新课预习-3.2 双曲线（学生版）-新高二暑假衔接

3.2双曲线【划重点】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及其求法2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．3．掌握双曲线的简单几何性质.4．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.5．会判断直线与双曲线的位置关系．【知识梳理】知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.知识点二双曲线的标准方程与性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点三等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).知识点四直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．知识点五弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).【例题详解】双曲线的定义及其应用例1(1)已知，，动点P满足（a为常数），则下列说法中错误的是（

）A．时，点P的轨迹是y轴 B．时，点P的轨迹是一条直线C．或时，点P的轨迹不存在 D．时，点P的轨迹是双曲线(2)平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线(3)双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A．1或21 B．14或36 C．2 D．21跟踪训练1(1)在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线C．双曲线 D．双曲线的一支(2)已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为．二、双曲线的简单几何性质例2(1)（多选）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（

）A．实轴长相等 B．离心率相等C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等(2)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．跟踪训练2(1)（多选）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为2B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m(2)求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．三、求双曲线的标准方程例3(1)以直线为渐近线，一个焦点坐标为的双曲线方程是（

）A． B． C． D．(2)在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（

）A． B．C． D．(3)根据下列条件，求双曲线的标准方程：=1\*GB3①以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；=2\*GB3②经过点和．跟踪训练3(1)顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（

）A．或 B．或C． D．(2)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（

）A． B．C． D．四、与双曲线有关的轨迹问题例4(1)若动点满足关系式，则点的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支(2)动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．(3)已知，，若点满足，则P点的轨迹是什么，并求点P的轨迹方程.跟踪训练4求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.五、求双曲线的离心率例5(1)点到双曲线：的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5(2)已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为．跟踪训练5(1)已知双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2(2)已知，是双曲线的左，右焦点，点在上，垂直于轴，，则的离心率为（

）A． B． C． D．六、直线与双曲线的位置关系例6(1)直线与双曲线的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定(2)过点作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条(3)过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．(4)已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围．跟踪训练6(1)（多选）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知F1（－5，0），F2（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=，则C的方程为.(3)已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为(=1\*romani)求C的标准方程；(=2\*romanii)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求【课堂巩固】1．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（

）A． B． C． D．或2．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线的方程是（

）A． B．C． D．4．已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．5．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线与双曲线得一条渐近线平行可得的关系，求出双曲线的一个焦点的坐标，再根据的关系求出，即可得解.【详解】因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，即，由直线，令，得，则双曲线的一个焦点为，即半焦距，由，得，所以，所以双曲线的方程为.故选：C.6．双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．7．过点与双曲线只有一个公共点的直线有（

）条．A．1 B．2 C．3 D．48．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（

）A． B． C． D．9．（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若是椭圆，则其长轴长为B．若，则是双曲线C．C不可能表示一个圆D．若，则上的点到焦点的最短距离为10．（多选）已知双曲线，则（

）A．的焦距为 B．的虚轴长是实轴长的倍C．双曲线与有相同的渐近线 D．点到的一条渐近线的距离为11．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则a的值为．12．双曲线C：的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为.13．已知双曲线的方程为，写出它的顶点坐标､焦点坐标､实半轴长､虚半轴长与渐近线方程．14．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．(1)求C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．15．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.【课时作业】1．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．122．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．3．若双曲线的一个焦点是，则实数（）A． B． C． D．4．已知双曲线经过点，则其渐近线方程是（

）A． B．C． D．5．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．7．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（

）A． B． C． D．8．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件9．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为

（

）A． B．6 C． D．810．已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（

）．A． B． C． D．11．（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（

）A．离心率为2B．渐近线方程为C．实轴长为2D．右焦点到渐近线的距离为12．（多选）已知双曲线，则（

）A．双曲线与圆有2个公共点B．双曲线的离心率与椭圆的离心率相同C．双曲线的渐近线斜率与双曲线的渐近线的斜率互为倒数D．双曲线与直线只有一个公共点13．（多选）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．214．（多选）已知双曲线：，下列结论正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为C．与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线一定没有交点D．若直线与双曲线没有交点，则的取值范围为15．双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．16．已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为．17．在平面直角坐标系中，