电子技术基础（第2版）课件 第9章 数字逻辑电路基础

第9章数字逻辑电路基础主要内容9.1数字信号与数字电路9.2数制和码制9.3逻辑代数

9.4逻辑函数及其表示方法

9.5逻辑函数的化简

9.1数字信号与数字电路图9-1模拟信号与数字信号模拟信号：连续变化的电信号，如正弦信号。数字信号：离散的电信号，如矩形信号。数字信号两种状态用高电平和低电平表示，（1和0）高、低电平指一个电压范围，如2.4V～5V，0～0.8V9.1.1数字信号9.1.2数字电路数字电路特点：

1.二极管、三极管均工作在开关状态；

2.基本单元电路只有0和1两个状态，单元电路简单；

3.分析和设计应用的主要工具是逻辑代数；

4.可形成大规模集成、速度快、功耗低、可编程。数字电路分类：集成度分类SSIMSILSIVLSI所用器件分类双极型单极型逻辑功能分类组合逻辑电路时序逻辑电路9.2.1数制

人类在长期的生活实践过程中，为了计数，为了用尽量少的数码表示比较大的数值，经常采用进位计数的方法来计数，简称计数制、进位制。生活中用十进制数Decimal。进位计数制：将数码排列成数位，按由低位向高位进位来计数，表示数的大小的方法。如十进制数551。进位计数制包含两个基本要素：基数与位权。

基数：是指一种计数制允许使用基本数码的个数，N进制数有N个基本代码，每个数位计满N就向高位进1，即“逢N进一”，十进制数有10个号码，基数为10，进位时逢10进1。9.2数制和码制

位权：进位制中每个数位的数值等于该数位的数码乘以一个与该数位置有关的常数，这个常数叫做该位的“位权”，简称“权”。位权的大小是以基数为底、数码所在位置的序号为指数的整数次幂。N进制数第i位的权为

十进制数551中十位的5表示数值，百位的5表示数值，十进制数551等于各位数值之和，即为：例：十进制数表示为多项式和的形式称为按权展开式。N进制数整数部分有n位，小数部分有m位，按权展开式为：一般式为：

1．二进制计数Binary二进制是目前数字设备、计算机采用的数制，基数为2，计数时“逢2进1”。二进制只有0和1两种数字符号，第i位上的位权是2的i次幂。二进制数的一般表达式为：

二进制数和十进制数之间的数值相等关系小数对应关系二进制数十进制数0．12-1=0．50．012-2=0．250．0012-3=0．1250．00012-4=0．0625二进制数十进制数00000000110010200113010040101501106011171000810019整数对应关系2．八进制Octal和十六进制数Hexadecimal八进制数基数是8，有0~7共8个不同的数码，运算时“逢8进一”。第i位上的权是8的i次幂。八进制数可以表示为：

十六进制有16个数码，即0，1，。。。。。。9，A，B，C，D，E，F。基数为16，运算时，“逢16进一”第i位上的位权是16的i次幂。不同进制数后加缩写字母作为各种进位制的标识符号。标识字母原文注释二进制数BBinary避免字母O误认作数字0，标识改为Q八进制数QOctal十进制数DDecimal十六进制数HHexadecimal

例如67D、101B、25Q和16H，分别为十进制、二进制、八进制和十六进制数。不加标识时默认是十进制数。1．二进制数转换十进制数：

二进制数按权展开成多项式，再逐项相加，其和就是等值的十进制数例：求4位二进制数能表示的最大十进制数值解：9.2.2数制之间的相互转换

八、十六制数转换十进制数，按权展开再逐项相加，即得到数值相等的十进制数2.十进制数转换二进制数:

整数部分采用除基取余法，小数部分采用乘基取整法。（1）整数部分：除基取余法。若十进制整数S转换后的二进制整数为（Kn

Kn-1、、、K1K0）2

则有：将十进制整数S除以2，余数为K0，得二进制数的最低位，若将商再除以2，所得余数为K1，依次类推，反复将每次得到的商再除以2，就可求得二进制数的每一位了。逐次相除直到商为0，得到二进制整数的最高位Kn。

（２）

小数部分：乘基取整法。若十进制小数S转换后的二进制小数为（0．K-1K–2．．．K–m）2，则有：

S乘以2所得乘积的整数部分为K–1

。小数部分再乘以2又可得到整数部分为K–2

，依次类推，将每次乘2后所得的小数部分再乘以2，便可求出二进制小数的每一位，这样逐次乘基，从高位到低位积的整数序列，便构成对应的二进制小数。要说明的是，不是所有的十进制小数都能转换化成有限位的二进制小数，有时候小数点后会出现无限循环情况，这时要根据指定的转换位数或转换精度来确定位数。

