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文档简介

淘宝:学思创想

第08讲三角形全等的判定

内容导航——预习三步曲

第一步:学

析教材学知识:教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识:8大核心考点精准练

第二步:记

串知识识框架:思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步:测

过关测稳提升:小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点1判定两个三角形全等的基本事实(边边边)】

1.三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).

2.数学语言表达:如图所示,AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′.

【知识点2判定两个三角形全等的基本事实(边角边)】

1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).

2.数学语言表达:如图所示,AB=A′B′,∠B=∠B′,BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′.

【知识点3判定两个三角形全等的基本事实(角边角)】

1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).

2.数学语言表达:如图所示,∠B=∠B′,BC=B′C′,∠C=∠C′,则△ABC≌△A′B′C′.

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【知识点4判定两个三角形全等的基本事实(角角边)】

1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).

2.数学语言表达:如图所示,∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′.

【知识点5直角三角形全等的判定(斜边、直角边)】

1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).

2.数学语言表达:如图所示,AB=A′B′,BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′.

【题型1利用SSS证明三角形全等】

【例1】如图,是上一点,.求证:.

�𝐴𝐴=��,𝐴+��=��,��=��△�𝐴≌△𝐴�

【变式1-1】如图,已知在同一条直线上,,,.

求证:.�,�,�,���=����=����=��

△���≌△���

【变式1-2】如图,在四边形中,,点E,F分别在,上,,,

判断与的数量关系并加�以𝐴说�明.∠�=∠�=90°������=����=��

����

2

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【变式1-3】如图,在线段上有两点E,F,在线段的异侧有两点A,D,且满足,,,

连接.𝐴𝐴��=𝐴��=����=��

��

(1)求证:;

(2)若△��,�≌△𝐴�,平分时,求的度数.

【题型∠2�=利4用0°SA∠S�证𝐴明=三2角0°形全��等】∠���∠���

【例2】如图,在和中,,,延长,相交于点F,且.求

证:△�𝐴.△�𝐴𝐴=𝐴𝐴=𝐴𝐴��∠𝐴�=∠𝐴�

∠�+∠���=180°

【变式2-1】如图,,,,,,连接,点恰好在

∘∘

上,求的度数.��=𝐴��=��∠�𝐴=∠���∠1=25∠2=30�����

∠3

【变式2-2】如图,已知在中,,,在中,,,

连接,,延长交Rt于△点��F�.试说∠�明�:�=90°��=𝐴.Rt△���∠���=90°��=��

𝐴����𝐴△���≌△���

3

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【变式2-3】如图,在中,、,垂足分别为、,点在的延长线上,点在线段,

且△,�连𝐴接�、�⊥.𝐴��⊥����������

��=��,��=𝐴����

(1)求证:;

(2)求的△度�数�.�≌△𝐴�

【题型∠3�利用ASA证明三角形全等】

【例3】如图,点D是的边延长线上一点,且,过D作,且,连接

交于点F,若△�𝐴,�求�证:𝐴.=𝐴��∥����=𝐴��

𝐴∠���=∠���△�𝐴≌△���

【变式3-1】如图,已知,,求证:.

𝐴=��∠1=∠2=∠3△�𝐴≌△�𝐴

【变式3-2】如图,在四边形中,,连接,点E在上,,连

接,.�求𝐴证�:��∥��.𝐴𝐴��=��

��∠�+∠�𝐴=180°��=��

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【变式3-3】如图,已在与中,,,,,求证:.

△�𝐴△�����=𝐴∠�𝐴=∠�����⊥��𝐴⊥𝐴��=��

【题型4利用AAS证明三角形全等】

【例4】如图,在四边形中,,,,.求证:.

�𝐴�𝐴=����=��∠���=∠���∠�=∠���=��

【变式4-1】如图,点,在射线,上,.点,在射线上,,.

��������=������∠�𝐴=∠���∠�𝐴+∠𝐴�=180°

(1)求证:.

(2)试判断线△�段��≌,△��,�的数量关系,并说明理由.

【变式4-2】如图�,�����,,,,垂足分别为D,E,,.求

的长.∠𝐴�=90°𝐴=𝐴��⊥����⊥����=2.4cm��=1.6cm

��

【变式4-3】如图,在四边形中,,,垂足为,的延长线交于点

�𝐴�∠���=∠���=90°��⊥�������5

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,.

���=��

(1)请你在图中找出一对全等三角形,并说明理由;

(2)连接,交于点,若,求的度数.

【题型5𝐴利用�H�L证明三�角形∠全��等�】=115°∠���

【例5】如图,已知在线段上,与交于点,且,,求证:

.��⊥��,��⊥��,�,�𝐴�������=����=��Rt△

���≌Rt△𝐴�

【变式5-1】如图,,、分别是、上的点,、分别是、上的点,若、

,,求��证=:𝐴��𝐴�.���������⊥����⊥

����=��Rt△���≌Rt△𝐴�

【变式5-2】如图,在中,,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线,,E,F

为垂足,且;△�𝐴𝐴=𝐴����

��=��

求证:

(1)

(2)∠�𝐴=∠𝐴�

【变�式�⊥5-3�】�如图,在中,,,D是上一点,E在的延长线上,且,

Rt△�𝐴∠𝐴�=90°��=��𝐴𝐴��=��

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的延长线与交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系,并证明

�你�的猜想.������

【题型6添加条件使三角形全等】

【例6】如图,在中,、两点分别在、边上,且,现增加一个条件,使得

一定成立,则该△条�件𝐴可以是�下�列中的���.���=��△���≌△���

①;②;③;④.

