2026版三维设计一轮高中总复习数学教师用-第七节　统计与概率的综合问题

第七节统计与概率的综合问题重点解读统计与概率的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.统计图表与概率的综合问题（师生共研过关）（2025·青岛一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3∶2∶1.（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层随机抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.解：（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：30×0.15＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＋110×0.1＝67（分钟）.（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人，ξ的可能取值为：0，1，2，则P（ξ＝0）＝C43C20C63＝15，PP（ξ＝2）＝C41C所以ξ的分布列为：ξ012P131E（ξ）＝0×15＋1×35＋2×15解题技法统计图表与概率综合问题的求解策略（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.（2024·黄山模拟）某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150].（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；（2）从这次数学成绩位于[50，70），[70，90）的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间[70，90）的人数记为X，求X的分布列及数学期望.解：（1）由频率分布直方图可得（0.0025＋0.0075＋0.015×2＋2a）×20＝1，解得a＝0.005.前四个矩形的面积之和为（0.0025＋0.0075＋2×0.015）×20＝0.8，前五个矩形的面积之和为0.8＋0.005×20＝0.9，设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m，则0.8＋（m－110）×0.005＝0.85，解得m＝120，因此，估计这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120.（2）数学成绩位于[50，70），[70，90）的学生人数之比为0.0075∶0.015＝1∶2，所以，所抽取的9人中，数学成绩位于[50，70）的学生人数为9×13＝3数学成绩位于[70，90）的学生人数为9×23＝6由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3，则P（X＝0）＝C33C93＝184，P（X＝P（X＝2）＝C31C62C93＝1528，P所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123P13155所以，E（X）＝0×184＋1×314＋2×1528＋3×5回归分析与概率的综合问题（师生共研过关）（2025·郑州名校联盟）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明；（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求E（X）.参考数据：∑i=15xiyi＝62194，∑i=15（yi－y参考公式：样本相关系数r＝∑i=1n（xi－x)(yi－y）∑i=1n（解：（1）由表中的数据和参考数据得∑i=15xi＝850，x＝170，∑i=15yi＝∑i=15（xi－x）2＝112＋52＋02＋62＋102∑i=15（yi－y）2＝8.6，∑i=15（xi－x）（yi－y）＝∑i=15xiyi所以r＝∑i=15（xi－因为y与x的样本相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）由y＝73及（1）得b＝∑i=15（xi－x)(yi－y）∑i=15（xi－x）2＝所以y关于x的经验回归方程为y＝－13.81＋0.51x.（说明：根据a＝y－bx≈73－0.51×170＝－13.70，得出y＝－13.70＋0.51x也正确（3）X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，P（X＝2）＝2C52＝15，P（X＝3P（X＝4）＝1C52＝110，P（X＝5）＝P（X＝6）＝1C52＝110，P（X＝7）＝P（X＝9）＝1C52＝110，P（X＝11）＝所以E（X）＝2×15＋3×110＋4×110＋5×15＋6×110＋7×110＋9×110解题技法回归分析与概率综合问题的解题思路（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某随机变量的概率（范围）、均值、方差等；（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡x123456平均过关时间y（单位：秒）5078124121137352计算得到一些统计量的值为：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中ui（1）若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程；（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为45，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望解：（1）对y＝aebx两边取对数可得lny＝ln（aebx）＝lna＋lnebx，即lny＝lna＋bx，令ui＝lnyi，所以u＝bx＋lna，由u＝16∑i=16uix＝16×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，∑i=16xi2＝12＋22＋32＋42＋5所以b＝∑i=1nxiui又u＝bx＋lna，即4.75＝0.36×3.5＋lna所以lna＝3.49，所以a＝e3.49.所以y关于x的经验回归方程为y＝e0.36x＋3.49.（2）由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12，所以P（X＝5）＝15，P（X＝7）＝45×15P（X＝9）＝（45）2×15＝P（X＝12）＝（45）3＝64所以X的分布列为X57912P141664所以E（X）＝5×15＋7×425＋9×16125＋12×64独立性检验与概率的综合问题（师生共研过关）（2024·湖北七市州调研）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请列出2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E（X）和D（X）；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：（1）根据统计表格数据可得列联表如下：性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关.