既有整数又有小数的十进制数转换时，需将整数部和小数部分开转换，再将转换的两部分合在一起即可。例：将十进制数213．375转换成二进制数的形式。解：整数部分：213D=11010101B

小数部分：0．375D=011B

则213．375=11010101.011B

十进制数转换成任意进制数：整数部分采用“除基取余法，小数部分采用“乘基取整”算法，最后把两部分转换结果合在一起便得到最后结果。

例：将362．4D转换成十六进制数，并取2位小数。解：十六进制的基数为16，因而整数部分除以16取余数，小数部分乘以16取整数。362．4D=16A．66H3.二进制数与八进制、十六进制数之间的相互转换

一位八进制数与三位二进制数的数值相等对应关系表如上。可以看出，二者在数值上完全相等，且进位关系也相同，因此，可以相互转换，即一位八进制数直接用三位二进制数代替。反之亦然。八进制数Q01234567二进制数B000001010011100101110111十六进制数H十进制数D二进制数B000000110001220010330011440100550101660110770111881000991001A101010B111011C121100D131101E141110F151111

一位十六进制数与十进制数和四位二进制数的数值相等对应关系表列出。可以看出，二者数值完全相等，且进位关系也相同。因此，可以相互转换时，即一位十六进制数直接用四位二进制数代替。反之亦然。

二进制数转换成八、十六进制数时，以小数点为分界线，整数部分从低位到高位，小数部分从高位到低位，每3位或4位二进制为一组，不足3位或4位的，小数部分在低位补0，整数部分高位补0，然后用1位八进制或十六进制的数字来表示。即得到一个相应的八进制数或十六进制数。

八进制、十六进制转换为二进制数时，将每1位八进制或十六制，分别用二进制数码写出来，即得到相应的二进制数。

21．6Q=10

001．110BFA.6H=1111

1010．0110B

八进制和十六进制相互转换时，可通过二进制来完成。

704．65Q=111

000

100

．110

101B

=1

1100

0100

．1101

0100B

=1C4．D4H

加减运算。按权对位相加减，加法规则：0+0=00+1=11+0=11+1=0，逢二进一，减法规则是：1-1=01-0=10-0=00-1=1，借1当2。二进制数的算术运算

二进制数的算术运算规律和十进制数的运算规律基本一致。常见的有加、减、乘、除四则运算。乘除运算

数码除了表示数值大小外，也用来表示不同的事物，从而成为某种事物的代码，如运动会上每个运动员的号码。在数字电路中，0和1组成二进制数码，可以表示二进制数字，有数值大小的含义，也可以用来表示特定信息，成为某种信息的代码。为不同信息编制不同的二进制代码这一过程，称为编码。为便于记忆和处理，编码时总要遵循一定的规则。这些规则通称码制。实际中常用到的二进制代码有二-十进制代码、格雷码、奇偶检验码、字符代码等、其编码规则各不相同。9.2.3码制BCD（BinaryCodedDecimal）代码，也称二—十进制码，是表示十进制数十个数码的一组二进制代码。四位二进制代码有16种不同的状态，用它来表示十进制数码0~9这十个状态时，可有许多不同的编码方案，常见的BCD码如表所示。十进制数8421码余3码2421码5211码格雷码000000011000000000010100010100000100010110200100101001001000111300110110001101010101401000111010001110100501011000101110001100601101001110010011101701111010110111001111810001011111011011110910011100111111111010

8421BCD码是一种有权码，其高位到低位的权分别是8，4，2，1，将每一个8421码看做4位二进制数，则它的数值即为所表示的十进制数。

2421码也是一种有权码，从高位到低位的权分别是2，4，2，1。

余3码属无权码，它每位的权是不固定的。若将每一个余3码看做二进制数，则它的数值要比它所表示的十进制数码多3，故将这种代码称为余3码。

余3格雷码是一种无权码，它的特点是任意两个相邻代码之间仅有一位状态不同，这使得硬件实现时，可靠性增强。格雷码:也称为循环码，任意两组相邻代码之间只有一位不同。表1-3自然二进制码与格雷码的对比字符代码在数字系统中，0和1组成的代码还可以表示字母和符号，称为字符代码。由于涉及到信息交换处理的格式问题，字符代码种类繁多。目前广泛使用的字符代码有两种：一种是由五位二进制码组成，称为五单位码，一种是由七位二进制数码组成，称为七单位码，又称为ASCⅡ码。几种常用的数制十进制137.5=1

