学校要求按照分数从高到低选拔首100名的学生进行培训，试估计这100名学生的最低分数（计算结果保留一位小数）；(3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为63分和86分的两名同学的成绩是否进人到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）．【答案】(1)(2)(3)；答案见详解【分析】（1）先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出，（2）先求出这100名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，然后利用百分位的定义求解即可，（3）先利用方差公式求出方差后再判断即可【详解】（1），所以，所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：分.（2）因为，设这100名学生的最低分数为，则，解得所以这100名学生的最低分数的估计值为分.（3），，故得分为63分的同学的成绩没有进入到内，得分为86分的同学的成绩进入到了内.即：得分为63分的同学的成绩没有进入到范围，得分为86分的同学的成绩进入到范围了.6．（24-25高一下·江西抚州·期中）某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；(2)已知落在区间的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差.参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则.【答案】(1)，第80百分位数为86(2)，总方差.【分析】（1）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果；（2）代入由样本方差计算总体方差的公式计算可得结果.【详解】（1）由题意知，解得；成绩在的频率为0.65，成绩在的频率为0.9，故第80百分位数在之间，则，解得，故第80百分位数为86；（2）由频率分布直方图知，这100份答卷分数在的份数为，分数在的份数为，所以，总方差.【考点三：总体百分位数的估计】一、单选题1．（23-24高一下·山东淄博·期末）已知一组数据2，3，4，1，5，则其上四分位数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】从小到大排序后直接求解即可.【详解】数据从小到大排序得到1，2，3，4，5，上四分位数即为分位数.由于，则第4个数即4为上四分位数.故选：D.2．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）如图所示，某市5月1日到10日日均值（单位：）变化的折线图，则该组数据的第54百分位数为（）A．45 B．48 C．60 D．80【答案】A【分析】先将各数据从小到大排列，再根据求百分位数的步骤可得.【详解】5月1日到10日日均值从小到大依次，由于，故第个数据即为第百分位数，故选：Ａ．3．（24-25高一上·河南南阳·期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则（

）A．20 B．21 C．23 D．24【答案】A【分析】根据百分位的定义计算即可求解.【详解】因为，所以该组数据的70%分位数是第7个数据和第8个数据的平均数，所以，解得.故选：A.4．（23-24高一下·天津南开·月考）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（

）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用频率分布直方图的性质判断①，利用众数、百分位数的求法判断②③，根据频率分布直方图计算可估计总体判断④.【详解】由频率分布直方图可知，解得，①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数，即众数为75，②正确；前两组频率之和为，所以这组数据的下四分位数为60，③正确；成绩高于80分的频率为，所以估计总体成绩高于80分的有人，④正确；综上①②③④正确，故选：D5．（23-24高一下·新疆伊犁·期末）某校高一年级一共有1500名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第70百分位数是92分，则数学成绩不小于92分的人数至少为（

）A．420 B．350 C．450 D．400【答案】C【分析】设表示学生数学成绩，根据百分位数定义知，进而求数学成绩不小于92分的人数最小值.【详解】若表示学生数学成绩，则的人数占比，故的人数占比，所以数学成绩不小于92分的人数至少为人.故选：C二、填空题6．（2024高一下·全国·专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为.【答案】【分析】根据极差求得的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案即可.【详解】由题意得，数据的极差为，因为数据中最小值为，故应为最大值，为81，则，将数据从小到大排列为：，故这组数据的第百分位数为第九个数据.故答案为：79【考点四：平均数、方差等数据特征的计算】一、单选题1．（24-25高一下·广西贵港·月考）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（

）A．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差B．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于C．讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是D．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于【答案】D【分析】根据极差、中位数、百分位数、平均数定义逐项计算判断即可求解.【详解】根据数据分析得到如下结果：12345678910讲座前讲座后对于A选项，讲座前问卷答题正确率的极差为，讲座后问卷答题的正确率的极差为，，所以A错误；对于B选项，讲座前问卷答题正确率从小到大排列为：，，，，，，，，，，正确率的中位数为，B错误；对于C选项，讲座后问卷答题的正确率从小到大排列为：，，，，，，，，，，因为，所以讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是：，所以C错误，对于D，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：，D正确.故选：D2．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（

）A．12 B． C．6 D．36【答案】C【分析】根据方差的性质得到的方差，进而得到标准差.【详解】的方差为4，故的方差为，故标准差为.故选：C3．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知一个样本容量为10的样本平均数为5，方差为1.6.现将样本中的3个数据去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数和是（

