2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-第二节　导数与函数的单调性

第二节导数与函数的单调性1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.1.f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（）解析：C由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减；当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C.2.下列函数中，在（0，＋∞）上单调递增的是（）A.f（x）＝2sinxcosx B.g（x）＝x3－xC.h（x）＝xex D.m（x）＝－x＋lnx解析：Ch（x）＝xex，定义域为R，h'（x）＝（x＋1）ex，当x＞0时，h'（x）＞0，∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增.3.（2024·驻马店模拟）已知函数f（x）＝x33－ax在R上是增函数，则a的取值范围为（A.（－∞，0） B.（－∞，0]C.（－∞，－1） D.（－∞，1）解析：B因为f（x）＝x33－ax在R上是增函数，所以任意x∈R，f'（x）≥0恒成立，所以任意x∈R，x2－a≥0恒成立，所以任意x∈R，x2≥a恒成立，所以a≤（x2）min＝0，4.函数f（x）＝（x－2）ex的单调递增区间为.答案：（1，＋∞）解析：f（x）的定义域为R，f'（x）＝（x－1）ex，令f'（x）＝0，得x＝1，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－∞，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为（1，＋∞）.1.若函数f（x）在（a，b）上单调递增，则当x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若函数f（x）在（a，b）上单调递减，则当x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立.2.若函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.1.已知f（x）是定义在（a，b）内的可导函数，则“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内为增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：A由结论1知选A.2.若函数f（x）＝ex＋ax－12x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－∞，0）解析：C函数f（x）的定义域是R，则f'（x）＝ex＋a－x.由结论2，若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C.函数的单调性考向1不含参函数的单调性【例1】（1）函数f（x）＝2x2－lnx的单调递减区间是（）A.（－12，12） B.（12C.（0，12） D.（－∞，－12）∪（12（2）若函数f（x）＝lnx＋1ex，则函数f（答案：（1）C（2）（1，＋∞）解析：（1）因为函数f（x）＝2x2－lnx，定义域为（0，＋∞），所以f'（x）＝4x－1x＝4x2－1x＝4（x－12）（x＋12）x，由f'（x）＜0，解得0（2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x－lnx－1ex，令φ（x）＝1x－lnx－1（x＞0），则φ'（x）＝－1x2－1x＜0，∴φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1解题技法利用导数求函数单调区间的方法（1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，求出单调区间；（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.考向2含参函数的单调性【例2】已知f（x）＝x22－（1＋a）x＋alnx，其中a为实数，讨论f（x）解：f'（x）＝x－（a＋1）＋ax＝x2-(a+1）①当a≤0时，由f'（x）＜0得0＜x＜1；由f'（x）＞0得x＞1.所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，由f'（x）＜0得a＜x＜1；由f'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1.所以f（x）在（0，a）和（1，＋∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；③当a＝1时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上为增函数；④当a＞1时，由f'（x）＜0得1＜x＜a；由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a.所以f（x）在（0，1）和（a，＋∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，＋∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a＝1时，f（x）在（0，＋∞）上为增函数；当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，＋∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减.解题技法解决含参函数单调性问题的注意点（1）研究含参数的函数的单调性时，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论；（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.1.（2024·阳泉一模）已知函数f（x）＝sin2x－x，则在下列区间上，f（x）单调递增的是（）A.（－π3，0） B.（0，πC.（π6，π3） D.（π3解析：B因为f（x）＝sin2x－x，所以f'（x）＝2cos2x－1，令f'（x）＝2cos2x－1＞0，则cos2x＞12，即－π3＋2kπ＜2x＜π3＋2kπ，k∈Z，－π6＋kπ＜x＜π6＋kπ，因为（0，π6）⊆（－π6＋kπ，2.（2021·全国乙卷21题节选）讨论函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1的单调性.解：由题意知f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－2x＋a，对于f'（x）＝0，Δ＝（－2）2－4×3a＝4（1－3a）.①当a≥13时，f'（x）≥0，f（x）在R上是增函数②当a＜13时，令f'（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝1－1－3a令f'（x）＞0，则x＜x1或x＞x2；令f'（x）＜0，则x1＜x＜x2.所以f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，＋∞）上单调递增.综上，当a≥13时，f（x）在R上是增函数；当a＜13时，f（x）在－∞，1－1－3a3上单调递增，在（1－1－函数单调性的简单应用考向1比较大小【例3】（1）（2024·邯郸一模）已知函数f（x）＝3x＋2cosx.