102+3101+7100+510-1

2.二进制3.八进制4.任意进制N为计数的基数；ki为第i位的系数；N

i为第i位的权值。表9-1不同进制数的对照表十进制数二进制数八进制数十六进制数0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F不同数制之间的转换1.二进制与十进制之间的相互转换二进制数十进制数十进制数二进制数（整数部分）【例】将十进制数13转换为二进制数。读数顺序将十进制数13辗转除以2取其余数十进制数二进制数（小数部分）【例】将(0.625)10转换为二进制数。故2.其他进制之间的相互转换十进制二进制十六进制八进制逻辑代数基础

客观世界中存在着大量具有两种对立逻辑状态的逻辑关系，如事物的真与伪，好与坏，有和无，或者电路的通和断，灯泡的亮和灭等。

9.3逻辑代数1849年英国数学家乔治.布尔(GeorgeBoole)首先提出，用来描述客观事物逻辑关系的数学方法——称为布尔代数。

布尔代数被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为开关代数或逻辑代数，处理二值逻辑问题。

逻辑代数中用字母表示变量——逻辑变量，每个逻辑变量的取值只有两种可能——0和1。它们也是逻辑代数中仅有的两个常数。0和1只表示两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。逻辑代数和普通代数一样，也有数，变量，函数等概念。

逻辑变量:用字母代表变量，称作逻辑变量。逻辑变量的取值只有两个值0和1。这里的0和1已不再表示数值大小，只代表客观事物的两种对立逻辑状态。

逻辑函数:如果一个逻辑变量F是由逻辑变量A、B、C、D、X、Y、，，，等唯一确定，则称F是关于逻辑变量A、B、C、D、X、Y、，，，的逻辑函数，表达式表示如下：

F=f

（A、B、C、D、X、Y、，，，）上式描述了逻辑变量间的关系，称为逻辑表达式。表示输入变量A、B、C、D、X、Y、，，，经过某种逻辑运算，输出函数F。逻辑变量与逻辑函数三种基本的逻辑运算：与、或、非逻辑变量间的三种最基本运算：逻辑与、逻辑或和逻辑非上图三个指示灯控制电路可以说明三种逻辑关系。（a）电路中，只有当两个开关同时闭合时，指示灯才会亮；（b）电路中，只要任何一个开关闭合，指示灯就亮；（c）电路中，开关断开时灯亮，开关闭合时灯灭。三个电路代表了三种不同的逻辑关系。（a）（b）（c）9.3.1逻辑代数中3种基本运算

如果把开关闭合做为条件，灯亮作为事件结果，则上图三个电路描述了三种不同的因果关系。（a）表明，只有决定事件结果的所有条件全部满足时，结果才发生。这种因果关系叫做逻辑与，或称逻辑乘。（b）电路中，只要决定事物结果的诸条件中有一个满足，结果就发生，这种因果关系称为逻辑或或逻辑加。（c）电路表明，条件满足了，结果便不会发生；条件不满足时，结果发生。这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑反。（a）（b）（c）

若用A、B表示开关的状态，定义1表示开关闭合，0表示开关断开。用Y表示指示灯的状态，并定义灯亮时为1，灯灭时为0，上述三种逻辑关系如下表。ABYABYAY0001101100010001101101110110

上表详尽地描述逻辑函数中全部输入变量A、B在所有取值组合下输出F的逻辑值。叫做逻辑真值表，简称真值表

以“·”表示与运算，以“+”表示或运算，以变量上边的“—”号表示非运算。因此，上述三种基本逻辑运算关系表示为：

数字电路中，实现三种基本逻辑运算的单元电路称为与门、或门和非门，电路符号为:三种基本运算是：与、或、非（反）1.与运算该图代表的与逻辑关系是：决定事件的全部条件都满足时，事件才会发生Y=A·B=AB=A

and

B=A&B（正）逻辑赋值/状态赋值用1表示开关接通用1表示灯亮A

BY000110110001真值表-truetable2.或运算该图代表的或逻辑关系是：决定事件的全部条件只要有一个满足时，事件就会发生ABY000011101111Y=A+B=A

or

B3.非运算该图代表的非逻辑关系是：决定事件的条件满足时，事件反而不发生AY01101.与非逻辑:与非逻辑是与和非的复合逻辑，实现与非逻辑的器件称为与非门。

实际的逻辑问题往往比较复杂，要由与、或、非三种基本运算组合成复合逻辑来实现。ABF0001101111102.或非逻辑:或非逻辑是或和非的复合逻辑，实现或非逻辑的器件称为或非门。ABF000110111000

9.3.2复合逻辑运算3.同或逻辑:同或逻辑描述两个输入变量的逻辑关系。两变量相同时输出为1；两变量不同时输出为0。实现同或逻辑的电路称为同或门。ABF0001101110014.异或逻辑:也是描述两变量的逻辑关系，当两变量相异时输出为1；相同时输出为0。异或逻辑和同或逻辑互为非逻辑运算。实现异或逻辑的电路称为异或门。同或逻辑与异或逻辑互为非运算。ABF000110110110异或逻辑:同或逻辑:AB00010110010101⊙⊙互为反运算ABCDY