��=��∠�𝐴=∠𝐴�∠���=∠𝐴���⊥��

【变式6-1】如图,,.给出下列条件:①;②,③,④.从

这四个条件中再选∠一1个=使∠2𝐴=��,符合条件的有��=��(填�符�号=)�.�∠�=∠�∠�=∠�

△�𝐴≌△���

【变式6-2】如图,在和中,为公共边,且,O为、的交点.要证明

,需补充一个△条��件�,在△给��出�的以�下�四个条件中:∠①�=∠�=9;0°②��𝐴;③△�𝐴≌;

△④���,能作为添加条件的是.(填写序号)𝐴=��∠�𝐴=∠���∠���=∠���

��=𝐴

【变式6-3】如图,,,分别为,上的点,与交于点,连接.要,

还须添加一个条件,��如=添�加���,可运𝐴用��,证得����.�请写出添��加的其△它�一��个≌条△件�,��仍

能证得:��=�.�(说明:原SA图S不再添△加�点��和≌线△,�要��求写出所有可能)

△���≌△𝐴�

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【题型7两次证明全等】

【例7】如图所示,已知,,,交于点,连接.试说明:.

��=𝐴∠�=∠���=���������∠���=∠���

【变式7-1】如图,在五边形中,,,,点D是上一点,连接、

,有�,𝐴求��证:∠�=∠�.=90°��=𝐴��=������

��∠���=∠𝐴�=90°��=��

【变式7-2】如图,于E,于F,、相交于点D,且.求证:.

��⊥𝐴��⊥��������=����=𝐴

【变式7-3】如图,在中,,于点D,,且,过C作.

Rt△�𝐴∠𝐴�=90°��⊥����=����=����∥��

(1)求证:;

∠𝐴�=∠𝐴�

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(2)求证:.

【题型8�全�等=三�角�形的实际应用】

【例8】如图,为了测量水池两边A,B间的距离,可以先过点A作射线,再过点B作于点D,

在延长线上截取,连接,则的长就是A,B间的距离,�以�此来判断��⊥��的理由

是(��)𝐴=��𝐴𝐴△���≌△���

A.B.C.D.

【变式8S-1S】S要测量A,B间S的AS距离(无法直接测出A)SA,两位同学提供了测A量AS方案:

方案Ⅰ:①如图1,选定点O;②连接,并延长到点C,使,连接图1:,并延长到点D,使;

③连接,测量的长度即可.��𝐴=������=��

方案Ⅱ:�①�如图2�,�选定点O;②连接,,并分别延长到点F,E,使,;③连接,

测量的长度即可.������=����=����

对于方��案Ⅰ、Ⅱ,下列说法正确的是()

A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C.Ⅰ、Ⅱ都不可行D.Ⅰ、Ⅱ都可行

【变式8-2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4),你认为将其中的

哪一块带去,就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带第块去,这利用了三角形全等中的

原理.

【变式8-3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千,如图,小明坐在秋千的起始位置A处,与地面垂直,两脚

在地面上用力一蹬,妈妈在距地面高的C处接住他后用力一推,爸爸在B处接住�他�,若妈妈与爸爸到

的水平距离、分别为1和.2m,.

������1.4m2m∠�𝐴=90°

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(1)与全等吗?请说明理由;

(2)△爸爸��是�在距△离��地�面多高的地方接住小明的?

1.根据下列已知条件,能画出唯一的的是()

A.,,△�𝐴

B.��=5,𝐴=4𝐴,=1

C.∠�=40,°∠�=,50°∠�=90°

D.��=5,𝐴=4∠�,=60°

2.如图∠,�已=知30°∠�,=60°��,=5,以下结论:①;②;③;

④;⑤��=����=,��其中��正=确�的�个数为()△𝐴�≌△���∠�=∠�𝐴=��+��

∠1=∠2�△𝐴�=�△���

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A.5个B.4个C.3个D.2个

3.如图,已知为小明根据所作的图形,若,则他作图的根据是()

△�𝐴,△���△�𝐴△�𝐴≌△���

A.B.C.D.

4.如图,S点SSA,B,C,D在同一A条SA直线上,点E,F分别A在AS直线的两侧,且SAS,,,

若,,则的长为()����=��∠�=∠�∠𝐴�=∠���

��=16𝐴=4��

A.4B.6C.8D.10

5.在中,,将沿图中虚线剪开,剪下的两个三角形不一定全等的是()

△�𝐴∠�=∠�=50°△�𝐴

A.B.

C.D.

6.如图所示,,,,,,则

��=𝐴��=��∠�𝐴=∠���∠1=25°∠2=30°∠3=

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7.如图,已知,,要使,还需添加一个条件,这个条件可以是.

��=��∠���=∠���△�𝐴≌△���

8.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角,如图,在的两边、上分别在取

,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点、重合,这时过∠角��尺�顶点的�射�线��就是

�的�平=分�线�.这里构造全等三角形的依据是.�����∠���

9.如图,在中,D是边上一点,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别

交、于△点��、�;②以点�D�为圆心,以长为半径作弧,交于点;③以点为圆心,以长为

′′

半径��作弧𝐴,在��内部交前面的弧于点;�④�过点作射线交��于点�E.若�,��,则

′′′

∠��.�����𝐴∠�=44°∠�=60°

∠���=°

10.生活情境·滑滑梯如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相

等,且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等,若𝐴,则.��

����∠���=32°∠���=

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11.如图,在中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且.求证:.

△�𝐴��=��,∠���=∠�=∠�△���≌△���

12.如图,点E在的边上,点D、F分别在、的延长线上,连接、,,

△�𝐴,求�证�:.𝐴������∠�=∠�𝐴=

��,∠���+∠���=180°��=��

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