若a＝f（32），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.b＜a＜c D.b＜c＜a（2）设定义在R上的函数f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＞x恒成立，则（）A.f（1）＜f（－1） B.f（1）＞f（－1）C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜ D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜答案：（1）D（2）D解析：（1）由题意，得f'（x）＝3－2sinx.因为－1≤sinx≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）是增函数.因为2＞1，所以32＞3.又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜32，所以f（2）＜f（log27）＜f（32），即b＜c＜a.（2）设g（x）＝12[（f（x））2－x2]，则g'（x）＝12[2f（x）f'（x）－2x]＝f（x）f'（x）－x＞0恒成立，所以g（x）在定义域内为增函数，所以g（1）＞g（－1），即12[（f（1））2－1]＞12[（f（－1））2－1]，整理得（f（1））2＞（f（－1））2，即｜f（1）｜＞｜f（－1）解题技法利用导数比较大小，其关键是判断已知（或构造后的）函数的单调性，利用其单调性比较大小.考向2解不等式【例4】（2024·西安联考）已知函数f（x）＝－xln2－x3，则不等式f（3－x2）＞f（2x－5）的解集为（）A.（－4，2）B.（－2，2）C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）D.（－∞，－4）∪（2，＋∞）解析：Df（x）的定义域为（－∞，＋∞），因为f'（x）＝－ln2－3x2＜0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数，所以不等式f（3－x2）＞f（2x－5）等价于3－x2＜2x－5，解得x＜－4或x＞2，所以不等式f（3－x2）＞f（2x－5）的解集为（－∞，－4）∪（2，＋∞），故选D.解题技法解函数不等式，如果直接求解比较烦琐时，可以通过导数研究函数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确定不等式的解集.考向3求参数的值（范围）【例5】（1）（2023·全国乙卷16题）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax＋（1＋a）x在（0，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是；（2）已知函数f（x）＝lnx－12ax2－2x（a≠0）在[1，4]上单调递减，则a的取值范围是答案：（1）［5－12，1）（2）－716解析：（1）法一由题意，得f'（x）＝axlna＋（a＋1）xln（a＋1）.令h（x）＝axlna＋（a＋1）xln（a＋1），则h'（x）＝ax（lna）2＋（a＋1）x[ln（a＋1）]2.当x＞0时，h'（x）＞0，所以函数y＝f'（x）在（0，＋∞）上单调递增.因为f'（0）＝lna＋ln（a＋1），当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，所以若f'（0）＜0，则在（0，＋∞）上存在x0使得f'（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f（x）单调递减，与题意不符；若f'（0）≥0，则f'（x）＞0，此时f（x）在（0，＋∞）上单调递增.所以lna＋ln（a＋1）≥0，即a2＋a－1≥0，解得a≥－1+52或a≤－1－52.因为a∈（0，1），法二令g（x）＝ax，r（x）＝（a＋1）x，a∈（0，1），则g'（x）＝axlna，r'（x）＝（a＋1）xln（a＋1），g'（0）≥－r'（0），即lna≥－ln（a＋1），解得a∈［5－1（2）因为f（x）在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，f'（x）＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立.设G（x）＝1x2－2x，x∈[1，4]，所以a≥G（x）max，而G（x）＝1x－12－1，因为x∈[1，4]，所以1x∈14，1，所以G（x）max＝－716（此时x＝4），所以a≥－716，（变条件）若本例（2）条件变为“函数f（x）在[1，4]上不单调”，则a的取值范围为.答案：－解析：因为f（x）在[1，4]上不单调，所以f'（x）＝0在（1，4）上有解，即a＝1x2－2x＝1x－12－1在（1，4）上有解，令m（x）＝1x2－2x，x∈（1，4），则－1＜m（x）＜－716解题技法根据函数单调性求参数的一般思路（1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；（2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值.提醒当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题.1.（2024·绍兴模拟）已知函数f（x）＝cosx－x，则f（8π9），f（π），f（10π9）A.f（8π9）＞f（π）＞f（B.f（8π9）＞f（10π9）＞C.f（10π9）＞f（8π9）＞D.f（10π9）＞f（π）＞f（解析：A因为函数f（x）＝cosx－x，所以f'（x）＝－sinx－1≤0，又函数f（x）＝cosx－x不是常函数，所以f（x）＝cosx－x在（－∞，＋∞）上是减函数，因为8π9＜π＜10π9，所以f（8π9）＞f（π）＞f2.若函数f（x）＝sin2x－4x－msinx在[0，2π]上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.（－2，2）B.[－2，2]C.（－1，1） D.[－1，1]解析：B依题意得f（x）＝sin2x－4x－msinx＝2sinxcosx－4x－msinx，所以f'（x）＝2（2cos2x－1）－4－mcosx＝4cos2x－mcosx－6≤0对∀x∈[0，2π]恒成立.设t＝cosx∈[－1，1]，则g（t）＝4t2－mt－6，则g（t）≤0在[－1，1]上恒成立，由二次函数图象得g(-1）≤0，g（1）1.（2024·渭南模拟）函数f（x）＝xlnx＋1的单调递减区间是（）A.（－∞，1e） B.（1e，＋C.（0，1e） D.（e，＋∞解析：Cf（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1＋lnx，所以在区间（0，1e）上f'（x）＜0，f（x）单调递减，故选2.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）解析：D利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的减区间，验证只有D符合.3.（2024·济宁模拟）若函数f（x）＝x3＋x2＋ax－1在（－∞，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围为（）A.a≥13 B.a≤C.a＞13 D.a＜解析：A由题可知，f'（x）＝3x2＋2x＋a≥0恒成立，故Δ≤0，即4－12a≤0⇒a≥13.故选4.