000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111105.与或非逻辑:6.正逻辑与负逻辑在实际的数字电路中，逻辑1和逻辑0表示电平的高和低。这种规定称为正逻辑。相反，如果0表示高电平，1表示低电平，则称为负逻辑。本书如无特殊说明，一般都采用正逻辑。0–1律互补律重迭律还原律交换律结合律分配律吸收律德摩根定律(AB)′=A′+B′与运算变为或运算(A+B)′=A′B′或运算变为与运算以上定律都可以通过给变量取值0和1来证明其正确性9.3.3逻辑代数的基本公式公式（16）分配律证明（真值表法）ABCBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111A+BC=(A+B)(A+C)在变量A、B、C取全部每一组值时左右都相等，故等式成立。9.3.4逻辑代数的常用公式序号公式1合并律AB+AB′=A2吸收律A+AB=A3吸收律A+A′B=A+B4吸收律AB+A′C+BC=AB+A′C5吸收律AB+A′C+BCD=AB+A′C6(AB+A′C)′=AB’+A′C′1.合并律逻辑代数的若干常用公式证明证：合并律说明，两个相邻项可以合并成一项，消去互补变量。

在一个与或表达式中，如果某一乘积项的部分因子恰好等于另一个乘积项的全部，则该乘积项是多余的。2.吸收律证：证：

在一个与或表达式中，如果某一乘积项取反后是另一个乘积项的因子，则此因子是多余的。

在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补，而这两个乘积项中的其余因子都是第三个乘积项中的因子，则这第三项是多余的。2.吸收律----------冗余项定理证：推论：3.其他常用公式证：证：证：（1）（2）（3）9.3.5逻辑代数的基本定理应用举例：用B+C来代替等式中的B

式（17）

(A+B)′=

A′B′

(A+B+C)′=A′(B+C)′ =A′

B′C′1.代入定理定理：在任何一个包含逻辑变量A的等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。2.反演定理应用:求反函数即Y→Yˊ或去掉多个变量上的非号要求运算前后对应变量运算顺序一致!先括号，然后乘，最后加+↔·，1↔0，A↔A’Y=A(B+C)+(CD)'Y'=(A'+B'C')(C'+D')'=(A'+B'C')CD=A'CD采用代入定理，设则:

0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个以上变量的非号不变，或采用代入定理处理3.对偶定理例如：A(B+C)=AB+AC<=>A+BC=(A+B)(A+C)

定义:对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的”+”和”·”互换，0和1互换，得到的结果就是Y的对偶式，记做YD

，它们互为对偶式。对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。证明两个逻辑式相等，可通过证明其对偶式相等来完成这就从分配律的第一个公式直接推出第二个公式。

从对偶定理可看出，只要一个逻辑函数式的变量数不少于两个（含反变量），它就一定存在对偶式。要求运算前后对应变量运算顺序一致9.4逻辑函数及其表示方法事物间的因果关系是一种逻辑关系，也是函数关系，所以称为逻辑函数，具体说是二值逻辑函数。

如三人投票电路的例子：要求投票结果和多数人意见相同。当两个人或三个人都同意时，结果有效。三个人分别用A、B、C表示，结果用Y表示。Y与A,B,C的逻辑关系可表示为：Y=AB+AC+BC=A'BC+AB'C+ABC'+ABCABCY000000100100011110001011110111119.4.1逻辑函数的表示方法常用的有五种：真值表；逻辑函数式；逻辑图；波形图；卡诺图。1.真值表三人投票电路的真值表：左侧是输入变量的所有取值组合，右侧是输出变量对应数值是逻辑函数值。当输入变量个数为n时，真值表共有2n行。特点：描述逻辑问题方便；直观；但较繁琐。ABCY000000100100011110001011110111112.函数式三人投票的函数式：Y=AB+AC+BC特点：便于运算、化简；便于画逻辑图；不便从逻辑问题直接得到。3.逻辑(电路)图三人投票函数的逻辑图：特点：便于用电路实现。4.波形图

