2025年新高一数学暑假衔接讲练 (人教A版)第09讲 二次函数与一元二次方程、不等式（教师版）

第09讲二次函数与一元二次方程、不等式内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法练考点强知识：7大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是顶点式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝知识点2二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x＝－顶点坐标奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数常用结论：①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.知识点3三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅注意：1.有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔.2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.教材习题01求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数：(1)；(2)．解题方法（1），解得，所以不等式的解集为.（2）由得，即，当时，即恒成立，不等式的解集为.当时，，所以不等式的解集为或.当时，，所以不等式的解集为或.【答案】(1)(2)答案详见解析教材习题02求关于x的不等式的解集，其中m是常数．解题方法因为，1.当时，则，所以不等式的解集为；2.当时，令，解得或，（1）当时，可知，所以不等式的解集为；（2）当时，可知，则有：①当，即时，所以不等式的解集为；②当，即时，所以不等式的解集为；③当，即时，所以不等式的解集为；综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【答案】答案见详解教材习题03某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？解题方法设每件售价元，则，解得，所以销售价格最高是20元.【答案】销售价格最高是20元考点一一元二次不等式的概念及辨析1．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．[2,3]【答案】B【详解】由题设且，所以，所以不等式的解集为.故选：B（多选题）2．下列不等式是一元二次不等式的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确；对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确；对于C：，含有两个未知数，故不是一元二次不等式，故C错误；对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误.故选：AB3．已知关于的不等式的解集为.（1）的取值范围为；（2）用表示，为；（3）不等式的解集为；（4）0；（填“”或“”）（5）不等式的解集为.【答案】【详解】（1）关于的不等式的解集为，因为解集在两根之外，所以.（2）由题可知-3，4是的两根，由根与系数的关系可得所以（3）由（2）得，即，所以，即的解集为.（4）由于关于的不等式的解集为，故时，.即.（5）由以上分析可知不等式即.因为，故，所以或.故不等式的解集为.故答案为：考点二解不含参数的一元二次不等式1．下列不等式中，与的解集相同的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，则，解得.对于A，由，则，解得；对于B，由，则，解得；对于C，由，则，解得或；对于D，由，则，解得.故选：A.2．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，得，所以不等式的解集为.故选：A.3．不等式的解集为.【答案】或【详解】①当时，得，则有，解得；②当时，得.因为，所以，且，所以恒成立.综上所述，原不等式的解集为或.4．解下列不等式.(1)；(2).【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是.（2）原不等式可化为，若时，解为,若时，解为，若时，解为.考点三解含参数的一元二次不等式1．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，且，又，，则解得，故选：D．2．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以.3．已知二次函数（）．(1)若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值；(2)求关于x的不等式的解集．【答案】(1)或(2)答案见解析【详解】（1）令，则有，得两点的横坐标分别为，令，得点的坐标为，故的面积为，解得或.（2）不等式可化为，①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为，④当时，不等式的解集为.4．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B.(1)求集合A与集合B；(2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【详解】（1）因为不等式对于一切实数恒成立，所以，解得，即．因为，所以，解得，即，（2）因为是的必要不充分条件，故，即，所以，解得，所以实数的取值范围是．5．解关与x的不等式：【答案】答案见解析【详解】当时，不等式为，解得，当时，由不等式，可得，所以，若，则，解不等式得或，若，则，不等式的解集为若，若，解得时，解不等式得或，当时，由不等式，可得，所以，解得，综上所述：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.考点四一元二次不等式根的分布问题1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】记，则函数为开口向上的二次函数，要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C.（多选题）2．若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合.（多选题）3．若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】由可得，整理得.由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论：（i）当时，或.若，则，矛盾；若，则，解得，满足方程；（ii）当时，即当且时，若，解得，此时方程为，即，解得，满足方程；若，方程有两个不等的实根、，因为，所以，，所以，，即，解得.综上所述，实数的取值范围是或.故选：BD.4．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是．【答案】【详解】设方程的两根为，由韦达定理得.∵方程有一正根一负根，∴，即，解得，∴实数的取值范围是.故答案为：.5．方程的两根都大于2，则实数的取值范围为【答案】【详解】令，由方程的两根都大于，得，即，解得．故答案为：考点五一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系1．“或"是“存在实数使得不等式成立”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分非必条件【答案】B【详解】存在实数使得不等式成立，，即，或.由“或”不能推出“或”成立，由“或”能推出“或”成立，“或"是“存在实数使得不等式成立”的必要不充分条件.故选：B.2．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．-2 B．1 C．2 D．【答案】C【详解】由题意得，，方程的两根为，∴，∴，∵，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为.故选：C.（多选题）3．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．不等式的解集为【答案】BCD【详解】由题设及函数图象知：且，所以，则，，，A错，B、C对；，则，D对.故选：BCD（多选题）4．已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A．B．C．不等式的解集为D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则【答案】ACD【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以，且方程的两根为和1，所以，解得,所以，解得，故A正确；由，可得，故B错误；，即为，即，即，解得，故C正确；由B选项可得，设，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以.因为不等式恒成立，所以，解得，故D正确.故选:ACD.5．函数(1)当恒成立时，求实数的取值范围；(2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围(3)若恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)；(2)或；(3).【详解】（1）当时，恒成立；当时，恒成立，则，解得；当时，显然不恒成立.综上，的取值范围是.（2）由有两个实数根，所以，且，解得或，所以，因为，即，则，解得或，综上，或.（3）若恒成立，对恒成立，则，即为.考点六恒成立问题1．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为不等式对于任意均成立，所以当时，，符合题意；当时，则，解得，综上所述，，故选：D．2．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【详解】由一元二次不等式，可得，从而，解得：.故选：A.3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为对任意，不等式恒成立.所以，其中，设，，因为，所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以，故选：B.4．已知函数的值恒为正数，则实数的取值范围是．【答案】【详解】∵二次函数的值恒大于0，所以不等式的解集为，故实数满足：，解得.∴当时，这个二次函数的值恒大0.故答案为：.5．若，不等式恒成立，则的取值范围为．【答案】【详解】由时，恒成立，即恒成立，对于，有，当且仅当时取等号，又在上单调递减，在上单调递增，且，，，故的取值范围是.故答案为：考点七一元二次不等式的实际应用1．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分.2．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，.3．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（

