章末综合测评5　三角函数（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

章末综合测评(五)三角函数(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．－1000°的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为()A．5 B．6C．8 D．93．若cosπ2+α＝-45，且A．2425 B．12C．－1225 D．－4．要得到函数y＝sin3x-π3的图象，只要把函数y＝sin3A．向左平移π3B．向右平移π3C．向左平移π9D．向右平移π95．已知tanα，tanβ为方程x2＋6x－2＝0的两个实数根，则cosα-βA．－12 B．5C．16 D．6．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin3x-πA．3 B．4C．6 D．87．tan200°＋tan40°＋3tan(－160°)tan40°＝()A．3 B．－3C．1 D．－18．已知函数f(x)＝sin3ωx+π3(ωA．－32 B．－3C．0 D．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是()A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是tanθ<0B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是πC．经过4小时时针转了120°D．若角α与角β终边关于y轴对称，则α＋β＝π2＋2kπ，k∈10．对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin2x-πA．f(x)与g(x)有相同的零点B．f(x)与g(x)有相同的最大值C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线y＝－3x(x≥0)与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为()A．cosB．-C．cosD．-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α13．已知函数f(x)＝sinωx+π3(ω>0)在-π14．(2022·浙江高考)若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝________，cos2β四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝fx+π6+fx-π6，求函数16．(本小题满分15分)(2023·北京高考)设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφω>0，(1)若f(0)＝－32，求φ(2)已知f(x)在区间-π3，2π3上单调递增，f2π3＝1，再从条件①、条件②、条件③条件①：fπ3＝2条件②：f-π条件③：f(x)在区间-π注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．(本小题满分15分)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，角α和角β0＜α＜π2＜β＜2π3的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B(1)求cos2α-(2)若cos∠AOC＝－6365，求cosβ18．(本小题满分17分)已知下列是两个等式：①sin60°·sin30°＝sin245°－sin215°；②sin5·sin1＝sin23－sin22；(1)请写出一个更具有一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；(2)请证明你的结论．19．(本小题满分17分)(教材P255复习参考题5T23改编)已知正方形ABCD的边长为1，点P，Q分别在边AB，AD上，设∠DCQ＝α，∠BCP＝β．(1)若AP＝DQ，求tan(α＋β)的最大值；(2)若△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小．章末综合测评(五)1．A[－1000°的终边与－1000°＋360°×3＝80°相同，则终边在第一象限．故选A．]2．D[设半径为r，则周长15＝2r＋0.5r，则r＝6，扇形面积为12×0.5r2＝12×0.5×36＝9，故选D3．D[∵cosπ2+α=-sinα=-45，∴sinα＝45，又α∈π2，π，∴cosα＝－1-sin2α=-35，则sin(π－2α)4．D[由题意知：y＝sin(3x－π3)=sin[3(x-π9)]，所以只需把y＝sin5．C[因为tanα，tanβ是方程x2＋6x－2＝0的两根，由根与系数的关系知，tanα＋tanβ＝－6，tanαtanβ＝－2，所以cos(α故选C．]6．C[因为函数y＝sinx的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin3x所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin3x-在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．]7．A[tan200°＝tan(180°＋20°)＝tan20°，tan(－160°)＝tan(－180°＋20°)＝tan20°，tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°+tan40°1-tan20°所以tan20°＋tan40°＝3-3tan20°·tan所以tan200°＋tan40°＋3tan(－160°)tan40°＝tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3-3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝3．