高、低电平表示的变量取值按时间顺序排列起来画成时间波形。主要用于描述时序逻辑。真值表函数式逻辑图波形图9.4.2各种表示方法间的相互转换【例1】

列出函数的真值表。解：将A、B、C三个变量的各种取值逐一代入函数式中计算，将结果列表，即可得到该函数的真值表，如表1-16所示。19.4.2各种表示方法间的相互转换1．真值表与逻辑函数式之间的相互转换真值表→函数式：在真值表中依次找出函数值等于1的变量组合，变量值为1的写成原变量，变量值为0的写成反变量，把组合中各个变量相乘。这样，对应于函数值为1的每一个变量组合就可以写成一个乘积项，然后把这些乘积项相加，就可得到相应的函数表达式。函数式→真值表：变量依次取值，得到各种取值。例12中，Y=A'B'C+A'BC'+A'BC+ABC'+ABC9.4.2各种表示方法间的相互转换2．逻辑函数式和逻辑图之间的相互转化将函数式中的逻辑运算符号与逻辑图中的图形符号按照优先顺序转换，就可实现逻辑函数式和逻辑图之间的转化。例：画出逻辑函数式的逻辑图。将式中所有的与、或、非符号用图形符号替代，并依据运算优先顺序将这些图形符号连接起来真值表与逻辑图的相互转化可以通过逻辑函数式进行9.5逻辑函数的化简逻辑函数的最简形式逻辑函数式和逻辑图是一一对应的。逻辑化简对降低成本有直接影响，逻辑函数式越简单，所用到的元件数目越少，制造成本就越低，而且整个电路的功耗也相应减小。电路简单，电路的工作速度和可靠性也会提高，故障检测更加容易。因而，逻辑化简具有重要意义。在数字电路的设计中，简单的逻辑表达式对应简单的电路结构。9.5逻辑函数的化简逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式等等。AB+AC

与或式=((AB+AC)')'=

((AB)'(AC)')'

与非与非式=A(B+C)

或与式=((A(B+C))')'

=

(A'+(B+C)')'或非或非式=(A'+B'C')'

与或非式先与门后或门用与非门实现电路先或门后与门用或非门实现电路用与或非门实现电路“乘积项个数最少”意味着用电路实现时使用与门个数最少；“因子数最少”意味着使用门的输入端最少。与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：与项/乘积项数量最少；在满足1项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。9.5.1公式化简法逻辑函数的公式化简法又称为代数化简法。是利用逻辑代数的公式和定理进行化简。这种方法要取决于对公式的熟炼运用程度，还需要有一定的运算技巧，只有通过大量练习，才能迅速地化简逻辑表达式。常用的方法可归纳如下。（1）合并项法：利用公式将两项并为一项，消去一个变量（2）吸收法利用公式和消去多余乘积项（3）消去法利用公式，消去多余因子（4）配项法利用公式在逻辑函数式中重复写某一乘积项，或将某一项乘以，或利用在逻辑式中添项，再用公式化简添加冗余项AB常用公式3.Y=A’BC’+AC’+B’C’=A’BC’+(A’B)’C’=C’1.Y=AB+A(C’+D)B=AB2.Y=AC+A’D+C’D=AC+(AC)’D=AC+D4.Y=AC+AD’+(C+D)’=AC+AD’+C’D’=AC+C’D’5.Y=AB’+A’B+BC’+B’C=AB’+A’B+BC’+B’C+AC’=A’B+B’C+AC’或Y=AB’+A’B+BC’+B’C+A’C=AB’+BC’+A’C化简结果不一定是唯一的！1.A+A’B=A+

B2.AB+A’C+BC=AB+A’C公式法化简常用公式函数式中的任一与项都可重复使用，A＋A＝A=A’B+BC=A’BC’+A’BC+ABC+A’BC6.Y=A’BC’+A’BC+ABC7.Y=((AB’)’C+C’D)’A’=(AB’C+AB’D’+C’D’).A’=A’C’D’Y=AC+B’C+BD’+CD’+A(B+C’)+A’BCD’+AB’DE(B’C)’=B’C+BD’+A当有长非号时，一般先化简非号下的式子，然后脱掉非号；但有时可先化去非号，再化简；应灵活运用。8.1.A+A’B=A+

B2.AB+A’C+BC=AB+A’C例1化简下列逻辑函数(AB+C)B=AB+BC=AB(C+C')+(A+A')BC=ABC+ABC'+ABC+A'BC=ABC+ABC'+A'BC题

证明下面的恒等式相等。（1）（2）（3）（4）证明：AB'+B+A'B=A+B+A'B=A+B+B=A+B左=BC+AD，对偶式为(B+C)(A+D)=AB+AC+BD+CD右=(A+B)(B+D)(A+C)(C+D)，对偶式为：AB+AC+BD+CD对偶式相等，推得左=右。（1）（2）（3）(A+C')(B+D)(B+D')=(A+C')(B+BD+BD')=(A+C')B=AB+BC'（4）习题题

在举重比赛中，有甲、乙、丙三名裁判，其中甲为主裁判，乙、丙为副裁判，当主裁判和一名以上（包括一名）副裁判认为运动员上举合格后，才可发出合格信号。列出该函数的真值表。解：设A为主裁判，真值表如下表所示。