）A．5，1 B．5，2 C．5，3 D．4，3【答案】B【分析】根据平均数与方差的计算公式，分别表示出去掉前后两组数据的平均数与方差，将条件等式整体代入计算即可.【详解】由均值得.方差得.不妨设设，则，，故选：B．4．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，若，的方差为，则（

）A． B．C． D．与的大小关系不确定【答案】C【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项.【详解】由题意可知，，所以，则，所以数据的平均数是，又，，与的分子相同，比较分母，可知．故选：C5．（2025高一·全国·专题练习）已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（

）A．6 B．6.5 C．7 D．7.5【答案】D【分析】根据题意，设这组得分从小到大分别为，由数据的平均数、中位数和极差均为6，因为平均数为6，求得，分和，得出数据，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】因为这组得分的中位数和极差均为6，可设这组得分从小到大分别为，因为平均数为6，可得又因为，，所以，所以，所以，故.当时，这组得分分别为2，6，6，8，8.方差：当时，要使方差最大，则取最小值3，取最大值9，这组得分分别为3，3，6，9，9，方差:，此时方差最大.又由，所以方差最大时的这组得分的第60百分位数是6和9的平均数7.5.故选：D.二、多选题6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（）A．甲选手：平均数为8，众数为7 B．乙选手：平均数为9，方差为1C．丙选手：中位数为7，众数为8 D．丁选手：中位数为9，极差为2【答案】BD【分析】根据选项，结合平均数，方差，中位数，极差的定义逐选项判断即可.【详解】对于A，平均数为8，众数为7，则总环数为，假如存在一个6环，则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环，其可能为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，此时众数为7，平均数为8，但存在6环，故A不符题意；对于B，平均数为9，方差为1，则总环数为，假如存在一个6环，则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环，此时方差，所以不可能存在6环，故B正确；对于C，中位数为7，众数为8，则第5，6个数为7，且8环次数最多，可能为，0，1，2，7，7，7，8，8，8，8，故C不符题意；对于D，中位数为9，极差为2，则从小大排列环数时，第5，6位上数为9，最大值为9，最小值为7，故D正确，故选：BD.7．（24-25高一下·四川广安·月考）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（

）A．数据的方差为4；B．数据的平均数为24；C．数据的平均数为10，方差大于1；D．若数据的中位数为，分位数为，则.【答案】ABD【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断.【详解】对于，因为，所以，所以数据的平均数为，故正确；对于，因为，所以，所以数据的方差为，故正确；对于，，，故错误；对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数，因为，所以分位数为第五个数，按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数，所以，故正确.故选：.8．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知样本数据，则下列命题正确的是（

）A．该样本数据的上四分位数为B．若该样本数据的方差，则C．数据分别为，若数据满足，则数据的平均数为20D．若的平均数为，方差为的平均数为，方差为，样本的平均数为，则样本的方差为【答案】BCD【分析】利用上四分位数的意义计算判断A；利用方差的计算公式推理判断B；求出平均数判断C；利用分层抽样的方差公式计算判断D.【详解】对于A，没有明确数据的大小关系，A错误；对于B，令该样本平均数为，则方差，则，B正确；对于C，，则平均数为，C正确；对于D，依题意，，D正确.故选：BCD【考点五：事件的关系与运算】一、多选题1．（24-25高一上·河南信阳·期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（

）A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件【答案】AC【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念，一一判断各选项，即可得答案.【详解】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确；对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；，对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球，其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确；对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误，故选：AC2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（

）A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格B．表示后两次测试成绩均不及格C．表示三次测试成绩均及格D．表示三次测试成绩均不及格【答案】BCD【分析】根据随机事件的概念，结合事件并和交的定义逐一求解即可．【详解】因为表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误；因为表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确；表示同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确；表示测试成绩均不及格，所以表示三次测试成绩均不及格，故D正确；故选：BCD.3．（23-24高一下·河南开封·期末）已知，，则下列说法中正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么【答案】ABC【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可.【详解】对于AB，由可得,所以,故AB正确；对于CD，由互斥可得，所以,故C正确，D错误.故选：ABC.4．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件“两次都击中飞机”，事件“两次都没击中飞机”，事件“恰有一次击中飞机”，事件“至少有一次击中飞机”，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】A选项，事件A包含于事件D；B选项，事件B，D不能同时发生，B正确；C选项，根据事件运算得到C正确；D选项，，，D错误.【详解】对于A，事件A包含于事件D，故A正确；对于B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确；对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况：两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故，故C正确；对于D，由于，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确．故选：ABC5．（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（