故选A8．A[f(x)＝sin3(ωx+π3)＝sin(3ωx＋π)＝－sin3ωx，由T＝2π3ω＝即f(x)＝－sin2x，当x∈[－π12，π6]时，2x∈[sin2x∈-12，32，所以，当x＝π6时，f(x)min＝－sin9．AB[设角θ终边上点的坐标为(x，y)，则tanθ＝yx，若角θ终边在第二象限或第四象限，则tanθ<0，若tanθ<0，则角θ终边在第二象限或第四象限，所以角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件为tanθ<0，故A正确圆的一条弦等于半径，则圆心角为60°，即π3，故B正确经过4小时时针旋转了－412×360°＝－120°，故C错误若角α和角β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，故D错误．故选AB．]10．BC[A选项，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝kπ2，k∈Z，即为f(x)令g(x)＝sin2x-π4＝0，解得x＝kπ2+π8，k∈显然f(x)，g(x)的零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为2π2＝π，C选项正确D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ2+πg(x)的图象的对称轴满足2x－π4=kπ+π2，k∈Z，即x＝显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．故选BC．]11．ABD[由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为(12，－32)，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1设t时刻两点重合，则5t－2t＝π3＋2kπ，k∈N即t＝π9+2k3π此时点Q(cos(－π3＋5t)，sin(－π3＋5t即Q(cos(2π9+10k3π)，sin(2π9+当k＝0时，Q(cos2π9，sin2π9)，故当k＝1时，Q(cos32π9，sin32π即Q(－cos5π9，－sin5π9)，故当k＝2时，Q(cos62π9，sin62π即Q(－cosπ9，sinπ9)，故故选ABD．]12．－513[cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α＝－cos(45°＋α)＝－513．13．(0，12][令－π2+2kπ≤ωx+π解得－5π6ω+2k所以f(x)的单调递增区间为[－5π6ω+2kπ因为f(x)在[－π3，π所以-5π6ω≤-π3，14．3101045[因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sin所以3sinα－cosα＝10，又sin2α＋cos2α＝1，则sinα=15．解：(1)根据题意知A＋B＝3，B－A＝－1，∴A＝2，B＝1，12T=5π12--π12=π2，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(将点-π12，-1代入得到又|φ|<π，∴φ＝－π3∴f(x)＝2sin2x-π(2)∵g(x)＝fx+π6∵x∈0，π2，2x∴g(x)＝2sin2x-π3＋2∈[2－3即函数g(x)在区间0，π2上的值域为[2－3，16．解：(1)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，所以f(0)＝sin(ω·0)cosφ＋cos(ω·0)sinφ＝sinφ＝－32因为|φ|<π2，所以φ＝－π(2)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，ω>0，|φ|<π2所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<π2所以f(x)的最大值为1，最小值为－1．若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f(π3)=2无解，故条件①不能使函数f(若选条件②：因为f(x)在区间[－π3，2π且f(2π3)＝1，f(－π3所以T2=2π所以T＝2π，ω＝2πT＝1所以f(x)＝sin(x＋φ)，又因为f(－π3)＝－所以sin(－π3＋φ)＝－1所以－π3+φ=-π2＋2kπ所以φ＝－π6＋2kπ，k∈Z因为|φ|<π2，所以φ＝－π所以ω＝1，φ＝－π6若选条件③：因为f(x)在[－π3，2π3]上单调递增，在[－π2，所以f(x)在x＝－π3处取得最小值－1即f(－π3)＝－因为f(x)在区间[－π3，2π且f(2π3)＝1，f(－π3所以T2=2π所以T＝2π，ω＝2πT＝1所以f(x)＝sin(x＋φ)，又因为f(－π3)＝－所以sin(－π3＋φ)＝－1所以－π3+φ=-π2＋2k所以φ＝－π6＋2kπ，k∈Z因为|φ|<π2，所以φ＝－π所以ω＝1，φ＝－π617．解：(1)因为点A的横坐标为35，且|OA|＝1，点A在第一象限，所以点A的纵坐标为4所以cosα＝35，sinα＝4所以cos(2＝2sinα(2)因为cos∠AOC＝－6365，由题图可知，sin∠AOC＝1-co而－β＝α－∠AOC，故β＝∠AOC－α，所以cosβ＝cos(∠AOC－α)＝cos∠AOCcosα＋sin∠AOCsinα＝(－636518．解：(1)由题意可得出具有一般性的关于三角的等式为sinαsinβ＝sin2α+(2)证明：因为sin2α+sin2α-故sin2α＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝12×2sinαsinβ＝sinαsin即sinαsinβ＝sin2α+19．解：(1)