ABCY00000010010001101000101111011111题

一个对4逻辑变量进行判断的逻辑电路。当4变量中有奇数个1出现时，输出为1；其他情况，输出为0。列出该电路的真值表，写出函数式。解：题

已知逻辑函数真值表如右表所示，写出对应的函数表达式。ABCY00000011010101101001101111001111解：将Y为1对应的最小项相加，就可以得到函数式。Y=m1+m2+m4+m5+m7=A'B'C+A'BC'+AB'C'+AB'C+ABC同理可以得到题的函数式：Y=A'B'C'D+A'B'CD'+A'BC'D'+A'BCD+AB'C'D'+AB'CD+ABC'D+ABCD'题

写出如下图所示的各逻辑图对应的逻辑函数式。解：题

写出如下图所示的各逻辑图对应的逻辑函数式。Y1=((A+B)'C)'+(C'D)'Y2=((AB')'E+(B'CD)'E)'题

利用公式法将下列各函数化为最简与或式。(1)Y=AB'C+A'+B+C'=B'C+A'+B+C'=C+A'+B+C‘=1(2)Y=(A'BC)'+(AB')'=A+B'+C'+A'+B=1(3)Y=AB'CD+ABD+AC'D=AD(B'C+B+C')=AD(4)Y=AB'(A'CD+(AD+B'C')')'(A'+B)=AB'(A'CD+(AD+B'C')')'(AB')'=0(5)Y=AC(C'D+A'B)+BC((B'+AD)'+CE)'=BC(B'+AD)(CE)'=ABCDE'例：写出下图中各逻辑图的逻辑函数式，并化简为最简与或式。(a)Y=((AB'C)'(BC')')'=AB'C+BC'(b)Y=((A'+B)'

+(A+B')'+(B+C')')'=(A'+B)(A+B')(B+C')=(AB+A'B')(B+C')

=AB+A'B'C'(c)Y1=((AB')'(AD'C)')'=AB'+AD'CY2=((AB')'(AD'C')'(A'C'D)(ACD))'=AB'+AD'C'+A'C'D+ACD=AB'+AD'C'+A'C'D+ACD(d)Y1=(((AB)+(A+B)C)')'=AB+(A+B)C=AB+BC+ACY2=(A+B)+C=BC+AC卡诺图9.5.2卡诺图化简法1.逻辑函数最小项及最小项表示方法卡诺图是用来化简逻辑函数的。由美国工程师Karnaugh首先提出的，也称卡诺图为K图。

在n变量的逻辑函数中，若每个乘积项都以这n个变量为因子，而且这n个变量都是以原变量或反变量的形式在各乘积项中仅出现一次，则称这些乘积项为n变量逻辑函数的最小项。

二变量逻辑函数A、B。最小项有A'B'、AB'、A'B、AB

三变量逻辑函数A、B、C的最小项，有8个（即23个）最小项

四变量逻辑函数，则有24个最小项对于n变量来说，可有2n个最小项。最小项ABC对应十进制数编号0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m71)最小项此时AB'、A都不是最小项m:min-term

输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值为1。如Y（A，B，C），当A=1、B=0、C=1时，AB‘C=1；把AB’C的取值101看作一个二进制数，那么它对应的十进制数为5，也将AB'C这个最小项记作m5。最小项的性质列出三变量A、B、C的全部最小项在变量所有取值下的取值下表所示。观察每行和每列可以发现，任意一个最小项，仅有一组变量取值使它的值为1，变量的其它取值都使该最小项值为0。而变量的任一组取值，也仅有一个最小项的值为1，其它最小项的值都为0。0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111

最小项ABCm7m6m5m4m3m2m1m0编号三变量全部最小项真值表

最小项，只在ABC=000时才为1；而对变量ABC=000，也只有该最小项的值为1，也即，变量取量与值为1的最小项唯一对应。为了使用方便，将最小项值为1时的变量取值000看作一个二进制数0，并将m0作为该最小项的编号。同理可得到其它最小项的编号。根据同样的道理，4变量的16个最小项记作m0~m150000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111