）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件【答案】BD【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断．【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确；“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确．故选：BD．6．（23-24高一上·广东佛山·月考）设、为两个互斥的事件，且，，则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由互斥事件的定义可得，利用互斥事件的概率加法公式可判断A选项；利用并事件的概率公式可判断B选项；由积事件的概率公式可判断C选项；由并事件的概率公式和对立事件的概率公式可判断D选项.【详解】因为、为两个互斥的事件，则，则，，AC都对；，B错；，D对.故选：ACD.【考点六：古典概型】一、单选题1．（24-25高一上·江西·期末）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析他没有乘坐下等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【详解】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6种，其中该人可以不坐下等车情况有除第一种情况外的其余5种情况，则其概率为．故选：D2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，再求出基本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为，从八卦中任取两卦，一共有种，其中满足阳线之和为的有，，，，，共种，故两卦中阳线之和为的概率.故选：B3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知集合，，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得从集合A中任取3个不同的元素，有4种可能，最小的元素a的取值分别为1，2，从集合B中任取3个不同的元素，有10种可能，其中最大的元素b的取值分别为3，4，5，然后求出的所有情况，从而利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】根据题意，从集合A中任取3个不同的元素，有4种可能，分别为：，，，，其中最小的元素a的取值分别为1，2．从集合B中任取3个不同的元素，有10种可能，分别为：，，，，，，，，，，其中最大的元素b的取值分别为3，4，5．当时，有3种情况，此时有3种情况，当时，有6种情况，此时有1种情况，所以有种情况，所以．故选：C4．（24-25高一上·广东·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算质点移动4次可能的结果，质点质点位于原点左侧的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：质点移动次可能的结果有种，质点位于原点左侧可能结果为：向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次；向左移动4次，共有1种移动情况，为：左左左左；向左移动3次，向右移动1次，共有4种移动情况，为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左；所以质点位于原点左侧共5种移动情况，由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为，故选：A.二、解答题5．（24-25高一下·江西赣州·期中）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2024-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.(1)求这6个数据的75%分位数及平均数；(2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.【答案】(1)75%分位数是249，平均数是151.(2)【分析】（1）根据百分位数计算公式和平均数计算公式即可得到答案；（2）写出所有样本空间，并列举出满足题意的样本点，最后利用古典概型的公式即可得到答案.【详解】（1）因为，所以这6个数据的75%分位数是249，这6个数据的平均数是.（2）从6个数据中任取2个数据，样本空间，共含有15个样本点，设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”，则，共含有6个样本点，所以.答：取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率为.6．（24-25高一下·全国·单元测试）爸爸和亮亮用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回．(1)若爸爸恰好抽到了黑桃4．①请把下面这种情况的树状图绘制完整；

②求亮亮抽出的扑克的牌面数字比4大的概率．(2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的扑克的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平．【答案】(1)①答案见解析；②．(2)不公平，理由见解析【分析】（1）用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可求出结果；（2）分别求出小明与小花获胜的概率，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）①树状图：

②由①可知亮亮抽出的扑克的牌面数字比4大的概率是．（2）不公平，理由如下：

爸爸抽出的扑克的牌面数字比亮亮的大有5种情况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字，所以爸爸胜的概率只有，显然对爸爸来说是不公平的．只需把黑桃5改成黑桃6即可使这个游戏公平（答案不唯一）．7．（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，．(1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率；(2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用列举法列出从乙盒中任取两张卡片所有的取法，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率．（2）列举出从甲、乙两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，得出恰为“奇遇”的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率.【详解】（1）乙盒中的4个函数，，，分别记为，从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种，又函数，的定义域均为，函数的定义域为，函数的定义域为，所取函数的定义域不同的取法有，共5种，所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为．（2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减，则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4），（偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3），（增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4），共16种取法．又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种，所以“奇遇”的概率为．8．（24-25高一上·江西·期末）古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下：一周课外读书时间/h合计频数46101214244832频率0.020.030.050.060.070.120.250.161(1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉．(2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人．①求每层应抽取的人数；②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率．【答案】(1)，，；h．(2)①2，5，13；②．【分析】（1）根据频率分布表的性质，可列式，可求的值；再根据百分位数的概念求数据的第75百分位数.（2）①根据分层抽样的概念确定各层抽取的人数；②利用古典概型的概率计算方法求相应的概率.【详解】（1）由题意可得，，；设一周读书时间的前位数为，因为，.所以一周读书时间的前位数.且.即一周的读书时间超过h，才能获得“读书积极分子”荣誉．（2）（ⅰ）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，又，，的频数分别为20，50，130，所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13．（ⅱ）由（ⅰ）知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为；若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，共10种．设事件为“这2人不在同一层”，则由古典概型的概率计算公式得．9．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）为了加强对数学文化的学习，某校高一年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)用样本估计总体，若高一年级共有2000名学生，试估计高一年级这次测试成绩不低于75分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率.【答案】(1)，平均数为；中位数为(2)900(3)【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数；（2）由频率分布直方图求出不低于75分的频率再乘以2000即可求解；（3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在的学生至多有2人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为，所以．由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为：．由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中．设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为．（2）由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为，用样本估计总体，可以估计高一年级名学生中成绩不低于75分的人数为．（3）由（1）可知，位于，，的人数分别为：，，，这三组中所抽取的人数分别为，，，设事件“成绩在的学生至多有2人被抽到”，则=“成绩在的学生全都被抽到”记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为的名学生为，则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，成绩在的学生全都被抽到包含的基本事件为，有1个．故．【考点七：概率的基本性质的应用