）（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中）A． B． C． D．【答案】B【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间．（多选题）4．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（

）A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速【答案】BC【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速.5．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为.【答案】2【详解】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得.知识导图记忆知识目标复核1．二次函数解析式的三种形式2．二次函数的图象与性质3．三个“二次”间的关系1．矩形中，，，过的一条直线与直线，直线分别相交于点，，其中，，则的面积的最小值为（

）A． B．4 C． D．6【答案】B【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用【分析】设，根据三角形相似表示出，再用三角形面积公式，结合基本不等式求解.【详解】如图，设，则，因为，所以，解得，所以的面积为，因为，当且仅当，即时取等，所以的面积的最小值为.故选：B.2．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围.【详解】因为对任意，不等式恒成立.所以，其中，设，，因为，所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以，故选：A.3．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【难度】0.85【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可.【详解】由题意得，“存在，使”是假命题，没有实根或有重根，，解得.故选：A.4．若，则的最小值是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【难度】0.85【知识点】基本不等式求和的最小值【详解】依题意有，当且仅当时取等号．5．若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【难度】0.85【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式【详解】由二次函数的图象可得.6．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（

）A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/【答案】B【难度】0.65【知识点】一元二次不等式的实际应用【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得.7．设，不等式恒成立，则a的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【难度】0.65【知识点】基本不等式的恒成立问题【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即．8．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】基本（均值）不等式的应用【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t小时，则，当且仅当，即时等号成立．9．已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【难度】0.4【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值【分析】根据已知条件可得，然后对化简变形后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】不等式对于一切实数恒成立，且，，.，使成立，，，，当且仅当，即时等号成立.故选：D.10．[多选题]下列说法正确的是（

）A．已知U为全集，“”的充要条件是“”B．若集合中只有一个元素，则C．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为D．“”是“”的充分且不必要条件【答案】ACD【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、解含有参数的一元二次不等式、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合中元素的个数求参数【详解】对于A，等价于A是B的子集，等价于，即“”的充要条件是“”，故A正确；对于B，当时，集合A中也只有一个元素，故B错误；对于C，因为关于x的不等式的解集为，所以，且，3是的两个根，所以由根与系数的关系得，则不等式可化为，解得，故C正确；对于D．由“”可得“”，但“”，当时，“”就不成立，故D正确．11．已知方程的两个根满足，则m的值是.【答案】5【难度】0.85【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【分析】利用根与系数的关系可得，结合已知可得，求解即可.【详解】因为的两根为，所以，又因为，所以，所以，解得，检验可得，所以.故答案为：.1