已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋2，则不等式f（2x＋4）≥2的解集是（）A.{x｜x＞－2} B.{x｜x≥－2}C.{x｜x＜－2} D.{x｜x≤－2}解析：B由f'（x）＝ex＋e－x－2≥2ex·e－x－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以f（x）是增函数，且f（0）＝2，由f（2x＋4）≥2，得2x＋4≥0，解得5.（多选）已知定义在R上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.f（b）＞f（c）＞f（d）B.f（b）＞f（a）＞f（e）C.f（c）＞f（b）＞f（a）D.f（c）＞f（d）＞f（e）解析：CD由题意得，当x∈（－∞，c）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，c）上单调递增，因为a＜b＜c，所以f（c）＞f（b）＞f（a），C选项正确；当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（c，e）上单调递减，因为c＜d＜e，所以f（c）＞f（d）＞f（e），D选项正确.故选C、D.6.（多选）（2024·泉州模拟）已知a＝ln44，b＝1e，c＝ln33（其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为A.a＞b B.b＞cC.c＞a D.c＜a解析：BC令函数f（x）＝lnxx，x＞0，则f'（x）＝1－lnxx2，当x＞e时，f'（x）＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，而e＜3＜4，于是f（e）＞f（3）＞f（4），即1e＞ln33＞ln44，所以b＞c＞a，选项A、D错误7.请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）：（1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减；（3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝.答案：x－2（x≠0）（答案不唯一）解析：设f（x）＝x－2（x≠0），因为f（－x）＝x－2＝f（x）（x≠0），所以f（x）是偶函数；x＞0时，f'（x）＝－2x－3＜0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；f（x）＝x－2＞0，f（x）的值域是（0，＋∞）.8.讨论函数f（x）＝（a－1）lnx＋ax2＋1的单调性.解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝a－1x＋2a①当a≥1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，＋∞）上是增函数；②当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，＋∞）上是减函数；③当0＜a＜1时，令f'（x）＝0，解得x＝1－则当x∈0，1－a2a时，f'当x∈（1－a2a，＋∞）时，f'（x故f（x）在0，1－a2a上单调递减，在（1综上，当a≥1时，f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在0，1－a2a上单调递减，在（19.（2024·济南联考）“m＜1”是“函数f（x）＝2x2－mx＋lnx在（0，＋∞）上是增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：A若函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则f'（x）＝4x－m＋1x≥0在（0，＋∞）上恒成立，即m≤4x＋1x在（0，＋∞）上恒成立.因为g（x）＝4x＋1x≥24x·1x＝4，当且仅当x＝12时，等号成立，所以m≤4.因为（－∞，1）⫋（－∞，4]，所以“m＜1”是“函数f（x）在（010.已知函数f（x）＝ex－f（0）x，若存在实数x0使得不等式2a－1－x022≥f（x0）成立，则a的取值范围为A.[1，＋∞） B.（－∞，3]C.（－∞，2] D.[0，＋∞）解析：A令x＝0得f（0）＝1，所以f（x）＝ex－x，2a－1－x022≥f（x0）即2a－1≥ex0－x0＋x022，令g（x）＝ex－x＋x22，则g'（x）＝ex－1＋x，令h（x）＝ex－1＋x，则h'（x）＝ex＋1＞0，所以g'（x）为增函数，当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增.所以g（x）≥g（0）＝1，从而2a－11.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf'（x）≥0的解集为.答案：［0，12］∪[2，＋∞解析：由题中f（x）的图象特征可得，在（－∞，12］和[2，＋∞）上f'（x）≥0，在（12，2）上f'（x）＜0，所以xf'（x）≥0⇔x≥0，f'(x）≥0或x≤0，f'(x）≤0⇔0≤x≤12或x≥212.已知函数f（x）＝－12x2－3x＋4lnx在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是答案：[0，1）解析：由题意，f（x）＝－12x2－3x＋4lnx的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－x－3＋4x＝－x2+3x－4x，当f'（x）＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4（舍）或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不单调，且（t，t＋2）⊆（0，＋∞），∴t<1<13.（2024·安庆一模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f'（x）.若x＞0时，f'（x）＜2x，则不等式f（2x）－f（x－1）＞3x2＋2x－1的解集是.答案：（－1，13解析：令g（x）＝f（x）－x2，则g（x）是R上的偶函数.当x＞0时，g'（x）＝f'（x）－2x＜0，则g（x）在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增.由f（2x）－f（x－1）＞3x2＋2x－1得f（2x）－（2x）2＞f（x－1）－（x－1）2，即g（2x）＞g（x－1），于是g（｜2x｜）＞g（｜x－1｜），则｜2x｜＜｜x－1｜，解得－1＜x＜1314.已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2·f'(x）＋m2在区间（t，3）解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝a（当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）；当a＝0时，f（x）为常函数.（2）由（1）及题意得f'（2）＝－a2＝1，即a＝－2∴f（x）＝－2lnx＋2x－3，f'（x）＝2x∴g（x）＝x3＋m2+2x2－2∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2.∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，即g'（x）在区间（t，3）上有变