】一、单选题1．（24-25高一下·全国·单元测试）若“”发生（A，B中至少有一个发生）的概率为0.6，则，同时发生的概率为（

）A．0.6 B．0.36 C．0.24 D．0.4【答案】D【分析】根据题意结合对立事件的概率公式求解即可.【详解】“”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生．．故选：D2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】因是两个互斥事件，故，于是，.故选：C.3．（24-25高一上·北京·期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件总数，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.故选：D.4．（24-25高一上·广东佛山·月考）本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据概率的加法公式即可求解.【详解】记吹风为事件，下雨为事件，因为，所以既吹南风又下雨的概率为，故选：B.二、多选题5．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知事件两两互斥，若，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算可得.【详解】因为事件两两互斥，所以，故D正确；，则，故A正确；，则，故B错误；，故C正确.故选：ACD6．（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据事件的运算关系以及对立事件的概率，一一判断各选项，即得答案.【详解】由，，即，知，所以C错误.又，所以A正确.同理可得，B正确.又，所以D正确.

故选：ABD.【考点八：相互独立事件的概率计算与综合应用

】一、单选题1．（24-25高一下·江西抚州·月考）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得均不正常工作的概率，再结合对立事件、独立事件概率计算公式即可求解；【详解】由题可知，元件均不正常工作的概率为，则元件中至少有一个正常工作的概率为，从而该系统正常工作的概率为．故选：B2．（24-25高一下·江西·月考）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据公式算出甲命中乙也命中的概率.【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”，由题意解得故甲命中乙也命中的概率为.故选D.3．（24-25高一下·浙江金华·期中）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（

）A．与为对立事件 B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件【答案】C【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个.则事件包括，，，，，，共6个，，事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，，事件包括，，，，，共5个，，事件包括，，，，，，共6个，.对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误；对于B，事件且包括，则，又，，所以，即与不相互独立，故B错误；对于C，事件且包括，，，则，又，，所以，即与相互独立，故C正确；对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误.故选：C.二、解答题4．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）为了加强对学生动手操作能力的培养，将素质教育落到实处，某校开展了剪纸、刺绣、草艺、泥塑民间工艺活动，学校要求每名学生至少参加其中一项活动．为了解上述活动的开展情况，现从高一、高一、高一学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，得到如下数据：工艺活动编号1234工艺活动名称剪纸刺绣草艺泥塑高一学生参加活动人数50303060高一学生参加活动人数40258050高一学生参加活动人数40104040以频率作为概率．(1)从样本中随机选取了1名学生，估计这名学生参加了剪纸活动的概率；(2)从高一、高一、高一学生样本中各随机选取了1名学生，估计这3名学生中恰有2人参加了剪纸活动的概率；(3)为了进一步了解不同年级学生对以上各项工艺活动的喜爱程度，现从高一、高一、高一学生样本中各随机选取了1名学生进行调查，设这3名学生均参加了第项工艺活动的概率为，求的最大值．【答案】(1)(2)0.32(3)0.12．【分析】（1）由古典概率的定义求解即可；（2）由相互独立事件的乘法公式求解即可；（3）由相互独立事件的乘法公式求出，比较大小即可得出答案.【详解】（1）样本中学生共有300人，参加了剪纸活动的学生人数为，所以这名学生参加了剪纸活动的概率为．（2）从高一、高一、高一学生样本中各随机选取了1名学生，估计这3名学生中恰有2人参加了剪纸活动的概率为:．（3）由题意可知，，，，，故最大，且为0.12．5．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）(2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率．【答案】(1)，不低于分(2)【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；（2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可.【详解】（1）依题意得，，又，所以第分位数位于，且，他的物理成绩应不低于分较为合适．（2）依题意甲能参加物理竞赛的概率，乙能参加物理竞赛的概率，二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为:.6．（24-25高一上·江西宜春·期末）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额.(1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率；(2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由.【答案】(1)(2)事件不相互独立，理由见解析【分析】（1）根据条件，利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）根据条件，分别求出，，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解.【详解】（1）因为，即只摸次球，红包总金额不高于元，即为元或元，从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为，故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为.（2）当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”，因为，所以.事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，所以；事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”，因为，所以，所以，所以事件不相互独立.一、单选题1．（24-25高一上·江西·期末）为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（