根据列联表的数据计算可得χ2＝60×（7×16－23×14）221×39×30×30根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P＝560＝1即可得X～B（20，112）故E（X）＝20×112＝5D（X）＝20×112×1112＝（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布，则P（Y＝0）＝C70CP（Y＝1）＝C71C32P（Y＝2）＝C72C31P（Y＝3）＝C73C30故所求分布列为Y0123P17217可得E（Y）＝0×1120＋1×740＋2×2140＋3×724＝2110解题技法独立性检验与概率综合问题的解题思路本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.（2025·临沂一模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）性别对“赶大集”的态度合计非常喜欢感觉一般男性3t100女性t合计60（1）求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；（2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）.参考公式：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(cα0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：（1）由题意可知：3t＋（60－t）＝100，解得t＝20，2×2列联表如下：性别对“赶大集”的态度合计非常喜欢感觉一般男性6040100女性8020100合计14060200零假设为H0：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关，由列联表数据可得，χ2＝200＝200×20002140×60×100×100≈根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X＝m＋n，且X的所有可能取值为1，2，3，4.P（X＝1）＝P（m＝0，n＝1）＝C33C21P（X＝2）＝P（m＝1，n＝1）＋P（m＝0，n＝2）＝C21CP（X＝3）＝P（m＝2，n＝1）＋P（m＝1，n＝2）＝C22C31P（X＝4）＝P（m＝2，n＝2）＝C22C31所以X的分布列为X1234P11321所以E（X）＝1×230＋2×1330＋3×1230＋4×31.（2025·常德模拟）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间x（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望；（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的经验回归方程.（参考数据：y＝19∑i=19yi＝190，∑i=19（xi－x）2＝60，∑i=19（yi－y）2＝55482，∑i=19（附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b＝∑i=1n（xi－x)(解：（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝C64C94＝542，P（X＝P（X＝2）＝C62C32C94＝514，P故X的分布列为X0123P51051E（X）＝0×542＋1×1021＋2×514＋3×1（2）设原来数据的样本中心点为（x，y），去掉第5天的数据后样本中心点为（x'，y'），x'＝18（1＋2＋3＋4＋6＋7＋8＋9）＝5，x'＝x5＝5＝xy'＝18（9y－y5）＝18（9×190－203）＝故b＝（＝（＝∑＝∑i=19xia＝y'－bx'＝15078－30×5＝3078，所以y＝2.（2024·扬州第二次调研）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表：满意不满意男44060女46040（1）能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：（1）2×2列联表如表所示，满意不满意总计男44060500女46040500总计9001001000χ2＝1000×（440×40－460×60故有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关.（2）由题知，从该地区的消费者中随机抽取1人，不满意的概率为110，X的所有可能取值为0，1，2，3且P（X＝0）＝（910）3＝729P（X＝1）＝C31（910）2×1P（X＝2）＝C32×910×（110）P（X＝3）＝（110）3＝1所以X的分布列为：X0123P729243271E（X）＝0×7291000＋1×2431000＋2×2713.某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.（1）按照分层随机抽样方法从[40，50）和[80，90]中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[40，50）的人数为X，求X的分布列；（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间t近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在（43.9，87.7]之外的人数为Y，求P（Y＝3）的值.（精确到0.001）参考数据：当t～N（μ，σ2）时，P（μ－σ＜t≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ＜t≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ＜t≤μ＋3σ）≈0.9973.0.81869≈0.1651，0.18143≈0.0060.解：（1）运动时间在[40，50）的人数为3000×0.02×10＝600.运动时间在[80，90]的人数为3000×0.01×10＝300.按照分层随机抽样方法共抽取9人，则在区间[40，50）内抽取的人数为6，在区间[80，90]内抽取的人数为3.∴随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝C60C33C93＝184，PP（X＝2）＝C62C31C93＝1528，P∴随机变量X的分布列为X0123P13155（2）μ＝t＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5，σ＝s≈14.6.∴43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋14.6×2＝μ＋2σ.∴P（43.9＜t≤87.7）＝P（μ－σ＜t≤μ＋2σ）≈0.6827+0.954∴P（t≤μ－σ或t＞μ＋2σ）≈1－0.8186＝0.1814，∴Y～B（12，0.1814）.∴P（Y＝3）＝C123×0.18143×0.81869≈220×0.0060×0.1651≈0.4.某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图.（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算样本相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该