最小项ABCm7m6m5m4m3m2m1m0编号变量取值和值为1的最小项，有如下对应关系。变量取值为1时对应最小项中的原变量，取值为0对应最小项中的反变量。如ABC为000时，值为1的最小项为A'B'C'，ABC取001时，值为1的最小项为A'B'C。对于4变量逻辑函数，ABCD取0000时，仅有最小项A'B'C'D的值为1，ABCD取1010时，对应最小项AB'CD'的值为1。对最小项A'BCD'，只有变量取值为0110时值为1。根据同样的道理，4变量的16个最小项记作m0~m152)最小项的性质：（1）仅有一组取值组合对应最小项的值为1；（2）全体最小项之和恒为1；（3）任意两个最小项之积恒为0；（4）两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一对因子.两个与项（包括最小项）只有一个变量不相同，称逻辑相邻。例：ABC和ABC’是逻辑相邻的最小项，相加时会消去变量C即ABC+ABC’=ABK图就是利用最小项的这一性质化简逻辑函数的。标准与或式指最小项之和的表示形式。真值表求出逻辑函数的标准与或式。ABC.AB’C=0(5)对于n变量的逻辑函数，每个最小项均有n个相邻项3．最小项表达式最小项是构成逻辑函数的基本单元，任何一个逻辑函数均可表示成唯一的一组最小项之和，称它为标准的与—或表达式（亦称最小项表达式）。将一个逻辑函数化为最小项表达式，通常有以下两种方法。例将函数化为最小项表达式。解：（1）配项法。利用公式进行配项并展开，得到最小项表达式。（2）真值表法。列出函数的真值表，将真值表中函数值为1的变量取值转换为对应值为1的最小项，并将这些最小项相加，则得到函数的最小项表达式。例：用真值表法求的最小项表达式解：列出函数F的真值表，在输入变量A、B、C取值为以下三种情况时，函数F为1。A

B

C=100对应最小项AB'C'为1A

B

C=101对应最小项AB'C为1A

B

C=111对应最小项ABC为1ABC

F00000101001110010111011100001101

写出函数也可得出右表的真值表，所以函数F的最小项表达式为以举重裁判逻辑为例。Y=1对应m5、m6、m7三个最小项，故有：Y=AB'C+ABC'+ABC简写成Y=m5+m6+m7或写成将非标准形式化成标准形式规律：Y=AB+AC=AB(C+C')+AC(B+B')=ABC+ABC’+AB’C少1个变量，化成2个最小项之和；少2个变量，化成4个最小项之和；少n个变量，化成2n个最小项之和。ABCY000000100100011010001011110111113)逻辑函数的最小项之和标准形式标准与或式指最小项之和的表示形式。<=>1．卡诺图

最小项相邻项，也称逻辑相邻项：n变量逻辑函数，具有2n个最小项，如果两个最小项之中只有一个变量互为反变量不同之外，其余变量均相同，则称这两个最小项是逻辑相邻项。三变量函数F（A，B，C）的最小项和除变量B互为反变量而不同，其它两个变量A、C均相同，则称这两个最小项是相邻项。

两个逻辑相邻项可以合并，消去互为反变量的那个不同变量，合并项只保留两项中相同的变量。

逻辑函数的卡诺图化简例：逻辑函数F如真值表描述，试写出F的逻辑表达式，并将其化为最简与或式。解：按照从真值表中写逻辑函数的方法直接写出ABCF00000101001110010111011101110001

F包含4个最小项。细观察发现，最小项分别和其它三个最小项均逻辑相邻。则

对于任意逻辑函数，写出其最小项表达式，并在函数所含的最小项中寻找相邻项，然后合并化简。利用此方法可将任意逻辑函数化为最简，但由真值表和函数式找寻逻辑相邻项较困难。为了使最小项的相邻关系比较直观，美国工程师卡诺设计了一种方格图，图中的每一个方格代表函数的一个最小项，并且将逻辑相邻项安排在位置相邻的方格中，这种方格图通常就称为卡诺图。2．卡诺图的画法

两变量卡诺图如图所示，左上角标注变量A、B，左侧标注变量A的取值0和1，上侧标注变量B的取值0和１，中间表示两变量函数的4个最小项，变量取值与值为1的最小项均对应。二变量卡诺图，m0与m2、m1逻辑相邻。

每个最小项均有两个最小项与其逻辑相邻。二变量卡诺图m3m2m1m0AB0101三变量卡诺图三变量卡诺图图示，为保证图中几何位置相邻的最小项在逻辑上也相邻，变量的取值要采用图中所示的方式排列，可确保相邻的两个最小项仅有一个变量不同，并使任何一行或一列两端最小项也相邻。

卡诺图从几何位置看是上下、左右闭合的图形。三变量函数的m0与m2、m1、m4相邻。每个最小项均有三个最小项与其逻辑相邻。相邻的最小项也处在几何位置相邻的小方格，将卡诺图左右闭合，最左一列和最右一列，最小项也相邻。m6m7m5m4m2m3m1m00001111001ABC四变量卡诺图

图中，m0与m1、m4、m2、m8均相邻。

m5与m1、m4、m7、m13均相邻。

每个最小项均有四个最小项与其逻辑相邻。最小项几何位置相邻逻辑也相邻。m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD0001111000011110