）A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样C．抽签法 D．随机数表法【答案】B【分析】由分层抽样的概念即可判断；【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样．故选：B．2．（23-24高一上·安徽亳州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数约为（

）A．128人 B．130人 C．132人 D．134人【答案】B【分析】利用分层抽样公式，即可求解.【详解】设从南乡征集人，则，解得：人.故选：B3．（24-25高一上·江西·期末）若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（

）A．5和20 B．5和19 C．6和20 D．6和19【答案】A【分析】根据平均数和方差的性质进行计算，得到答案.【详解】因为样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，所以样本，，…，的平均数和方差分别为和.故选：A4．（24-25高一上·湖北孝感·期中）甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算求得结果.【详解】恰好有一个一等品的概率.故选：C.5．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断.【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则，又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即，所以.故选：C.6．（24-25高一上·江苏南京·月考）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的定义，依次判断选项即可.【详解】A：由题意知，，故A错误；B：由题意知，，故B错误；C：事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，所以A与独立，则，故C正确；D：，故D错误．故选：C7．（24-25高一上·上海松江·期末）抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（

）A．事件A、B和C两两互斥 B．C．事件A与事件是对立事件 D．事件与相互独立【答案】C【分析】利用互斥事件的定义判断A，；利用互斥事件概率加法公式求解判断B；利用对立事件的定义判断C；利用相互独立事件判断D.【详解】抛掷三枚硬币，样本空间(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8个样本点，事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)，对于A，事件中任何两个事件都不能同时发生，事件两两互斥，A正确；对于B，，B正确；对于C，事件与可以同时不发生，事件A与事件不是对立事件，C错误；对于D，，，，则事件，相互独立，D正确.故选：C8．（24-25高一上·吉林·月考）杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，代表依次摸出的卡片，，则基本事件分别为：，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是.故选：B.9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，则，电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，所以整个电路不发生故障的概率为.故选：C.10．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则（

）A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立【答案】B【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可.选项B：利用概率的加法公式，求解即可，选项C：若A与B相互独立，则A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可.选项D:利用对立事件求解即可.【详解】选项A：若B⊆A，则选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确.选项C：若A与B相互独立，则A与相互独立,故选项C错误.选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误.故选：B.11．（24-25高一下·北京·期中）一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】利用极差和中位数的定义即可判断BC，由平均数和方差的性质即可判断AD.【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，故A错误；对于B：因为数据，，…，单调递增，所以数据，，…，也单调递增，所以极差，，故B正确；对于C：由A知，因为，所以，故C正确；对于D：因为，所以，即，因为，所以，故D正确.故选：A.12．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，记事件“抽到的两人是一男生一女生”，在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:共12个样本点，其中有8个样本点，所以.在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:共16个样本点，其中有8个样本点，所以.故选：A.二、多选题13．（24-25高一下·广东广州·期中）某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（

）A．极差 B．45百分位数 C．中位数不变 D．众数【答案】BC【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后分别分析极差、45百分位数、中位数、众数的变化即可得结论．【详解】某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，对于A选项，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A选项错误；对于B选项，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据，数据没变，故B选项正确；对于C选项，由，所以将10个数据从小到大排列，中位数为第5个和第6个数据的平均数，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，中位数为第4个和第5个数据的平均数，即为原来的第5个和第6个数据的平均数，数据没变，故C选项正确；对于D选项，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D选项错误．故选：BC.14．（24-25高一上·江西·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