五变量卡诺图除相邻格中的最小项逻辑相邻外，将此卡诺图按虚线左右对折后，相重合方格中的最小项也是相邻项。如m0，除和m1m4m8m2相邻外，还和m16逻辑相邻。五变量以上诺图可按同样的原则来画，但因变量增多方格数成倍增加，卡诺图变得很复杂。2.逻辑函数的卡诺图表示法1)表示最小项的卡诺图几何相邻-逻辑相邻

将n变量函数的每一个最小项分别用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列，所得到的图形就是n变量的卡诺图。用卡诺图表示逻辑函数把逻辑函数化为最小项之和的形式；在卡诺图上与这些最小项对应的位置添1；在其余的位置上添入0；任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中添入1的那些最小项之和。

*不能按照自然二进制数从小到大排列，必须按照循环码（格雷码）的形式排列四变量卡诺图1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8DAA’B’CD’A’BCD’ABCD’AB’CD’卡诺图上每个变量取1和取0的方格数各占总格数的一半。所以卡诺图还有另一种标法：BC2.用卡诺图表示逻辑函数显然，只要在每个小方格里填上函数值（0或1）即可。具体操作还要分两种情况：第一种，已知逻辑函数的真值表；第二种，已知逻辑函数的函数式；(1)已知真值表真值表和卡诺图有一一对应关系，可直接填。如三人投票：我们已知道它的真值表中包含3，5，6，7号四个最小项，故1010110100ABC由于函数值只有0，1两种取值，故可将0省略。00100111ABCY00000010010001111000101111011111<=>1010110100ABC

1

1111)当已知最小项标准形式时，与1中情况相同。如:Y=m3+m5+m6+m72)当已知一般与或式时，可将其化成最小项标准形式。如：Y=AB+AC+BC=AB(C+C’)+AC(B+B’)+BC(A+A’)=A’BC+AB’C+ABC’+ABC=A’BC+AB’C+ABC’+ABC也可直接将每个与项填进卡诺图：与项AB填入A、B都等于1的方格,即6号和7号最小项。少1个变量的与项，在卡诺图上占2个相邻的小方格。(2)已知函数式1010110100ABC

1

1111011010010110100ABCD我们在四变量卡诺图上作进一步研究。1111与项AB少两个变量，用AB(C+C’)(D+D’)方法可得，它包含4个最小项，编号是12，13，14，15，它们组成一个矩形。1111与项A少3个变量，用A(B+B’)(C+C’)(D+D’)方法可得，它包含8个最小项，编号是8，9，10，11，12，13，14，15，它们组成一个矩形。结论:与项少n个变量，在卡诺图上占2n个的小方格，且组成矩形！3.用卡诺图化简逻辑函数——图形法化简1）合并最小项的规律1011010010110100ABCD11111111与项少n个变量，在卡诺图上占2n个的小方格，且组成矩形。反过来用：卡诺图上合并组成矩形的2n或N个小方格，得到的与项少n个变量。红框合并2个最小项，对应与项ABC,相对于最小项少1(n)个变量篮（绿）框合并4个最小项，对应与项AB’（AC’）少2(n)个变量。紫框合并8个最小项，对应与项A少3(n)个变量。几何相邻和逻辑相邻一致！1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8最小项相邻的几种情况1011010010110100ABCD111111图中黑框对应与项A’B’D’。图中篮框对应与项AD’。图中红框对应与项B’D’。11图中紫框对应与项D’。(1)在包含所有最小项的前提下，“圈”越少越好化简的原则是：(2)在每个圈中包含的最小项的个数为2n个的前提下，圈越大越好(3)每个圈至少要包含一个只被自己包含的最小项用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的规则：若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子；若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两个因子；若八个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三个因子；个最小项相邻并排成一个矩形组，如果由则它们可以合并为一项，并消去n个因子。011010110001111001ABC0100111010110100ABCD0001111000011110Y合并两个相邻最小项111111110001111001ABC1101111111111101ABCD0001111000011110Y合并四个相临最小项1001111111111001ABCD0001111000011110YB合并八个相临最小项2)卡诺图化简的步骤(1)将逻辑函数化成与或式，然后画出其卡诺图；(2)按最简原则画出必要的圈；(3)求出每个圈对应的与项，然后相加。1011010010110100ABCD举例说明：Y=(A+B)CD’+((A+B)(A’+B’+C+D))’=ACD’+BCD’+A’B’+ABC’D’11111111最简与或式为：Y=CD’+A’B’+ABD’1可重复使用要圈两个11010110100ABC111111圈黑圈，得：Y=AB’+BC’+A’C圈蓝圈，得：Y=A’B+B’C+AC’(2)Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m151011010010110100ABCD11111111显然，紫圈是多余的，所以，画完圈后注意检查。

当最简式不唯一时，画圈的方案也不唯一.(1)Y=AB’+A’B+BC’+B’C(3)Y=AD’+BC’D+ABC+